2025屆高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：阿基米德三角形【六大題型】含答案

2025屆高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)阿基米德三角形

【六大題型】

阿基來德三角形【大我兼逐】

（題型歸納）

【題型1弦長與弦所在方程問題】...................................................................1

【題型2定點(diǎn)問題】................................................................................4

【題型3切線垂直問題】...........................................................................9

【題型4切線交點(diǎn)及其軌跡問題】..................................................................13

【題型5面積問題】...............................................................................18

【題型6最值問題】...............................................................................21

（命題規(guī)律

1、阿基米德三角形

阿基米德三角形是圓錐曲線的重要內(nèi)容，圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，阿基

米德三角形的考查頻率變高，在各類題型中都有可能考查，復(fù)習(xí)時要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練，靈活求解.

-----------------------------------------------------O［方法與技巧總結(jié)］O

【知識點(diǎn)1阿基米德三角形】

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.

性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊力B上的中線平行于拋物線的軸.

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線,該直線

與以。點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行.

性質(zhì)3若直線Z與拋物線沒有公共點(diǎn)，以Z上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊AB過定點(diǎn)（若直線I

方程為：岫+如+。=0,則定點(diǎn)的坐標(biāo)為-絢.

\aa）

性質(zhì)4底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為黑.

8P

性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊AB過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小，

最小值為fA

Q［舉一反三）o

【題型1弦長與弦所在方程問題】

1.（23-24高二下?河南開封?期末）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)

學(xué)家、天文學(xué)家,不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大,還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線上任意兩點(diǎn)48處的

切線交于點(diǎn)P,稱為“阿基米德三角形”,當(dāng)線段經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)尸時，口具有以下特征：

⑴P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；⑵為直角三角形，且尸氏⑶PFLAB.已知過拋物線靖=

169焦點(diǎn)的直線I與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)尸，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,則直線

的方程為（）

A.x+2y—8=0B.x—2y+8=0C.a?—4y+16=0D.必+40一16=0

2.（2024?陜西西安?二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天

文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大,還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線上任意兩點(diǎn)4B處的切線交

于點(diǎn)P,稱三角形E48為“阿基米德三角形”.已知拋物線。：靖=89的焦點(diǎn)為F,過4B兩點(diǎn)的直線

的方程為遮力-3y+6=0,關(guān)于“阿基米德三角形”下列結(jié)論不正確的是（）

A.\AB\=^-B.PA±PB

o

C.PF±ABD.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（聲,—2）

3.（23-24高二上?重慶?期末）阿基米德（公元前287年~公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家

和天文學(xué)家，并享有''數(shù)學(xué)之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理.在該定

理中，拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”.若拋物線上任意

兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)尸，則△PAB為“阿基米德三角形”，且當(dāng)線段經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)尸時，

具有以下特征：（1）P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（3）0斤，48.若經(jīng)過拋物線爐=

8T的焦點(diǎn)的一條弦為“阿基米德三角形”為△&LB,且點(diǎn)P在直線x-y+6=Q±.,則直線AB的方

程為（）

A.x—y—2=0B.x—2y—2=0C.x+y—2=0D.x+2y—2=0

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）人8為拋物線d=2加（「＞0）的弦，蟲如仇），紡）分別過AB作的拋物

線的切線交于點(diǎn)M（xo.yo），稱4AMB為阿基米德三角形,弦AB為阿基米德三角形的底邊.若弦AB過

焦點(diǎn)尸，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.Xi+x2=2x0B.底邊AB的直線方程為gc—p（u+“o）=0；

C.是直角三角形；D.面積的最小值為2P2.

0

【題型2定點(diǎn)問題】

5.（23-24高二下?安徽?開學(xué)考試）拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德

三角形”.對于拋物線C：y=a"給出如下三個條件:①焦點(diǎn)為網(wǎng)0《）；②準(zhǔn)線為夕=—/；③與直線

2y-l=0相交所得弦長為2.

（1）從以上三個條件中選擇一個,求拋物線C的方程；

（2）已知是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點(diǎn)Q是拋物線。在弦兩端點(diǎn)處的兩條切線的

交點(diǎn)，若點(diǎn)Q恰在此拋物線的準(zhǔn)線上，試判斷直線是否過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo);如果不是，

請說明理由.

6.（2024.湖南.三模）已知拋物線E:y2=2Px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過F且斜率為2的直線與E交于A,B兩

點(diǎn)，|AB|=10.

（1）求E的方程；

（2）直線Z:c=—4,過/上一點(diǎn)P作E的兩條切線尸尸M切點(diǎn)分別為求證:直線MN過定點(diǎn)，并

求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

7.（2024.甘肅蘭州.一模）已知圓。過點(diǎn)P（4,l）,M（2,3）和N（2,—1）,且圓。與4軸交于點(diǎn)F,點(diǎn)、F是拋物

線E：X2=2py（p>0）的焦點(diǎn).

（1）求圓。和拋物線E的方程；

（2）過點(diǎn)P作直線Z與拋物線交于不同的兩點(diǎn)4,8,過點(diǎn)4,8分別作拋物線E的切線，兩條切線交于點(diǎn)

Q,試判斷直線QM與圓。的另一個交點(diǎn)。是否為定點(diǎn)，如果是，求出。點(diǎn)的坐標(biāo);如果不是，說明理由.

8.（2024?遼寧?三模）設(shè)拋物線C的方程為必=4/，/為直線l-.x=-m（m>0）上任意一點(diǎn)；過點(diǎn)河作拋物

線。的兩條切線MA,MB,切點(diǎn)分別為8（4點(diǎn)在第一象限）.

⑴當(dāng)M的坐標(biāo)為（―吟）時，求過河，人，B三點(diǎn)的圓的方程；

（2）求證:直線恒過定點(diǎn)；

（3）當(dāng)m變化時,試探究直線I上是否存在點(diǎn)M，使ZWAB為直角三角形,若存在，有幾個這樣的點(diǎn)，說

明理由;若不存在，也請說明理由.

【題型3切線垂直問題】

9.（23-24高二上?安徽蚌埠?期末）已知拋物線C的方程為爐=44,過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)分

別為48.

（1）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,-1），求切線PA,PB的方程；

（2）若點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),求證:切線P4和PB互相垂直.

10.（23—24高二上?河南駐馬店?期末）已知P是拋物線。:婿=4x的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的

兩條切線切點(diǎn)分別為

（1）若點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0,求此時拋物線C的切線方程；

（2）設(shè)直線PA,PB的斜率分別為甌M，求證：自?自為定值.

11.（23-24高二上?安徽蚌埠?期末）已知拋物線C的方程為"=甸,點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),

過點(diǎn)P作拋物線。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A8,點(diǎn)河是的中點(diǎn).

（1）求證:切線上4和P8互相垂直；

（2）求證:直線PM馬y軸平行；

（3）求△出口面積的最小值.

12.（23-24高三下?江西景德鎮(zhèn)?階段練習(xí)）已知橢圓C1：4+4=1，拋物線5與橢圓C］有相同的焦點(diǎn)，

拋物線G的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線G的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線G的兩條切線PA.PB,

其中人、口為切點(diǎn),設(shè)直線PA,PB的斜率分別為自，防

⑴求拋物線&的方程及自履的值;

⑵若直線AB交橢圓G于。兩點(diǎn)，&、$2分別是△B4B、AFCD的面積，求黑的最小值.

【題型4切線交點(diǎn)及其軌跡問題】

13.(2024.遼寧沈陽.模擬預(yù)測)已知拋物線后：/=29，過點(diǎn)T(U)的直線與拋物線E交于人，B兩點(diǎn)，設(shè)拋

物線E在點(diǎn)4口處的切線分別為h和①已知。與刀軸交于點(diǎn)M，，2與立軸交于點(diǎn)N,設(shè)。與12的交點(diǎn)

為P.

(1)證明：點(diǎn)P在定直線上；

(2)若△PMN面積為掾，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

(3)若P,河，N,T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

14.(24—25高三上?云南?階段練習(xí))已知點(diǎn)P(g,%)是拋物線娟=2pt(p>0)上任意一點(diǎn),則在點(diǎn)P處的切

線方程為“oU=p(x+g).若A,B是拋物線Co：y2=a1c(a>0)上的兩個動點(diǎn)，且使得在點(diǎn)A與點(diǎn)B處

的兩條切線相互垂直.

(1)當(dāng)a=6時,設(shè)這兩條切線交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的軌跡方程；

(2)(i)求證：由點(diǎn)A,B及拋物線&的頂點(diǎn)所成三角形的重心的軌跡為一拋物線G；

(ii)對a再重復(fù)上述過程,又得一拋物線6，以此類推,設(shè)得到的拋物線序列為G，G，a，…，a，試

求Gz的方程.

°

15.(2024.廣西.二模)已知拋物線。:d=4,過點(diǎn)E(0,2)作直線交拋物線。于4,8兩點(diǎn)，過4,3兩點(diǎn)分別

作拋物線C的切線交于點(diǎn)P.

(1)證明：P在定直線上；

(2)若斤為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：=

16.(2024.上海.三模)已知拋物線「靖=2"的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)7(1,1)的直線，與「交于A、B兩點(diǎn).設(shè)「在

點(diǎn)入、8處的切線分別為。，如。與多軸交于點(diǎn)M，。與多軸交于點(diǎn)N,設(shè)。與。的交點(diǎn)為P.

(1)設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a,求切線h的斜率，并證明FM工

(2)證明：點(diǎn)P必在直線y=c—1上；

⑶若P、M、N、T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

...........日

【題型5面積問題】

17.（23-24高三上?河南濮陽?階段練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)處的兩條切線所圍成

的三角形△JR4B（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角

形”，當(dāng)線段經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)R時，具有以下性質(zhì)：

①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；

②24,尸B；

③

已知直線l：y=fc（s-l）與拋物線婿=4必交于人，口點(diǎn)，若M3=8,則拋物線的“阿基米德三角形”

的面積為（）

A.8V2B.4V2C.2V2D.V2

18.（2024.山西.模擬預(yù)測）圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過

拋物線焦點(diǎn)F作拋物線的弦，與拋物線交于4,8兩點(diǎn)，分別過兩點(diǎn)作拋物線的切線小力相交于

點(diǎn)尸，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性:①點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上;②/XPAB為直角三角形，

且/為直角；③PRLAB,已知P為拋物線92=*的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則阿基米德三角形R48面積的

最小值為（）

A.4-B.4-C.2D.1

24

19.（2024?河北秦皇島?二模）已知拋物線石：d=2y的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是*軸下方的一點(diǎn),過點(diǎn)P作E的兩條

切線"心，且，14分別交工軸于M,N兩點(diǎn).

（1）求證：F,P,M,N四點(diǎn)共圓；

（2）過點(diǎn)F作V軸的垂線Z,兩直線分別交Z于4口兩點(diǎn)，求△上4B的面積的最小值.

20.（2024.河南.模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知4=（4,y）,6=（力,—g）,且4?日=0.

（1）求點(diǎn)河⑶9）的軌跡「的方程；

（2）由圓22+g2=R2上任一點(diǎn)N?,yo）處的切線方程為XQX+yQy=1,類比其推導(dǎo)思想可得拋物線C:

y1=2px（p>0）上任一點(diǎn)N（g,%）處的切線方程為譏。=0（/（）+力）.現(xiàn)過直線化=一3上一點(diǎn)P（不在力軸

Q

上）作r的兩條切線，切點(diǎn)分別為QR若分別與立軸交于Q,R1，求詈％的取值范圍.

b"QR

【題型6最值問題】

21.（23-24高三?云南昆明?階段練習(xí)）過拋物線靖=2pc（p>0）的焦點(diǎn)尸作拋物線的弦，與拋物線交于4

B兩點(diǎn)，分別過人，8兩點(diǎn)作拋物線的切線4，L相交于點(diǎn)又常被稱作阿基米德三角形.

的面積S的最小值為（）

A.￡B.C.p2D.V2p2

22.（23—24高三上.湖南長沙.階段練習(xí)）48為拋物線〃=2pg（p>0）的弦，A（g,%）,3（狽紡）分別過AB

作的拋物線的切線交于點(diǎn)河（&,坊），稱△/MB為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若

弦過焦點(diǎn)F,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Tj+T2=2ic0B.底邊AB的直線方程為ga;—p（y+uo）=0；

C.A4MB是直角三角形；D.△⑷V陽面積的最小值為2P2.

_________畝

23.（2024.云南曲靖.一模）已知斜率為1的直線。交拋物線民〃=2";他>0）于兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)

Q的橫坐標(biāo)為2.

（1）求拋物線E的方程；

（2）設(shè)拋物線E的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)F的直線12與拋物線石交于M、N兩點(diǎn),分別在點(diǎn)M、N處作拋物線E

的切線，兩條切線交于點(diǎn)P，則△PMN的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應(yīng)的

直線的方程;若不存在，請說明理由.

24.（2024.河北.模擬預(yù)測）已知拋物線C:x2=2py（p>0）,過點(diǎn)F（O,2）的直線I與。交于人歸兩點(diǎn)，當(dāng)直線I

與沙軸垂直時，04,08（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求。的準(zhǔn)線方程；

（2）若點(diǎn)A在第一象限，直線I的傾斜角為銳角，過點(diǎn)4作。的切線與y軸交于點(diǎn)T,連接交。于另

一點(diǎn)為。，直線AD與y軸交于點(diǎn)Q,求與△AZZT面積之比的最大值.

...........由

1過關(guān)測試）

一、單選題

1.（2024?吉林白山"二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如

在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計中用于裝飾燈等.在圓傕曲線中，稱圓錐曲線的弦與過

弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線。:媛=8c的焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為

O,斜率為A的直線I過點(diǎn)F且與拋物線。交于M,N兩點(diǎn)，若△PMN為阿基米德三角形，則\OP\=

O

（）

A.VHB.2V3C.V13D.V14

2.（2024?青海西寧?二模）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形.

阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如:若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的斜率之積為

定值.設(shè)拋物線y2=2Pxe>0），弦AB過焦點(diǎn),/\ABQ為阿基米德三角形，則的面積的最小值

為（）

12

A.yB.pC.2pD.4P2

3.（23-24高二"全國?課后作業(yè)）圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米

德三角形,其中拋物線中的阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)

的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px[p>0）,弦過焦點(diǎn)尸，AABQ為阿基米德三角

形，則△人8。為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨著點(diǎn)4,8位置的變化,前三種情況都有可能

4.（2024.河北.三模）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)

展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì).已知拋物

線才=4為過焦點(diǎn)的弦的兩個端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)則下列說法正確的是（）

A.河點(diǎn)必在直線①=—2上，且以48為直徑的圓過M點(diǎn)

B.河點(diǎn)必在直線必=-1上，但以48為直徑的圓不過河點(diǎn)

C.河點(diǎn)必在直線?=—2上，但以48為直徑的圓不過河點(diǎn)

D.河點(diǎn)必在直線必=—1上，且以4B為直徑的圓過河點(diǎn)

5.（23-24高三上?河南濮陽?階段練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)處的兩條切線所圍成

的三角形△ELB（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角

形”，當(dāng)線段經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F時，4PAB具有以下性質(zhì)：

①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；：

②弘,服

...................................由

③尸F(xiàn)LAB.

已知直線l-.y=fc（x-l）與拋物線才=4n交于4口點(diǎn)，若\AB\=8，則拋物線的“阿基米德三角形”

頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）

A.±1B.±2C.±3D.±^-

6.（23-24高三?云南昆明?階段練習(xí)）過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)斤作拋物線的弦與拋物線交于A、B

兩點(diǎn)，河為AB的中點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作拋物線的切線1卜h相交于點(diǎn)P△上又常被稱作阿基米德

三角形.下面關(guān)于的描述：

①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；

②AP_LPB；

③設(shè)A（x1,y1）＞B（x2,y2）,則ARIB的面積S的最小值為%；

?PF±AB；

⑤PAf平行于刀軸.

其中正確的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知拋物線「："=加的焦點(diǎn)為F,直線，與拋物線「在第一象限相切于點(diǎn)

P,并且與直線y=-2和T軸分別相交于A,B兩點(diǎn),直線P9與拋物線r的另一個交點(diǎn)為Q.過點(diǎn)B作

〃/斤交P斤于點(diǎn)。，若|PC|=|QR|,則|P川等于（）

附加結(jié)論:拋物線上兩個不同的點(diǎn)8的坐標(biāo)分別為%）,8（如例），以入，8為切點(diǎn)的切線

相交于點(diǎn)P，我們稱弦為阿基米德的底邊.

定理:點(diǎn)P的坐標(biāo)為（苦包,筍）；

推論:若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn)。（0,m）（巾＞0），則另一頂點(diǎn)P的軌跡方程為

y=-m.

A.V5-1B.2+V5C.3+V5D.5+V5,

8.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）阿基米德（公元前287年?公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家

和天文學(xué)家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理,并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線的弦

.........由

與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，△Q4B為阿基米德三角形.拋

物線〃=2py（p>0）上有兩個不同的點(diǎn)人（如%）,口（狽統(tǒng)），以人，B為切點(diǎn)的拋物線的切線相交

于P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（）

（1）若弦4B過焦點(diǎn)，則△4BP為直角三角形且ZAPB=90°；

（2）點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（三丁,爺

（3）/\PAB的邊AB所在的直線方程為（x1+x2）x—2py—xrx2=0；

（4）ZVMB的邊AB上的中線與沙軸平行（或重合）.

A.⑵⑶⑷B.⑴⑵C.⑴⑵⑶D.⑴⑶⑷

二、多選題

9.（2024.山東.模擬預(yù)測）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已

知拋物線C：x2=8y，阿基米德三角形上,弦AB過。的焦點(diǎn)尸,其中點(diǎn)A在第一象限，則下列說法正

確的是（）

A.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一2B.。的準(zhǔn)線方程為劣=—2

C.若|人m=8,則AB的斜率為V3D.面積的最小值為16

10.（2024?湖南長沙?二模）過拋物線C：d=2py（p>0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線。相交于A,B兩點(diǎn)，以

A，B為切點(diǎn)作拋物線。的兩條切線L，3設(shè)21，L的交點(diǎn)為河，稱為阿基米德三角形.則關(guān)于阿

基米德三角形人上歸,下列說法正確的有（）

A.是直角三角形B.頂點(diǎn)河的軌跡是拋物線。的準(zhǔn)線

C.是的高線D.面積的最小值為功2

11.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德

三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)是拋物線。:d=向上兩個不

同的點(diǎn)，以A（g,%）,B（g,紡）為切點(diǎn)的切線交于P點(diǎn).若弦人口過點(diǎn)F（0,l）,則下列說法正確的有

（）.

A.X1X2=—4：B.若0=2,則A點(diǎn)處的切線方程為①一0一1=0

C.存在點(diǎn)P,使得次?萬>0D.面積的最小值為4

....................0

三、填空題

12.（2024高三.全國.專題練習(xí)）拋物線的弦與過弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.

設(shè)拋物線為=4c,弦AB過焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則的面積的最小值為.

13.（24-25高二上?上海?單元測試）我們把圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)4、口處的兩條切線所圍成的

△a4B（p為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段

48經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)斤時，具有以下性質(zhì)：

①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上;②上4，P8；③PF，4B.

已知直線Z：V=—1）與拋物線才=42交于48兩點(diǎn)，若|人引=8,則拋物線的“阿基米德三角形”

△MB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1,2）（-1,-2）.

14.（23—24高三下.江西.階段練習(xí)）圓錐曲線。的弦AR與過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)P所圍成的

三角形叫做阿基米德三角形，若曲線。的方程為"=4,，弦過。的焦點(diǎn)歹，設(shè)4（電,納），

B（T2,紡），P（g,y°），則有g(shù)=*生，%=學(xué)，對于。的阿基米德三角形給出下列結(jié)論:①點(diǎn)P

在直線y=-1上；②甌4?=1；③心4+八?=0；④|P*2=|必||尸8|，其中所有正確結(jié)論的序號為

四、解

15.（23-24高三上?河北衡水?階段練習(xí)）著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的

面積公式S=a版，（a,b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓

（i）求。的面積；

（2）若直線Z：rr+2夕—3=0交。于A,B兩點(diǎn)，求\AB\.

.............恨

16.（23-24高二下?重氏階段練習(xí)）過拋物線外一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為4我們稱

為拋物線的阿基米德三角形，弦48與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“冏邊形”，且已知

“冏邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二.如圖，點(diǎn)P是圓Q-.x2+（y+5）2=4上的動

點(diǎn)，/XPAB是拋物線r：?2=2py（p>0）的阿基米德三角形，尸是拋物線「的焦點(diǎn)，且=6.

⑴求拋物線「的方程；

（2）利用題給的結(jié)論,求圖中“冏邊形”面積的取值范圍；

（3）設(shè)D是“圓邊形”的拋物線弧卷上的任意一動點(diǎn)（異于A,B兩點(diǎn)），過。作拋物線的切線I交阿基米

德三角形的兩切線邊PA,產(chǎn)B于M,N,證明：\AM\'\BN\=\PM\■|F2V|.

...................0

17.（23-24高三上?重慶九龍坡?階段練習(xí)）阿基米德（公元前287年——公元前212年,古希臘）不僅是著

名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率7T等于橢圓的長

半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C："+鳥=l（a>0）的面積等于2兀，且橢

圓。的焦距為2瓜.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)尸（4,0）是x軸上的定點(diǎn)，直線I與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)人、已知A關(guān)于0軸的對稱點(diǎn)為

B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為N,已知P、M、N三點(diǎn)共線,試探究直線I是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐

標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.

18.（23-24高二下?湖北?階段練習(xí)）拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線所圍成的三角形被稱為‘阿基米

德三角形”對于拋物線Cry=2a"給出如下三個條件：

①焦點(diǎn)為尸（0,1）;②準(zhǔn)線為?/=—1;③與直線旬―1=0相交所得弦長為1.

（1）從以上三個條件中選擇一個，求拋物線。的方程；

（2）已知是（1）中拋物線的"阿基米德三角形”，點(diǎn)Q是拋物線。在弦4B兩端點(diǎn)處的兩

條切線的交點(diǎn)，若直線48經(jīng)過點(diǎn)（0,3）,試判斷點(diǎn)Q是否在一條定直線上？如果是，求出定直線方程;如

果不是，請說明理由.

...............................................................H

19.（23-24高二下?上海?階段練習(xí)）過拋物線的一條弦的中點(diǎn)作平行于拋物線對稱軸的平行線（或與對稱

軸重合），交拋物線于一點(diǎn)，稱以該點(diǎn)及弦的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡稱阿氏

三角形）.

現(xiàn)有拋物線M：y=a",直線2：,=60：+0（其中（1,6,。是常數(shù)，且a>0）,直線I交拋物線M于？1,8兩

點(diǎn)，設(shè)弦AB的阿氏三角形是AABC

（1）指出拋物線河的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

⑵求△ABC的面積（用a,b,c表示）；

⑶稱4B的阿氏△4BC為一階的；AC、8c的阿氏△ACD'ABCE為二階的；AD、。。、CE、E8的阿

氏三角形為三階的；……，由此進(jìn)行下去，記所有的k（%eN*）階阿氏三角形的面積之和為SB，探索與

Sk+1之間的關(guān)系，并求；i^（Si+S2H-----

.....”

麴基杲檐縣魯杉【△丈發(fā)型】

（題型歸納）O---------------------------------------------------------

【題型1弦長與弦所在方程問題】...................................................................1

【題型2定點(diǎn)問題】................................................................................4

【題型3切線垂直問題】...........................................................................9

【題型4切線交點(diǎn)及其軌跡問題】..................................................................13

【題型5面積問題】...............................................................................18

【題型6最值問題】...............................................................................21

（命題規(guī)律）O

1、阿基米德三角形

阿基米德三角形是圓錐曲線的重要內(nèi)容，圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，阿基

米德三角形的考查頻率變高，在各類題型中都有可能考查，復(fù)習(xí)時要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練，靈活求解.

Q［方法與技巧總結(jié)］O

【知火點(diǎn)1阿基米德三角形】

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.

性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊力B上的中線平行于拋物線的軸.

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線,該直線

與以。點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行.

性質(zhì)3若直線Z與拋物線沒有公共點(diǎn)，以Z上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊AB過定點(diǎn)（若直線I

方程為：岫+如+。=0,則定點(diǎn)的坐標(biāo)為-絢.

\aa）

性質(zhì)4底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為黑.

8P

性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊AB過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小，

最小值為fA

______S

Q［舉一反三）o

【題型1弦長與弦所在方程問題】

1.（23-24高二下?河南開封?期末）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)

學(xué)家、天文學(xué)家,不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大,還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線上任意兩點(diǎn)/,口處的

切線交于點(diǎn)P稱口為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F時，/XPAB具有以下特征:

⑴9點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；⑵為直角三角形，且MLPB；（3）PF±AB.已知過拋物線d=

164焦點(diǎn)的直線Z與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)P,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,則直線

AB的方程為（）

A.x+2y—8=0B.x—2y+8=0C.T—4y+16=0D.a:+4y—16=0

［解題思路】根據(jù)“阿基米德三角形”的性質(zhì)直接可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得解.

【解答過程】拋物線x2=16V的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,4）,準(zhǔn)線方程為y=—4,

由題意知，APAB為''阿基米德三角形”，可得P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，

所以點(diǎn)P（2,-4），直線PF的斜率為4二（二Q=-4,

又因為所以直線AB的斜率為:，

所以直線4B的方程為9=\~2：+4，即2一49+16=0,

故選：C.

2.（2024?陜西西安?二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天

文學(xué)家,不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線上任意兩點(diǎn)4B處的切線交

于點(diǎn)P,稱三角形上為“阿基米德三角形”.已知拋物線。：d=89的焦點(diǎn)為尸，過人，8兩點(diǎn)的直線

的方程為四田—3y+6=0,關(guān)于“阿基米德三角形"AR4b下列結(jié)論不正確的是（）

A.\AB\=^-B.PA±PB

o

C.PF±ABD.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,一2）

【解題思路】聯(lián)立方程可解得A（-￥"4）,B（4V^6）,則|陽=挈，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得以=—4也=庖可

判斷_B4_LPB,利用點(diǎn)斜式可求得兩條切線方程〃^+33+2=0和孤±一9一6=0,聯(lián)立求「（苗￡,—2）,

再求kpF=",可判斷PF_LAB.

【解答過程】聯(lián)立方程卜”;弛+6=。，消去，得：3靖_20夕+12=0,解得%=,或統(tǒng)=6

I6一（Syo

即A（—竽（）戶（4依6）,則|AB|=含A正確；

工2=劭,即夕=?式=亨

對于人（—學(xué),4）,8（47^6）,切線斜率分別為以=—乎也

kAkB=—l,^PAJ_PB,_B正確；

在點(diǎn)A的切線方程為g—曰=_^^~（/+,即V3x+3g+2=0

同理可得在點(diǎn)B的切線方程為-y-6=0

聯(lián)立方程（2"+”2:0,解得卜=竽，即p（孑，_2）,D不正確；

[V3a;-y-6=02=-2'3/

V/0,2）,貝"kPF=2=一信心=今

3

：.kPFkAB=—l,即PF_LAB,C正確；

故選：D.

3.（23-24高二上?重慶?期末）阿基米德（公元前287年?公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家,數(shù)學(xué)家

和天文學(xué)家,并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理.在該定

理中，拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”.若拋物線上任意

兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P,則口為“阿基米德三角形”，且當(dāng)線段48經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F時，

△MB具有以下特征：（1）P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）取，。8；（3）PF±AB.若經(jīng)過拋物線媛=

8T的焦點(diǎn)的一條弦為48,“阿基米德三角形”為△B4B,且點(diǎn)P在直線力—夕+6=0上,則直線的方

程為（）

A.x—y—2=0B.x—2y—2—0C.x+y—2=QD.x+2y—2=0

【解題思路】首先根據(jù)題意可得到P點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線工=-2上，又在直線c—夕+6=0上，從而可求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；根據(jù)PF±AB,即可求出直線48的斜率，從而可求出直線AB的方程.

【解答過程】根據(jù)題意,可知P點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線①=一2上，又點(diǎn)P在直線c—g+6=0上，

所以P（—2,4），又F（2,0）,所以kPF=^-^=-l,

因為PFJ_AB,所以kAB=1,所以直線AB的方程為9一0=c—2,即劣一9一2=0.

故選：A.

4.（2024高三.全國?專題練習(xí)）AB為拋物線〃=2。貝0>0）的弦，蟲如如，紡）分別過作的拋物

線的切線交于點(diǎn)M（x0,y0）,稱4AMB為阿基米德三角形,弦為阿基米德三角形的底邊.若弦AB過

焦點(diǎn)F,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.Xi+x2=2x0B.底邊AB的直線方程為ga?—p（9+%）=0；

C.是直角三角形；D.面積的最小值為2".

【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得可得人處的切線方程，得出直線AM,■的方程為夕=包工一等和沙

P2P

=—x——，得至I工（為一名2），=圣—§,進(jìn)而可判定A正確；

點(diǎn)M（xo,7/0）在直線AM,BM-h,進(jìn)而得到底邊AB的直線方程，可判定B正確；

設(shè)直線AB-.y=kx+^,聯(lián)立方程組，根據(jù)kMA?k皿B=—1,可判定C正確；

3.

取4B的中點(diǎn)以，化簡得到4AMB的面積為S=p2（i+A；2產(chǎn)，可判定。不正確.

【解答過程】如圖：

X=

~iM

ZV.21

依題意設(shè)461，珀，B（N2，敵），由方程62=2pg,可得沙二五，則yf=-x,

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線AM的斜率為以”=工的，同理直線BA/的斜率為kBM=—x2,

PP

可得4處的切線方程為：y—y1=—x^x—Xi），即g—孚~=-x^x—xi）,

p2pp

化簡可得沙=生2—孚，所以直線AM的方程為？/=包必一手，

p2pp2p

同理可得：直線'的方程為^=&_力一三",所以包力一"^=—re-,

p2pp2Pp2P

則工01-力2）/=彳-一￡，

p2p2p

因為劣iW62,解得x="1；一，即力1+g=2g，所以4正確；

因點(diǎn)"（如為）在直線AM,BM.h,

可得g?g-p（%+%）=0,宏o,力2-「（%+統(tǒng)）=0,

即4（力1,%）在gN—p?+g（））=0上，6（62,仍）在力o力一「（沙+為）=0上，

所以底邊4B的直線方程為x^x—p（y+yo）=0,所以B正確；

設(shè)直線4B:g=for+與，聯(lián)立方程組["2,整理得力2—2武力—召2=0,

2[x2=2py

則A=（―2p）2+4P2=8P2>0且力i+g=2pk,力避2=一。2,

_2

因為^MA,^MB—~,—=—=-1,所以M4-MB=0,

PPp2

所以△4MB是直角三角形，所以。正確；

取AB的中