2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：空間直線、平面的平行（原卷版）

專題38空間直線、平面的平行（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................5

【考點(diǎn)1】直線與平面平行的判定與性質(zhì)........................................5

【考點(diǎn)2］平面與平面平行的判定與性質(zhì)........................................7

【考點(diǎn)3］平行關(guān)系的綜合應(yīng)用................................................10

【分層檢測(cè)】...............................................................12

【基礎(chǔ)篇】.................................................................12

【能力篇】.................................................................15

【培優(yōu)篇】.................................................................17

考試要求：

從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、

平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

?知識(shí)梳理

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面a平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

如果平面外一條直線

與此平面內(nèi)的一條直a____aGa,bua,a//b=>a

判定定理

線平行，那么該直線與//a

此平面平行

一條直線和一個(gè)平面

平行，如果過(guò)該直線的a//a,￡,。n￡

性質(zhì)定理7

平面與此平面相交，那Jeb=b=>a//b

么該直線與交線平行

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

如果一個(gè)平面內(nèi)的

au￡,buB,aC\b

兩條相交直線與另%如/

判定定理=P,a//a,b//an

一個(gè)平面平行，那4__/

aIIB

么這兩個(gè)平面平行

兩個(gè)平面平行，則

其中一個(gè)平面內(nèi)的/a/a//0,aua0ali

性質(zhì)

直線平行于另一個(gè)/_____/￡

平面

兩個(gè)平面平行，如

a〃￡,a(~yy=a,

性質(zhì)定理果另一個(gè)平面與這

二劣必J3r\y=b=>a//b

兩個(gè)平面相交,那

2

么兩條交線平行

I常用結(jié)論

1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a邛,則a〃及

(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若a〃6，p//y,則a〃/

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若b±a,則。〃。

2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

▼判定定理判定定理I

線線平行一:篤、線面平行.一、面面平行

性質(zhì)定理性質(zhì)

,真題自測(cè)

一、解答題

1.（2024?全國(guó),高考真題）如圖，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=y/l0,

=為cr＞的中點(diǎn).

(1)證明：EM//平面

(2)求點(diǎn)M到ADE的距離.

2.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，在三棱錐P—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2?，PB=PC=&,

3P,AP,3c的中點(diǎn)分別為，及O,點(diǎn)尸在AC上，BF1AO.

A

3

（1）求證：跖〃平面A￡）O；

⑵若/PO尸=120。，求三棱錐P-ABC的體積.

3.（2023?天津?高考真題）如圖，在三棱臺(tái)ABC-A耳G中，4人，平面

ABC,AB±AC,AB=AC=A4,=2,4Q=1,Af為BC中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn),

（2）求平面AMG與平面ACGA所成夾角的余弦值；

⑶求點(diǎn)C到平面AMG的距離.

4.（2022?全國(guó)?高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面

ABCD是邊長(zhǎng)為8（單位：cm）的正方形，一E4B,AEBC,_GCD,一?。〢均為正三角形，且它們所在的平面都

與平面ABCD垂直.

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

5.（2022?北京?高考真題）如圖，在三棱柱ABC-人耳。中，側(cè)面BCC蜴為正方形，平面BCC4，平面4880,

AB=BC^2,M,N分別為凡與，AC的中點(diǎn).

4

⑴求證：MN〃平面3CC4；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線A8與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

■考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)11直線與平面平行的判定與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）已知b是空間內(nèi)兩條不同的直線，a,13,/是空間內(nèi)三個(gè)不同的平面,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若&_1/?,aua,則。_L￡

B.若a，B,則aPo;

C.若ac尸=。，aLy,/?!/,則。_L/

D.若a_L6，ac0=a,b±a,則匕或6,6

2.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)a,4是兩個(gè)不同的平面，加，/是兩條不同的直線，且戊/?=/則"加///"是""〃尸

且血/a”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

3.（2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體A8CD-AgCQ的棱長(zhǎng)為3,&E、F,G分別在棱RA，D?,

D.ED.F1

4A上，滿足六=端k=￡，，記平面班與平面4片。的交線為/,則（）

￡v|/I.LJ,Cz13AG=XAAG

5

A.V2e（O,l）,AC〃平面E/G

B.平面印G截正方體所得截面圖形為六邊形的充分不必要條件是4e（0,1）

C.4=（時(shí)，三棱錐A-EFG的外接球表面積為24兀

D.彳=:時(shí)，直線/與平面ABCD所成角的正弦值為逅

36

4.（2023?遼寧沈陽(yáng)?二模）在正方體ABCD-ABGA中，鉆=1,點(diǎn)P在正方體的面CCQZ）內(nèi)（含邊界）

移動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）

7T

A.當(dāng)直線用P//平面4跳）時(shí)，則直線男尸與直線CA成角可能為:

4

B.當(dāng)直線4尸//平面時(shí)，尸點(diǎn)軌跡被以A為球心，。為半徑的球截得的長(zhǎng)度為:

42

7TJT

C.若直線男尸與平面CG2。所成角為:，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為g

42

D.當(dāng)直線用PLA8時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,P,2的平面被正方體所截，截面面積的取值范圍為］手，&

三、解答題

5.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）如圖，已知平面8CE,CD//AB,8CE是等腰直角三角形，其中

NEBC=—,且鈣=BC=2CD=4.

2

⑴設(shè)線段BE中點(diǎn)為尸，證明：C尸〃平面ADE；

（2）在線段A3上是否存在點(diǎn)知,使得點(diǎn)8到平面CEM的距離等于巫，如果存在，求MB的長(zhǎng).

2

6.（2024?北京順義?三模）如圖在幾何體A8CDFE中，底面ABC。為菱形，ZABC=^）°,AE//DF,AEYAD,

6

AB=AE=2￡＞尸=4.

⑴判斷A。是否平行于平面CEE并證明；

⑵若面以8_1_面ABCD；求：

但）平面ABCD與平面CEB所成角的大小;

（回）求點(diǎn)A到平面CEF的距離.

反思提升：

（1）判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）.

②利用線面平行的判定定理（aCa,bua,a//b^>a//a）.

③利用面面平行的性質(zhì)（a〃夕，aua=a〃￡）.

④利用面面平行的性質(zhì)（a〃AaO￡,a//ana〃￡）.

⑵應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面確

定交線.

【考點(diǎn)2】平面與平面平行的判定與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?安徽安慶?三模）在正方體ABCD-AgGR中，點(diǎn)瓦尸分別為棱AB,AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E/，G三點(diǎn)

作該正方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱B片的交點(diǎn)是棱B片的一個(gè)三等分點(diǎn)

C.AC_L平面C］所

D.平面ABQJ/平面GEP

2.（2024?福建南平?二模）在正四面體ABCO中，P為棱AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的平面a與平面P3C平行，平

面a平面=平面a平面ACr>=”，則加，”所成角的余弦值為（）

A五R1,2D也

3333

二、多選題

3.（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，

規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面

7

jr

角，角度用弧度制.例如：正方體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為

2K-3X-^=".如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，點(diǎn)C的曲率為三,〃，區(qū)尸分別為

AC,AB，AG的中點(diǎn)，則（）

A.直線3尸〃平面A。石

5兀

B.在三棱柱ABC-A中，點(diǎn)A的曲率為一

C.在四面體A1AOE中，點(diǎn)E的曲率小于兀

D.二面角A-DE-A的大小為:

4.（2024?河北保定?二模）如圖1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,EFLAB,CF=EF=2DF=2,AE=3,

EB=4,將四邊形AEFD沿EF進(jìn)行折疊，使AD到達(dá)AD位置，且平面A7XRE_L平面以ZE,連接

A.BEVADB.平面AEB〃平面ZXFC

C.多面體AEBCD獷為三棱臺(tái)D.直線AD與平面W所成的角為:

三、解答題

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖,在圓錐P。中，P為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心，四邊形A3CD

是底面的內(nèi)接正方形，瓦尸分別為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)及EO的平面為a.

8

（1）證明：平面a「平面PBC；

（2）若圓錐的底面圓半徑為2,高為6，設(shè)點(diǎn)M在線段所上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐P-MBC的體積.

6.（2024?山東濰坊?三模）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AB±AC,AB^AC=2AAl,E是棱BC的中

點(diǎn).

B

⑴求證：AC〃平面明￡；

⑵求二面角A-BJE-A的大小.

反思提升：

1.判定面面平行的主栗方法

（1）利用面面平行的判定定理.

（2）線面垂直的性質(zhì)（垂直于同一直線的兩平面平行）.

2.面面平行條件的應(yīng)用

（1）兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.

（2）兩平面平行，其中一■個(gè)平面內(nèi)的任意一■條直線與另一■個(gè)平面平行.

【考點(diǎn)3】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.（2022?北京朝陽(yáng)?一模）在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示，K4,VB,VC兩兩垂直，

VA=VB=VC=1（W：dm）,小明同學(xué)計(jì)劃通過(guò)側(cè)面以C內(nèi)任意一點(diǎn)尸將木塊鋸開，使截面平行于直線VB

和AC,則該截面面積（單位：dm2）的最大值是（）

2.（2021?新疆?二模）已知。，b,c為三條不同的直線，a,B,7為三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.若。〃6,bua,則a//a

B.若ac0=a,（3y=b,ac\y=c,a!lb,則b〃c

9

C.若bu，,cuB,a_Lb，a±c,貝

D.若aua,bu/3,a!lb,貝！Ja〃/?

二、多選題

3.（2024,湖南益陽(yáng)?三模）如圖，點(diǎn)尸是棱長(zhǎng)為2的正方體A3CD-A耳GR的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列

A.當(dāng)點(diǎn)尸在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐尸-44QQ的體積不變

jr7T

B.當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2尸與AC所成角的取值范圍為y,-

C.使直線AP與平面ABC。所成角為45的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為兀+4虛

D.若尸是4耳的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在底面A8C￡＞上運(yùn)動(dòng)，且滿足尸尸〃平面BC2時(shí)，PF長(zhǎng)度的最小值為指

4.（2024?湖北?二模）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A與GR中，E為棱的中點(diǎn)，p為正方形

內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且用尸//平面ABE,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.動(dòng)點(diǎn)/軌跡的長(zhǎng)度為雙

B.三棱錐片-2EB體積的最小值為:

C.男廠與AB不可能垂直

當(dāng)三棱錐瓦-。尸的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為空兀

D.2

三、解答題

10

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱A2C-4內(nèi)￡中，￡>,瓦尸分別為棱BC,BB|,CG的中點(diǎn).

（1）證明：4尸國(guó)平面ADE;

2冗

⑵若AB=BC=CC,=4,ZABC=—,求點(diǎn)8到平面ADE的距離.

6.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐ABCD中，AC，平面BCD,P是AB上一點(diǎn)，且3AB=4鰭，連接CP

與DP,。為。尸中點(diǎn).

⑴過(guò)。點(diǎn)的平面平行于平面且與2C交于點(diǎn)求黑;

⑵若平面PCD,平面A3C,且AC=2BC=2CE>=4,求點(diǎn)P到平面2C。的距離.

反思提升：

三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

▼判定定理判定定理?

線線平Fsr線面平行面面平行

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）已知兩條直線相，〃和三個(gè)平面%0,為下列命題正確的是（）

A.若根a,m/3,則a〃4

B.若a_L^,aLy,則/〃/

C.若a_L7,0,a/3=m,則m_L/

D.若〃u/,n//a,n(3,aI(3=m,則機(jī)〃7

11

2.（2024?貴州貴陽(yáng)?二模）設(shè)/為直線，a為平面，則〃/a的一個(gè)充要條件是（）

A.a內(nèi)存在一條直線與/平行B./平行a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線

C.垂直于。的直線都垂直于/D.存在一個(gè)與a平行的平面經(jīng)過(guò)/

3.（2024,全國(guó)?三模）已知a,尸是兩個(gè)不同的平面，m,/是兩條不同的直線，若根ua,a6=/，則

是“加〃的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知正方體ABC。-4gGR中，點(diǎn)E是線段B片上靠近鳥的三等分點(diǎn)，點(diǎn)/是

線段，。上靠近2的三等分點(diǎn)，則平面AE尸截正方體A3。-A4G2形成的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C,五邊形D.六邊形

二、多選題

5.（2024?吉林?二模）已知m,”為兩條不同的直線，a,￡兩個(gè)不同的平面，且根_La,nll13,則（）

A.若則B.若根〃夕，則加

C.若m_L/?,則D.若根〃“，則加〃￡

6.（2023?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S,底面ACBD的兩條對(duì)角線恰好為圓。的兩條直

徑，E,尸分別為SA,SC的中點(diǎn)，且&4=AC=AD,則下列說(shuō)法中正確的有（）

A.S￡>〃平面O￡F

B.平面OEF〃平面S3。

C.OE1SA

D.直線EF與SD所成的角為45。

7.（2020?山東泰安■—■模）a,夕是兩個(gè)平面，W是兩條直線，有下列四個(gè)命題其中正確的命題有（）

A.如果〃尸，那么。_!_/?

B.如果相那么〃z_L〃

C.如呆al甲jnua,那么他〃〃

D.如果血/“,口〃￡,那么小與a所成的角和〃與尸所成的角相等

12

三、填空題

8.（2023?四川涼山?三模）在棱長(zhǎng)為2的正方體A88-AAGA中，若E為棱8瓦的中點(diǎn)，則平面AEQ截

正方體A8CD-A呂GQ的截面面積為.

9.（2022?廣西貴港?三模）正方體ABCO-ABIC。的棱長(zhǎng)為2,E,F,G分別為BC,CC,,8瓦的中點(diǎn),

給出下列四

①上底邊C,D,的中點(diǎn)在平面AEF內(nèi)

②直線4G與平面AEF不平行

③平面3截正方體所得的截面面積為1

④點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等.

錯(cuò)誤的命題是.

10.（2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A與CQ］中，點(diǎn)及GG分別為棱耳6、

CG、的中點(diǎn)，P是底面48CO上的一點(diǎn)，若〃平面GER則下面的4個(gè)判斷

①點(diǎn)尸的軌跡是一段長(zhǎng)度為五的線段;

②線段4尸的最小值為日；

③A-AC；

④4尸與BC一定異面.

13

其中正確判斷的序號(hào)為.

四、解答題

11.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱ABCD-ABG。中，4人=2,AB=1,E為B片中點(diǎn)，直線用G與

平面AjE交于點(diǎn)足

（1）證明：尸為4a的中點(diǎn)；

（2）求直線AC與平面ARE所成角的余弦值.

12.（23-24高三上北京東城?期末）如圖，在直三棱柱ABC-A,BG中，ZABC=90,AB=BC=BBX=2,E,F

分別為A8,4G的中點(diǎn).

⑴求證：平面ACC/］；

（2）若點(diǎn)P是棱8片上一點(diǎn)，且直線AP與平面期所成角的正弦值為g,求線段歐的長(zhǎng).

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?四川攀枝花?三模）在一個(gè)圓錐中，。為圓錐的頂點(diǎn)，。為圓錐底面圓的圓心，P為線段。。的中

點(diǎn)，AE為底面圓的直徑，ABC是底面圓的內(nèi)接正三角形，AB=AD=y/3

①BE//平面PAC；

②B1_L平面P3C；

③圓錐的側(cè)面積為扃；

④三棱錐P-ABC的內(nèi)切球表面積為（2-6）兀.

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

14

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

2.（2024?湖北黃岡?二模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-中，P為棱B片的中點(diǎn)，點(diǎn)。滿足

C[Q=2CE+〃GC,則下列說(shuō)法中正確的是（）

B.若AQ平面4尸。，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是一條線段

c.若彳+〃=[,則四面體。尸QA的體積為定值

D.若/為正方形AORA的中心，則三棱錐"-小犯外接球的體積為乎兀

三、填空題

3.（2023?貴州黔東南?三模）如圖，已知正方體A8CD-AAGA的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是ABC內(nèi)（包括邊界）

的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是—.（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）

①若AE=/L4C"e（O,l）,則「平面A