2025屆高考數(shù)學復習：函數(shù)模型及其應用（附答案）

2025屆高考數(shù)學復習：優(yōu)質(zhì)好題專題（函數(shù)模型及其應用）練習

一、單選題

1.（2024高三上?廣東深圳?期末）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該

產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)x萬件該產(chǎn)品，需另投入成本0（x）萬元.其中

x2+10x,0<x<40

0（x）=（10000，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價為70元，則該企業(yè)每

71x+----------945,x>40

、x

年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

2.（2024?浙江?二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120。的等腰梯形

（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面

積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數(shù)

據(jù)：6*1.732）

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

3.（2024高三下?北京?開學考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少

50%,若要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

4.（2024?全國）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)

取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解

決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌道運行.4點是平衡點，

位于地月連線的延長線上.設地球質(zhì)量為AG,月球質(zhì)量為AG,地月距離為R4點到月球的距離為廠，根

據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，廠滿足方程：蒼J+牛=（火+0條.

（A+r）rR

設a==,由于。的值很小，因此在近似計算中：、:“33,貝”的近似值為

R（1+ay

1

5.（2024?全國）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單的配貨，由

于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500

份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，

為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

6.（2024?河南鄭州?模擬預測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護對象的水霧噴頭數(shù)量應根據(jù)設計噴霧強度、

保護面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量4（單位：L/min）計算公式為q=K/7市和保護對象的水霧噴

S-W

頭數(shù)量N計算公式為N=——計算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流

q

量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），s為保護對象的保護面積，平為保護對象的設計噴霧強度（單位：

L/min.m2）.水霧噴頭的布置應使水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象，如不能滿足要求時應增加水霧噴頭的

數(shù)量.當水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96,保護對象的保護面積S為14nl2,

保護對象的設計噴霧強度少為20L/min.m,時，保護對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（參考數(shù)據(jù)：后a1.87）

（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

7.（2024?四川成都?三模）英國物理學家和數(shù)學家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果

物體的初始溫度是4,環(huán)境溫度是E，則經(jīng)過fmin物體的溫度。將滿足其中人是一個

隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有9（TC的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過lOmin物體

的溫度為5（TC,則若使物體的溫度為2（FC,需要冷卻（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

8.（2024?福建福州?模擬預測）為落實黨的二十大提出的“加快建設農(nóng)業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村振興”的目標,

銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務.根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例P關于貸款人的年收入x（單位：

-0.9680+Ax

,

萬元）的Logistic,模型：尸（》）=［上一。.968。+底已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.

若銀行希望實際還款比例為40%,則貸款人的年收入為（）（精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：ln3“1.0986,

2

In2?0.6931）

A.4.65萬元B.5.63萬元C.6.40萬元D.10.00萬元

9.（2024?江蘇南通?模擬預測）為了貫徹落實《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》，某

造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良

工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/n?,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為

3

2.21g/m,第"次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量rn滿足函數(shù)模型

〃eN*）,其中“為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，〃為首次改

良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，”為改良工藝的次數(shù)，假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過

0.25g/n?時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要（）（參考

數(shù)據(jù)：lg2?0.30,lg3?0.48）

A.14次B.15次C.16次D.17次

10.（2024?江西?二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強機體免疫力.草

莓味甘、性涼，有潤肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛.根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依

次分為4個等級，其等級無（尤=1,2,3,4）與其對應等級的市場銷售單價y（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關

系式＞若花同樣的錢買到的1級草莓比4級草莓多1倍，且1級草莓的市場銷售單價為24元/千克，貝”

級草莓的市場銷售單價最接近（）（參考數(shù)據(jù)：殍1.26,退“1.59）

A.30.24元/千克B.33.84元/千克C.38.16元/千克D.42.64元/千克

11.（2024?重慶?模擬預測）中華人民共和國國家標準《居室空氣中甲醛的衛(wèi)生標準》規(guī)定：居室空氣中甲

醛的最高容許濃度為：一類建筑0.08mg/n?,二類建筑O.lmg/n?.二類建筑室內(nèi)甲醛濃度小于等于

O.lmg/n?為安全范圍，已知某學校教學樓（二類建筑）施工過程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風環(huán)境

下時，竣工2周后室內(nèi)甲醛濃度為2.25mg/n?,4周后室內(nèi)甲醛濃度為0.36mg/m3,且室內(nèi)甲醛濃度P⑺（單

位：mg/n?）與竣工后保持良好通風的時間（單位：周）近似滿足函數(shù)關系式夕⑺=e"+J則該

教學樓竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，至少需要放置的時間為（）

A.5周B.6周C.7周D.8周

12.（2024?山西朔州?模擬預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數(shù)的關系，某開發(fā)商收集了一棟住宅

樓在建筑過程中，建筑費用的相關信息，將總樓層數(shù)x與每平米平均建筑成本了（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理

成如圖所示的散點圖：

3

每平米平均建筑成本/萬元

20-

15-

10-.

5-?

??

010203040樓層數(shù)/層

則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用了和樓層數(shù)X的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bex

b2

C.y=a+—D.y=a+bx

x

13.（2024?全國）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小

數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)上和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)%滿足￡=5+lgP.已知某同學視力的五

分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（狗al.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

14.（2024高二?全國?課后作業(yè)）某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為Li=5.06x

—0.151和L2=2X,其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤

為

A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51

15.（2024高三上?北京東城?開學考試）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微

生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內(nèi)空氣中二氧化

碳最高容許濃度為0.15%.經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有0.25%的二氧化碳，若開窗通風后教室內(nèi)二氧化

碳的濃度為了%,且y隨時間f（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)＞=0.05+加*（XeR）描述，則該教室

內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間/（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（）

（參考數(shù)據(jù)ln2?0.693,In3e1.098）

A.5B.7C.9D.10

16.（2024?四川）某食品的保鮮時間了（單位:小時）與儲藏溫度x（單位:。C）滿足函數(shù)關系昨eS（e=2.718…

為自然對數(shù)的底數(shù)，左涉為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22。（2的保鮮時間是48小時，

則該食品在33。（2的保鮮時間是

A.16小時B.20小時C.24小時D.21小時

17.（2024?四川成都?模擬預測）某程序研發(fā)員開發(fā)的小程序在發(fā)布時已有1000名初始用戶，經(jīng)過/天后，

4

用戶人數(shù)P。）。加小，其中左和%均為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有4000名用戶，則用戶超過2

萬名至少經(jīng)過的天數(shù)為（）（天數(shù)按整數(shù)算，取lg2=0.30）.

A.20B.21C.22D.23

18.（2024?海南省直轄縣級單位?模擬預測）英光定量尸CR是一種通過化學物質(zhì)的英光信號，對在PCR擴增

進程中成指數(shù)級增加的靶標ON4進行實時監(jiān)測的方法.在尸CR擴增的指數(shù)時期,熒光信號強度達到閥值時，

DN4的數(shù)量X與擴增次數(shù)“滿足lgX,="lg（l+p）+lgX。，其中X。為。N4的初始數(shù)量，〃為擴增效率.已知

某被測標本/W擴增6次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，則擴增效率P約為（）（參考數(shù)據(jù)：

10^?2.154,10^?1.778）

A.56.2%B.77.8%C.115.4%D.118.4%

19.（2024?湖南）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為P,第二年的增長率為9,則該市這兩

年生產(chǎn)總值的年平均增長率為

Ap+q口5+D（q+i）-i

22

C.屈D.7（/7+1）（^+1）-1

20.（2024高一上?青海西寧?期末）為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件

加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文一密文（加

密）,接收方由密文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為y=履',如“4”通過加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“工”,

256

則解密后得到的明文是（）

A.-B.—C.2D.一

248

21.（2024高一上?全國?課后作業(yè)）在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù).現(xiàn)準備

用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（）

X1.953.003.945.106.12

y0.971.591.982.352.61

22.（2024高一?全國?課后作業(yè)）四人賽跑，假設其跑過的路程和時間的函數(shù)關系分別是＜=力卜）=4》,

f3(x)=log3x,A（x）=2\如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人對應的函數(shù)關系是（）

5

X

A.<(x)=fB.f2(x)=4xC.f}(x)=log3xD.f4(x)=2

二、多選題

23.（2024?遼寧大連?三模）甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型:

其中正實數(shù)X。』分別為甲、乙兩方初始實力，，為比賽時間;

（。分別為甲、乙兩方f時刻的實力；正實數(shù)6分別為甲對乙、乙對甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當甲、乙兩

方任何一方實力為0時比賽結束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時長為T.則下列結論正確的是（）

A.若工＞毛且a=6,貝

B.若Xo＞玉且貝”7=;NF~y-

c.若加＞2,則甲比賽勝利

Yoa

D.若冬＞、P，則甲比賽勝利

YoVa

24.（2024高一上?山東德州?階段練習）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關系的圖象,

假設其函數(shù)關系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說法，其中正確的說法有（）

A.野生水葫蘆的面積每月增長量相等

B.野生水葫蘆從9m②蔓延到36mz歷時超過1個月

C.設野生水葫蘆蔓延到9m°,20m2,40m?所需的時間分別為％,%，則有。+與＜2%

D.野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均

速度

6

25.（2024高一上?山東德州?期末）牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度

是4（單位：℃）,環(huán)境溫度是4（單位：℃）,其中%＞，、則經(jīng)過f分鐘后物體的溫度。將滿足

d+（%-4）9”（左eR且后＞0）.現(xiàn)有一杯100℃的熱紅茶置于10℃的房間里，根據(jù)這一模型研究

紅茶冷卻情況，下列結論正確的是（）（參考數(shù)值卜220.7,1113。1.1）

A.若〃3）=40℃,則〃6）=20℃

B.若左=$，則紅茶下降到55℃所需時間大約為6分鐘

C.5分鐘后物體的溫度是4（TC,左約為0.22

D.紅茶溫度從80（下降到60℃所需的時間比從60℃下降到40℃所需的時間多

26.（2024?廣東?模擬預測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀

態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測

得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間/（單位：分）之間滿足函

數(shù)關系＞=/（/）,其中興=尺（尺為常數(shù)）.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可以安全進入車

JV7

庫了，則下列說法正確的是（）

A-；

A-R=e4

B.公皿

4

C.排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫

D.排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫

27.（2024?全國）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級4=20x1g二，

Po

其中常數(shù)A（4＞0）是聽覺下限閾值，。是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050060

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為則（）.

7

A.px>p2B.夕2>1023

C.夕3=100夕oD.PiV100夕2

三、填空題

28.（2024高三?全國?專題練習）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量/（x）（毫克/毫升）隨時間x（小時）

5'-20＜x＜l

變化的規(guī)律近似滿足表達式/（》）=3flY《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規(guī)定：駕

—-—X＞1

15⑴

駛員血液中酒精含量不得超過0.02毫克/毫升此駕駛員至少要過小時后才能開車.（精確到1小時）

29.（2024?浙江）我國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值

錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為x,

x+j^+z=100,

歹，z,則＜1當z=81時，x=，y=.

5x+3y+§z=100,

30.（2024?北京朝陽?一模）某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習，假設雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時間的變化

_A%sinh^Va^?j

無⑺=Xocosh

遵循蘭徹斯特模型:其中正實數(shù)X。，%分別為紅、藍兩方初始

y[t^=Yocosh

兵力，，為戰(zhàn)斗時間；無?）,分別為紅、藍兩方，時刻的兵力;正實數(shù)。，6分別為紅方對藍方、藍方對

紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；coshx=W;和51曲8=4二分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定當紅、藍

兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習結束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為T.給出下列四個

結論：

①若冗＞七且°=人則X（/）＞M0（OV/WT）；

②若4＞為且則T='ln

a

③若乎＞2,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利；

Yoa

④若冬則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利.

YQVa

其中所有正確結論的序號是

31.（2024高二上?廣東深圳?期末）我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條

8

長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段

分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過〃次這樣的操作后，去掉的

所有線段的長度總和大于9色9，則〃的最小值為.（參考數(shù)據(jù)：lg2合0.301,1g3go.477）

------------------第1次操作

————第2次操作

------------------第3次操作

????????????

32.（2024高三上?湖南常德?階段練習）研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素/秒后，在距釋放處x米的地方測得

的信息素濃度y滿足lny=-；lnL：f+a,其中左為非零常數(shù)；已知釋放i秒后，在距釋放處2米的地

方測得信息素濃度為加，則釋放信息素4秒后，距釋放處的米的位置，信息素濃度為5.

33.（2024高三下?江蘇南京?開學考試）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面

軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探

測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌

道運行.4點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為地月距離為凡J

點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程：花”'+牛=（尺+〃）暮.設。，

由于a的值很小，因此在近似計算中,“3a3,則r的近似值為_______.

（1+a）

34.（2024?北京）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格

依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果

的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.

①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為.

35.（2024高三上?福建龍巖?階段練習）“喊泉”是一種地下水的毛細現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音

時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高.

已知聽到的聲強/與標準聲強4（4約為10*,單位：w/n?）之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作￡

（單位：貝爾），即2=lg：.取貝爾的/。倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音強度了

（單位：分貝）與噴出的泉水最高高度X（單位：米）之間滿足關系式y(tǒng)=x+10,若甲游客大喝一聲的聲

強大約相當于100個乙游客同時大喝一聲的聲強，則甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差

為.

9

36.（2024高三下?北京海淀?階段練習）科學家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”，

即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體.然后，黑體根據(jù)其本身特性再向周邊輻射電磁波，

科學研究發(fā)現(xiàn)單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率3與該黑體的絕對溫度T的4次方成正比，即

B=oT\b為玻爾茲曼常數(shù).而我們在做實驗數(shù)據(jù)處理的過程中，往往不用基礎變量作為橫縱坐標，以本

實驗結果為例，B為縱坐標，以廠為橫坐標，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續(xù)研究該實

驗，若實驗結果的曲線如圖所示，試寫出其可能的橫縱坐標的變量形式.

37.（2024高三下?河南平頂山?階段練習）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術，明德小學在課后延時服務

中聘請了民間藝術傳人給同學們教授折紙.課堂上，老師給每位同學發(fā)了一張長為12cm,寬為10cm的矩

形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1：3的兩部分，則折痕長

度的取值范圍是cm.

四、解答題

38.（2024高三?全國?對口高考）如圖是下水道的一種橫截面，上部為半圓，下部為矩形，若矩形下底邊長

為2x,此橫截面面積為乃周長為/（常量），求：

（與x之間的函數(shù)表達式V=及其定義域；

⑵/（x）的最大值.

39.（2024?江蘇）如圖，建立平面直角坐標系xoy,尤軸在地平面上，了軸垂直于地平面，單位長度為1千

米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程＞=履-（（1+左2）/（左＞0）表示的曲線上，其中左與

發(fā)射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.

10

（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標。不超過多少時,

炮彈可以擊中它？請說明理由.

40.（2024高三上?江西贛州?階段練習）為進一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風景區(qū)以“綠

水青山”為主題，特別制作了旅游紀念章，并決定近期投放市場.根據(jù)市場調(diào)研情況，預計每枚紀念章的市場

價V（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表.

上市時間X/天2632

市場價V/元1486073

⑴根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①y=@+6（。30）,②y=0gz,x（a*0,6>0/X1）,③y=or+2（a>0,b>0）中選取一

xx

個恰當?shù)暮瘮?shù)描述每枚紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系（無需說明理由），并求出該函數(shù)的解析

式；

（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀念章市場價最低時的上市天數(shù)及每枚紀念章的最低市場價.

41.（2024?湖北）圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），

其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2nl的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費

用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設利用的舊墻的長度為x（單位：元）.設修建此矩形場地圍墻的總

費用為y

（1）將y表示為x的函數(shù);

（II）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.

42.（2024高三上?黑龍江哈爾濱?開學考試）今年第5號臺風“杜蘇芮”顯得格外兇悍。自福建南部沿海登陸

以來，“杜蘇芮”一路北上，國內(nèi)不少城市因此遭遇了百年一遇的極端強降水天氣，并伴隨著洪澇、塌方、泥

石流等次生災害，其中對黑龍江哈爾濱等地影響尤為巨大，此次強降雨時段，不僅帶來了嚴重的城市內(nèi)澇，

11

部分公路、橋梁發(fā)生不同程度水毀。哈爾濱五常市某農(nóng)場已發(fā)現(xiàn)有400m2的農(nóng)田遭遇洪澇，每平方米農(nóng)田受

災造成直接損失400元,且滲水面積將以每天10m2的速度擴散.災情發(fā)生后,某公司立即組織人力進行救援，

每位救援人員每天可搶修農(nóng)田5m2,勞務費為每人每天400元，公司還為每位救援人員提供240元物資補貼.

若安排x名人員參與搶修，需要f天完成搶修工作，滲水造成總損失為V元（總損失=因滲水造成的直接損失

+各項支出費用）.

（1）寫出了關于尤的函數(shù)解析式；

（2）應安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小，并求出總損失.

43.（2024?廣東）某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方

米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x（xN10）層，則每平方米的平均建筑費用為560+48X（單位：元）.為了使

樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？

（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用黑器）

44.（024高三?黑龍江）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特

色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量少（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：

5（X2+3）,0<X<2

W{x}=<5Ox_/=,肥料成本投入為lOx元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已

---,2<xW5

、l+x

知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為/（》）（單位：元）

（1）寫單株利潤“X）（元）關于施用肥料尤（千克）的關系式；

（2）當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？

45.（2024高一上?四川成都?期中）科研小組研制鈦合金產(chǎn)品時添加了一種新材料，該產(chǎn)品的性能指標值y

是這種新材料的含量x（單位：克）的函數(shù).研究過程中的部分數(shù)據(jù)如下表：

X（單位：克）02610

j_

y-488

9

已知當X27時，T=W,其中用為常數(shù).當0Wx<7時，了和x的關系為以下三種函數(shù)模型中的一個:

①^=辦2+反+。；②y=h優(yōu)（a>0且；③>=（a〉0且4W1）；其中左，〃也C均為常數(shù).

⑴選擇一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述之間的關系，并求出其解析式；

（2）求該新材料的含量X為多少克時，產(chǎn)品的性能達到最大.

12

參考答案

一、單選題

1.（2024高三上?廣東深圳?期末）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該

產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)x萬件該產(chǎn)品，需另投入成本0（x）萬元淇中

x2+10x,0<x<40

。（”=10000，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價為70元，則該企業(yè)每

71x+----------945,x>40

年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.8乃萬元D.900萬元

【答案】C

【詳細分析】先求得該企業(yè)每年利潤的解析式，再利用分段函數(shù)求最值的方法即可求得該企業(yè)每年利潤的

最大值.

70x-（x2+10x+25）,0<x<40

【過程詳解】該企業(yè)每年利潤為/（》）=（10000、

70x-71x+----------945+25,x>40

當0vx440時，/(x)=-x2+60x-25=-(x-30)2+875

在x=30時，/（x）取得最大值875；

當x>4。時，小）=92。-"，卜92。-產(chǎn)=720

（當且僅當x=100時等號成立），即在x=100時，/（x）取得最大值720；

由875>720,可得該企業(yè)每年利潤的最大值為875.

故選：C

2.（2024?浙江?二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120。的等腰梯形

（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面

積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數(shù)

1

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

【答案】B

【詳細分析】如圖設橫截面為等腰梯形MCD,BELCD于E,求出資金3萬元都用完時,48+BC+N。,

設3C=x,再根據(jù)梯形的面積公式結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【過程詳解】如圖設橫截面為等腰梯形48cD,BELCD于,E,/BAD=/ABC=120。,

要使水橫斷面面積最大，則此時資金3萬元都用完，

貝IJ100x（48+8。+皿xl00=30000,解得48+30+3=3米，

設J3C=x,則N8=3-2X,BE=#X,CE=9X,故C?=3—X,且0<X<|,

梯形ABCD的面積3=（3-2X+37）X[X=嗎,

當x=l時，s111ax=亞，

4

此時BE=迫a0.87,

2

即當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為0.87米.

故選：B.

3.（2024高三下?北京?開學考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少

50%,若要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2z0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

【答案】D

【詳細分析】設出未知數(shù)，列出不等式，結合指數(shù)和對數(shù)運算法則計算出答案.

【過程詳解】設經(jīng)過〃（〃eN）次過濾后，水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，

則（1-50%）”<5%,即m

2

不等式兩邊取常用對數(shù)得：?lg2>lg2+l,解得：”>畢?土4.3,

1g2

故至少需要過濾5次.

故選：D

4.(2024?全國)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)

取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解

決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌道運行.4點是平衡點，

位于地月連線的延長線上.設地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為地月距離為上4點到月球的距離為r,根

MMM

據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，〃滿足方程：證午+?=氏+玲蕾.

設a=2,由于夕的值很小，因此在近似計算中以n3〃,則廠的近似值為

R(1+?)

【答案】D

【詳細分析】本題在正確理解題意的基礎上，將有關式子代入給定公式，建立］的方程，解方程、近似計

算.題目所處位置應是“解答題”，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀理解、數(shù)學式子的變

形及運算求解能力的考查.

【過程詳解】由得—aR

R

因為證了+產(chǎn)

所以『+*=(1+

火(1+a)aR

即誓=-2[(I+①一=05：3優(yōu);至X34,

Mx(1+a)(1+a)

解得a4猴

所以…J贏艮

【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復雜式

3

子的變形出錯.

5.（2024?全國）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單的配貨，由

于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500

份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，

為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

【答案】B

【詳細分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.

【過程詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為500+1600-1200=900,

等=18,故至少需要志愿者18名.

故選：B

【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應用，屬于基礎題.

6.（2024?河南鄭州?模擬預測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護對象的水霧噴頭數(shù)量應根據(jù)設計噴霧強度、

保護面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計算公式為q=K/瓶和保護對象的水霧噴

S-W

頭數(shù)量N計算公式為N=——計算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流

q

量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），s為保護對象的保護面積，沙為保護對象的設計噴霧強度（單位：

L/min.m2）.水霧噴頭的布置應使水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象，如不能滿足要求時應增加水霧噴頭的

數(shù)量.當水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96,保護對象的保護面積S為Mm?,

保護對象的設計噴霧強度少為20L/min-m2時，保護對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（參考數(shù)據(jù)：百不a1.87）

()

A.4個B.5個C.6個D.7個

【答案】C

【詳細分析】把給定的數(shù)據(jù)代入公式計算即可作答.

【過程詳解】依題意，P=0.35MPa,K-24.96,S=14m2,W=20L/min-m2,

S-W14x20280

由夕=長＞/］而,N=2絲，得"=~6,

qKs/lOP~24.96x67~24.96x1.87

所以保護對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為6個.

故選：C

4

7.（2024?四川成都?三模）英國物理學家和數(shù)學家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果

物體的初始溫度是4,環(huán)境溫度是〃，則經(jīng)過fmin物體的溫度。將滿足。=%+（4-4）/,，其中人是一個

隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有9（TC的物體，若放在10。＜2的空氣中冷卻，經(jīng)過lOmin物體

的溫度為5（rc,則若使物體的溫度為2（rc,需要冷卻（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

【答案】C

【詳細分析】首先根據(jù)。=4+（4-q）e”及物體經(jīng)過lOmin物體的溫度為50℃得出左的值，再求出。=20時

f的值即可.

【過程詳解】由題意得用=90,4=10,。=50,”10代入，

50=10+（90-IO）-】映，即

所以后=\ln2,

所以8=%+（4_4）//2，

由題意得4=90,4=10,。=20代入，

ri，1C—in21

即20=10+（90_10）晨而"~，侍e=-,

即一工In2=ln、=-31n2,解得f=30,

108

即若使物體的溫度為20（,需要冷卻30min,

故選：C.

8.（2024?福建福州?模擬預測）為落實黨的二十大提出的“加快建設農(nóng)業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村振興”的目標,

銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務.根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例P關于貸款人的年收入x（單位：

—0.9680+Ax

萬元）的Logistic,模型：P（x）=09680+A，已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.

若銀行希望實際還款比例為40%,則貸款人的年收入為（）（精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：ln3?1.0986,

In2?0.6931）

A.4.65萬元B.5.63萬元C.6.40萬元D.10.00萬元

【答案】A

【詳細分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計算函數(shù)P（'）中參數(shù)左的值，然后計算尸（%）=40%時％的值即可.

5

-0.9680+8左i

【過程詳解】由題意尸(8)=M皿=5。％三

「。.968。+8*=1即_0.9680+8左=0,得左=0.121,所以

e-0.9680+0.121x

尸(乃=

]+?-0.9680+0.⑵x

6-0.9680+0.121%

令尸(x)==40%=-

?^-0.9680+0.12l.v5

得5e-69680+0.⑵X-09680+0121x

_2(]+e-

得e-0.9680+0.121X2

3

2

得-0.9680+0.125=嗎

In2-In3+0.9680

得工二---------------?4.65

0.121

故選：A.

9.(2024?江蘇南通?模擬預測)為了貫徹落實《中共中央國務院關于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》，某

造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良

工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/n?,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)