2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題（原卷版）

專題18利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題（新高考專用）

目錄

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................2

【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍2

【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍..............................................4

【考點3】雙變量的恒（能）成立問題.............................................5

【分層檢測】................................................................6

【基礎(chǔ)篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................7

【培優(yōu)篇】..................................................................8

真題自測

一、解答題

QinX（jr

1.（2023?全國，高考真題）已知函數(shù)/（x）=ox———0,-

cos尤12.

⑴當a=8時，討論〃x）的單調(diào)性；

（2）若〃x）<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

2.（2023?全國?高考真題）己知函數(shù)〃x）=a（e*+a）-x.

⑴討論〃尤）的單調(diào)性；

3

⑵證明：當a>0時，/（x）>21ntz+-.

3.（2023?全國?高考真題）（1）證明：當Ovx<l時，尤-尤2<sinx<x;

（2）已知函數(shù)〃x）=cosar-ln（l-x2）,若彳=。是/⑺的極大值點，求a的取值范圍.

4.（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/⑴=xe?-e1

⑴當a=l時，討論了（幻的單調(diào)性；

（2）當x>0時，/W<-1,求。的取值范圍；

111,,,、

（3）設(shè)〃eN*,證明：/2+/,++/,>ln（"+1）.

V1+1V22+2yjn2+n

5.（2022■全國■高考真題）已知函數(shù)=——lnx+x-a.

⑴若〃工）20,求a的取值范圍;

（2）證明：若/（X）有兩個零點占,馬，貝1占馬<1.

■考點突破

【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)十）="一#+獷-xlnx在1,2上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)。的

取值范圍為（）

（2e-ll/ci

A.-oo,——B.S，2]

（2e-l\/小

C.D.（-00,2）

二、多選題

2.（23-24高三上?全國?階段練習(xí)）已知函數(shù)"x）=e*-1+爐-依，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.當a=0時，曲線y=〃x）在（0,0）處的切線方程為y=x

B./（尤）在卜1』上的最大值與最小值之和為0

2

C.若f(x)在R上為增函數(shù)，則。的取值范圍為(e,2]

D.“X)在R上至多有3個零點

三、填空題

3.(2024?江西?模擬預(yù)測)已知關(guān)于x的不等式2e*-2xhrc-m＞0在6,+℃]上恒成立，則實數(shù)小的取值范

圍是.

四、解答題

k

4.(23-24高二下?江蘇?期中)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+—,k.

x

⑴若曲線y=/(x)在點(e〃e))處的切線與直線x=2垂直，求人的值：(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))；

⑵在(1)的條件下求/'(x)的單調(diào)區(qū)間和極小值：

⑶若g(x)=/(x)T在(0，a)上存在增區(qū)間，求左的取值范圍.

5.(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+加-3x(aeR).

⑴若函數(shù)〃尤)在x=l處取到極值，求實數(shù)。的值；

⑵若a=1,對于任意網(wǎng),馬e[1,10],當王＜%時，不等式/(%)-4％)＞一(；；占)恒成立，求實數(shù)m的取值范

圍.

6.(23-24高三下?四川巴中?階段練習(xí))函數(shù)八])=%3+5(1_〃)%2_3以；

⑴當〃=2時，討論函數(shù)〃力的單調(diào)性；

⑵/(l)=M，"〃n龍-馬4f在xe(l,+◎恒成立，求整數(shù)機的最大值.

2x

反思提升：

分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略

(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(2)42兀0恒成立Q。N?X)max；

aWy(x)恒成立QaWy(x)min;

a能成立Qa，火x)min;

aW?x)能成立=aW?X)max.

【考點2]分類討論法求參數(shù)范圍

一、單選題

3

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=",若不等式恒成立，則實數(shù)。的取

（x-2）ex--,x＜0%

值范圍為（）

A.（』3）B.（6eT,+oo）

C.（6e-2,3）D.（-co,6e-2）

二、多選題

2.（2024?江西?二模）若/-巴＞aln尤-a恒成立，則實數(shù)。的取值可以是（）

尤

A.0B.e「2C.ee+1D./

三、填空題

3.（2024?上海虹口?二模）已知關(guān)于x的不等式（血-履）12-（%+3卜+4]40對任意無?0,內(nèi)）均成立，則

實數(shù)上的取值范圍為.

四、解答題

4.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知4.1,函數(shù)/（x）=（xdnx-x"+l.

⑴當。=1時，求外力的最小值；

（2）若x＞l時，〃x）＜0恒成立，求。的取值范圍.

5.（2024?陜西渭南?二模）已知函數(shù)/（x）=ln（x+l）-?nr,g（x）=cos?nr-l,其中meR.

⑴討論的單調(diào)性；

⑵若/（x）+g（x）W0恒成立，求相.

6.（2024?浙江紹興?二模）已知函數(shù)/（x）=q■-x+asinx.

⑴當a=2時，求曲線y=/（x）在點（0,〃0））處的切線方程；

⑵當X?O,兀）時，〃尤）＞0,求實數(shù)。的取值范圍.

反思提升：

根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)

分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一

個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.

【考點3】雙變量的恒（能）成立問題

一、單選題

X|

1.（2024?河南鄭州?三模）設(shè)&尤2e（0,+°°）,J.e+lnx2=1,貝l]（）

4

A.若玉=%，則不egg）B.若%七=1，則%存在且不唯一

C.再+巧>1D.玉+lax2>0

二、多選題

cosx,x<0

2.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（》）=尤0，下面四個結(jié)論中正確的是（）

—7,X>0

A.函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=/（x）-x有且只有一個零點

C.函數(shù)的值域為卜1,目

D.對任意兩個不相等的正實數(shù)為,三，若〃占]/仁），則者+為2<2

三、填空題

3.（2023?山西臨汾?模擬預(yù)測）已知/■>（）,而（皿找-足小+療+制時內(nèi)勿此”行恒成立，貝!]/=.

四、解答題

4.（2024?重慶?模擬預(yù)測）函數(shù)〃x）=lnx

⑴討論〃x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)〃尤）有兩個極值點百聲，曲線y=〃尤）上兩點（占〃%）），（尤2〃%））連線斜率記為上求證:

⑶盒子中有編號為1~100的100個小球（除編號外無區(qū)別），有放回的隨機抽取20個小球，記抽取的20個

小球編號各不相同的概率為p，求證：P<±.

e

5.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃尤）的定義域為（。,+"）,其導(dǎo)函數(shù)

2

7（%）=2x-\---2々（々￡R）J⑴=1-2〃.

⑴求曲線y=f（x）在點（1,/。））處的切線/的方程，并判斷/是否經(jīng)過一個定點；

（2）若罵滿足。<不（尤2,且/'&）=尸（當）=0,求2〃%）-/（々）的取值范圍.

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=ax-?,a>0.

⑴若存在零點，求。的取值范圍；

2

⑵若A，々為的零點，且玉</，證明：a（xl+x2）>2.

反思提升：

5

含參不等式能成立問題（有解問題）可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決，常見的轉(zhuǎn)化有:

(1)VX1￡M,3X2￡N,火光l)>g(%2)?y(X)min>g(%)min.

(2)VxiGM,V%2￡N,火%l)>g(%2)^/(x)min>g(%)max.

(3)3X1￡M,3X2￡N,火工l)>g(X2)=^3)max>g(X)min.

(4)3X1￡M,V%2￡N,J(xi)>g(x2)?^(x)max>g(x)max.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?陜西?模擬預(yù)測）Vxe[l,2],有°nt21nA-一恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[e,+oo）B.[1,+co）C.■|,+cojD.[2e,+co）

2.（23-24高二下?安徽蕪湖?期中）已知函數(shù)/（x）=3xTlnx存在兩個零點，則實數(shù)f的取值范圍為（）

A.B.卜巴"C.（3e,-H?）D.（^o,3e）

3.（22-23高二上?山東荷澤?期末）己知函數(shù)/（"="-攻次與函數(shù)g（x）=e-l的圖像上恰有兩對關(guān)于x軸

對稱的點，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-a>,l-e]B.1一C.（-oo,l-e）D.（一

4.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃元）=（尤f（e，+a）在區(qū)間（-1,1）上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）

-1-2

A.eB.eC.eD./

二、多選題

5.（23-24高三上?新疆伊犁?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.3XGR,2yoB.VXGR,x+—>2

x

C.3XGR,lnx=—D.VXGR,e%-l>x

x

3

6.（22-23高二下?甘肅定西?階段練習(xí)）若函數(shù)/（尤）=%3+萬九2—6%+Q有三個零點，則實數(shù)〃的可能取值是

（）

A.-10B.-9C.2D.3

7.（2023?全國?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)〃%）=（x+l）ln（x+l）（尤>0）,若/（%）1恒成立,則滿足條件的

正整數(shù)/可以是（）

A.1B.2C.3D.4

6

三、填空題

8.(23-24高二下?天津濱海新?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x2-21nx,若關(guān)于尤的不等式f(x)-機20在口,e］上

恒成立，則實數(shù)加的取值范圍是.

9.(20-21高二下?河北石家莊?期末)已知函數(shù)〃x)=2x+a,g(x)=liu-2x,如果對任意的4,%eg,2,

都有〃3Vg(%)成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

10.(23-24高二上?陜西榆林?期末)已知函數(shù)/'(%)=ae=x2是R上的增函數(shù)，貝U“的最小值為.

四、解答題

11.(23-24高三上?河南,階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx+2<2x(“wR).

⑴當a=-l時，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若g(x)=/(》)—2d,不等式g(x)NT在［1,+s)上存在實數(shù)解，求實數(shù)”的取值范圍.

12.(21-22高三上?安徽滁州?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=f(九〃eR),在x=l處取得極小值2.

x+n

⑴求函數(shù)的解析式；

(2)求函數(shù)的極值；

⑶設(shè)函數(shù)g(x)=/_2ax+a,若對于任意玉eR,總存在/,使得g(%)W/a),求實數(shù)a的取值

范圍.

【能力篇】

一、單選題

b

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))函數(shù)/(%)=3-2依-6+人20對任意;^11成立，則1的最小值為()

5

A.4B.3C.-D.2

2

二、多選題

2.(23-24高二下?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(司=(。+1戶-天遙(可=-/+(4-2)%-1,則下列結(jié)論正確

的是()

A.存在aeR,使得的圖象與x軸相切

B.存在aeR,使得f(x)有極大值

C.若°>一1,則〃x)>g(x)

D.若-3<a<-1,則關(guān)于x的方程〃x)=ga)有且僅有3個不等的實根

三、填空題

7

3.(2022高三上?河南?專題練習(xí))已知/(x)=,+jlnx+J-2x,左耳2,口)，若曲線y=/(元)上總存在不同

的兩點A&,必),B?,%),使曲線y=/(x)在AB兩點處的切線互相平行，則不飛的取