2025屆高三數學一輪復習：分段函數 專項訓練【含答案】

2025屆高三數學一輪復習-分段函數專項訓練

類型一：分段函數求值

1.已知函數=則/[/?）]的值為（）

A.-1B.早C.CD.3

2.已知函數/(久)=[0尸'久*1'若f(―2)=a,則/(a)=()

llog2(x-1),X>1,

A.1B.2C.3D.4

類型二：分段函數給值求自變量

2X-1,x<1,

3.已知/(%)=)G若f(a)=1,則實數a的值為()

亍，久>

乙1.

A.1B.4C.1或4D.2

p-1

4.已知函數/(%)=卜+1''若f(a)=1,則a=________

lln(x+2),x>—1.

類型三：分段函數的值域（最值）

5.已知a>0且a豐1,若函數/（x）=^~宵。）的最大值不超過1,則實數a的取值范圍是

（乙ILCzya人f九乙

A（咽B.品]C,[1,1）D.g,l）

6.已知函數y=Kj二?14a，”<1°的值域為R,則實數a的取值范圍是（）

A.（-8,1）B.[-3,+8）C.D.[-

類型四：分段不等式

7.已知函數/（久）=，（：二?'""A若對于任意的實數》,不等式/（*-a）<+1）恒成立，則實數a

IL2,XV1

的取值范圍為（）

A.B.（-8,一勺C.（一*,+8）D.[-3,+8）

類型五：分段函數的圖像

類型六：分段函數的單調性

—%2—dx-5(xv])

{氣久>]一是R上的增函數，貝1U的取值范圍是.

10.(多選)已知函數TO)=則下列結論正確的是()

(lOgal%iClJ,XNu

A.若a=J,則f(x)是增函數

B.若=2,則方程f(%)=-3的解為%i=log32和%2=-v

Qo

C.若a=%則f(x)的值域為(一2,+8)

D.若/Q)有最大值，則實數a的取值范圍是停,1)

類型七：分段函數的奇偶性

11.若函數"%)=產+4x-x^0，為奇函數，則晨a_1)=_.

12.己知函數/(%)=仔2+2：，“<0則函數f(x)是_____函數(填奇偶性)；若/(/⑷)<-)),則

實數a的取值范圍為.

類型八：分段函數的周期性

^,x<0,

13.己知函數/(x)=%-1貝行(2024)=()

、f(x-3),x>0,

A

--lB.-2C.D.-1

類型九：分段函數的零點

14.已知函數f(x)={(t1，X~°,關于％的方程f(x)=a(aeR)有3個不同的實數解，貝Ua的取

值范圍是()

A.[1,5)B.(0,1)U{5}C.(0,1]D.(0,1)

15.已知函數/(%)=7+1°g產W—%<1.若/(Q)=f(b)(a<b),則ab的最小值為()

2\1<%<2

ACBicCD小

A?2??2。43

16.已知函數“無)=°，若a<b<c<d,且/(a)=f(b)=f(c)=f(d),則a+b+c+

2d的取值范圍是()

A.(3,牛)B.(1,巖)C.(2°,+8)D.(2V22.1x)

eR+i|,%<o

17.已知函數/(%)={4Qc，函數y=/(%)-Q有四個不同零點，從小到大依次為%L%2，%3，%4,

X4----3,%>0

X

則實數a的取值范圍為；%1%2+%3%4的取值范圍為-

類型十：分段函數的新定義

18.對于函數y=/(%),若存在%o，使/(%0)=-7'(一比)，則稱點Oo./Oo))與點(-Xo，/(-Xo))是函數/0)

的一對“隱對稱點”.若函數/⑶=產+,2產：2的圖像存在“隱對稱點”，則實數小的取值范圍是

imx+2,%>0

().

A.[2-2/7,0)B.(-oo,2-2/7]C.(-oo,2+2<7]D.(0,2+2d

19.“肝膽兩相照，然諾安能忘。"（保左虞燕京惠詩卻寄卻寄以，明?朱察卿）若4B兩點關于點P（l,l）

成中心對稱，則稱（48）為一對“然諾點”，同時把（4B）和（B,4）視為同一對“然諾點”.已知a6Z,函

數人萬）=[（”—<1的圖象上有兩對“然諾點”,則a等于（）

{ax—2,%>1

A.4B.3C.5D.2

類型十一：分段函數的嵌套問題

%2—2%,%《0

2%八，若關于x的方程「2（久）一a/（x）+a-1=0恰有四個不同的實數根，則實

{R>0

數a的取值范圍為（）

A.[1,誓）B.（1手）C.[1亨）D.（1,詈）

21.已知/⑶=出即久>/,則函數y=2f2（乃-3/（%）+1的零點個數是___

12田，%<0

類型十二：分段函數的實際應用

22.一個工廠生產某種產品每年需要固定投資100萬元，此外每生產1件該產品還需要增加投資1萬元，年

產量為然久eN*）件.當x<20時，年銷售總收入為33比-/萬元；當X>20時，年銷售總收入為260萬元.

記該工廠生產并銷售這種產品所得的年利潤為y萬元.（年利潤=年銷售總收入-年總投資）

（1）求y（萬元）與x（件）的函數關系式；

（2）當該工廠的年產量為多少件時，所得年利潤最大？最大年利潤是多少？

類型十三：分段函數的綜合應用

23.定義在R上的函數“為滿足""—3)=f(x+1),且"X)='(—}'!!]，則下列說法中正

(2—2\x—2\,xG(1,3]

確的是().

A.f(x)的值域為[0,1]

B.圖象的對稱軸為直線比=4k(kGZ)

C.當尤e(—3,—2)時，/(%)=2x+6

D.方程3/Q)=x恰有5個實數解

24.(多選)德國數學家狄里克雷(1805-1859)在1837年時提出：“如果對于工的每一個值，y總有一個

完全確定的值與之對應，那么y是x的函數.”這個定義較清楚的說明了函數的內涵，只要有一個法則，

使得取值范圍內的每一個羽都有一個確定的y和它對應就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表

格等形式表示.他還發(fā)現了狄里克雷函數DQ),即：當自變量%取有理數時，函數值為1,當自變量x取無

理數時，函數值為0.狄里克雷函數的發(fā)現改變了數學家們對“函數是連續(xù)的”的認識，也使數學家們更加

認可函數的對應說定義，下列關于狄里克雷函數D(x)的性質表述正確的是()

A.D⑺=。B.DQ)是奇函數

C.D(x)的值域是{0,1}D.D(x+1)=￡?(%)

參考答案與解析

類型一：分段函數求值

1.已知函數/(%)=騰;￡謂,則/嗎］的值為()

A.-1B.早C.<3D.3

【答案】D

解：由已知，f0=1°§22=—1，

所以用(初=f(T)=3.

2.已知函數f(x)=[G)、'久*1'若f(一2)=a,則f(a)=()

Uog2(x-1),%>1,

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

-2

解：因為/(-2)=(1)=9,所以a=9,貝!J/(a)=/(9)=log2(9-1)=log28=3.

類型二：分段函數給值求自變量

2%-1,%V1,

3.已知f(x)=口‘，’若f(a)=1，則實數a的值為()

亍，久>1.

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

解：???函數/(%)=]口、，且/(a)=1，

—,x>1

當a<1時，/(a)=2。-1=1,即a—1=0,??.a=1(舍去)；

當a21時，/(a)=?=l,即=2,???a=4,

綜上所述，實數a的值為4.

故選B.

4.已知函數/'(久)=<1'若/'(a)=1,則。=_____

Un(%+2),%>—1.

【答案】"2

解：當。<一1時，

f(a)=售=1，解得a無解，

當a>一1時，

/(a)=ln(a+2)=1,

即a=e-2.

類型三：分段函數的值域(最值)

5.已知a>0且"1,若函數/(x)=j"吃二及、的最大值不超過1,則實數a的取值范圍是

A(詞B.［制C.g,l)D.［i,l)

【答案】C

解：由題意知，函數y=/(x)在(一8,2］上單調遞增，且/(2)=2-3a<1,函數/(x)=2+logM在

r2-

3a1

I0<解得

(2,+8)上單調遞減且2+log?2W1,則I2-a<1.故選C.

2+10g

<

6.已知函數丫=14a,”<I。的值域為凡則實數口的取值范圍是()

A.(一叫1)B.C.D.

【答案】D

解：當%>10時，y=Igx>IglO=1,

又函數y=If1一-a，%<1。的值域為R,貝臨:>：

,(Igx,x>10(10(1-a)+14a>1

解得aE[-3,1).

類型四：分段不等式

7.已知函數/O)=1若對于任意的實數久，不等式-a)<f(7+1)恒成立，則實數a

v乙乙,人X

的取值范圍為()

3333

A.(-co,--)B.(-OO,--]C.(--,+oo)D.[--,+00)

【答案】D

解:由題設可作〃)=[(：「的圖象，如下圖所示：

(2"—2,%<1

所以/(%)在R上單調遞增，

則由/(%-a)</(x2+1),得％-a<%2+1在R上恒成立,

即％2-x+a+1>0在R上恒成立，

則△=(-1)2—4x(l+a)W0,即a2—"

4

類型五：分段函數的圖像

8.函數/(x)=A-2》的圖象大致形狀是()

解：???、=晉=［：：:：：0,當x>0時，其圖象是指數函數y=2,在y軸右側的部分，因為2>1,所

以函數在(0,+8)上單調遞增，

當x<0時，其圖象是函數y=-2，在y軸左側的部分，因為2>1,所以函數在(-8,0)上單調遞減，

比較各選項中的圖象知，B符合題意.

故選2.

類型六：分段函數的單調性

—X2—ax—5,(%<1)

9.已知函數/(%)=是R上的增函數，貝布的取值范圍是

【答案】［-3,-2］

(-->1

解：由題意可得上；。

I—1—CL—5Wa

解得一3<a<-2.

故答案為［-3,-2］.

io.(多選)已知函數〃久)則下列結論正確的是()

A.若aJ,則f(x)是增函數

B.若a=2,則方程/(%)=-3的解為%i=log2^Dx=一噂

32O

C.若a=?則f。)的值域為(一2,+8)

D.若/⑺有最大值，則實數a的取值范圍是停,1)

【答案】AD

【解答】

：

a=[時，八吟='3—<。

解：4選項,log5(X+|),%>o'

因為x<。時，/(%)=3*—4單調遞增，

4

%>0時，/(%)=log§(x+m單調遞增，且3°-2=一：<logg、=1,

所以/(%)是增函數，故A正確；

E選項，。=2時，用)=富(式工》0,

當％<0時，/(%)=3X-5=-3,解得x=log32>0,舍去;

當X>0時，/(%)=log(x+2)=-3,解得第=一容舍去；故3錯誤;

2O

(3%—3,%<0

C選項，a=抖，〃%)=久+Q>0,

當久<0時，/(%)=3X—3<—2,

當x》0時，/(x)=log±(久+§》1,

所以函數/(久)的值域為(-8,-2)U[1,+8),故C錯誤；

D選項，若/(久)有最大值，且X<0時，/(久)=3,-3a+1單調遞增,

所以當x》0時，函數/(?單調遞減，

所喘黑；I3a+1，解得*一，

即實數a的取值范圍是吟,1),故。正確.

故選AD.

類型七：分段函數的奇偶性

11.若函數/(X)=忙2-。'為奇函數，貝u/(a—1)=.

【答案】3

解：設％<0,-%>0,/(%)是奇函數，

???/(—x)=—X2—ax,/(x)=x2+4%,/(—x)=—/(%),

???—x2—ax=—x2—4%,

???a=4,

2

c,/、W=(x+4%,%40,

???l-^+4x,x>0

/(a-1)=/(3)=—9+12=3.

12.已知函數f(x)=［%2：2：，“<0則函數f(x)是_____函數(填奇偶性)；若f(f(a))<-)),則

I—xz+2x,x>0

實數a的取值范圍為.

【答案】奇,?(-8,-3)

解：當*<0時，一乂>0,所以/(—久)=—(―x)2-2久=—(/+2x)=—/(x),

當久>0時，-x<0,所以/'(—%)=(-%)2-2%=—(―x2+2x)=-f(%),且/'(0)=0,

所以函數/O)是奇函數，

又因為函數在(一8,-1),(1,+8)為減函數，在［一1,1］為增函數，/(-3)=3,f(3)=-3

由/(/(a))</(/(—3))可得/(/(a))<〃3),根據函數單調性可得/(a)>3,

所以a<—3o

類型八：分段函數的周期性

丘，<0,

13.已知函數f(X)=Z-1貝廳(2024)=()

j(x-3),x>0,

A.-1B.-2C.-|D.-1

【答案】D

解：依題意得/(2024)=f(2022+2)=f(674x3+2)=f(2)=/(-l),

而1)=-1,故f(2024)=-1.

類型九：分段函數的零點

14.已知函數/(乃={布[]￥；1'"三()’關于X的方程/(乃=磯。6外有3個不同的實數解，則a的取

值范圍是()

A.[1,5)B.(0,1)U{5}C.(0,1]D.(0,1)

【答案】B

解：作出函數的圖象，如圖：

/(%)=-x2^4x+l,x<0的圖象與y軸的交點為(0,1),又f(x)=|lnx\,x>0的圖象在(0,1)單調遞減，

且圖象與y軸無限接近，在(1,+8)單調遞增.

關于x的方程/(久)=a(aeR)有3個不同的實數解，即函數/(x)的圖象與直線y=a有3個不同的交點，由

圖象可知：a的取值范圍是(0,1)U{5}.

2+loPix—VxV1

15.已知函數/(無)=2，8~.若/(a)=f(b)(a<b),則ab的最小值為()

I1<x<2

C1C

2B.2-4

【答案】B

解：函數;■(￡)的圖象如圖1所示,

(1)設/(a)=f(b)=k,則k6(2,4].

由2+log1a=k,2b=k,

得a=G)上一2,b=log2/c.

當k=4時，a=b=2,ab=

4L

k-2k-2fc-3

考慮ab-|=(1)xlog2k=(1)(log2fc-2).

由圖(2)可知，當ke(2,4］時，

1

-1即>

fc-3ab-2-

log2fc-2>0,所以ab—2NO,

故時最小值為今

故選艮

16.已知函數f(x)=［蔡［°，若a<b<c<d,且/(a)=f(b)=f(c)=f(d),貝|a+b+c+

2d的取值范圍是()

A.(3,瑞)B.(1,察)C.(2<X+8)D.(2V22.tx)

【答案】B

不妨設f(a)=f(b)=f(c)=/(d)=k,

則a,b,c,d為/(%)=k的四個不同的實數根，且Zee(0,1),

于是a,b為方程/+2%+k=0的不同實根，

所以a+b=—2,

由l，gc|=\lgd\,知cd=1,且由于0<Igd<1,知1<d<10,

-1

于是c+2d=2d+—f

a

由對勾函數的性質可知y=2d+［的值隨d在(1,10)內的增大而增大,

所以c+2dE（3,^^）,

于是a+b+c+2dE

故選反

Q|%+1|,%40

17.已知函數/（%）=14]、八，函數y=/（%）-a有四個不同零點，從小到大依次為%1，%2，孫，為4,

Xd-----3,%>0

X

則實數a的取值范圍為；x1x2+久3久4的取值范圍為.

【答案】（（e]

解：函數y=/。）—a有四個不同的零點，即兩函數y=/（均與y=a圖象有四個不同的交點，如圖所

xv*2是方程eW+U=喃勺兩根，而圖像關于x=—1對稱，

+右=—2,且％2e(—1,0],

???X1-X2=(-2一%2),%2=一(久2-1)2+1

%3，處是方程％+'—3=a的兩根，即的+^—3—-I-——3

XX3%4

=

即％3-X4=---=曲/—”4),可得％3支4%

%4x3X3X4

XrX2+%3%4=-(%2+1)2+5,在一1<%240遞減，

可得所求范圍為[4,5).

類型十：分段函數的新定義

18.對于函數y=/(久)，若存在久。，使fOo)=-/(一比)，則稱點Oo"Qo))與點(一汽"(一久0))是函數fO)

的一對“隱對稱點”.若函數中)=憑重的圖像存在“隱對稱點，，，則實數皿的取值范圍是

().

A.[2-2c,0)B.(-00,2-2<7]C.(-8,2+2clD.(0,2+2cl

【答案】B

解：由“優(yōu)美點”的定義，可知若點。0，/(%0))為“優(yōu)美點”，

則點(一X。,一/Oo))也在曲線y=/(x)上，

作出函數y=/+2x(%<0)的圖象關于原點對稱的圖象，

其解析式為y=-X2+2x(x>0),

2

設過定點(0,2)的直線y=mrx+2與曲線y=-x+2x(x>0)切于點在。1,/'(久J),

如圖所示，則巾1=y'xx,=-2%t+2=3+2：2,

解得/=士/攵(負值舍去)，所以巾1=—2，攵+2.

由圖可知，若/(久)存在“優(yōu)美點”，則巾<2-2^1.

故選B.

19.“肝膽兩相照，然諾安能忘?！?俅左虞燕京惠詩卻寄卻寄》，明?朱察卿)若4B兩點關于點P(l,l)

成中心對稱，則稱(4B)為一對“然諾點”，同時把(4B)和(B,4)視為同一對“然諾點”.已知a6Z,函

數〃久)=[(”—<1的圖象上有兩對“然諾點”，貝ija等于()

Jkax—2,x>l

【答案】A

解：當％>1時，/(%)=ax-2,其關于點P(l,l)對稱的函數為y=a%-2a+4(%V1),

由題知y=ax-2a+4與y=(x-2)e一%在1E(一8,1)上有兩個交點，

由｛:2a+4

2\e-x，消y得到a%-2a+4=(%-2)?一%,

又工<1,得到一三+a=e

令九（%）=為+a,=e~x,則/i（%）=娛+a和g（%）=在（-8,1）上有兩個交點,

在同一坐標系中，作出g（%）=L%和h（%）=膜的圖象，如圖所示，

i~?+aV?一

由圖知《,得到3<a<4+e-l<5,

[―+a>1

又aEZf所以a=4.

故選：A.

類型十一：分段函數的嵌套問題

（X2—2x,x<0

20.函數/（久）=]2xC,若關于X的方程尸（久）-af（久）+a-1=0恰有四個不同的實數根，則實

I資久>。

數a的取值范圍為（）

A.[1,誓）B.（1手）C.[1,袈）D.（1,警）

【答案】D

解：因為當x>0時，/（%）=廣（久）=當/，

若/'（冗）>0,0<%<1,若f'（%）<0,則%>1,

所以/⑺=￡在（°，1）上單調遞增，在（1,+8）上單調遞減，

x=1時y=x=0時y=0,

%-?+8時丫-?0,可面出/(%)的大致圖象,

令/(%)=3g(t｝=t2-at+a-1,先解關于￡的方程g(t)=0,

由題知方程必有兩不等實根，設為力1，<灰)，

再解/(%)=5/(%)=t2,

2

0V<一

結合/(久)的圖象可知，要有4個不等實根只需｛?e,

~<t

e/2

g(°)>。,9

即｛,2、n，解得1<。V-—.

gQ<0e

故選D

21.已知/⑶=已即”>/,則函數y=2產(x)—3/(x)+1的零點個數是

(2四,％40

【答案】5

解:根據題意，令2產(%)-3/(%)+1=0,

解得：/(嗎=1或/(X)=(

作出y=/(%)的圖象:

由圖象可得，函數y=f(x)的圖象與y=1的圖象有3個交點,

函數y=/(久)的圖象與y=:的圖象有2個交點，

所以函數y=2升(久)一3/(%)+1的零點個數為5.

故答案為5.

類型十二：分段函數的實際應用

22.一個工廠生產某種產品每年需要固定投資100萬元，此外每生產1件該產品還需要增加投資1萬元，年

產量為x(xeN*)件.當x<20時，年銷售總收入為33x-/萬元；當X>20時，年銷售總收入為260萬元.

記該工廠生產并銷售這種產品所得的年利潤為y萬元.(年利潤=年銷售總收入-年總投資)

(1)求y(萬元)與x(件)的函數關系式；

(2)當該工廠的年產量為多少件時，所得年利潤最大？最大年利潤是多少？

【答案】解：(1)由題意，當0<%<20時，y=33x—x2—x—100=—x2+32x—100,

當%>20時，y=260-%-100=-x+160,

._f-X2+32x-100,0<x<20,z

-yv~l-x+160,x>20(xeN),

(2)當0<久W20時，y=-x2+32久-100=-(x-16)2+156.

所以當x=16時，ymax=156.

當x>20時