2025年高考數(shù)學一輪復習：指數(shù)與對數(shù)的運算

2025年高考數(shù)學一輪復習練習題含答案解析

第5節(jié)指數(shù)與對數(shù)的運算

考試要求1.理解有理數(shù)指數(shù)易的含義，了解實數(shù)指數(shù)易的意義，掌握指數(shù)哥的

運算性質(zhì).2.理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自

然對數(shù)或常用對數(shù).

知識診斷?基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

1.根式的概念及性質(zhì)

⑴概念：式子;區(qū)叫做根式,這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

（2計生質(zhì)：①負數(shù)沒有偶次方根.

②0的任何次方根都是0,記作]）=。.

n

③（gy=4〃GN*,且〃>1）.

④后=a（〃為大于1的奇數(shù)）.

⑤/=團=『（〃為大于1的偶數(shù)）.

\—g,a<Q

2.分數(shù)指數(shù)毫

m旦,_

規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)易的意義是％=包（。>0,m,"GN*,且〃>1）；正數(shù)的

mI

負分數(shù)指數(shù)辱的意義是m,〃金N*,且心1）；0的正分數(shù)指數(shù)哥等

“亞

于0;0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義.

3.有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)

aras=cT+s\（/>=貯；（ab]r=arbr,其中a>0,b>0,r,s?Q.

4.對數(shù)的概念

如果ax=N（a>0,且aWl）,那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log°N,其

中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

5.對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)與換底公式

(1)對數(shù)的性質(zhì)

①qiog/=&；②log/=b(a>0,且aWl).

(2)對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a>0且M>0,N>0,那么

①loga(AfiV)=logJVf+logaN；

②loga"=log“〃_logaN;

N

③log“M"=iAo%aM(nGR).

(3)換底公式:loga6=，&%>0,且aWl,b>0,c>0,且cWl).

log4

［常用結(jié)論］

換底公式的兩個重要結(jié)論

(l)log6=―--(a>0,且aWl；b>0,且bWl).

fllog6a

(2)\ogmbn=-log?&(6Z>0,且oWl；6>0；m,〃CR,且機#0).

am

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

4________

⑴Y(—4)4=—4.()

mxi/1

(2)分數(shù)指數(shù)易a-可以理解為邁個。相乘.()

nn

(3)log2X2=21og2X.()

(4)若兒W>0,貝(Jloga(AW)=logaM+logaN.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

44

解析(1)由于JT二4)4=/=4,故(1)錯誤.

(2)當場<1時，不可以，故(2)錯誤.

n

(3)log2X2=21og2|x|,故(3)錯誤.

(4)當M<0,N<0時，雖然MN>0,

但10ga(〃N)=10g“"+10gaN不成立，故(4)錯誤.

2.(必修一Pl27T5改編)設(shè)a=lg2,6=lg3,則logi210=()

2a~\-b2b+a

C2a~\~bD.26+。

答案A

解析logl210=-—=--------=.

s1g12Ig3+21g22a+b

i

_i,

3.(必修一P110T8改編)已知02+4—5=3,貝!JQ+Q—1=；a*i2+*4a~2=

答案747

i

_i

解析由成+。2=3，得〔+2=9,

即1=7,則原+4-2+2=49,

即次+。-2=47.

4.計算：兀0+22XL4J2+log23—log?6=.

答案I

解析原式=1+-XVU2+log23—log22—log23=1+—X-—1=-.

4428

考點突破?題型剖析

考點一指數(shù)易的運算

a3b261）2

例1（1）（2023?杭州調(diào)研）化簡-3伉伍>0,6>0）的結(jié)果是（)

（4仍2）4.、/-

答案B

311

a2b.a6b33iiii〃

解析i

(a4b2)(04/)2)4-fl---Z)3

3

(2)計算：27；+2564-3-1+(A/2-1)°=

答案16

3

——1111

解析原式=(3]-—(—7)2+(44)4—1=j—49+64—j+1=16.

感悟提升1.指數(shù)哥的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)募統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)募，以便利

用法則計算，還應注意：

(1)必須同底數(shù)易相乘，指數(shù)才能相加.

(2)運算的先后順序.

2.當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).

3.運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).

|T|I7(4“)3

訓I練1(1)計算：UJ2-1=(a>0,&>0).

(0.1)f(〃力-3)2

答案|

33

___3

2?42426-2

解析原式=—3—=-

__35

lOa2b2

——3%

(2)已知。"=5,則^—.

ax—ax

答案y

々刀JUQ3X-Q-3x-(Q2%+]+Q-2X)

解析-----丁=-------------=--------

ax-axax-ax

1QI

=a2x+l+a~2x=5+l-\=——.

55

考點二對數(shù)的運算

例2(l)log381—Iog98-log23—2*3+坨/+lg業(yè)=.

答案0

解析原式=log334—；-log32，log23—3+lgA/lb=4—3+：=0.

⑵計算.(1—log63)2+log62?log618.

Iog64

答案1

1—21oge3+(log63)*2+log6--log6(6X3)

解析原式:3

log64

」一21og63+(log63)2+1—(log63)2

log64

2(l—log63)=Iog66-log63=log62]

210g62loge2loge2

(3)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示logi815=.

b—a~\-1

答案

2b~\~a

解析1（^815=^=33+坨5=33+1—lg

lg18Ig2+21g3Ig2+21g32b+a

感悟提升1.在對數(shù)運算中，先利用哥的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)

指數(shù)募的形式，使募的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運算法則化簡合并.

2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，

轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、募再運算.

3./=N=b=log“N（a>0,且aWl）是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運

算中應注意互化.

71

訓練2（1）（2023?豫北名校聯(lián)考）已知2。=7』左，若4+：=1,則左的值為（）

ab

A.28B.―

14

C.14D.-

7

答案A

解析'：2a=lb=k,

??a=log2左，Z?=log7鼠??一=log%2,：=log〃,

ab

21

/.―-h-=210g起+log"=log左28=1,

ab

???左=28.故選A.

（2）計算：log535+21og^2—log5^—log514=.

1

答案22

解析原式=log535—logs^—log514+k）g（啦）2

1

352

=log5]+log2=log5125—l=log553—1=3—1=2.

—X14,

50!

2

⑶計算：L7]3+eln3+logIog34-log23=.

i

答案34

解析原式=0—+3—glogzQJ—210g32，log23=：+3—2=3.

考點三指數(shù)與對數(shù)運算的實際應用

角度1指數(shù)運算的實際應用

例3（1）某滅活疫苗的有效保存時間7（單位：小時h）與儲藏的溫度/（單位：℃）滿

足的函數(shù)關(guān)系為7=3+匕（左，6為常數(shù),其中e=2.71828…）,超過有效保存時間,

疫苗將不能使用.若在0℃時的有效保存時間是1080h,在10℃時的有效保存時

間是120h,則該疫苗在15℃時的有效保存時間為（）

A.15hB.30h

C.40hD.60h

答案C

解析由題意知1080=e?120=ei°"+'=ei°Aeb,

所以e10fr=（e5i）2=

1080一9,

所以e5"=1,所以ei5/=J,

327

所以ei5k+b=ei5k-eb=^X1080=40(h).

(2)(2020?新高考全國I卷改編)基本再生數(shù)&與世代間隔T是新冠感染的流行病

學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳

染所需的平均時間.在新冠感染疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/(。=眇描述累

計感染病例數(shù)/⑺隨時間/(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與&,T近似滿

足&=l+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出以=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠感染疫情

初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2-0.69)()

A.L2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

答案B

解析由Ro=l+",Ro=3.28,T=6,

_Ro-l3.28—1_

<r=-------=——=0.38.

T6

由題意，累計感染病例數(shù)增加1倍,

則/(9=23),

38z

即e0.38f2=2e°-l,所以e038?2ll)=2,

即0.38色一九)=ln2,

_In2?0?69

心1.8(天).

—().38?0.38

角度2對數(shù)運算的實際應用

例4(1)(2022?臨汾三模)我國在防震減災中取得了偉大成就，并從2009年起，將

每年5月12日定為全國“防災減災日”.盡管目前人類還無法準確預報地震，但

科學家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地震有所了解，地震學家查爾斯?里克林提出了關(guān)系式：

lgE=4.8+L5M,其中￡為地震釋放出的能量，〃為地震的里氏震級.已知2008

年5月12日我國發(fā)生的汶川地震的里氏震級為8.0級,2017年8月8日我國發(fā)生

的九寨溝地震的里氏震級為7.0級，可知汶川地震釋放的能量約為九寨溝地震的

3

(參考數(shù)據(jù)：VW^21.5,\/T000^31.6)()

A.9.6倍B.21.5倍

C.31.6倍D.47.4倍

答案C

解析在lgE=4.8+1.5N中,令析=8,

得lg￡=4.8+1.5X8=16.8,則￡=1016-8,

因此汶川地震釋放的能量為IO".8,

令〃=7,得lgE=4.8+1.5X7=15.3,

則￡=1015.3,

因此九寨溝地震釋放的能量為1063,

所以汶川地震釋放的能量約為九寨溝地震的

3

^^=1015=102=7103=\’?000七31.6(倍).

(2)(2022?北京卷)在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化

碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧

化碳所處的狀態(tài)與T和1g尸的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；尸表示壓強，

單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()

A.當T=22Q,P=1026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當7=270,0=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當7=300,0=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當7=360,0=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

答案D

解析對于A,當7=220,尸=1026時，lgP=lg1026>lg103=3,根據(jù)圖象可

知，二氧化碳處于固杰；

對于B,當7=270,尸=128時，1g尸=lg128G(lg1。2,坨1()3),即坨尸口2,3),

根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于液態(tài)；

對于C,當7=300,尸=9987時，lgP=lg9987<lg104=4,且與4非常接近，

根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；

對于D,當7=360,尸=729時，1g尸=1g729?(lg102,1g103),即lgP=lg729^(2,

3),根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故選D.

感悟提升解決指數(shù)、對數(shù)運算實際應用問題的步驟

(1)理解題意、弄清楚題目條件與所求之間的關(guān)系；

(2)運用指數(shù)或?qū)?shù)的運算公式、性質(zhì)等進行運算，把題目條件轉(zhuǎn)化為所求.

訓練3(1)(2023?江西名校聯(lián)考)法國數(shù)學家馬林?梅森是研究素數(shù)的數(shù)學家中成就

很高的一位，人們將“2。―13為素數(shù))”形式的素數(shù)稱為“梅森素數(shù)”，目前僅

發(fā)現(xiàn)51個“梅森素數(shù)”，可以估計，267—1這個“梅森素數(shù)”的位數(shù)為(參考數(shù)

據(jù)：1g2心0301)()

A.19B.20

C.21D.22

答案C

解析依題意，lg(267—l戶Ig267=671g2心67X0.301=20.167,...267—d()20.i67.

.?.267—1這個“梅森素數(shù)”的位數(shù)為21位.

(2)果農(nóng)采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度.已知某種水果失去新鮮度h

與其采摘后時間《天)滿足的函數(shù)關(guān)系式為/?=”鼠若采摘后10天,這種水果失去

的新鮮度為10%,采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%.那么采摘下來的

這種水果多長時間后失去40%新鮮度()

A.25天B,30天

C.35天D.40天

答案B

10

解?析依題-意?，得，10%=wa,解、得機=白1，屋°=2,

20

\20°/o=m-a,20

當〃=40%時，40%=-

20

即40%=L%E,

20

解得#-10=4=(/0)2=020,

于是得10=20,解得/=30(天)，

所以采摘下來的這種水果30天后失去40%新鮮度.

分層精練?鞏固提升

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.若代數(shù)式呼2%—1+也二x有意義，則弋4爐—4x+l+2\j(x—2)4=()

A.2B.3

C.2x~1D.x—2

答案B

解析由\)2x—1+丫2-x有意義，

得，、解得;4W2.

2—2

所以x—2W0,2x—120,

___4_________________

所以\)4x2—4x+1+2\](x—2)4=\](2x—1)2+2|x—2|=|2x—l|+2|x—2\=2x—

1+2(2—x)=3.

2.已知lg5=a,則lg20=()

A.4+QB.0.6+。

C.2~aD.2Q—4

答案C

解析V1g5=a,

???lg20=lg112=lgl00-lg5=lgl02-lg5

=21g10—lg5=2—a.

3.(2022?浙江卷)已知2"=5,log83=A,則3b=()

A.25B.5

25

D3

9

答案C

解析因為2。=5,Z>=logs3,

即23b=3,

所以4「3b4。=(2。)2=52=25

43廠⑵一2—32一9

4.瑞典著名物理化學家阿倫尼烏斯通過大量實驗獲得了化學反應速率常數(shù)隨溫度

Ea

變化的實測數(shù)據(jù)，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：k=Ae--

其中左為反應速率常數(shù)，R為摩爾氣體常量，T為熱力學溫度，及為反應活化能,

Z（Z>0）為阿倫尼烏斯常數(shù).對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為和0時，

反應速率常數(shù)分別為kx和左2（此過程中R與瓦的值保持不變），經(jīng)計算一*=河,

若乃=271,則ln?=()

B.M

C.\[MD.2M

答案A

Ea

解析由題意知后=/廣.=//,

RT\

AeMM

EaEaMk\

k2=Ac~~=Ae~---=Ac-,e2,

KI2Z.K1]ZM=

上2

Ze2

M

則In-=lne2=—.

ki2

5.若log23Xlog36根Xlog96=；,則實數(shù)制的值為（）

A.4B.6

C.9D.12

答案A

解析.??10g23X10g36祖

Ig2lg36lg9lg221g621g341g2

??log2機=2,??機=4.

a

6.若2a=5匕=10,則26=()

A.2B.4

C.5D.10

答案C

解析：2。=5b=10,.,.a=log210,Z?=log510,

.alog?10In5,「

..-=-^----=-----=log25,

blogs10In25

a

.?.21=2%5=5.

7.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）

與時間/（單位：h）間的關(guān)系式為尸=尸。-3其中R）,左為正常數(shù).如果一定量的廢

氣在前10h的過濾過程中污染物被消除了20%,那么污染物減少到最初含量的

50%還需要經(jīng)過多長時間？（結(jié)果四舍五入取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1112^0.693,In

5-1.609）（）

A.llhB.21h

C.31hD.41h

答案B

解析由已知得;=「1叫方程兩邊同取自然對數(shù)得In；=—10左,

2In2—In5

所以左=~0.0223.

-10

設(shè)污染物減少到最初含量的50%需要經(jīng)過，h,

貝0.0223t

、2'

方程兩邊同取自然對數(shù)得In1=—0.0223/,

2

解得/-3L

所以還需要經(jīng)過31—10=21h使污染物減少到最初含量的50%.

8.已知^^=夕，9P=n,其中機>0且機#1,〃>0且〃#1,若2機一〃=0,則P

log?,3'

的值為（）

A.log32B.log23

C.2D.3

答案A

解析因為J-=p,

log加3

所以log3機=夕，得機=32，

所以2機一〃=2X￥—3=2X3。一（3。）2=0.

即3^(2-30=0.

因為VW0,所以V=2,解得夕=log32.

答案0

10.計算：log3y27+lg25+lg4+71O§72+83=.

答案y

3

_1

解析原式=log335+lg52+lg22+2+23Xg

3

=|+21g5+21g2+2+2

3

=1+2(lg5+lg2)+2+2

315

=-+2+2+2=—

22

11.若e^=2024,—>=1012,則x+y=.

答案In2

解析e"=2024,e^=l012,則色=冽絲=2,

e>1012

x+

即ey=29則x+y=ln2.

12.(2023?長沙模擬)若a=log23,3b=2,則2。+2一。=，cib=

答案J1

解析2"+2一。=2喻3+2-%3=3+1=%

33

?.3=2,??.b=log32,

11

：.ab=log23Xlog32=^x^=l.

Ig2lg3

【B級能力提升】

13.（2023?廣州測試）若OVaVl,1>0,且/一小=—2,則/的值為（）

A.2/B.±2^2

C.—2他D.A/6

答案A

解析根據(jù)題意，由a—2,

得（心一相"）2=於>+晨2/>-2=4,

即我+q-2b=6,

則（的+。9）2=產(chǎn)+晨26+2=6+2=8,

所以/十49=2丫2（負值舍去），故選A.

14.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為To,

則經(jīng)過一定時間/分鐘后的溫度T滿足T—北=QB（To—北），h稱為半衰期，其中

北是環(huán)境溫度.若北=25℃,現(xiàn)有一杯80℃的熱水降至75。。大約用時1分鐘，

那么水溫從75℃降至55℃,大約還需要（參考數(shù)據(jù)：1g3^0.48,1g5心0.70,1g

11^1.04）（）

A.3.5分鐘B.4.5分鐘

C.5.5分鐘