2025屆八省適應(yīng)性聯(lián)考模擬演練考試（二）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

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八省適應(yīng)性聯(lián)考模擬演練考試（二）

數(shù)學(xué)試題

命題：四川省新高考教研聯(lián)盟試題研究中心

審題：四川省新高考教研聯(lián)盟試題研究中心

注意事項：

1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3、考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的4個選項中只有一個答案符合要求。

1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足（l+i）Z=|l+i|2,則復(fù)數(shù)z的虛部為

A.-iB.-1C.iD.1

2.設(shè)x＞。，y＞。，不等式升打毒2。恒成立,則實數(shù)〃的最小值是

A.-2B.2C.1D.-4

3.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品。其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給出了一個

石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,那么該壺的最大盛水量為

A.687rcm3B.1527rcm3C.20V107rcni3D.2047rcm3

4.給出下列命題：

①若空間向量乙9滿足日不＜0,則d與另的夾角為鈍角；

②空間任意兩個單位向量必相等；

③對于非零向量房若五?于=石?旬則五=9；

④若值b,引為空間的一個基底，則｛五+b,b+c,c+可構(gòu)成空間的另一個基底.

其中說法正確的個數(shù)為

數(shù)學(xué)試卷第1頁（共4頁）

A.0B.1C.2D.3

5.設(shè)△4BC的內(nèi)角4、B、。的對邊分別是a,b,c,tan>l=f，且8為鈍角.sinA+sinC的取值范圍

b

A.除三B.4申C.職］D.(0帝

6.Fi，尸2是分別是雙曲線條一卷=l(a>0,b>0)的左、右焦點，戶為雙曲線右支上的一點，11M與

三邊所在的直線都相切，切點為A,B,C,若|P8|=a,則雙曲線的離心率為

A.V2B.2C.V3D.3

7.設(shè)0<b<a<4b,m>0,若三個數(shù)與Va2+b2—ab,mVHF能組成一個三角形的三條邊長，則實

數(shù)。的取值范圍是

A.哼-B.(1,V3)c.哼-a2］D.(V3,2)

8.用C(4)表示非空集合4中的元素個數(shù)，定義的T露公%［若4="，*B={T|(/

—L(A),C^A)<—

+a>)?(/+ax+2)=0},且4*Q1,設(shè)實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S則C(S等于

A.1B.3C.5D.7

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，

全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯得。分。

9.下列說法正確的是

A.“工>J”是“a<b”的充分不必要條件

ab

B.AnB=0.是A=。的必耍不充分條件

C.若a,b,c&R,則”如2>兒2”的充要條件是“a>b”

D.若a,beR,則+b2^0”是?|a|+|h|豐0”的充要條件

10.已知四棱錐P-4BCD,底面4BCD為矩形，側(cè)面PCD_L平面4BC0,BC=2y/3,CD=PC=PD=2①.若

點M為PC的中點，則下列說法正確的為

A.BM1平面PCOB.PA〃平面MB。

C.四棱錐M—ABCD外接球的表面積為18nD.四棱錐M-ABC。的體積為12

11.芯片時常制造在半導(dǎo)體晶元表面上.某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片制造工藝進行改進.部分芯片由智能

檢測系統(tǒng)進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進入流水線由工人進行

抽樣檢驗.記Z表示事件”某芯片通過智能檢測系統(tǒng)篩選”，6表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進

生產(chǎn)工藝后，這款芯片的某項質(zhì)量指標f服從正態(tài)分布N(5.40,0.052),現(xiàn)從中隨機抽取〃個，這〃個芯片中

恰有R個的質(zhì)量指標f位于區(qū)間(5.35,5.55),則下列說法正確的是(參考數(shù)據(jù):-a<f0.6826,

數(shù)學(xué)試卷第2頁(共4頁)

PQ-3。＜S式〃+3。)電0.9974)

A.P(B)>P(B|A)

B.PQ4|B)>P(麗

C.P(5.35<f<5.55)?0.84

D.P(m=45)取得最大值時，〃的估計值為54

三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分15分。

12.如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心。到水平地面的距離為60米，最上端的點記為。，現(xiàn)在摩

天輪開始逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點建立平面直角坐標系，則經(jīng)過1。分

鐘點。距離地面(▲)米

13.在平面直角坐標系才如中，方程mQ2+y2+2y+1)=(%—2y4-3>表示橢圓，則"的取值范圍為(▲)

14.△4BC中，3siiM+4sinB+18sinC的最大值為(▲)

四.解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程及步驟。

15(13分)

如圖,在三棱柱"BC—AB'C'中,AB=BC=AC=AA'=A'C=1,AB=*

(1)求BO的長；

(2)若M為4戌的中點，求二面角B-AM-C的余弦值.

16(15分)

在某月從該市大學(xué)生中隨機調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費金額制成如下頻數(shù)分布表

(已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額不超過3000元)：

消費金額(單位：百元)[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

頻數(shù)2035251055

數(shù)學(xué)試卷第3頁(共4頁)

(1)由頻數(shù)分布表可以認為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額Z(單位：元)近似地服從正態(tài)分布NQ"2),其

中〃近似為樣本平均數(shù)x(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值，660).現(xiàn)從該市任取20名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外

賣消費金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

(2)4市某大學(xué)后勤部為鼓勵大學(xué)生在食堂消費，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價值100元的

飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、

第60格共61個方格.棋子開始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣(已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是去其中

Po=1)，若擲出正面,將棋子向前移動一格(從k到k+1),若擲出反面，則將棋子向前移動兩格(從k到k+2).

重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認為“闖關(guān)成功”，并贈送500元充值飯卡；若這枚棋子最終停

在第60格，則認為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束.

①設(shè)棋子移到第格的概率為求證：當(dāng)時，是等比數(shù)列；

n(2―Pn_J

②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量f服從正態(tài)分布NQ,/),貝IJPQ-。<SV〃+O=0.6827,P(g-2a<e<g+

2o)=0.9545,PQz-3<T<f</z+3a)=0.9973.

17(15分)

已知點M(-3rn,0)(m>0),N、P兩點分別在y軸、x軸上運動，且滿足麗,麗=0,HP=^PQ.

(1)求Q的軌跡方程；

(2)若一正方形的三個頂點在點Q的軌跡上，求其面積的最小值.

18(17分)

已知函數(shù)/(%)=(%—a)cosx-sinx+a,aeR.

Q)若a=0時，求的所有單調(diào)區(qū)間；

⑵若9(%)=在瑞力荷在區(qū)間［0,叼上的最大值為1,求a的范圍.

19(17分)

設(shè)(1+2x)k=a。+%%+a2/++…+以/(kN2,keN*).

(1)若展開式中第5項與第7項的系數(shù)之比為3：8,求左的值；

(2)設(shè)上=號±(neN*),R各項系數(shù)的，的，a2,…，以互不相同.現(xiàn)把這％+1個不同系數(shù)隨機排

成一個三角形數(shù)陣:第1列1個數(shù)，第2列2個數(shù)，…，第〃列〃個數(shù).設(shè)4是第1列中的最小數(shù)，其中1<i<n,

且記的概率為求證：p2而二r

neN*.0>t2>t3>…>tnn>41幾k).

(3)設(shè)TieN*且Ti24,集合M={1,2,3,…,n}的所有3個元素的子集記為4,42,…,A或，記取為乙(i=

以015

L2,…，髭)中最小元素與最大元素之和，求哈身的值。

C2015

數(shù)學(xué)試卷第4頁(共4頁)

絕密★啟用前

八省適應(yīng)性聯(lián)考模擬演練考試（二）

數(shù)學(xué)參考答案

題號12345678910

答案BDBBABCBBDBD

題號11

答案BC

12.3513.(5,+oo)14.苧

15(1)取4c的中點0,連接。8,0A'.

■.■A'C=AA',AB=BC,ACLOA',ACLOB.

又。4n0B=0,0A',OBu平面。AB,.MCI平面OA'B,

又4Bu平面。AB,.??4CJ.4B...........................................3分

vA'C'//ACA'C1A'B

^A'C=1,A'B=l，-.BC'=Jl+合乎................................5分

（2）如圖，以。為坐標原點，040B所在直線，過。且與平面4BC垂直的直線分別為x,y,z

軸建立空間直角坐標系，如圖

C'

則易得A&0,0),B(O,4o),C(—屈=(—：,今0),AC=(—1,0,0).....6分

設(shè)MQi，%,Zi)，Zi>0,由M為4B'的中點，可得祈=白旃=工通=(一；,四,0),則

22\44/

&(與+1力一乎，zj,

3+丁+(yi-v)+zi=；91=_i

由“'B=44'=1，AC=1，可得.11+(yi-Y)+Zi=1>解得,%=0,

、3

、&+：)+(%-7+Z1=1Z】4

答案第1頁，共6頁

...M(\,0,?,4,(0,_抬)..................................................................................8分

設(shè)平面ABM的法向量為底=(x2fy2,Z2)f

則像*

令％2=V3,可得汨=(V3,1,V3).....................................................................................10分

設(shè)平面2CM的法向量為荻=。3，丫3/3),

則住?元=0―“3=0

即+潴=0

in；■AM=0

則巧=Z3=0,可得通=(0,1,0)....................................................................................12分

贓os(耳磅=符篇=專=9，

易知二面角B-AM-C為銳二面角，

；?二面角B-AM-C的余弦值為了...........................................13分

16.(1)元=250x0.2+750x0.35+1250x0.25+1750x0.1+2250x0.05+2750

x0.05=1050,

因為Z服從正態(tài)分布N(1050,66為),所以P(390<Z<2370)=P(jx-a<Z<n+2a)=

0.9545—0.6827

0.9545-=0.8186.

2

所以X?8(20,0.8186),

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=20x0.8186=16.372....................................................5分

(2)①棋子開始在笫0格為必然事件，P。=1.

笫一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為3即Pl=;.

棋子移到第"(2<n<59)格的情況是下列兩利1,而且也只有兩種:

棋子先到第n-2格，又擲出反面，其概率為^Pn_2；

棋子先到笫n-l格，又擲出正面，其概率為:Pn_i，

所以4=^Pn-2+^Pn-l......................................................分

即％-PnT=~\(Pn-1-Pn-2)，且居一Po=-

答案第2頁，共6頁

所以當(dāng)1VMW59時，數(shù)列｛2一Pn_J是首項Pi—Po=—2公比為一:的等比數(shù)列.?…10分

3n

②由①知P1_l=_；，P2_PI=(一§2,P3-P2=(-l),^-Pn_1=(-1)，

以上各式相加，得匕一1=(_：)+(_§(—0，

所以&=1+(-]+(-§+-+(-0"=|[1-(~0n+1(,n=0,1,2,-,59)...12分

所以闖關(guān)成功的概率為Ps9=—(-J6,=g[l—GY。],

闖關(guān)失敗的概率為P60=衿8="他-(-曠]=他+GY".

6

P59-P60=|[l-G)°]-t[l+的=中-a]>0.....................15分

所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.

17(1)設(shè)點Q(x,y),因為而=g所，且點N在y軸上，所以N(O,-3

又M(-3m,0),則而=(3犯一》而=(%?，

由而?NQ=3mx-\y2=0,二y2=4mx,

故點Q的軌跡方程為y2=4mx...................................................5分

(2)設(shè)該正方形為4BCD,其在y2=4mx上的三個頂點為4(乙,%)、B(x2,y2)^C(x3,y3).

不妨設(shè)a,B在x軸的下方(包括x軸)，且曠3No2丫2>%，

則與=奈*2=第，=3=今，..................................................6分

丫2-3=喘一霜

設(shè)直線48的斜率為匕貝小

二俚一遐)'

33—丫2=k\4m4mJ

所以％=等一丫2，73=-4mk-y2,故%+為=等<0，故k<0.

5L\AB\=\BC\,所以Jl+.5-％)=VTTI然y3一曠2)，......................8分

:.丫2-%=一卜。3~丫2)，將當(dāng)，丫3用力表示，

47nA:2+4m

得丫2-等+丫2=-k(-4mk-2y2),二為=2(_k+1*>

故1ABi=\BC\=Vl+fc2(y-yz)=4m............................10分

3”受：)Z

號=(一k)+3?2,當(dāng)且僅當(dāng)憶=一1時等號成立'

答案第3頁，共6頁

又2(，1+_(一1+1)2=(1+a2(J,當(dāng)且僅當(dāng)卜=一1時等號成立，.......11分

結(jié)合一k+l>0,故號n],當(dāng)且僅當(dāng)k=一1時等號成立，

故|BC|247nx2x^=4肪n,當(dāng)且僅當(dāng)k=一1時等號成立，..................13分

所以正方形面積立垣=32m2,當(dāng)k=一1時取最小值...........................15分

18(1)當(dāng)a=0時，y(x)=xcosr-sinx,f'(x)=-xsinx.

當(dāng)*《[2kn,2fcn+ir],々€2且220時,ff(x)<0；

當(dāng)工€[2/nr+n,2/ni+2TT],k￡Z且kNO時，/'(%)>0;

[2/ar,2/ni+ir]關(guān)于原點對稱為[-2kli-ir,-2/cn],

\2kn+71,2/cn+2ir]關(guān)于原點對稱為[-2/m-2n,-2k.it-TT],

??？(%)定義域為R，K/(x)+/(-%)=0,?\/(x)是奇函數(shù)，

???加r)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，

；?/(%)的減區(qū)間是[2E,2E+ir],[-2fcn—-2kn],kwZ且A>0；

/(%)的增區(qū)間是[2/nr+Tr,2/nr+2ir],[-2kit-2ir,-2kn-ir],keZ且々>0...............6分

(2)ff(x)=(a-x)sinx,xG[0,n].

(i)當(dāng)a40時，，％w(0,n)時，a-x<0,sin%>0,.,.廣(%)V0,/(%)單調(diào)遞減.......8分

此時f。)</(0)=0,而Q-a)2+|a-sina|>0,：,g(x)=0°，此時不合

題意：

(ii)當(dāng)0<a<n時，x變化時尸(x)、f(x)變化如下表:

X(0,a)a(初)

f'(x)+0—

/(X)/極大值

答案第4頁，共6頁

此時f(x)在[O/ir]上最大值為/(x)max=f(a)=CL-sina.......................................10分

而y=(%-a)?+|a-sina|在(0,。)單調(diào)遞減，在(。，兀)單調(diào)遞增，

2

A[(x—a)+|a-sina|]min=|a-sina|,

易證y=x—sinx在上單調(diào)遞增，.........................................11分

故歹=》一siiu20—sin0=0,即在[0,ir]上，迂sinx,

2

故OVQVir時,\a-sina|=a-sina,A[(x-a)+|a-sina|]min=a-sina,

又g(a)=於器=1,故當(dāng)％=以時，g(?取最大值L

...0VaV符合題意；.........................................13分

(出)當(dāng)。=11時，g(%)=(/；?+#f(x)=(x-7r)cosx-sinx4-n,/z(x)=(*ir-x)sinx,

xG(0,-n:),IT—%>O,sinx>0,?"'(%)>0,f(%)單調(diào)遞增,

2

f(x)max=fS)=九，[(X-n)2+^]min=(H-II)+H=IT,

???0。)工3=1，且當(dāng)％=兀時.，g(X)=1,符合題意..............................14分

(iv)當(dāng)a>ir時，???％6(0中)時，???a-%>0,sinx>0,???尸。)>0,/(%)單調(diào)遞增，

此時f(x)max="①=2a-K,

y=(%一a)2+|a-sinal在[0,n]上單調(diào)遞減，

22

[(x-a)+|a-sina|]min=(TT-a)+a-sina,故g。)《(…。二田

又g(n)=汨而f

2a-n

要使有最大值，則1,...................................................................15分

g(x)(ir-a)2+a-sina

整理得(ir-a)2-a-sina+ir=0,

設(shè)九(x)=(IT—x)2—x—sinx+n,x>n.

則》(x)=2(%—u)—1—cosx,令?n(%)=hr(x),

則MQ)=2+sinx>0,???》(%)單調(diào)遞增，

???4(%)>本⑺=0,???九Q)單調(diào)遞增,

：.h(x)>/i(n)=0,故九Q)=0在(m+8)內(nèi)無解,

即一歲—。1，故a〉n不合題意；.......................................16分

(n-a)z+a-sma

綜上，ae(O,ir]..............................................................................17分

答案第5頁，共6頁

19.(1)因為在展開式中第5項與第7項的系數(shù)之比為3：8,即筌

Ck28

所以絳=三，即一--=-,所以修一9