2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型突破：平面向量 重難點(diǎn)題型（含答案）

2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型突破：平面向量重難點(diǎn)題型

匯總

向量草雍直敷型匯總(17類題型)

近5年考情(2020—2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年/卷第3題，5分平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡(jiǎn)、證明及

數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，如證明垂直、距離

2024年甲卷(理)第9題，5分(1)向量的有關(guān)概念

等是每年必考的內(nèi)容，單獨(dú)命題時(shí)，一

2023年/卷第3題，5分(2)向量的線性運(yùn)算和向量

般以選擇、填空形式出現(xiàn).交匯命題

2023年〃卷第13題，5分共線定理及其推論

時(shí)，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、

(3)投影向量

2023年乙卷(理)第12題，5分平面幾何等相結(jié)合考查，而此時(shí)向量

(4)平面向量的坐標(biāo)表示及

2022年北京卷第10題，5分作為工具出現(xiàn).向量的應(yīng)用是跨學(xué)科

坐標(biāo)運(yùn)算

知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，務(wù)必引起重視.

(5)平面向量的數(shù)量積及其

預(yù)測(cè)命題時(shí)考查平面向量數(shù)量積的幾

2020年新高考/卷，第7題,5分幾何意義

何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)與三角函數(shù)

及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點(diǎn)

--------------------------------------------------------------°0------------------------------------------------------------------------

題型一向量的概念辨析易錯(cuò)題梳理.........................................................2

題型二向量的垂直與共線..................................................................4

題型三向量的夾角與模長(zhǎng)計(jì)算..............................................................6

題型四投影向量...........................................................................8

題型五用其他向量表示已知向量..........................................................10

題型六平面向量共線定理.................................................................13

題型七平面向量共線定理的推論..........................................................15

題型八極化恒等式求數(shù)量積...............................................................22

題型九投影法求數(shù)量積...................................................................30

題型十拆分向量求數(shù)量積.................................................................34

題型十一建立坐標(biāo)系解決向量問(wèn)題........................................................38

題型十二三角形四心的識(shí)別...............................................................47

題型十三向量的四心運(yùn)算................................................................54

題型十四等和線問(wèn)題.....................................................................62

題型十五通過(guò)平面向量共線定理的推論求最值.............................................71

題型十六奔馳定理.......................................................................78

題型十七向量中的隱圓問(wèn)題...............................................................86

Q（熱點(diǎn)題型）O

題型一向量的概念辨析易錯(cuò)題梳理

9基域知識(shí)

1、零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.

2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；

共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

3、共線向量與相等向量關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一■定是相等向量.

4、若兩向量共線，則兩向量所在的直線有平行和重合兩種可能

5、零向量是影響向量平行或共線判斷的“幽靈”，要特別注意

6、向量相等具有傳遞性，即若a=b,b=c,則Q=而向量的平行不具有傳遞性，即若Q〃匕〃c,未必有

a//co因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄?，?dāng)b=0時(shí),Q,C可以是任意向量，所以Q與c不一定平行。但若6W0,則

必有Q〃b,b〃C=Q〃C

L（多選）下列結(jié)論中正確的是（）

A.若同=忖,則a=b

B.若日|=落貝!

C.若是不共線的四點(diǎn)，則“存=皮”是“四邊形4BCD為平行四邊形”的充要條件

D.“Z=A的充要條件是“同=帆且日〃戶

【答案】BC

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)、平行的性質(zhì)與充分必要條件的定義逐個(gè)辨析即可.

【詳解】對(duì)于4,兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等.但它們的方向不一定相同；

對(duì)于由平面向量相等可得B正確；

對(duì)于。，若4B。。是不共線的四點(diǎn)，則當(dāng)金=反時(shí)，|AB|=|。。|且AB〃,故四邊形ABCD為

平行四邊形；

當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，MB|=|DC|且AB〃DC,故且入友歷同向，故覆=方方，故。正確；

對(duì)于D,當(dāng)4〃4且方向相反時(shí)，即使同=吼，也不能得到看=k,故D錯(cuò)誤;

故選：BC

2.有下列結(jié)論：

①表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；?M

②若立片立則游擊不是共線向量；

③若\AB\=|方同，則四邊形ABCD是平行四邊形；

④若慶=方，元=4,則右=右；

⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.

其中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由向量的定義、有關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)判定可得答案.

【詳解】對(duì)于①，表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①正確；

對(duì)于②，若4#日也有可能不長(zhǎng)度不等，但方向相同或相反，即共線，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若同=|反則泰，反不一定相等，所以四邊形ABCD不一定是平行四邊形，③錯(cuò)誤;

對(duì)于④，若前=行，方=總則碗=5,④正確；

對(duì)于⑤，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑤錯(cuò)誤.

綜上，錯(cuò)誤的是②③⑤，共3個(gè).

故選：B.

3.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①單位向量都相等;②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量；

③若4,日滿足國(guó)>|用，且W與一同向，則司>1

④若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；

⑤若云〃。力/力則4〃才

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.

【詳解】單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①錯(cuò)誤；

模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量或相反向量，故②錯(cuò)誤；

向量有方向，不能比較大小，故③錯(cuò)誤；

向量是可以自由平移的矢量，當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)不一定相同，故④錯(cuò)誤；

當(dāng)廣=6時(shí)，可滿足日〃及卜〃乙但H與才不一定平行,故⑤錯(cuò)誤；

綜上，正確的個(gè)數(shù)是0

4.（多選）下列敘述中錯(cuò)誤的是（）

A.若4=人則34>21B.若4〃廠,則日與天的方向相同或相反

—>

C.若日〃H〃落則汗〃不D.對(duì)任一非零向量落是一個(gè)單位向量

同

【答案】ABC

【分析】對(duì)于4,根據(jù)向量的概念判斷，對(duì)于BCD,舉例判斷.

【詳解】因?yàn)槭羌扔写笮∮钟蟹较虻牧浚韵蛄坎荒鼙容^大小，故A錯(cuò)誤;

由于零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若占為零向量，則工與才可能不是共線向量，故。錯(cuò)誤；

對(duì)于。，對(duì)任一非零向量乙—表示與日同向的單位向量，故。正確.

同

故選：4BC

題型二向量的垂直與共線

9蠹硒知識(shí)

(1)向量共線定理:如果a=/ib且bW0,則aIIb;反之Q〃匕且bW0,貝V一存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使a=Ab.

⑵兩個(gè)向量日，擊的夾角為銳角?日＞0且4,1不共線；

兩個(gè)向量4,1的夾角為鈍角Q&?日＜0且云，日不共線.

(3)a_La,6=0

⑷若云=(6,y),則＞萬(wàn)=(/lx,初)

向量共線運(yùn)算：已知a—(劣1,%),廣=(22,%),則向量6(6#：0)共線的充要條件是為曲一?Ui=0

5.向量4=(1,3),b=(3%—1,%+1),c=(5,7),若(a+b)//(a+c)，且匹=ma+nb，則館十九的值為

()

A.2B.C.3D.J

【答案】。

【分析】先利用平面向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示求出力=1,再利用向量的坐標(biāo)表示得到

關(guān)于M、口的方程組進(jìn)行求解.

【詳解】由題意，得日+廣=(3宏，%+4),a+c—(6,10),

因?yàn)?a+b)//(a+c)，所以307=6++24,解得x=l,

則c=ma+nb=(m,3m)+(2n,2n)=(m+2n,3m+2n)=(5,7),

解得

即，故771+71=3.

3m+2n=7[n—2

6.已知向量4=(1,1),(―1,1),1=(4,2),若1=石+/"、〃eR,則)+〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】。

【分析】由題意，根據(jù)平面向量加法的坐標(biāo)表示，可列方程，可得答案.

???

【詳解】由匹=求+必則(4⑵=4(1,1)+〃(—1,1),即二:;j，解得｛：：!_1，

故/I+〃=2,

故選：D

7.設(shè)向量日=(cosa;,V2sinx),&=(1,—V2)，其中xG[0,兀].

(1)若(4-磯〃九求實(shí)數(shù)力的值；

(2)已知c=(m,-1)且不_L日，若f(%)=4?落求/(力)的值域.

【答案】⑴普;(2)[-2,V2].

【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算得解.

(2)由向量垂直的坐標(biāo)表示求出3,再借助數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系求解作答.

【詳解】⑴因向量日=(cosrr,V2siriT),6=(1,—V2)，則a—b—(cos/—l,A/2sinx+V2),

又(4—W〃U,則有(一(cosi—1)—(V2sinTd-A/2)X1=0,即V2sinrc+V2cosx=0,于是得tana;=

-1,

而/e[0,7r],解得x=,

所以實(shí)數(shù)，的值是年.

4

(2)因?yàn)?=(m,—1)且3_L唬則m+V2=0,即nz=—V2，有3=(—V2,—1),

/(a7)=a?c=—V2cosa;—V2sinx=—2sin(/+十)，因nG[0,兀],貝I⑦+十E[十，"|■兀],sin(/+￡)E

[—^^,1],即/(劣)6[―2,V2]，所以/(力)的值域[—2,，^].

8.(多選)已知向量日=(1,V3),b=(cosa,sina),則下列結(jié)論正確的是()

A.若4〃b,則tana=V3

B.若日_L日，則tana=—

C.若C與廣的夾角為酒■，則\a-b\=3

O

D.若4與日方向相反，則日在日上的投影向量的坐標(biāo)是乎)

【答案】46。

【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示判斷4;利用垂直的坐標(biāo)表示判斷3利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解判斷C;求

出投影向量的坐標(biāo)判斷。.

【詳解】向量a—(1,A/3),b—(cosa,sina),

對(duì)于4由日〃廣，得sin<7=A/3COS(7,因此tana=V3,A正確；

對(duì)于_B,由日_L廣，得Vasina+cosa=0,因此tana，B正確；

o

對(duì)于。，日與日的夾角為《■，同=2,|力=1,4?廣=2xlx1~=l,

因此技一4=y/a2-\-b，2—2a-b=V3,C錯(cuò)誤；

對(duì)于O,4與丁方向相反，則，在日上的投影向量為二4=-4日=(-《，一空)，0正確.

國(guó)22V22)

故選：ABD

題型三向量的夾角與模長(zhǎng)計(jì)算

S基礎(chǔ)知識(shí)

a-(江+磯

五與b夾角公式：cos。=—汗與4+廣夾角公式：cos。

同w同忖+色

模長(zhǎng)公式:a-a=|a|『或|a|=y/a-a=y/~^,\a+b\=J（江+磯2

注意：涉及\ma±nb\這類條件時(shí)一般要進(jìn)行平方

9.已知向量同=3,同=2,、與「的夾角為卷，則忱—3同=()

O

A.6B.3V6C.3D.3V2

【答案】A

【分析】由數(shù)量積公式結(jié)合,_3間=J(2W_3/得出答案.

【詳解】解:因?yàn)橄蛄客?3,吼=2,1與〉的夾角為卷,

所以4?b=3x2xcos卷=3

O

所以12日一3冏=V(2a—3b)2=y/4a2—12a-b+962=V4x9—12x3+9x4=6

10.已知向量4,b滿足|a|=1,|ft|=3,a—b=(2,V6),則國(guó)+間=

【答案】

【解析】|a|=1,|?|=3,a—?=(2,V6)可得.一爐=彥+62—2a-&=22+(V6)2=10=>a,0,

故|3a+6|=/9浮+廬+64?J=V9+9=3A/2

11.已知向量4=(l,2)￡=(4,k),若4與葉垂直，則4與4+廣夾角的余弦值為()

【答案】A

【解析】因?yàn)槿张c日垂直，故日?日=1X4+2fc=0,解得k=—2,則b=(4,—2),

4+日二(5,0),設(shè)方與4+聲夾角為。，則cos。="，+烏=5---=.故選：A.

\a\-\a^b\V12+22X55

12.設(shè)向量4=(T,-4),6=(1,—力)，向量Z與帥勺夾角為銳角，則力的范圍為,

【答案】力＞0且力W2

【分析】根據(jù)已知可得小自＞0,且點(diǎn)S■不共線，求解即可.???

【詳解】向量a=(x,—4),6=(1,—x)，由二〃廣得，/X(―/)—1X(—4)=0,所以力=±2.

一.h

由已知得，0V(4,b)vg,所以cos(a,b)=>0,即日?b>0,且由b不共線.

2同同

則4?日=/x1+(—4)?(—力)=5/>0,所以/>0.

又由日不共線，則xW±2.所以力的取值范圍為力>0且1W2.

故答案為：力>0且力W2.

13.向量4=(2,t),b=(―L3),若4,廣的夾角為鈍角，則t的范圍是

【答案】土<弓且t大―6

【解析】若4,廣的夾角為鈍角，則且不反向共線，視，=一2+3±<0,得力V。.

O

向量4=(2,力)，自=(—1,3)共線時(shí)，2x3=—力,得力=-6.此時(shí)a——2b.

9

所以方■且土W—6.

o

14.已知乙；為單位向量，且阿一5間=7,則日與日一聲的夾角為()

R2K

A'匹3BcD.萼

-T-i0

【答案】。

【分析】設(shè)工與"日夾角為仇利用國(guó)一5時(shí)=7求出4屯在利用夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)樾姆綖閱挝幌蛄?

由（3a—5b|=7,

所以（34—5^=49=9彥一304Z+25廬=49,

即9—30a。25=49=>41-，設(shè)日與日一日夾角為仇

<2)==等，又匹°捫，所以夕=看

J」2x(T)+l26

15.(2024?高三?上海奉賢?期中)已知平面向量4,1的夾角為『若同=1,歸一間，則\b\的值為

【答案］3方

【解析】由|2a—b|=V10兩邊平方得(2a—10,4a2—4a-b+^=4—4x1x|間,cosJ+|^2=10,

時(shí)一2四.同一6=0,(同一3囂)?|+四)=0,解得吼=3聲

16.已知周，￡表示兩個(gè)夾角為冷的單位向量，O為平面上的一個(gè)固定點(diǎn)，P為這個(gè)平面上任意一點(diǎn)，當(dāng)

方=力信+,最時(shí)，定義3,切為點(diǎn)P的斜坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)Q的斜坐標(biāo)為(2,1),則\OQ\=.

【答案】77

【詳解】由題知OQ=2翦+苞，又言，最表示兩個(gè)夾角為弓的單位向量，

O

所以\OQ\=NOQ?OQ=J(2/+￡y=信4卜2+4前?芭+￡2=,4+4><cos~1_+1=V7

17.(2024?江西宜春?三模)已知a,日均為非零向量，若\2a-b\=\b\=2\a\，則名與日的夾角為

【答案】譽(yù)

【解析】由|24-山=磯可得|2"彈=|汜即4同2一4工［+廊=間*,解得同2,

a-blai2

因?yàn)橥?2同，所以cos伍冉1

\a\\b\2同22

又因?yàn)?W〈區(qū)p《乃，所以@今二三

O

故答案為：卷.

O

題型四投影向量

s基礎(chǔ)知識(shí)

向量日在日上的技彩向量：魯一h-b=\a\-COS61?上~,其中7ZT是與日同方向的單位向量

W

向量日在日上的投影向量模長(zhǎng)：若

18.已知Z3是夾角為120°的兩個(gè)單位向量，若向量4+需在向量4上的投影向量為2落則久=()

c2V3_n2V3

A.-2B.2c-一~FD-I-

【答案】4

->

(a+/lb),a(a+zlfe)-a

【詳解】日+需在向量4上的投影向量為—a=2a=>2.

o\12a\12

2

=>值+硝?a=|a|+/l|a|,同cosl20a=1—y/l=2=>A——2.

19.(2024.福建泉州.模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在直線/+2夕+1=0上.若向量4=

(1,2),則OP在日上的投影向量為()

A.L_2B.L1C.

~5'~~5~5'~55

【答案】A

【解析】由題可設(shè)P(—2%一11)，則OP=(-2t-l,t),

所以歷(-2t-l,t)-(l,2)=—1,又同=〃12+22=0,

故歷在日上的投影向量為

—>

|函cos〈（5Aa）m:\OP\A

a7I國(guó)同同

20.已知向量4=(—2,2),■=(1,1),則日一日在日方向上的投影向量為,

【答案】(一1,—1)

【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】2=(—2,2),?=(l,l)=>a—b=(—3,1),

日一日在日方向上的投影向量為紀(jì)婪占=二^(1,1)=(—1,一1)

時(shí)2

故答案為：(-1,-1)

21.已知點(diǎn)4(一1,。。。。?！?。。2)、。(一2,。。。。-1)、。⑶。。。。4),則向量存在

方方向上的投影向量的模長(zhǎng)為

【答案】A

【解析】7Z=（2,1）,麗=（5,5）,則向量次在向量麗方向上的射影為

—；八AB-CD（2,1）-（5,5）2x5+lx5372

ABcos3=-—=f二=---產(chǎn)——=----

CD752+525722

22.已知同=2,4與式的夾角為冬，3是與廣同向的單位向量，則4在廣方向上的投影向量為()

O

A.1B.—1C.eD.—e

【答案】。

【解析】4在日方向上的投影向量為冏cos伍冉-3=2cos等竟=一3,故選：。

O

23.已知忖=3,3是與日方向相同的單位向量.若向量方在于方向上的投影向量是43,則。廣=.

【答案】12

【分析】先求得立在4方向上的投影，再乘以與；方向相同的單位向量3,即得到投影向量，利用向量的數(shù)量

積運(yùn)算即可得到。日的值.

【詳解】設(shè)日與，的夾角為仇則日在，方向上的投影為同cos/

所以向量昂在日方向上的投影向量為3?郎os0=43,故同cos(9=4,

故日了=同?Mcos。=忖?同cos。=3x4=12.

24.若向量4=(①⑵,1=(2,3),'=(2,—4),且4〃落則日在日上的投影向量為()

812

B.C.(8,12)

135l3D-

【答案】A

【解析】由題意知向量日=(2,2)了=(2,3),匹=(2,—4),

因?yàn)?〃匹,所以一4/—4=0,得2=—1,所以a—(—1,2),|a|—V5,

又。=(2,3)，所以彳=(右，左),85伍了)=帝-2+6_4

75x713—V65

25.(2024.黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測(cè))已知向量43滿足忖=2,廠=(3,0),口一同=可,則向量其在向量1

方向上的投影向量為()

A.(y,0)B.g,0)C.令，0)D.(1,0)

【答案】。

【解析］因?yàn)橥?2,吼=3,根一同=AM,

所以|a—fc|'2=<F—24+廬=22—24+32=10,得4=日,

所以向量旨在向量S■方向上的投影向量為筆不(3,

題型五用其他向量表示已知向量

S基M知識(shí)

(1)基本思珞:利用向量的假性運(yùn)算對(duì)已知向量進(jìn)行拆分,逐漸精化為只有基底向量的形式

(2)坐標(biāo)表示;待定系數(shù)法

(3)常見(jiàn)模型補(bǔ)充:向量中的定比分點(diǎn)恒?式(爪型圖)

在△ABC中，。是BC上的點(diǎn)，如果萼=21,則而=mAC+—^AB

CDnm+nm+n

—

26.在△4BC中，點(diǎn)。滿足超=3屈，則（）

A.CD=^-CA+^-CBB.CD=^CA+^-CB

44oo

C.CD=^-CA+^-CBD.CD=^-CA+^CB

44oo

【答案】A

【分析】根據(jù)題意畫出△ABC并確定點(diǎn)。的位置，即可以向量el,屈為基底表示出CD.

【詳解】根據(jù)題意如下圖所示：

根據(jù)向量加法法則可知（5方=64+力，又力=3品，所以力=jAB

即包=次+與京=為+與（屈—刀）=占咒+3怎，

441744

可得方=二可十3怎.故選：A

44

27.若向量4=（2,1）,b=（—1,2）,2=（0號(hào)）,則3可用向量落日表示為（）

A.+bB.——bC.-|-a+-^-6D.^-a—

【答案】A

［分析］根據(jù)向量基本定理，設(shè)才=多4+yb,代入計(jì)算得到方程組，解出即可.

【詳解】設(shè)c=xa,+yb,即=a;（2,1）+y（—1⑵=（^2x—y,x+2y'）,

2x—y—0，解得卜二當(dāng)，則匹=［日+日

則有

x+2y=^ly=i2

28.如圖所示的A4BC中，點(diǎn)L＞、E分別在邊8。、AD上，且8O=OC.ED=2AB,則向量與=（）

A.~AB+^-ACB.^AB+^-ACC.^AB+^ACD.^AB+^-AC

33666633

【答案】B

【解析】???NB=Z5+阮，刀=怒+況，

又???BD=DC,.?.助=-血.?.由5=］（加+同，???

叉；ED=2AE,.?.AE=《AD,.?.麓=《益=4毋+±二.故選：B.

3366

29.已知△4BC的邊BC的中點(diǎn)為。，點(diǎn)E在△4BC所在平面內(nèi)，且說(shuō)=2差一屬，若m無(wú)+"及5=

AB，則772+?2=()

A.7B.6C.3D.2

【答案】4

【解析】因?yàn)榉?=2房一國(guó)，所以巨4+]■后方=2月及

因?yàn)辂?方方+諼所以與N+十反5=2屈=2(反?+函，

所以2無(wú)=_戢__|■反=―泰—|■(由5—確=｝晶—■花

所以4屈+3市？=加，

因?yàn)閙CE+nAC=AB,所以m=4,n=3,故m+n=7.故選：A.

30.如圖所示，點(diǎn)。在線段RD上，且BC=3CD,則初=()

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.^-AC--ABD.^AC-^-AB

oooo

【答案】。

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理求解即可.

【詳解】因?yàn)锽C=3CE>,所以司=:反5,

因?yàn)榱?方方+況=+f■阮=衣+/(萬(wàn)一西，

所以之=N苕—二%反即國(guó)5=三回苕—豆故選：c.

4433

31.如圖，在△ABC中，俞=是8N的中點(diǎn)，若M=+方，則小+九=()

【答案】D

【分析】利用向量的線性運(yùn)算求得AP=yAB+jAC,由此求得小,九,進(jìn)而求得m+n.

12

【詳解】因?yàn)镻是BN的中點(diǎn)，所以麗=-1-W.

所以讖=存+麗=毋+:麗=毋+;（俞一晟）=春年+春俞=春年+；丞?，所以m,=

/乙乙乙乙生

\-,九=十，所以m+n=-|".

32.已知在△ABC中，N是邊4B的中點(diǎn)，且4屈=反5,設(shè)4W■與CN交于點(diǎn)P.記9=落/=立

⑴用落廣表示向量詢，CN；

⑵若2同=|小,且京，戲,求伍內(nèi)的余弦值.

【答案】⑴疝=引+?法,CN^^-a-b

（2）cos伍,弓二J

【分析】（1）根據(jù)平面向量的基底與三角形法則即可用a,1表示向量3法，CN-,

（2）由赤，毋得由，岳。。，代入向量數(shù)量積公式即可求得〈肩辦的余弦值.

【詳解】（1）^^AC-AB=b-a

AM=AB+BM=AB+^-BC=a+^-（b-a）=^-a+~^

44v744

CN=CA+AN=-ACH~AB=Ja,-b

⑵?.?N,P,C三點(diǎn)共線，.-.由蘇，旗得函，旗。，

0=CN?AB0°=（4'_；）.4,即/同2=隹

.'./M=|a||fe|cos^a,&^=2同2cos力,

COS（鼠K）=!，,@0的余弦值為十.

題型六平面向量共線定理

s基M知識(shí)

平面向量共線定理:三點(diǎn)4,B,。共線丞?共線（功能：證明三點(diǎn)共線）

33.已知向量AB=（2,1）,BC=（7,m）,CD=（3,—1），若48,。三點(diǎn)共線，則m=

【答案】6

【分析】根據(jù)給定條件，求出由，再利用共線向量的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.

【詳解】因瑟=（7,m），無(wú)=（3,—1）,則助=瑟+濟(jì)=（10,m-1）,

又AB—（2,1）,且。三點(diǎn)共線，即AB〃BD,因此2（m—1）—1x10=0,解得？n=6,

所以m=6.

故答案為：6

34.已知AB=3?+最）,CB=￡—&CD=2前+最，則下列結(jié)論中成立的是（）

A.三點(diǎn)共線B.三點(diǎn)共線C.，。三點(diǎn)共線D.。，口，。三點(diǎn)共線

【答案】。

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得N3=2①,從而可求解.

【詳解】解：AC=AB—CB=3（苴+最）—（苞一/）=4司+21=2CD,

所以4,。，。三點(diǎn)共線.

故選C.

35.如圖，在O4BCD中，點(diǎn)河為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在上，3BN=BD.

求證：M,N,。三點(diǎn)共線.

【詳解】設(shè)司=區(qū)蘇=兀

則CM=l.^+b,CN=b+^-BD=b+^-{a-b）=-^-a+^-b,

/OOOO

---?R—?

所以CM=*CN,

又因?yàn)榻瑖?guó)有公共起點(diǎn)。，所以。三點(diǎn)共線.

36.已知AW=4+5認(rèn)JVP=—2（4—4。，PQ=3（4—。,則（）

A.M,N,P三點(diǎn)、共線B.M,N,Q三點(diǎn)共線

C.河，P,Q三點(diǎn)共線D.N,P,Q三點(diǎn)共線

【答案】B

（解析】NP=一24+8b,PQ^3（a-fe）,

：.NQ=NP+PQ=—2a+8b+3（a—b'）=a+5b,

?：MN^a+5b,：.MN^NQ,

由平面向量共線定理可知，說(shuō)與汨為共線向量，

又?.?謝與而有公共點(diǎn)N,Q三點(diǎn)共線，故選：B.

37.已知不共線的向量4工,且存=4+2及/=—54+6求也=74—2譏則一定共線的三點(diǎn)是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】利用向量的共線定理——判斷即可.

【詳解】對(duì)A,AD=AB+BC+CD=3a+6^,

所以說(shuō)=3金，則AB,。三點(diǎn)共線，A正確；

^B,AC=AB+BC=-4a+8^,

則不存在任何/ICR,使得彳苕=AAB，所以AB,C不共線,B錯(cuò)誤；

對(duì)。，阮=云+況=24+4員

則不存在任何〃CR,使得M=nBC，所以B,C,。不共線，。錯(cuò)誤;

對(duì)。,AC=AB+BC=-4a+8^,

則不存在任何teA,使得包=tAC，所以AC,。不共線，D錯(cuò)誤

38.如圖，在△ABC中，司=2方百，巔=反5.

⑴用N立歷表示怒，魂；

⑵若點(diǎn)河滿足畫？=-，存+1■芯,證明：三點(diǎn)共線.

【答案】⑴^^=-2毋+3曲屋二-2毋+1■萬(wàn)萬(wàn)

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算和基本定理求解即可.

（2）利用三點(diǎn)共線的判定證明即可.

【詳解】⑴因?yàn)榘?2品，麓=/，

AC^AB+BC^AB+3BD

—AB+—_AB）——2_AB+3AD,

BE=BA+AE=-AB+^AC

=-AB+-j-（BC-BA）=-^AB+^-BC

=-yAB+yx3BD=-yAB+yx3（AD-AB）

=-2AB+1-AD.

（2）由AM=--AB+^AC,

可得無(wú)法=-^■毋+*x2AE=-yAB+1-AE,

所以2用法=—毋+3麓，廢一毋=2（0一廉），即彘=2面卷

所以6,三點(diǎn)共線.

題型七平面向量共線定理的推論?M

核心?技巧

平面向量共線定理的推論一一系數(shù)和為1:

已知PC=APA+[iPB

A

①若/I+〃=1,則A、8、。三點(diǎn)共線;

②若則A、B、。三點(diǎn)共線，則4+〃=1.

證明

證明①：由c+"=l=>A,_B,。三點(diǎn)共線.

由力+g=1得：PC-xPA+yPB=xPA+(1—x)PB=>PC—PB-x{PA—PB)nBC-xBA.

即共線，故A,B,。三點(diǎn)共線.

(2)由A,B,。三點(diǎn)共線=>/+g=1.

由A,5。三點(diǎn)共線得歷，國(guó)共線，即存在實(shí)數(shù)/U吏得反5=4巨1

故BP+PC=A(BP+PA)=>PC=APA+(1—A)PB.即2==1—4,則有2+g=1.

39.在△ABC中，N是入。上的一點(diǎn)，且俞=!覺(jué)，。是BN上的一點(diǎn)，設(shè)NA=小存+白衣,則實(shí)

O-L-L

【分析】根據(jù)給定條件，利用基底向量Z邑N苕表示出席,再借助平面向量基本定理列式計(jì)算作答.

【詳解】在△ABC中，由俞=jNC得：俞=；前,因?yàn)镻是BN上的一點(diǎn)，則有而=ABN,AeR,

即讖一毋=4(俞一岳)，叁=(1-/1)京+4而=(1-/1)巔+彳於，

—>—>9—?—>—>(m=l—AQ

又4P=7nA8+=4。，且AB,力C不共線，于是得L_2，解得館=白，

115五11

所以實(shí)數(shù)小的值為三.

40.(深圳二模)已知△OAB中，(5^=況，OD=2DB,AD與BC相交于點(diǎn)河，而=奴51+'如，則有

序數(shù)對(duì)(x，n)=()

【答案】。

【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到N而=九而，。而瓦利用64、。豆分別表示出面，再根據(jù)平面

向量基本定理得到方程組，解得人小再代入計(jì)算可得.

【詳解】依題意力、M、D三點(diǎn)共線，故大或=AAD,

=OA+A(jOB-OA)=^-OB+(l-^)OA,

又。、m、B三點(diǎn)共線，故(5法=瓦

則OM^OC+CM^OC+nCB^OC+n{OB-OC)

=(^-n)OC+uOB=^LOA+u6B,

所以

所以0河=高0_5+^。4,又(W=；rQ4+yOB,所以《:

24\y=2

所以有序數(shù)對(duì)(ny)=

41.在AABC中，已知助=2DC，無(wú)=/,BE與AD交于點(diǎn)O.若歷=xCB+yCA(x,yEA),則2

+y=-

【答案】言

5

17

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的幾何表示可得己5=3xCD+yCA,CO=xCB+2yCE，然后利用共線向量的

推論即得.

【詳解】因?yàn)榫?=2皮，