2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（解析版）

專題36基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................4

【考點突破】...............................................................15

【考點1】基本立體圖形......................................................15

【考點2］表面積與體積......................................................21

【考點3】與球有關(guān)的切、接問題..............................................28

【分層檢測】...............................................................35

【基礎(chǔ)篇】.................................................................35

【能力篇】.................................................................45

【培優(yōu)篇】.................................................................51

考試要求：

1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能

運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).

2.知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實

際問題.

3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體）的直觀

圖.

攣知識梳理

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

S

A

D'A

a

圖形

AB

ABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

相交于一點,但不一

側(cè)棱平行且相等延長線交于一點

定相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

■S\0

A鎏

圖形萋

1

互相平行且相等，

母線相交于一點延長線交于一點

垂直于底面X

軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀圖

（1）畫法：常用斜二測畫法.

⑵規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸、y'軸的夾角為45。（或135°）,

，軸與V軸、V軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別土后王坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直

觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼亩?

3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

2

圓柱圓錐圓臺

側(cè)面展開門.

/<2加；

/L1A/

圖夠/

側(cè)面積公

S圓柱側(cè)=2兀S圓錐側(cè)=兀77S圓臺側(cè)=兀⑺+/2）/

式

4.柱、錐、臺、球的表面積和體積

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2S底V=Sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底V=TSh

31

V=g（S上+S下+但作比

臺體（棱臺和圓臺）S表面積=S側(cè)+S上+S下

4.

球S=4TTR2V=T7l7?3

3---

常用結(jié)論

1.正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長為a,球的半徑為R,

（1）若球為正方體的外接球，則2R=小a；

（2）若球為正方體的內(nèi)切球，則2R=a；

（3）若球與正方體的各棱相切，則2R=地a

2.長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2>=年依+02+02.

3.正四面體的外接球的半徑R=乎a,內(nèi)切球的半徑廠=杏。，其半徑R：r=3：l（a為該正四面

體的棱長）.

4.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直現(xiàn)圖=原圖形.

.真題自測

一、單選題

52

1.（2024?全國?高考真題）已知正三棱臺ABC-4AG的體積為至，AB=6,A旦=2,則與平面9c

所成角的正切值為（）

3

A.萬B.1C.2D.3

2.（2024?全國?高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為石，則圓錐的

體積為（）

A2百兀B3c6D9百兀

3.（2023?全國?高考真題）在三棱錐尸-9C中，AABC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=瓜，

則該棱錐的體積為（）

A.1B.A/3C.2D.3

4.（2023?全國?高考真題）已知四棱錐P-MCD的底面是邊長為4的正方形，PC=PD=3,ZPG4=45°；

則APBC的面積為（）

A.2拒B.3行c.4夜D.672

5.（2023?全國,高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為6,O為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，4105=120。，

973

若ARIB的面積等于丁，則該圓錐的體積為（）

A.兀B,瓜兀C.3萬D.3而r

二、多選題

6.（2023?全國?高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度

忽略不計）內(nèi)的有（）

A.直徑為。?99m的球體

B.所有棱長均為14m的四面體

C.底面直徑為OQlm,高為L8m的圓柱體

D.底面直徑為L2m,高為OOlm的圓柱體

三、填空題

7.（2024?全國?高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為4,下底面半徑均為M圓臺的母線長分別為

（-1）,（2一切，則圓臺甲與乙的體積之比為.

8.（2023?全國?高考真題）已知點S，AB，C均在半徑為2的球面上，AABC是邊長為3的等邊三角形，5A1

平面A3C,則&4=.

9.（2023?全國?高考真題）在正方體gGA中，4?=4,0為“G的中點，若該正方體的棱與球。的

球面有公共點，則球°的半徑的取值范圍是.

10.（2023?全國,高考真題）在正方體—中，E,尸分別為AB,G2的中點，以EF為直徑的球

的球面與該正方體的棱共有個公共點.

4

11.（2023?全國?高考真題）在正四棱臺ABCD-ABGR中，AB=2，A耳=1,朋=也，則該棱臺的體積

為■

12.（2023?全國?高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

參考答案：

1.B

【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高力=生叵，做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求得

3

進而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺ABC-補成正三棱錐尸—

3

4A與平面A8C所成角即為上4與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得/_.=18,進而可求正三棱錐

尸-A5c的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一：分別取的中點RR,則AD=36，AA=6,

可知SA”=！x6x6x@=96,S/=—x2x\/3=\/3,

△Atfc22v，4cl2

設(shè)正三棱臺ABC-A冉G的為心

貝!1KWC-AB,C,=J,石+6+8-/若卜=F,解得h=,

如圖，分別過A，Q作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)A〃=X,

則叫="AM?+A”二卜q,DN=AD-AM-MN=2^/3-x,

222

可得OR=y/DN+DtN=J（2V3-x）+y,

結(jié)合等腰梯形BCC4可得BB；=j+DD；，

即f+g=（2石一x『+g+4,解得x=乎，

所以AA與平面ABC所成角的正切值為tan?A.AD整=1；

AM

解法二：將正三棱臺ABC-4耳q補成正三棱錐尸—ABC,

5

p

則4A與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角,

尸444_1則=J_

因為

'Vp-ABC27

=

可知1G27ABC=，則％ABC=18,

設(shè)正三棱錐P—ABC的高為d,則/ABC='dx』x6x6x3=18,解得1=2外,

P-ABC322

取底面ABC的中心為。，則P?！沟酌鍭BC,且AO=2若，

PO

所以B4與平面A3C所成角的正切值tanNB40=K=l.

AO

故選：B.

2.B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為一，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑〃的方程，求出解后可求圓錐的體

積.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為^^大，

而它們的側(cè)面積相等，所以2ax百="/用/即26=病/，

故r=3,故圓錐的體積為;兀><9*逝=36無.

故選：B.

3.A

【分析】證明平面PEC,分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為A3得解.

【詳解】取A3中點E,連接尸E,CE,如圖，

B

6

:.PE±AB,CE±AB,又PE,CEu平面PEC,PERCE=E,

ABI平面PEC,

又PE=CE=2x立=6PC=&,

2

iiLPC2=PE2+CE2,即尸E_LCE,

所以V=^B-PEC+匕-PEC=JSAPEC,48=~x~x上x6X2=1,

故選:A

4.C

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得APDO三APCO,APDB*PCA,從而得到R4=P8,

再在△P4C中利用余弦定理求得PA=后，從而求得PB=W，由此在APBC中利用余弦定理與三角形面

積公式即可得解；

法二：先在△出（?中利用余弦定理求得PA=JT7,cosZPCB=1,從而求得西.卮=-3,再利用空間向

量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得PB=由此在APBC中利用余弦定

理與三角形面積公式即可得解.

【詳解】法一：

連結(jié)AC,交于0,連結(jié)PO,則。為AC,3。的中點，如圖，

因為底面ABC。為正方形，AB=4,所以AC=BD=4&，則DO=CO=2后，

又PC=PD=3,PO=OP,所以APDOMAPCO,則/PDO=/PCO,

又PC=PD=3,AC=BD=4y/2,所以APDB^APCA,則=

在△PAC中，尸C=3,AC=4&,NPCA=45。，

貝U由余弦定理可得尸彳=AC?+PC?-2AC-PCcosNPCA=32+9-2x4忘x3x正=17,

2

故PA=&7,貝!］尸3=舊，

故在APBC中，PC=3,PB=A,BC=4,

7

PC-+BC2-PB-9+16-171

所以cosNPC8=

2PCBC2x3x4一

X0<ZPCB<7t,所以sinNPCB=Jl-cos?NPCB=，

3

所以APBC的面積為S=工PC?8CsinNPCB=L3x4x冬巨=4后.

223

法二:

連結(jié)交于。，連結(jié)PO,則。為AC,3D的中點，如圖,

因為底面ABCD為正方形，AB=4,所以AC=30=4&，

在4c中，PC=3,ZPCA=45°,

貝lj由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x472x3x—=17,故PA=V17,

2

尸4+PC2-AC?17+9-32后

所以cosNAPC=則

2PA-PC2X717X3-17

PA-PC=|PA||PC|COSZAPC=VT7X3X

不妨記PB=m,NBPD=e,

因為而=|■（而+定）=:（而+而），所以（向+定『=（而+而『，

art--?2---?2--?---?---?2--->2---?---?

K|JPA+PC+2.PAPC=PB+PD+2PB-PD，

貝lj17+9+2x（—3）=n/+9+2x3xmcos6,整理得trr+6/ncos0-11=0①，

又在APBD中，BI）?=PB-+PD2-2PB-PDcosZBPD，即32=M+9-6〃2cos0，貝Unr-6〃2cos6>-23=0②,

兩式相力口得2租2-34=0,故PB=m=歷，

故在APBC中，PC=3,PB=>fn,BC=4,

PC?+BC2-PB°9+16-171

所以cosNPCB=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<TI,所以sin/PCB=Jl一cos?NPCB=

3

8

所以aPBC的面積為3=工/>。3。S詁/2。5=!*3*4*3旦=4e.

223

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.

【詳解】在“103中，ZAOB=120°,而。l=08=g,取A3中點C,連接。C,PC,有OC_LAB,PC_LAB,

如圖，

LxPC

24

解得尸C=亭，于是PO=癡2_℃2=1呼)一與2=瓜,

所以圓錐的體積V=jTtxOA2xP0=jitx(V3)2x76=娓it.

故選：B

6.ABD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：因為0.99m<lm,即球體的直徑小于正方體的棱長,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對于選項B：因為正方體的面對角線長為國，且0>1.4，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對于選項C：因為正方體的體對角線長為石m,且石<1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；

對于選項D：因為L2m>lm,可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過AG的中點。作OE^AG，設(shè)OKIAC=E,

9

可知AC=V2,CC,=1,AC,=y/3,OA=—,貝UtanZCAQ=0=罷，

2ACAO

1OE廠

即丁行解得0￡=如，

故以AC】為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m圓柱，

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心與正方體的下底面的切點為

M,

可知：AC110]M,01M=0.6,則tanNC4G="^=鬻，

ACAC7]

10.6廠

即下二777，解得AQ=0.6近，

根據(jù)對稱性可知圓柱的高為石一2義0.6夜a1.732—1.2x1.414=0.0352>0.01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；

故選：ABD.

7.好

4

【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計算即可

得解.

【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為幅=，以a-四丁-6-幻?=若?一馬）,

h乙=』3（4-4）『一（〃-仃=265一琦，

所以工」S2+S|+鄧區(qū)）幅=組=9-幻=屈

及一;（邑+百+后“「7一2行（1々）一丁

故答案為：好.

4

10

8.2

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.

【詳解】如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMN-ABC,

設(shè)AABC的外接圓圓心為。一半徑為,，

2r=______=-1--2J3

則sinZACB近，可得/'=6，

了

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為。，連接。則。4=2,00]=gSA,

因為。42=。0；+0.,即4=3+1SA2,解得81=2.

故答案為：2.

【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法

（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，

把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；

（2）若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段B4、PB、PC兩兩垂直，且必=a,PB=b,PC=c,一般

把有關(guān)元素"補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)47?2=/+爐+°2求解；

（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；

（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；

（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位

置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

9.[2夜,2向

【分析】當球是正方體的外接球時半徑最大，當邊長為4的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時半徑達到最小.

【詳解】設(shè)球的半徑為R.

當球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包

11

含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點,

正方體的外接球直徑2R為體對角線長AC；="2+42+42=46,即2R=4^,R=2。，故凡11s=26；

分別取側(cè)棱⑨上片,CG，Z)A的中點顯然四邊形MZVG”是邊長為4的正方形，且。為正方形

跖VG”的對角線交點，

連接MG,貝UMG=40，當球的一個大圓恰好是四邊形MNG"的外接圓，球的半徑達到最小，即R的最

小值為2&-

綜上，7?e[272,2V3].

故答案為：

10.12

【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2,EF中點為。，取CO,CG中點G,M,側(cè)面的中心為N,連接

FG,EG,OM,ON,MN,如圖，

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF=\/FG2+EG2=V22+22=2-^2>

即R=收，

則球心。到CC,的距離為OM=\/ON2+MN2=A/12+12=叵，

所以球。與棱CG相切，球面與棱CG只有1個交點,

12

同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點,

所以以E尸為直徑的球面與正方體棱的交點總數(shù)為12.

故答案為：12

I】?等I*

【分析】結(jié)合圖像，依次求得從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過A作4MLAC,垂足為易知&W為四棱臺A3C。-A4GA的高,

因為AB=2，A4=1,的=應(yīng),

則=-,AO=-AC=-X42AB=42,

2222

故AM=g(AC-AG)=孝，則4M=-A"==

所以所求體積為V=L(4+1+G)x逅=△巨

326

故答案為：巫.

6

12.28

【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二:根據(jù)臺體

的體積公式直接運算求解.

【詳解】方法一：由于彳=而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

13

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+JIM）=28.

故答案為：28.

【考點1］基本立體圖形

一、單選題

1.（23-24高一下?福建莆田?期中）已知等腰梯形MCD,AB=2,CD=6,圓°為梯形ABCD的內(nèi)切圓，

并與A8,8分別切于點E,F,如圖所示，以所所在的直線為軸，梯形A3CD和圓。分別旋轉(zhuǎn)一周形

成的曲面圍成的幾何體體積分別為匕，匕，則匕值為（）

D.6

2.（2022?重慶?模擬預(yù)測）十八世紀，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)簡單凸多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F之間有固

定的關(guān)系，即著名的歐拉公式：M-E+F=2.如圖所示為上世紀八十年代科學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)的碳60的電子顯

微鏡圖，它是由五邊形和六邊形面構(gòu)成的多面體，共有60個頂點，每個頂點均為碳原子，且每個頂點引出

三條棱，形似足球.根據(jù)以上信息知，碳60的所有面中五邊形的個數(shù)是（）

A.12B.20C.32D.40

二、多選題

3.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測）"阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的

多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共

可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種阿基米德多面體.已知"=1,則關(guān)于

14

圖中的半正多面體，下列說法正確的有（）

5A/2

A.該半正多面體的體積為3

B.該半正多面體過A&C三點的截面面積為2

C.該半正多面體外接球的表面積為8兀

D.該半正多面體的表面積為6+2退

4.（2024?新疆喀什?二模）如圖圓臺a2,在軸截面.CD中，2，下面說法正確

的是（）

A.線段m=2有

B.該圓臺的表面積為11兀

C.該圓臺的體積為兀

D.沿著該圓臺的表面，從點C到AD中點的最短距離為5

三、填空題

5.（21-22高三上?廣東潮州?期末）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈，在鱉

席A-BCD中，平面3cO,CDLAD,AB=BD=?已知動點E從C點出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱AD

上一點到點3的最短距離為瓦，則該棱錐的外接球的體積為.

15

A

6.（2022?遼寧沈陽?一模）如圖，在底面半徑為1,高為6的圓柱內(nèi)放置兩個球，使得兩個球與圓柱側(cè)面相

切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個橢圓.則該橢

圓的離心率為.

參考答案:

1.C

【分析】先確定旋轉(zhuǎn)體的形狀，再求解幾何體的體積即可得出結(jié)果.

【詳解】梯形ABC。旋轉(zhuǎn)一周形成圓臺，且圓臺的上底面半徑為4=1,下底面半徑為々=3,

由圓O和梯形ABC。相切可得，AD=rx+r2=1+3=4,

所以圓臺高//=JAD?-d=2小,圓。半徑r=。=石，

所以，匕=?仁+方+產(chǎn)）=竺產(chǎn),％=。/=4后

V13

所以，=—.

V26

故選：C.

2.A

【分析】設(shè)五邊形面有1個，六邊形面有＞個，即可得到總棱數(shù)與頂點數(shù)，再根據(jù)歐拉公式得到方程組，解

得即可；

【詳解】解：設(shè)五邊形面有1個，共51條棱，六邊形面有y個，共6y條棱，由于每條棱出現(xiàn)在兩個面中，

故會被重復(fù)計算一次，因此總棱數(shù)E=生產(chǎn)，同理每個頂點出現(xiàn)在三個面中，總頂點數(shù)為V=吟叟=60,

故E=90,又/=%+y,故60—90+犬+y=2,即％+y=32,與5x+6y=180聯(lián)立可解得%=12.

故選：A

16

3.ABD

【分析】先將該半正多面體補形為正方體，利用正方體與棱錐的體積公式判斷A,利用該半正多面體的對稱

性，得到截面為正六邊形與外接球的球心位置，從而判斷BC,利用正三角形與正方體的面積公式判斷D.

【詳解】A：如圖，因為AB=1,

所以該半正多面體是由棱長為應(yīng)的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，

所以該半正多面體的體積為：V=(M-8xlxlxf^￡=坐,故A正確；

\，3212J23

B：根據(jù)該半正多面體的對稱性可知，過三點的截面為正六邊形ABCEEO,

又4?=1,所以正六邊形面積為S=6x立乂V二述，故B正確；

42

C：根據(jù)該半正多面體的對稱性可知，該半正多面體的外接球的球心為正方體的中心，

即正六邊形ABCFED的中心，故半徑為AB=1,

所以該半正多面體外接球的表面積為S=4兀代=4^x12=4兀，故C錯誤；

D：因為該半正多面體的八個面為正三角形、六個面為正方形，棱長皆為1,

所以其表面積為8X3XF+6X12=6+2VL故D正確.

4

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵有二，一是將該半正多面體補形為正方體，二是充分利用該半正多

面體的對稱性，從而得解.

4.ABD

【分析】在等腰梯形中求出AC判斷A；利用圓臺表面積公式、體積公式計算判斷BC；利用側(cè)面展開圖計算

判斷D.

【詳解】顯然四邊形ABCD是等腰梯形，AB=AD=BC=2,CD=4,其高即為圓臺的高

對于A,在等腰梯形ABCD中，AC=,+(CD一=2出,A正確；

對于B,圓臺的表面積S=KxI2+7cx22+7t(l+2)x2=1IK,B正確；

17

對于C,圓臺的體積丫=:兀（12+1義2+22”6=子兀，C錯誤；

對于D,將圓臺一半側(cè)面展開，如下圖中扇環(huán)ABCD且E為AD中點，

2冗71

而圓臺對應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開為COZ）且0C=4,又/COD=-^=G,

42

在Rt國COE中，虛="7?=5刖，斜邊CE上的高為組=昔＞2,即CE與弧A2相離,

CE5

所以C到A。中點的最短距離為5cm,D正確.

【分析】將AACD沿AD翻折到與共面得到平面四邊形ABDC如圖1所示，設(shè)CD=x,利用余弦定

理求出x,將三棱錐A-3CD補成長方體如圖2所示，該棱錐的外接球即為長方體的外接球，求出外接球的

半徑，即可求出其體積.

【詳解】解：將AACD沿A￡＞翻折到與△ABD共面得到平面四邊形ABDC'如圖1所示,

圖1圖2

設(shè)CD=x,即CZ）=x,由題意得CB=J6,

在ACBD中,由余弦定理得C'B2=CD2+BD2-2CD-3。?cos135。

gp（TTo）2=尤2+（血丁_2x?應(yīng)

x2+2x—8=0,解得x=2或x=T（舍去），

將三棱錐A-BCD補成長方體如圖2所示，

該棱錐的外接球即為長方體的外接球，

則外接球的半徑R=（《及丫+（何+2?=夜，

所以外接球的體積V=±兀&=囪1兀.

33

18

故答案為：還兀

3

,V3

O.----

2

【分析】由題意如圖所示，由球的半徑可求得忸同，忸O|的值，進而可得NB。尸=NOD暇的正弦值，所以可

求出的值，即可以求出。的值，由圓柱的底面半徑可以求出b的值，進而可以求出離心率.

【詳解】如圖所示:

由題意可得忸同=1,忸O|=2,所以sinZBOF=；,

\OM\1

又因為sin/ODM=鬲二兩'結(jié)合可知

\OM\1

sinZODM=—=sinZBOF,

網(wǎng)詢2

所以|OZ)|=a=2,而2Z?=2,即。=1,

所以c=J?=F=萬萬=0，所以離心率e=￡=蟲.

a2

故答案為：且.

2

反思提升：

空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧

(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條

件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.

(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.

(3)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；

平行于y軸的線段平行性不變，長度減半

(4)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：

19

S直觀國一原圖形.

（5）幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開

圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.

【考點2】表面積與體積

一、單選題

1.（2024?天津紅橋?二模）如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮

筒里，不溢出來，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與

冰淇淋的體積之比為（）

A.叵B.巫C.走D.走

4242

2.（2024?陜西?模擬預(yù)測）將一個正四棱臺物件放入有一定深度的電解槽中，對其表面進行電泳涂裝.如圖

所示，已知該物件的上底邊長與側(cè)棱長相等，且為下底邊長的一半，一個側(cè)面的面積為36，則該物件的

高為（）

A.—B.1C.J2D.3

2

二、多選題

3.（2021?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.2021年2月4日，

在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是一種古人用于祭祀的禮器.假

定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長2cm,外徑長3cm,筒高4cm,中部為棱長是3cm的

正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則（）

20

A-該玉琮的體積為18+jcn?）B.該玉琮的體積為27一彳即）

C.該玉琮的表面積為54+兀（皿2）D.該玉琮的表面積為54+9兀（cm?）

4.（2024?吉林長春?三模）某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為二，面積為3Tl的扇形，則（）

A.該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為迪

3

B.若該圓錐內(nèi)部有一個圓柱，且其一個底面落在圓錐的底面內(nèi)，則當圓柱的體積最大時，圓柱的高為;

C.若該圓錐內(nèi)部有一個球，則當球的半徑最大時，球的內(nèi)接正四面體的棱長為友

3

D.若該圓錐內(nèi)部有一個正方體ABC。-AAGA，且底面A8CO在圓錐的底面內(nèi)，當正方體的棱長最大

時，以A為球心，半徑為生&的球與正方體表面交線的長度為亞兀

99

三、填空題

5.（2024?山西呂梁?二模）已知圓臺。的高為3,中截面（過高的中點且垂直于軸的截面）的半徑為3,

若中截面將該圓臺的側(cè)面分成了面積比為1：2的兩部分，則該圓臺的母線長為.

6.（2021?全國?模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面以8是邊長為a的正三角形，A2為圓錐的底面直徑，球。與

圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為匕，球。的體積為匕，則9=；若M，N是圓錐底

面圓上的兩點，且=則平面PMN截球。所得截面的面積為.

參考答案：

1.B

【分析】設(shè)圓錐的半徑為,，高為力，母線長為/,結(jié)合題意面積比得到/7=岳廠，再計算二者的體積比即可.

【詳解】設(shè)圓錐的半徑為乙高為“，母線長為/,

則母線長為/=護壽，

所以圓錐的側(cè)面積是Tirl=Tirylr2+h2，

半球的面積2口2,

由題意可得jirylr2+h2=2x2兀/,

解得h=，

所以圓錐的體積為工=叵-半球的體積為1x"/=?/,

33233

厲3

-----7irhv

所以此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為Y——=也,

271r32

3

故選：B.

2.C

【分析】作出正四棱臺的圖形，設(shè)A耳=8耳=a,利用該四棱臺側(cè)面的面積求得。，進而利用勾股定理即可

得解.

【詳解】設(shè)44=8耳=。，則A8=2a.

因為該四棱臺為正四棱臺，所以各個側(cè)面都為等腰梯形，上、下底面為正方形,

在四邊形中，過點A1作于點E,

則AE=：（2a_a）=￡,所以=

所以SABB,4=史言?岑a==3.，解得。=2,

在平面ACGA中，過點4作A/LAC于點

易知A/為正四棱臺的高，貝尸=g（4后一2也）=收，

所以4于=32=,4—2=也.

故選：C.

3.BD

【分析】體積為圓筒體積（外圓柱減去內(nèi)圓柱體積）加上正方體體積減去內(nèi)切圓柱體積.

組合體的表面包含下面幾個部分：外圓柱側(cè)面在正方體外面的部分，正方體上下兩個底面去掉其內(nèi)切圓的

部分，圓筒的上下兩個底面（兩個圓環(huán)），正方體的4個側(cè)面，內(nèi)圓柱的側(cè)面，面積相加可得.

2

【詳解】由圖可知，組合體的體積V=nx4x[J-I+3X3X3FX3X1|）=27-^（cm3）.

22

S=3KX1+2X3x3一兀x+3X3X4+2TIX+271x4=54+9兀（cn?）.

故選：BD.

4.ACD

【分析】先根據(jù)圓錐側(cè)面積公式S側(cè)=97和扇形弧長公式得出圓錐的母線長/=3、底面半徑r=1和高

//=2&即可求出圓錐的母線與底面所成角。正弦值，進而判斷A；根據(jù)三角形相似比得出圓柱高與其底面

半徑比的關(guān)系，再代入圓柱體積公式監(jiān)=叫%得到監(jiān)=2忘兀（/；2r3）,再利用導(dǎo)數(shù)工具求出最值即可突

破求解進而判斷B；CD屬于簡單幾何體的接切和相交問題，要結(jié)合相應(yīng)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和關(guān)系進行分析

判斷，具體看詳解.

71rl=3萬,

【詳解】對于A,由圓錐側(cè)面積公式5惻=%〃和扇形弧長公式得2萬，.

［3

n/=3,r=l,所以圓錐的高力=J/2一廠2=后一儼=2&,

設(shè)圓錐的母線與底面所成角貝心缶0=2=逆，故A對；

I3

對于B,設(shè)圓錐內(nèi)切圓柱底面半徑為,高為九，

則有"勺=二=%=比二1=2&（1-外上？/