2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷3（新高考專用）解析版

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之滾動(dòng)測(cè)試卷03（新高考專用）

測(cè)試范圍：集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

L（2023?河南周口,模擬預(yù)測(cè)）己知集合"={中尤-x注0},^={X|（X-G）2<4},若低㈣UN=R,則實(shí)

數(shù)。的取值范圍為（）

A.[1,2]B.（1,2）

C.（-co,-2]u[5,+oo）D.（-00,-2）u（5,+oo）

2.（24-25高三上?貴州?開(kāi)學(xué)考試）已知圓C:/+y2—4%—6y+4=0關(guān)于直線/:改—1對(duì)稱，

則的最小值是（）

2a3b

A.2B.3C.6D.4

3.（2023?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）如圖，為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的"蚊香畫法如下：在水平直線

上取長(zhǎng)度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC,然后以點(diǎn)2為圓心，A3為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，。為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,再

以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫圓弧.……以此類推，當(dāng)?shù)玫降?蚊香"恰好有8段圓弧時(shí)，"蚊香"的長(zhǎng)度

為（）

逮

蚊香

A.14兀B.1871C.24兀D.30兀

4.（2024?四川?一模）函數(shù)=Lcos7U>（e*-e-x）,xe（-4,4）的圖象大致為（）

二,

TTr

5.）

51

A.——B.——

99

6.（2021全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）E^a=log43,L=log53,c=log45,則（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

7.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABC。中，若8c=2AB=4,AC=2幣,AB±BD,

TT

NBCD=—,貝1」3￡>=（）

4

A.6B.2C.2A/6-2A/2D.473-4

8.（2024?廣東珠海?一模）若不等式灰+146-，-62對(duì)一切尤eR恒成立，其中a,6eR,e為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù)，則。+6的取值范圍是（）

A.B.（-co,-l）C.D.（9,2）

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.（2024?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè)）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)〃=0時(shí)，函數(shù)y=/的圖象是一條直線

B.命題都有/<1"的否定是都xWl,使得fwi”

C.用二分法求函數(shù)/（尤）=1僦+2%-6在區(qū)間（2,3）內(nèi)的零點(diǎn)近似值，至少經(jīng)過(guò)4次二分后精確度達(dá)到0.1

D.某同學(xué)用二分法求函數(shù)=2v+3x-7的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：”1.5卜0.33,/（1.25）?-0.87,

2

/(1.375)?-0.28,/(1.4375)?0.02,/(1.40625)?-0.13,『(1.421875)土一0.06,貝|1.375和1.4都是精

確度為0」的近似零點(diǎn)

10.(2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)g(尤)=sin(0尤+切(0＜。＜4,0＜。＜兀)為偶函數(shù)，將g(x)圖象上的

所有點(diǎn)向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;，得到函數(shù)的圖象，若/(x)

62

的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，則()

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為1

B.函數(shù)/(x)圖象的一條對(duì)稱軸為x

12

4

C.函數(shù)/(元)在(1,§)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/5)在(0㈤上恰有5個(gè)零點(diǎn)

11.(2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x),g(x)均為定義在R上的非常值函數(shù)，且g(x)為的導(dǎo)函

數(shù).對(duì)Vx,yeRJ(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y)且/⑴=0,則()

A."0)=0B./(尤)為偶函數(shù)

C.g(x)+g(2024-x)=0D.[/(x)]2+[/(l-x)]2-l

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)

12.(2024?安徽■一模)已知cosa+cos/=邊。，sina+sin,貝(]cos(a—￡)=.

1010

13.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測(cè))若尤=0是，(尤)=(62一4》+6)1-2》-3的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是.

14.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面四邊形ABC。中，AB=AC^BD^10,當(dāng)四邊形ABC。的面

積最大時(shí),BC2+CD2+DA2的最小值為.

四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

15.(13分)(2024?江西南昌?模擬預(yù)測(cè))在VABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,滿足

I?+C?=+CLC?

3

（1）求角B的大?。?/p>

（2）若VABC的面積為G，求a+c的最小值.

16.（15分）（2025?廣東?一模）已知函數(shù)/（x）=（x-l）lnx,

⑴已知函數(shù)/（x）=（x-l）lnx的圖象與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線％=-1對(duì)稱，試求g（x）；

⑵證明/（x）*0；

⑶設(shè)％是/（X）=X+1的根，則證明：曲線y=加在點(diǎn)人伉,?。┨幍那芯€也是曲線y=e'的切線.

17.（15分）（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）$:（1）sinAsinBsinC=^-^sin2A+sin2C-sin2B）;②

+++=的黑面；③設(shè)VA5c的面積為S,且4/5+3伊一"）=3C2.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

充在下面的橫線上.并加以解答.

在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知且匕=20.

⑴若a+c=6,求VA5C的面積；

⑵若VABC為銳角三角形，求色的取值范圍.（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

C

18.（17分）（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）在相同的介質(zhì)中，人們?nèi)庋劭吹降墓饩€總是呈直線運(yùn)動(dòng)的.由于光

在不同的介質(zhì)中的傳播速度不同，因此在不同的介質(zhì)中光會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)平面

X0V中，光在介質(zhì)團(tuán)內(nèi)點(diǎn)A（。,“）以入射角a，速度"在介質(zhì)1內(nèi)傳播至X軸上的點(diǎn)尸（無(wú),0）,而后以折射角￡,

速度v在介質(zhì)團(tuán)內(nèi)傳播至點(diǎn)3（萬(wàn),c）.

⑴將光從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B的所需的時(shí)間關(guān)于尤的函數(shù)的解析式7（元）；

⑵費(fèi)爾馬認(rèn)為：光總是沿著最節(jié)省時(shí)間的路線傳播，設(shè)點(diǎn)B在x軸上的射影為C.根據(jù)費(fèi)爾馬的結(jié)論，解決

以下問(wèn)題:

、一rsinau

(i)證明：—^二一.

sinpv

(ii)若囚==，a=，x=Wb，求光線從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)8所經(jīng)過(guò)路程的取值范圍.

v2

4

19.(17分)(2024云南?二模)已知常數(shù)。>0,函數(shù)/(x)=1■尤

⑴若Vx>0J(x)>-4a2,求。的取值范圍;

(2)若4、%是/(x)的零點(diǎn)，且不W々，證明:占+%>4°.

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ADCDBADAABDAC

題號(hào)11

答案BCD

1.A

【分析】先求出集合M，N,進(jìn)而求出。M,再結(jié)合(\")uN=R列出關(guān)于。的不等式組，解方程即可得

出答案.

【詳解】集合“={尤母_尤220}={尤|04尤43},

N=E（x-a）~<4|=a-2<%<a+2j,

=卜上<0或x>3},因?yàn)?"A/)uN=R,

[a—2W0

所以八i解得：l?a42.

[a+223

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍為[1,2].

故選：A.

2.D

【分析】轉(zhuǎn)化為直線/過(guò)圓心即2a+3〃=l,再利用基本不等式可得答案.

【詳解】因?yàn)閳A。:(彳一2)2+(>一3)2=9關(guān)于直線/：辦+加一1=0(4〃>0)對(duì)稱,

所以直線/過(guò)圓心(2,3),即2a+36=l,

…113bla

貝I]-----1----=十一+一

2a3b2a2a3b

因?yàn)槎?gt;0,且2a+3b=1,所以a>0,〃>0,

匚u1、111-3b2a..

所以——+——=2+——+——>2+2=4,

2a3b2a3b

當(dāng)且僅當(dāng)==當(dāng)即a=!，b=!等號(hào)成立,

2a3b46

則上+!的最小值是4

2a3b

故選：D.

5

3.C

【分析】由弧長(zhǎng)公式得到每段的弧長(zhǎng)，相加后得到答案.

【詳解】由題意知，每段圓弧的圓心角均為中，

第一段圓弧長(zhǎng)度為用Xi音，第二段圓弧長(zhǎng)度為§Mi+i）=￥，

第三段圓弧長(zhǎng)度為=x3=2*第四段圓弧長(zhǎng)度為=x4=萼，

333

第五段圓弧長(zhǎng)度為12冗^(guò)5=[0學(xué)兀，第六段圓弧長(zhǎng)度為2半兀義6=4兀，

第七段圓弧長(zhǎng)度為27?r><7=14手7r，第八段圓弧長(zhǎng)度為27半r、8=1號(hào)（Sir，

故得到的“蚊香”恰好有8段圓弧時(shí)，

蚊香的長(zhǎng)度為與-+§+2兀+？-+亍+4兀+亍+不一=24兀.

故選：C

4.D

【分析】根據(jù)條件，得到了（尤）為奇函數(shù)，從而可排除選項(xiàng)A和B,再結(jié)合cos位與1一「在上的

正負(fù)值，即可求解.

【詳解】因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又=：cos（-m）?（b一6工）=-IcosTLvfe^-e-）=-/（%）,

即〃無(wú)）=}osm（e，-0'）為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤,

又當(dāng)x=g時(shí)，COSTU=COS^=0,當(dāng)時(shí),

71XG（；-,4兀），止匕時(shí)COS71X>0,

又易知當(dāng)x>0時(shí)，e，_e-，>0,所以xwg,4）時(shí),

/（x）>0,結(jié)合圖象可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確,

故選：D.

5.B

【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡(jiǎn)求值可得答案.

【詳解】由題干得—=sina+—|-sincr=—sintrd-----cosa-sintr

3I3j22

V31.（吟

=——cosa——sincr=cosa+—

22I

所以cosfjj=2cos2fcif+-^-j-1=2xfjj—l=-g,

故選：B.

6.A

6

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到。,6?（0,再利用換底公式和作差法得到。<匕比較出大小

關(guān)系.

［詳解1a=log43<log44=l,Z?=log53<log55=1,c=log45>log44=1,

其…所以“W岑院號(hào)。，

故OVZ?VQV1,所以Z?<a<c.

故選：A.

7.D

2兀

【分析】先由余弦定理得出/A2C=w，再應(yīng)用正弦定理求邊長(zhǎng)即可.

【詳解】在VABC中，由余弦定理,

2

得i變所以/A2C=?

2BABC2x2x423

因?yàn)槠ぃ?，所以NCBD=w

6

在△3CD中，ZBDC=7t----=-it,

6412

五

4x-

BDBC,所以小嗯票

由正弦定理，得24百_4.

sinZBCDsinZBDCA/6+V2

4

故選:D.

8.A

【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為（辦2+6元+1卜，工1對(duì)一切工€1<恒成立，設(shè)〃》）=（"2+灰+1卜\則后者可轉(zhuǎn)

化為⑼恒成立即”0）為函數(shù)的極大值，故可求參數(shù)的范圍或取值，故可得正確的選項(xiàng)，或者將

原不等式轉(zhuǎn)化為+根據(jù)左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象位置關(guān)系可求參數(shù)的范圍.

【詳解】法一：不等式法+/片工-妙,對(duì)一切xeR恒成立即為

不等式（辦2+6x+l”<1對(duì)一切xeR恒成立,

今〃x)=(加+6x+l)e"則有"0)=1；

故不等式法+14e-，-6?對(duì)一切xeR恒成立等價(jià)于/（%）V/（。）恒成立,

所以〃。）為〃x）的最大值點(diǎn).

顯然，a<0,否則xf+00時(shí)，與題設(shè)矛盾.

7

又/r(x)=ex^ax2+(2a+b)jr+6+l],止匕時(shí)/'(0)=Z?+1

若8+l>0,存在區(qū)間(s,。，是否。且V%￡(s,。，總有((%)>0,

這與〃。)為了(%)的最大值點(diǎn)矛盾，故)+1>0不成立，

同理〃+1<0也不成立，故b+l=O,貝！JZ?=-1,

「?/'(%)=I[改2+(2a+1)x]=xex(ox+2a—1),

當(dāng)a=O時(shí)，當(dāng)X￡(一。,0)時(shí)，f'{x)>0,當(dāng)％E(0,+8)時(shí)，f\x)<0,

故“力在(-匕。)上遞增，(0,+8)上遞減，/(力</(。)符合題意；

當(dāng)4<0時(shí)，當(dāng)：〃]u(O,+8)時(shí),((%)V0,

當(dāng)時(shí)，尸(%)〉0,

故/(%)在[一8，1r]上遞減，[1廣，。)上遞增，(0,+8)上遞減，

-7-1—2。I1—2a1—J1—4aJl—44—2a

而當(dāng)％v-----時(shí)，----------------=----------<0，

aa2a2a

故辦2-尤+1<0即/'(x)<0,故/(x)W〃0)恒成立，故a<0符合題意.

綜上，a<O,b=-l,因此a+6e(-力,一1].

法二：不等式(加+加:+1)e”1可化為蘇+法+14葭，

f(xj=ax2+bx+l,g(^xj=e.~x,

當(dāng)a=O時(shí)，/(x)=ox2+Z?x+l=Z?x+l,此時(shí)，直線/(x)恒過(guò)點(diǎn)(0,1),

故只需直線/(耳=笈+1為且(力=b在點(diǎn)(0,1)處的切線即可，

b=g'(O)=-l，此時(shí)a+%=-L

當(dāng)時(shí),〃x)亦恒過(guò)點(diǎn)(0,1),

為使o^+bx+lVeT對(duì)一切xGR恒成立，

需〃x)=o^+bx+l開(kāi)口向下，且在點(diǎn)(0,1)處與g@)=eT有公切線即可,

[a<0

故[/'(。)=6=-1'此時(shí)

綜上，a+b的取值范圍是a+6e(-℃,T].

8

故選：A.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：多變量不等式恒成立問(wèn)題，可將原不等式作適當(dāng)變形，從而將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象

的位置關(guān)系，或者根據(jù)不等式的特征將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值問(wèn)題.

9.ABD

【分析】根據(jù)嘉函數(shù)的性質(zhì)即可求解A,根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題即可求解B,根據(jù)二分法的性質(zhì)即可

求解CD.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)〃=0時(shí)，函數(shù)y=x"=l,(xwO),故圖象是兩條射線，A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,命題都有尤2的否定是"玉＜1,使得-21",故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,開(kāi)區(qū)間(2,3)的長(zhǎng)度等于1,每經(jīng)過(guò)一次操作長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，

則經(jīng)過(guò)愉eN*)次操作之后，區(qū)間的長(zhǎng)度變?yōu)椋?，故?0.1,得2"210,所以此4,

即至少經(jīng)過(guò)4次二分后精確度達(dá)到0.1,故C正確；

對(duì)于D,由于〃1.4375卜0.02＞0"(1.40625卜-0.13＜0,所以(140625,1.4373)的任何一個(gè)值均為精確度為

0.1的近似零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，

故選：ABD

10.AC

7T

【分析】由g(x)為偶函數(shù)得。=],再由圖象變換結(jié)合已知求出。，即得了(元)，然后借助余弦函數(shù)的圖象

性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】由函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，得＜p=g+E,keZ,而0＜0＜兀，則夕=

因此/(%)—sin(2＜yx+—+—)—cos(2tyx+—),f(0)=cos?,

由0VG＜4,得。于是?=g解得/=兀，則/(x)=sin(2m+J),

63666

2兀

對(duì)于A,函數(shù)/(%)的最小正周期為T二二=1,A正確；

2兀

對(duì)于B,/(4)=cosg=gw±l,函數(shù)/(無(wú))圖象關(guān)于x=*不對(duì)稱，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)1＜龍44時(shí)，多137r＜2口+i三t＜17兀￥，而余弦函數(shù)y=cosx在(1切3TT,￥]7幾)上單調(diào)遞減，

366666

4

因此函數(shù)/(%)在(1,§)上單調(diào)遞減，C正確；

717TK1

對(duì)于D,由/(%)=。，得2TIXH—=kuT—，左eZ,解得％=—I—，左wZ,

6226

ki

由。＜+＜兀歡$Z,解得左w{0,l,2,3,4,5},因此函數(shù)/(%)在(0㈤上恰有6個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

26

9

故選：AC

11.BCD

【分析】選項(xiàng)A,根據(jù)條件，令x=y=O,即可求解；選項(xiàng)B,利用選項(xiàng)A中結(jié)果，令x=0,即可求解；

選項(xiàng)C,令x=l,得到〃l+x)+〃l-x)=O,進(jìn)而有廣(1+力-尸(1-x)=0,再利用選項(xiàng)B中結(jié)果,得到g(x)

為奇函數(shù)，從而得出g(x)的周期為4的周期函數(shù)，即可求解；選項(xiàng)D,令得到〃2力+〃0)=2嚴(yán)(力，

用1-X代替x，y得到〃2-2力+〃0)=2產(chǎn)(1-力，利用C中結(jié)果，兩式相加，即可求解.

【詳解】因?yàn)橐纘eR,/(x+y)+/(x—y)=2/(x)〃y),且/⑴=0,

對(duì)于選項(xiàng)A,令x=y=0,得到2〃0)=2/(0)〃0),所以"0)=0或/(O)=1,

若"0)=。，令>=0,得到2/(x)=2/(x)/(0)=0,得到〃尤)=0,與題不合,

所以了(。)=1,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)B,由選項(xiàng)A知/(0)=1,令x=0,得到/(?)+/(—y)=2/(O)/(y)=2/(y),

即y)=/(y)，又〃尤)的定義域?yàn)镽,所以選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C,令x=l,得到/(l+y)+/(l_y)=2〃l)〃y)=0,

所以4x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，

即〃1+力+〃1一尤)=。，所以尸(1+x)-1(1-x)=0,

又由選項(xiàng)B知，/(-X)=/(X),得到-r(r)=/G),Bpr(-x)=-r(x),

所以g(x)為奇函數(shù),令1-x=f,由尸(1+尤)-/"r)=0,得到g(2T)=g?),

則有g(shù)(2+r)=g(—r)=—g(t),所以g(4+r)=-g(2+r)=g(r),

即g(x)的周期為4的周期函數(shù)，所以gq)+g(2024—尤)=gG)+g(4*506—x)=g(x)+g(—x)=0,故選項(xiàng)C

正確，

對(duì)于D,令％=丁，得至U貝I]/(2X)+『(O)=2/2(X)①，

用1-X代替得到〃2-2力+/(0)=2#(1一力②，

由①+②得2/(力+2產(chǎn)(lr)=2〃0)+/(2—2x)+/(2x)=2+/(2—2x)+/(2x),

由選項(xiàng)C知/(2-2力+〃2力=0,所以產(chǎn)(x)+/2(l—x)=l,故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

10

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的奇偶性、周期性以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，抽

象函數(shù)性質(zhì)綜合問(wèn)題一般使用賦值法，本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C和D的判斷，選項(xiàng)C解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意

采用變量代換推出函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，即可求解，選項(xiàng)D,通過(guò)賦值得至IJ/(2x)+/(O)=2_f(x)和

f(2-2x)+f(O)=2f(l-x),結(jié)合條件和對(duì)稱性，即可求解.

12.——0.5

【分析】把所給式子兩邊平方相加可求得結(jié)果.

【詳解】由costz+cos/?=^^,可得cos%+2cosacos￡+cos2^=L①，

由sina+sin￡=^^,可得sin2a+2sinasin/?+sin2￡=二②，

1010

所以①+②，可得l+2cosacos/7+2sinasin/3+1=1,

所以2cos(a-￡)=-1,所以cos(tz-/7)=-g.

故答案為：-g.

13.[1,+<?)

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，對(duì)極值點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化，判斷極值點(diǎn)，即可求解.

【詳解】x=0是『(尤)=(依2-4x+6)e，-2尤一3的極小值點(diǎn)，

求導(dǎo)得「(%)=3(依2-4》+6+26-4)-2=叫蘇+(2°-4)彳+2]-2.

/,(0)=e°[<2x0+(2<2-4)x0+2]-2=2-2=0,

因?yàn)椤Ｊ菢O小值點(diǎn)，所以e(a0),廣(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,G(0,e),(X)>0J(X)單調(diào)遞增,

設(shè)g(x)=1[加+(2a-4)x+2]-2,=6^+(4?—4)x+2a—2^j

當(dāng)a>1時(shí)，g，(x"0,g(x)在R上單調(diào)遞墻g⑼=0,滿足X?YO,0),/(%)=8(%)<0,/(%)在(-00,0)上單調(diào)

遞減，

尤w(0,y),廣(力=g(x)>0,〃尤)在(0,y)上單調(diào)遞增，符合題意；

當(dāng)aWO時(shí)，g<x)<O,g(尤)在R上單調(diào)遞減,g(O)=O,xe(yo,0)，r(x)=g(x)>0,/(x)在(YO,0)上單調(diào)遞

增，

尤?0,y)/(x)=g(x)>0,/(可單調(diào)遞減，0是極大值點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)0<a<1時(shí)，gf(x)=er[ax2+(4t?-4)x+2a-2]=0,

11

62+（4。-4）尤+2。-2=0有兩個(gè)根%,無(wú)2設(shè)王<X2，;c［無(wú)2=———<0,玉<0（尤2，

左?%,%2），8，（彳）<0,8（兀）在（外,々）上單調(diào)遞減,8（0）=0"?西,0）,廣（6=8（》）>0,/（同在（再,0）上單調(diào)遞

增，

左?0,馬）,1（耳=8（）>0,/（同在（0,馬）上單調(diào)遞減,0是極大值點(diǎn),不合題意;

故a>1.

故答案為：［1,內(nèi)）.

14.700-400/

1兀

【分析】設(shè)NAOD=e，可得s==—3OxACsine=50sin&得出6=一時(shí)四邊形面積最大，設(shè)A0=x,03=y,

22

將所求式用羽丫表示，由-+卡=100,利用基本不等式即可求得其最小值.

【詳解】

如圖，設(shè)acn3D=O,ZAOD=e,

則四邊形ABCO的面積為5=5△AB"+S△DC-Z.z^-BDxAOsine+-BDxCOsm0^-BDxACsm0=5Osm0,

jr

因0<6<兀，故當(dāng)且僅當(dāng)sin6=l,即6=1時(shí)，S111ax=50.

TT

當(dāng)6時(shí)，T^AO=x,OB=y,貝l|CO=10-x,OD=10-y,

于是BC?+CD2+DA?=丁+(10-彳)？+(10-y)2+(10-x)2+尤2+(10->)2=3(/+/)-40(x+y)+400,

因AG^+BO?=100,即x2+y2=100,

由(x+y)2=Y+y2+2盯42(必+?2)=200,則有x+yW10&,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=■時(shí)取等號(hào)，

即當(dāng)x=y=50時(shí)，BC-+CD2+DA2的最小值為300-40x10-72+400=700-400點(diǎn).

故答案為：700-4000.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)已知，考慮按一條對(duì)角線將其拆分求面

積；第二個(gè)關(guān)鍵是，選設(shè)未知量，設(shè)AO=x,OB=y,便于找到和運(yùn)用等量關(guān)系/+y=ioo解題.

71

15.d)B=y

12

(2)4

【分析】(1)利用余弦定理直接求解即可；

(2)由三角形的面積公式可得比=4,再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)由余弦定理得COS3="2+C-一?=&=1,

laclac2

7T

因?yàn)锽e(0,口)，所以B=

(2)由(1)sinB=sin—=—,

32

因?yàn)閂ABC的面積為有，即gacsin5=g,所以ac=4,

則a"1專:，即專22,所以Q+C",

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以的最小值為4.

16.(1)g(x)=(―3—x)ln(―2—%),(x<—2).

⑵證明見(jiàn)解析

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】(Q由/(—l—x)=g(-l+x),得g(-l+無(wú))=(-2—x)ln(-l—x),再利用換元法求g(H；

(2)分區(qū)間討論各因式的符號(hào)或利用導(dǎo)數(shù)證明；

(3)取曲線y=eX上的一點(diǎn)3(尤I，e*'),設(shè)g(x)=hur在A處的切線即是力(x)=e*在B處的切線，證明直線

的斜率等于g(x)=lnx在A處的切線斜率和為(x)=e，在3處的切線斜率即可.

【詳解】(1)因?yàn)榈膱D象與g(x)的圖象關(guān)于直線x=—1對(duì)稱，所以/(-l-x)=g(-l+x).

又因?yàn)?(—1一x)=[(—1—x)—1—x)=(―2—x)ln(—1—%),

所以g(-l+x)=(—2—x)m(-l—x),

令t=-1+x,貝!]x=/+l,

所以且(，)=[-2-(,+1)]111[-1一(7+1)]=(-3-。111(一2一。，

因止匕g(九)=(一3—九)ln(—2—x),(x〈一2).

13

(2)證明：

解法1：當(dāng)%>1時(shí)，％-1之0且lnx>0,止匕時(shí)/(x)=(x-l)lnx>0；

當(dāng)0<%<1時(shí)，％—1<0且lnx<0,止匕時(shí)f(x)=(x-l)lnx>0,

故綜上

解法2：/,(x)=lnx+l--,令夕(x)=lnx+l-L。'("」+與>。在(0,+8)上恒成立,

XXXX

故e(x)在(o,+e)上單調(diào)遞增，即f(x)在(o,+8)上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)0<x<l時(shí)，因(力<-(1)=0；當(dāng)xNl,f'(x)N/'(l)=O；

因此f(x)在(。,1)上單調(diào)遞減，在［1,+8)上單調(diào)遞增,

故"x)2"1)=0.

(3)證明：不妨取曲線y=e，上的一點(diǎn)可不屋】，設(shè)g(x)=liu在A處的切線即是/z(x)=e*在8處的切線,

11(11

則g'(%o)="(七)=—=e",得玉=In—,則3的坐標(biāo)In—，一

%/I%%

x+1

由于(髭-l)ln%o=%+1,所以1叫二廣工

I11”w

IHXQ------

________Xg_=%_]%=Xo(XoT)=J_

則有KB=——半

-vo+lnxo,x0+l考+lxc

XQ—In—

0X?！?-x--0----—-----1-r

綜上可知，直線AB的斜率等于g(x)=限在A處的切線斜率和％(x)=在3處的切線斜率,

所以直線A2既是曲線y=liw在點(diǎn)A(%,lmb)處的切線也是曲線y=e，的切線.

17.⑴選①②③VABC的面積都為26，

【分析】(1)若選①，由正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理求B,利用余弦定理求歡，再由三角形面積公

式求面積；選②，通過(guò)三角恒等變換求8,利用余弦定理求“c,再由三角形面積公式求面積；若選③，由

條件結(jié)合三角形面積公式，余弦定理可求B,利用余弦定理求公，再由三角形面積公式求面積；

(2)由題意可求得利用正切函數(shù)的性質(zhì)可求利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變

62tanC

換的應(yīng)用可求:磊+:’進(jìn)而可求解(勺范圍?

14

【詳解】（1）若選①，設(shè)VABC的外接圓的半徑為R,由正弦定理可得sinA=—,sinB——,sinC——,

2R2R2R

-^-^sin2A+sin2C-sin23),

又sinAsinBsinC=

所以acsin3=^^(〃2+c2-/),

所以sinB二受士」）a2+c2-b2

又cosB=

2aclac

所以sin5=J5cosB,所以tan3=J§\又3?。,兀)，

所以8=1，

所以cosB=。+；——=,所以(Q+C)2—/=3QC,

又b=2乖,a+c=6,所以〃。=8,

所以VABC的面積S=—acsinB=2yfi,

2

11sinC

若選②，由--------1--------

tanAtanBA/3sinAcosB

~cosAcosBsinC

所以kr協(xié)

A/3sinAcosB

sinBcosA+sinAcosBsinC

所以,結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì),

sinAsinB^3sinAcosB

所以sin(A+5)_,sinC

sinAsinBsinAcosB'

所以sinB=J^cosB,所以tan5=J§\又㈤,

TT

所以2=g，

所以cosB=a+C———=—,所以(a+op-/=3〃c,

lac2v7

又b=2A/3，a+c=6,所以ac=8,

所以VABC的面積S=—acsinB=2y/3,

2

若選③，因?yàn)镾=；acsin3,-a2)=3c2,

所以$也8=道一+/一”，又35，十

2aclea

所以sinB=J^cosB,所以tan5=J§\又5￡(0,兀)，

jr

所以8=1,

所以cosB=2十°——=—,所以(a+c)—/=3ac,

lac2v7

15

又b=2,y/3，a+c=6,所以etc—8，

所以VABC的面積S=—tzcsin5=273.

2

（2）由（1）可知2=；,b=2.y/3,

V3“1.廠

—cosCH—sinC

所以由正弦定理知〃sinA22上+L

sinC2tanC2

因?yàn)閂ABC為銳角三角形,

3

所以0<c<],且0<弓-c<T，

71-7T

解得W<C<u，

o2

所以tanC>且，可得

3tanC

1c

所以L+—<2，

22tanC2

所以色a的取值范圍是21

J/+/

18.⑴7（力=---------FXG（O,Z?）,

Uv

(2)(i)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(ii)

【分析】⑴由勾股定理得到|AP|=&+/，怛4=J(iJ+c2,表達(dá)出T⑺=&+?+

v

xe（O,?；

(2)(i)求導(dǎo)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到函數(shù)單調(diào)性，及存在唯一的x°e(O,。)，使得7(%)=0,結(jié)合費(fèi)

爾馬的結(jié)論，當(dāng)X=不時(shí)，光線所經(jīng)過(guò)的路程最短，由7(1)=0得到方程，結(jié)合

sina_x

0,證明出結(jié)論;

(ii)代入化簡(jiǎn)得到%+紀(jì)=1,0<b<2,-^<c<0,得到點(diǎn)B的軌跡，光線從A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路

432

b2b23

程為\3+1

42

16

【詳解】（1）由勾股定理得|AP|=V717，\BP\=^(b-x)2+c2

,2

所以T（x）=XG(0,Z?),

(2)(i)

%=

由于“-J1+—在X?°，6）上為增函數(shù)，

Uvh+_______在％￡（0力）上為減函數(shù),

V（1）2

故:r（%）在%?O,A）上為增函數(shù),

bb

又M0)=-T<°，T'(">=>0

Tv+c：Uyb~+a~

由零點(diǎn)存在性定理得，存在唯一的x°e（O,b）,使得75）=0,

且T（x）在（0,與）上單調(diào)遞減，在優(yōu)力）上單調(diào)遞增,

據(jù)此，并運(yùn)用費(fèi)爾馬的結(jié)論，當(dāng)彳=不時(shí)，光線所經(jīng)過(guò)的路程最短,

b-x°

令7(%)=0得,=0

",u

故一=

vJx()+a

又sinasina_u

，故~—一

sin0b-x0sm￡v

2

bb

I+。2