2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)模型及其應(yīng)用（解析版）

第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過...........................................4

高頻考點(diǎn)一：幾類不同增長的函數(shù)模型..............................4

高頻考點(diǎn)二：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（二次模型；分段模型）.10

高頻考點(diǎn)三：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（指、對、塞函數(shù)模型）.14

高頻考點(diǎn)四：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題......................20

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、常見函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k/0)

(左/為常數(shù)且左w0)

反比例函數(shù)模型f(x)=±+b

X

二次函數(shù)模型/(x)=ax2+bx+c均為常數(shù)，

指數(shù)函數(shù)模型f{x}^k-bx+c(左，①c均為常數(shù)，k<0,b>0,bwl)

對數(shù)函數(shù)模型f(x)=k-logax+b(左/，。為常數(shù)，左w0,〃>0,〃wl)

幕函數(shù)模型f(x)=k-xn+b(k,b,幾為常數(shù),左w0,〃wl)

力(x),x&Dx

分段函數(shù)f(x)=<力(x),XGD2

/(x),xeD3

指數(shù)、對數(shù)、事函數(shù)才慎型性質(zhì)比較

函數(shù)

y=優(yōu)(〃>1)y=logax(a>l)y=%〃(〃>0)

性質(zhì)

在（0,+8）上的

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

增減性

介于指數(shù)函數(shù)與

增長速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長平緩對數(shù)函數(shù)之間，相

對平穩(wěn)

隨x的增大，圖象與y軸接近隨X的增大，圖象與X軸接近隨〃值變化而各有

圖象的變化

平行平行不同

值的比較存在一個(gè)毛,當(dāng)X〉不時(shí)，有l(wèi)ogaX<x"<a"

第二部分：高考真題回顧

1.（多選）（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定

義聲壓級4=20xlg上，其中常數(shù)為（網(wǎng)>0）是聽覺下限閾值，〃是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車1050-60

電動(dòng)汽車1040

己知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測得實(shí)際聲壓分別為",PZ,P3,則（）.

A.Pi>P2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.A<100/J,

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意可知與e[60,90],e[50,60],=40,結(jié)合對數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可知：人460,90],雅目50,60],4=40,

對于選項(xiàng)A：可得乙八-乙八=20xlg2-20x1g匹=20xlg包，

PoPoPi

因?yàn)?74,則=20xlg旦NO,即1g旦NO,

P2Pl

所以且21且。1，。2>。，可得P12P一故A正確；

Pi一「一

對于選項(xiàng)B：可得4_4=20x1g&_20X1g旦=20X1g&,

PoPoP3

因?yàn)?4「40N10,貝必°xlg正21°,即

P3P3/

所以&2VI5且22，,3>0,可得6P3，

P3

當(dāng)且僅當(dāng)4=5。時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)橐宜?2。義3星=40,即1g星=2,

PoPo

可得m=100,即p3=lOOpo,故C正確；

Po

對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：4]-￡02=20xlga",

Pi

且乙，一乙丹490-50=40,貝U20x1g包440,

〃2

即lgaW2,可得包4100,且所以“VlOOp,,故D正確；

PlP1

故選：ACD.

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：幾類不同增長的函數(shù)模型

典型例題

例題1.（2023上?廣東廣州?高三鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)f（x）的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可

能形如（）

X-2-101235

“X)2.31.10.71.12.35.949.1

A./（%）=+b

B./（x）=Axex+b

C.f（x）=k\x\+b

D.f^x）=k{x-Xy+b

【答案】A

【分析】由函數(shù)/（x）的數(shù)據(jù)即可得出答案.

【詳解】由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)〃-2）=/（2）"（-1）=〃1）,

偶函數(shù)滿足此性質(zhì)，可排除B,D；

當(dāng)尤＞0時(shí)，由函數(shù)/'（X）的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)/（X）增長越來越快，可排除C.

故選：A.

例題2.（2023上?河北石家莊,高一石家莊二中?？茧A段練習(xí)）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表:

X23456

y1.402.565.311121.30

則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是

A.y=4xB.y=g-2”

C.y=log2xD.y=2尤-3

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的增長速度選擇函數(shù)模型.

【詳解】/（3）-/（2）=1.16,“4）—"3）=275,/（5）-/（4）=5.69,/（6）-/（5）=10.3,

通過所給數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大而增大，且增長的速度越來越快，

AC選項(xiàng)函數(shù)增長的速度越來越慢，D選項(xiàng)函數(shù)增長的速度不變，B選項(xiàng)函數(shù)增長的速度越來越快，所以B

正確.

故選：B.

例題3.（2023上?山西臨汾?高一統(tǒng)考期中）在一次物理實(shí)驗(yàn)中某同學(xué)測量獲得如下數(shù)據(jù)：

X12345

y5.38011.23220.18434.35653.482

下列所給函數(shù)模型較適合的是()

A.y=ax+b(a>l)B.j=a^/x+b(a>1)

C.y=—+b(a>1)D.y=ax2+b(a>1)

【答案】D

【分析】由數(shù)據(jù)中y隨x的變化情況，分析適用的函數(shù)模型.

【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知y隨尤的增大而增大，且增長速度越來越快，

而A中的函數(shù)增長速度保持不變，B中的函數(shù)增長速度越來越慢，C中的函數(shù)是隨x的增大而y減小，D中

的函數(shù)符合題意.

故選:D.

例題4.（2023上?四川南充?高一四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）假設(shè)某學(xué)習(xí)小組對家庭每月用水的收

費(fèi)提供了如下兩種模型:模型一:若用水量不超過基本月用水量加？，則只付基本費(fèi)8元和損耗費(fèi)c元（c<5）；

若用水量超過基本月用水量，則除了需付基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過部分還需按b元/n?進(jìn)行付費(fèi)；模型二：

用函數(shù)模型y=屋機(jī)>9+〃（其中七m,〃為常數(shù)，且加彳1）來模擬說明每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于

月用水量尤（n?）的函數(shù)關(guān)系.己知該市某家庭1—3月的用水量x分別為9m3,15H?和21m3,支付的費(fèi)用y

分別為9元，19元和31元.

（1）寫出模型一中每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量Mn?）的函數(shù)解析式；

⑵寫出模型二中每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量Mn?）的函數(shù)解析式，并分析說明學(xué)習(xí)小組提供的模型

哪個(gè)更合理？

9,0<%<10

【答案】（i）y=

2x—ll,x>10

⑵y=50?tr41，%>0,模型一與生活中的實(shí)際情況更接近

【分析】（1）分析出第2,3月份用水量15m3和210?均大于最低限量如？，列出方程組，求出6=2,2a=c+19,

不妨設(shè)9>°,推出矛盾，故9<a,得到c=l,求出答案；

（2）得到方程組，求出m=（g,，左=50,〃=T1,得到解析式，并用三個(gè)方面說明模型一與生活中的實(shí)

際情況更接近.

8+c,0<x<"

【詳解】(1)由題意得丁=

8+。(尤一Q)+C,尤>a

第2,3月份水費(fèi)均大于13元，故用水量15m3和21m3均大于最低限量加？,

8+b(15-a)+c=19

于是有解得。=2,

8+A(22-〃)+c=33

從而2〃=c+19,

再考慮1月份用水量是否超過最低限量加？,

不妨設(shè)9>々，將x=9代入y=8+人（%—〃）+。中，得8+/?（9—a）+c=9,

故2=c+17,與2〃=c+19矛盾，舍去,

故94々，即8+c=9,解得0=1,

故4=10,

z八f9,0<x<10

所以每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量Xm3的函數(shù)解析式y(tǒng)='

\2X—11,>1U

（2）y=k-mx~9+n,

k?m9-9+n=9k+n=9?

由題意知，,女15-9+〃=19,即.hm6+n=19(2)

k-m2i~9+〃=31%?加2+〃=31(3)

由②-①得％(MT)=1°，由③-①得上(/-1)=22,

所以=解得機(jī)6=2,所以機(jī)=（蚌，

M-155⑶

代入左（加6—1）=10,解得左=50,又上+〃=9,所以〃=T1,

x-9

所以y=50（：j6-41-x>0.

模型一與生活中的實(shí)際情況更接近（言之有理即可）.

建議從以下三方面考慮：

原因一：惠民政策，生活中，比如：打車，交稅，交氣費(fèi)等都是與模型一接近,

百姓繳費(fèi)少；

i_x-9

原因二：指數(shù)爆炸，由機(jī)=停]>1知，y=5o]￡|丁-41關(guān)于X是快速增長，

但模型一在（10,+?）上勻速增長，更符合實(shí)際意義;

原因三：當(dāng)x=0時(shí),41，

由于⑷1空巴丫_幽_生〈幽

十［封216'hoj250012162500,

33

所以故y=5o{|j-41<o,不符合實(shí)際意義.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023上?江蘇?高一專題練習(xí)）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：

t1.993.04.05.16.12

V1.54.047.51218.1

現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）

A.v=log,tB.v=loglZC.v=^-^-D.v=2t-2

22

【答案】C

【分析】選x=4代入四個(gè)選項(xiàng)的解析式中選取所得的v最接近7.5的解析式即可.

【詳解】對于選項(xiàng)A：當(dāng)x=4時(shí)，v=log24=2,與7.5相差較多，故選項(xiàng)A不正確；

對于選項(xiàng)B：當(dāng)尤=4時(shí)，^logi4=-2；與7.5相差較多，故選項(xiàng)B不正確；

2

42-1

對于選項(xiàng)C：當(dāng)x=4時(shí)，v=-----=7.5,故選項(xiàng)C正確；

2

對于選項(xiàng)D：當(dāng)％=4時(shí)，v=2/-2=2x4-2=6,與7.5相差較多，故選項(xiàng)D不正確；

故選：C.

2.（2023上?浙江?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及對應(yīng)散點(diǎn)圖如下所示，則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系

的最佳函數(shù)模型是（）

X10202941505870

y123.87.4111521.8

30■

20-

x

A.y=A\ogax+pB.y=A-a+p

C.y=ax2+bx+cD.y=kx+b

【答案】C

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢及散點(diǎn)的分布情況判斷回歸方程的類型.

【詳解】由散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的變化趨勢：非線性、且在第一象限內(nèi)上單調(diào)遞增,

對于Ax,.=x/+1-,Ay,.=y.+1-yt,ie（1,2,3,4,5,6},由題意可得：

X102029415058

A%

0.10.20.30.40.50.57

可知，［x,潦J近似于線性，所以適合二次函數(shù)模型.

故選：C

3.（2023上?上海?高一上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）近來，國內(nèi)多個(gè)城市紛紛加碼布局"夜經(jīng)濟(jì)"，以滿

足不同層次的多元消費(fèi)，并拉動(dòng)就業(yè)、帶動(dòng)創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力，某夜市的一位工藝品售賣

者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），每件的銷售價(jià)格P（x）（單

位：元）與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足尸（引=10+：且銷售量Q（x）（單位：件）與時(shí)間x（單

位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示

X1015202530

Q")5055605550

（1）給出以下四個(gè)函數(shù)模型：①Q(mào)（x）=ox+6；②。（x）=4x-時(shí)+人；③Q（x）=a-6x；@Q（x）=alogbx.

請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量Q（x）與時(shí)間x的變化關(guān)系,

并求出該函數(shù)的解析式及定義域

⑵設(shè)該工藝品的日銷售收入為f（無）（單位：元），求f（x）的最小值.

［答案］⑴選擇模型②，e（x）=-|x-20|+60（l<x<30,xeN,）

（2）441元.

【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)的增減性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得答案;

（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，可得答案.

【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間無變換時(shí)，Q（x）先增后減，而①③④都是單調(diào)函數(shù)

所以選擇模型②，Q（x）=a\x-^+b

由Q（15）=Q（25）,可得15-時(shí)=|25-時(shí),解得加=20

Q(15)=5a+6=55

解得。=-1*=60

0(20)=6=60

所以日銷售量。⑺與時(shí)間x的變化的關(guān)系式為。（尤）=-卜-20|+60（1〈尤430,尤eN*）.

x+40,l<x<20/*

(2)由(1)知：2(^)=-|x-20|+60=—x+80,20<%<30'

|^10+-j(x+40),l<x<20

所以“x)=P(尤)(尤)=<(xeN*

I10+-|(-x+80),20<%<30

40

10元+—+401,1W20

即〃X

x)=<onxeN*

-10x+—+799,20<x<30

x

當(dāng)1VXW20,XEN*時(shí),

由基本不等式，nTW/（x）=10x+—+401>2^10x—+401=441,

40

當(dāng)且僅當(dāng)10%=，時(shí)，即％=2時(shí)等號成立，

x

QQ

當(dāng)20<xW30,x￡N*時(shí)，/（%）=—10%+—+799為減函數(shù)，

Q

所以函數(shù)的最小值為“X）1nm=/（30）=499+『441,

綜上，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)“X）取得最小值441元.

4.（2023上?四川宜賓?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）2023年宜賓市新添城市名片"中國動(dòng)力電池之都"，初步建成較

為完整的配套協(xié)同動(dòng)力電池產(chǎn)業(yè)布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產(chǎn)業(yè)鏈.新能源電動(dòng)車主

要采用電能作為動(dòng)力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動(dòng)力汽車、純電動(dòng)汽車.有關(guān)部門在國道上對某

型號純電動(dòng)汽車進(jìn)行測試，國道限速60km/h.經(jīng)數(shù)次測試，得到該純電動(dòng)汽車每小時(shí)耗電量。（單位：wh）

與速度x（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示：

X0104060

Q0142044806720

為了描述該純電動(dòng)汽車國道上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量。與速度x的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①

2(無)$犬一2V+CX；②2(x)=l一(2)；③Q3(x)=2001og〃x+6.

（1）當(dāng)0VXV60時(shí)，請選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)表

達(dá)式;

⑵現(xiàn)有一輛同型號純電動(dòng)汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國道上行駛50km,高速上行駛250km.假設(shè)

該電動(dòng)汽車在國道和高速上均做勻速運(yùn)動(dòng)，國道上每小時(shí)的耗電量Q與速度x的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表

達(dá)式；高速路上車速x（單位：km/h）滿足xe[80,120],且每小時(shí)耗電量N（單位：wh）與速度x（單

位：km/h）的關(guān)系滿足N（x）=2x2_10x+200（80WxW120）.則當(dāng)國道和高速上的車速分別為多少時(shí)，該車

輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？

11

【答案】（l）選①Q(mào)（x）=而x3-2尤2+5,x3-2x2+160.r；

⑵在高速上的行駛速度為80km/h,在國道上的行駛速度為50km/h,43625wh.

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，對3個(gè)函數(shù)模型逐一判斷即得.

（2）分別求出國道和高速上該輛車耗電量的最小值及對應(yīng)行駛速度即可得解.

【詳解】（1）對于③，Q3（x）=2001og0x+6,當(dāng)x=0時(shí)，它無意義，不符合題意；

10io

對于②，e2（x）=i-（-）\當(dāng)x=io時(shí)，e2（io）=i-（-）,xo＜（-）＜（-）°=i,

所以2（io）=1-（：嚴(yán)＜1,不符合原意；

因此選①,Q（尤）=X3—lx2+ex.

由表中的數(shù)據(jù)得，^X1O3-2X1O2+CX1O=142O,解得C=160,

所以Q（x）$x3_2f+160x.

250

（2）高速上行駛250km,所用時(shí)間為一h,

x

貝I」所耗電量為了（無）=—-N（x）=--（2x2-10x+200）=500（%+—）-2500,

XXX

顯然函數(shù)"X）在［80,120］上單調(diào)遞增，

于是/（尤）血,=7（80）=500x（80+黑）-2500=38125wh；

oO

國道上行駛50km,所用時(shí)間為留h,

X

貝I」所耗電量為g（X）=竺.0（X）=竺.號/_2/+160%）=x2-100.x+8000,

而04x460,則當(dāng)x=50時(shí)，gWman=g（50）=5500wh.

所以當(dāng)這輛車在高速上的行駛速度為80km/h,在國道上的行駛速度為50km/h時(shí)，

該車從宜賓行駛到重慶某地的總耗電量最少，最少為38125+5500=43625wh.

高頻考點(diǎn)二：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（二次模型；分段模型）

典型例題

例題L（2023上?湖南岳陽?高二統(tǒng)考期末）2022年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車制

造設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，生產(chǎn)X(百輛)新能源汽車，還需另投入成本c(x)

10X2+200X,0<X<30

萬元，且C(x)=<10000.由市場調(diào)研，每輛車售價(jià)5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能

504元+------3000,x230

全部銷售完.

(1)求出2022年該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車的利潤“力(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；(利潤=

銷售量-成本)

(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車所獲利潤最大？并求出最大利潤.

-10X2+300%-1000,0<X<30

【答案】⑴2⑺=7》一出

+2000,x230

Lx

(2)50百輛時(shí)，企業(yè)所獲得利潤最大為1600萬元

【分析】(1)根據(jù)利潤與產(chǎn)量、成本之間的關(guān)系，寫出分段函數(shù)的解析式即可;

(2)分別根據(jù)二次函數(shù)、均值不等式求函數(shù)在每一段的最值，比較大小即可得解.

【詳解】(1)當(dāng)0<x<30時(shí)，

L(x)=500x—1000~(10x2+200x)=-10x2+300^-1000

當(dāng)xN30時(shí)，

L(x)=500x-l000-(504x+-3000)=-4x-+2000

XX

-10%2+300元-1000,0<%<30.

L(x)=<

-4%_12222+2000,%>30.

X

(2)當(dāng)0vxv30時(shí),

L(x)=-10A:2+300A:-1000=-10(x-15)2+1250

;.x=15時(shí)，L(x)取得最大值,最大值為1250

當(dāng)X230時(shí),

，10000…八一10000

L(x)=-4x-------F2000=-(4x+)+2000<-2+2000=1600

xx

當(dāng)且僅當(dāng)4x=竺啰,即x=50時(shí)，等號成立,

X

所以當(dāng)x=50時(shí)，L(x)有最大值1600.

綜上所述：x=50,取得最大值，最大值為1600,即2022年生產(chǎn)量為50百輛時(shí)，企業(yè)所獲得利潤最

大，最大利潤為1600萬元.

例題2.(2023上?貴州六盤水?高一統(tǒng)考期末)心理學(xué)家根據(jù)高中生心理發(fā)展規(guī)律，對高中生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)

行研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時(shí)間.上課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激

增，中間有一段時(shí)間學(xué)生的興趣保持理想狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用/(X)表

示學(xué)生掌握和接受概念的能力(了。)的值越大，表示接受能力越強(qiáng))，x表示提出和講授概念的時(shí)間(單位：

-0.1尤2+2.8x+38,0<xW10,

min),滿足以下關(guān)系：〃x)=56,10<x<20,

-lx+96,20<尤440.

(1)上課多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少分鐘？

⑵有一道數(shù)學(xué)難題，需要54的接受能力及15min的講授時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生處于所需接受能力的狀

態(tài)下講授完成這道難題？

【答案】⑴上課10分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，能維持10分鐘

(2)老師不能及時(shí)在學(xué)生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道題

【分析】(1)在(。,10］上利用二次函數(shù)求得最大值；xe(10,20］時(shí),/(尤)=56,在xe(20,40］利用一次函數(shù)

求得最大值即可；

(2)當(dāng)xe(0,10］,xe(10,20］,xe(20,40］時(shí)分別令〃x)K54求解.

【詳解】(1)解：由題知/(x)=0.1/+2.8x+38在(0,期上單調(diào)遞增，

所以=/d0)=56,

又xe(10,20］時(shí)，/(%)=56,

/?(彳)=-2*+96在彳€(20,40］上單調(diào)遞減，/(x)e(16,56］,

所以上課10分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，能維持10分鐘.

(2)當(dāng)xw(0,10］時(shí)，令/(x)N54,Bp-0.1X2+2.8%+38>54,

化簡得尤2—28尤+160WO,解得84x<20,又無e(0,10］,

所以8<x<10,此時(shí)有效時(shí)間為2分鐘,

當(dāng)xe(10,20］時(shí),/(x)=56,有效時(shí)間為10分鐘，

當(dāng)xe(20,40］時(shí)，令/(尤)254,解得20<xV21,有效時(shí)間為1分鐘，

由于講授時(shí)間需15分鐘，但有效時(shí)間2+10+1=13分鐘，13<15,

所以老師不能及時(shí)在學(xué)生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道題.

練透核心考點(diǎn)

1.(2023下?河南?高一校聯(lián)考階段練習(xí))中國建設(shè)新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導(dǎo)

體自給率目標(biāo)邁出的重要一步.根據(jù)國際半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(huì)(SEMI)的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國計(jì)劃

建設(shè)31家大型半導(dǎo)體工廠.某公司打算在2023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬

元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出x萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本V(x)(單位：萬元)，已

知當(dāng)0<xW5時(shí)，V(x)=125；當(dāng)5<xW20時(shí)，V(x)=犬+40x—100；當(dāng)x>20時(shí)，V(x)=81x+1^)()-600,

已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價(jià)格售出.

(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為尸(無)(單位：萬元)，試求出尸(x)的函數(shù)解析式.

(2)請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個(gè)計(jì)劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預(yù)測最大

利潤.

80x-425,0<x<5

【答案］(1)尸(x)=l-x2+40x-200,5<x<20；

1600

—X-+----3--0-0--,-尤>20

X

(2)當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時(shí)利潤最大，最大利潤為220萬元.

【分析】(1)根據(jù)利潤等于售價(jià)減成本可求利潤P5)的表達(dá)式;

(2)根據(jù)P(x)的表達(dá)式分別求出每段函數(shù)的最大值即可.

【詳解】(1)(1)由題意可得，P(x)=80%-V(x),

80%—300--125,0vxW5

所以尸(x)=,80X-300-(x2+40.r-100),5<x<20,

80x-300-(8lx+-600),x>20

X

80x-425,0<x<5

即尸(x)=(+40x-200,5<x<20.

一X-2^22+300,x>20

、尤

(2)當(dāng)0<xW5時(shí)，尸(x)VP(5)=-25；

當(dāng)5Vx<20時(shí)，尸(x)=-x2+40x-200,對稱軸x=20,P(x)<尸(20)=200；

當(dāng)x>20時(shí)，由基本不等式知x+竺竺280,

X

當(dāng)且僅當(dāng)彳=幽，即x=4O時(shí)等號成立，故2(^^=一80+300=220,

綜上，當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時(shí)利潤最大，最大利潤為220萬元.

2.(2023上?浙江杭州?高一浙江省杭州第二中學(xué)校考期中)"智能"是本屆杭州亞運(yùn)會(huì)的辦賽理念之一.在亞

運(yùn)村里，時(shí)常能看到一輛極具科技感的小巴車出現(xiàn)在主干道上，車內(nèi)沒有司機(jī)，也沒有方向盤，這就是無

人駕駛AR智能巴士.某地在亞運(yùn)會(huì)后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車,公交車發(fā)車時(shí)間間隔"單位：

分鐘)滿足54/420,teN,經(jīng)測算，該路無人駕駛公交車載客量。⑺與發(fā)車時(shí)間間隔/滿足:

60-(?-10)2,5<r<10

P⑺h其中reN.

60,10</<20

⑴求P⑸,并說明。(5)的實(shí)際意義;

⑵若該路公交車每分鐘的凈收益,二刨產(chǎn)-1。（元）‘問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)’該路公交車每分

鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.

【答案】（1）35；發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，載客量為35

（2）6分鐘，38元

【分析】（1）根據(jù)題意求得P（5）=35,從而說明其實(shí)際意義；

（2）根據(jù)題意，分類討論t的取值范圍，利用基本不等式與反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

60-(/-10)2,5</<10

【詳解】（1）因?yàn)镻⑺=<

60,10<f<20

所以"5)=60-(5-10)2=35,

實(shí)際意義為：發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，載客量為35.

(2)因?yàn)棰?24-10,

所以當(dāng)5?t10時(shí)，y=360_6（：10）+24_]0=]]0_3+平卜—2[牛=38,

當(dāng)且僅當(dāng)8="，即r=6時(shí)，等號成立，

t

所以當(dāng)，=6時(shí)，y取得最大值38；

當(dāng)10WtW20時(shí)，y=6x6；+24_]0=平]0,該函數(shù)在區(qū)間[10,20]上單調(diào)遞減，

則當(dāng)f=10時(shí)，>取得最大值28.4；

綜上所述，當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)，該路公交車每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為38元.

高頻考點(diǎn)三：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（指、對、塞函數(shù)模型）

典型例題

例題L（2023上?湖南長沙?高一長沙市第十五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）中國茶文化源遠(yuǎn)流傳，博大精深，茶

水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某種綠茶用80。。的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可

以產(chǎn)生最佳口感.為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設(shè)物

體的初始溫度是4,經(jīng)過rtnin后的溫度是T，貝U7-4=（"_4）eW（e=2.71828…），其中4表示環(huán)境溫度，

/?表示半衰期.該研究小組經(jīng)過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是80℃,放在20℃的室溫中，lOmin以后茶

水的溫度是50℃,在上述條件下，大約需要放置多長時(shí)間能達(dá)到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)

據(jù)In2ao.7,ln3?l.l）（）

A.5.7minB.5.8min

C.5.9minD.6.0min

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件列出關(guān)于〃，，的方程組可得答案.

【詳解】由題意可得方程組：

50-20=（80-20）e一了①10

,,,由①式化簡可得：〃=涓，代入②式，

60-20=（80-20）屋［②

由1“，10（ln3-ln2）.

所以:-----------?5.7min,

In2

大約需要放置5.7min能達(dá)到最佳飲用口感.

故選：A.

例題2.（2023上?湖北咸寧?高一校考階段練習(xí)）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著

名的香農(nóng)公式：C=Wlog2^l+^.它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬

W,信道內(nèi)信號的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中三叫作信噪比.當(dāng)信噪比比較大

N

時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若帶寬W不變，信噪比?從1000提升到12000,

N

則。比原來大約增加了（）.（附：lg2?0.3010,lg3?0.4771）

A.32%B.43%C.36%D.68%

【答案】C

ccC-C

【分析】根據(jù)三=1000和3=12000表示出對應(yīng)cc,然后根據(jù)謂1結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算求解出結(jié)果.

NNg

【詳解】當(dāng)2=1000時(shí)，最大信息傳遞速度為G=Wlog2（l+l000卜Wlog2100°，

當(dāng)f=12000時(shí)，最大信息傳遞速度為G=Wlog2(1+12000)?Wlog212000,

C「G_log212000-log21000一log212000_1_lg12000

所以C比原來增加了

C]-log21000-log21000-IglOOO

lgl000+lgl2?3+21g2+lg3,21g2+lg3小，

=------------------------1=------------------------1=-----------------?30%,

333

故選：C.

例題3.（2023上?安徽六安?高一校考階段練習(xí)）一種放射性元素，最初質(zhì)量為1000g,按每年10%衰減.

⑴寫出x年后這種放射性元素質(zhì)量>與％之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵求這種放射性元素的半衰期（放射性物質(zhì)的質(zhì)量衰減為原來的一半所需要的時(shí)間）精確到0.1年，已知

（lg2=0.3010,lg3=0.4771）.

【答案】⑴y=1000x0.9%

（2）6.6年

【分析】（1）由遞推關(guān)系寫出函數(shù)解析式即可.

（2）依據(jù)題意列出方程，求解即可.

【詳解】（1）最初的質(zhì)量為經(jīng)過1年后，y=1000（l-10%）=1000x0.9,

經(jīng)過2年后，y=1000x0.92,由此推知，x年后，＞=1000x0.9,,

年后，》關(guān)于x的表達(dá)式為＞=1000x0.9,.

（2）歹!J出方程1000x0.9*=500,

0.9,=0.5nlg0.9x=lg0.5nxlg0.9=lg0.5,

lg0.5_-lg2_0.3010

a6.6（年），

lg0.9-21g3-l-1-2x0.4771

即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.

例題4.（2023上?全國?高一期末）"實(shí)施科教興國戰(zhàn)略，強(qiáng)化現(xiàn)代化建設(shè)人才支撐”是2022年10月16日

在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會(huì)上報(bào)告的一部分,必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資

源、創(chuàng)新是第一動(dòng)力，深入實(shí)施科教興國戰(zhàn)略、人才強(qiáng)國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，

不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢.某科技企業(yè)通過加大科技研發(fā)投資，提高了企業(yè)的技術(shù)競爭力，也提高了收入.下

列一組數(shù)據(jù)是該公司從2017年以來每年的收入（單位:億元）,2017年記為1,后面的年份依次類推.

X/年123456

y/億元0.91.402.565.311121.30

⑴給出以下兩個(gè)函數(shù)模型:①丫=[；②丫=二.試問:用哪個(gè)模型更適合模擬該企業(yè)的收入?

人3

（2）該企業(yè)大約在哪一年收入超過100億元?（參考數(shù)據(jù):lg3《0.477,愴210.301）

【答案】（1）用模型②尸g更適合模擬該企業(yè)的收入

（2）大約在2025年該企業(yè)的收入超過100億元.

X

12

【分析】（1）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)）與＞的圖象，并在此坐標(biāo)系內(nèi)描出表格提供的數(shù)

據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)，觀察即可；

（2）解出了＞100,xeN*,貝U%n=9,即可求解.

17X

【詳解】（1）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)＞與＞=[■的圖象,

并在此坐標(biāo)系內(nèi)描出表格提供的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示.

觀察圖象知，這些點(diǎn)基本上都落在函數(shù)y='的圖象上或附近，

所以用模型②y=y更適合模擬該企業(yè)的收入.

（2）當(dāng)一〉100時(shí),2">300,

3

因此X>1暇300=翼J4竽=馬2田<8.23,

lg2lg20.301

而xeN*,則XmM=9,

所以大約在2025年該企業(yè)的收入超過100億元.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023上?江蘇?高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)

系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為。，一年四季均可繁殖，繁殖間隔T為相鄰兩

代間繁殖所需的平均時(shí)間.在物種入侵初期，可用對數(shù)模型K（〃）=Xlog3〃（2為常數(shù)）來描述該物種累計(jì)

繁殖數(shù)量”與入侵時(shí)間K（單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且。=1+1,在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得

出。=6,7=60.據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的6倍所需要的時(shí)間為（）天.（結(jié)

果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：比2a0.30,In3。0.48）

A.19.5B.20.5C.18.5D.19

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用結(jié)定的函數(shù)模型求得彳，進(jìn)而利用對數(shù)的運(yùn)算法則列式即可得解.

【詳解】因?yàn)椤?馬+1，2=6,T=60,所以6="+1,解得九=12,

AZ

設(shè)初始時(shí)間為K-初始累計(jì)繁殖數(shù)量為"，累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的6倍的時(shí)間為K2,

則K2-K]=12log3（6M）-12log3n=121og36

cIn2+ln30.30+0.48,十、

=12x------------=12x---------------?19.5（天）.

In30.48

故選：A.

2.（2023上?江蘇南通?高一海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫環(huán)境下的溫度

變化：如果物體初始溫度為"，則經(jīng)過一定時(shí)間單位：分鐘）后的溫度T滿足T一?；=:"（"-如，其

中刀是環(huán)境溫度，九為常數(shù)，現(xiàn)有一杯8（TC的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會(huì)出現(xiàn)在55。。

經(jīng)測量室溫為25P,茶水降至75P大約用時(shí)一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等

待分鐘.

（參考數(shù)據(jù)：lg2x0.30,lg3x0.50,lg520.70,lgll?1.04.）

【答案】6

【分析】根據(jù)已知條件求出參數(shù)〃的值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解指數(shù)方程，利用對數(shù)的運(yùn)算以及換底公式即可求出結(jié)

果.

【詳解】根據(jù)題意可知，環(huán)境溫度（=251,初始溫度”=8（TC,

經(jīng)過一定時(shí)間f（單位：分鐘）后的溫度T滿足T一（"一

因?yàn)椴杷抵?5℃大約用時(shí)一分鐘，即f=1,T=75P,

所以75-25=卜1（80-25），解得1|=bgj《,貝/-

所以要使得該茶降至55P,即T=55P,則有55-25=（工1（80-25），得\=l°glH=l°glA，

Z、log.—\o—

L6].;11lgnlg6-lgllIg2+lg3-lgll0.3+0.5-1.04

故"log,--h=——±1707=-7^-=----------=------------=------------------------=6.

Iloa1?1°IglO-lgll1-lgll1-1.04

11

所以大約需要等待6分鐘.

故答案為：6.

3.（2023上?上海?高一上海南匯中學(xué)校考階段練習(xí)）用打點(diǎn)滴的方式治療"支原體感染"病患時(shí)，血藥濃度

（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內(nèi)的總濃度）隨時(shí)間變化的函數(shù)符合9。）=乂（1-2-力，其函數(shù)圖象如圖

所示，其中乂為與環(huán)境相關(guān)的常數(shù)，此種藥物在人體內(nèi)有效治療效果的濃度在4到15之間，當(dāng)達(dá)到上限

濃度時(shí)，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)符合。2（。=。2,，其中c為停藥時(shí)的人體血

藥濃度.

2

0

8

6

4

2

。|48《單位:小時(shí))

⑴求出函數(shù)G(。的解析式；

(2)一病患開始注射后，最遲隔多長時(shí)間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長時(shí)間開始進(jìn)行第二次注

射？(如果計(jì)算結(jié)果不是整數(shù)，保留小數(shù)點(diǎn)后一位)

【答案】(l)q⑺=16x1-