2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（原卷版）

專題32數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1］由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)............................................4

【考點(diǎn)2】由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式......................................5

【考點(diǎn)3】數(shù)列的性質(zhì)........................................................6

【分層檢測(cè)】................................................................7

【基礎(chǔ)篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）.

2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

?知識(shí)梳理

1.數(shù)列的定義

按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

2.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

項(xiàng)數(shù)

無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限

遞增數(shù)列1>Cln

其中

項(xiàng)與項(xiàng)遞減數(shù)列Cln+1

間的大常數(shù)列Cln+1=Cln

小關(guān)系從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，

擺動(dòng)數(shù)列

有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

3.數(shù)列的表示法

數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法.

4.數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛m｝的第n項(xiàng)以與它的序號(hào)"之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)式子

叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

5.數(shù)列的遞推公式

如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)

列的遞推公式.

|常用結(jié)論

Si9〃=1,

1.若數(shù)列｛?！保那皀項(xiàng)和為Sn,通項(xiàng)公式為an,則an=

^Sn~Sn-l,"22.

CLYT^Cln-19〃一19

2,在數(shù)列｛斯｝中,若如最大,則＜若?！ㄗ钚?，則,

^dn^Cln+1.

r真題自測(cè)

一、單選題

1q

1.（2023?北京?高考真題）已知數(shù)列｛4｝滿足.=/%-6）3+6伽=1,2,3,）,則（）

2

A.當(dāng)4=3時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MWO,使得q>“恒成立

B.當(dāng)4=5時(shí)，｛q｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)MW6,使得4<M恒成立

C.當(dāng)q=7時(shí)，｛%,｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)6,使得?！?gt;拉恒成立

D.當(dāng)4=9時(shí)，｛%｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得4<M恒成立

2.（2023?全國(guó)?高考真題）已知等差數(shù)列｛%｝的公差為全，集合S=｛cosa?|?eN*｝,若S=｛a,b｝，則必=（）

11

A.-1B.——C.0D.-

22

3.（2022?浙江?高考真題）已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,%=%-gd（"eN*）,則（）

一5577

A.2<100%go<-B.—,<100%go<3C.3<lOO%。。<-D.—<lOOq。。<4

4.（2022?全國(guó)?高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)

飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列抄“｝:偽=1+!，

.11&=1+-----—

2戊+工，/+——廠，…，依此類推，其中％$N*（左=1,2,）.則（）

1H

a2a2

a3

A.bx<b5B.b3<bsC.b6<b2D.b4<Z?7

5.（2021?浙江?高考真題）已知數(shù)列｛4｝滿足％=1，%+1=^^（〃€可）.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,則（）

399一一

A.e<S1go<3B.3<S100<4C.4<S100<—D.—<5100<5

二、填空題

6.（2022?北京?高考真題）已知數(shù)列｛風(fēng)｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和S“滿足ajS“=9（〃=l,2,—）.給出下列

四個(gè)結(jié)論：

①｛4｝的第2項(xiàng)小于3；②｛%｝為等比數(shù)列；

③｛%｝為遞減數(shù)列；④｛%｝中存在小于焉的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)11由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)

一、單選題

3

1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,,S,+]=a“+「w4+2(〃eN*),則L=()

“20

A.190B.210C.380D.420

2.(2024?江蘇蘇州?二模)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，2a?+l=3Sn,若電＜2"對(duì)任意的〃?N*恒成立,

則實(shí)數(shù)/的取值范圍為()

A.(-4.2)B.［-3,2)C.(-6,2)D.(-3,2］

二、多選題

3.(2024?湖北黃岡二模)數(shù)列｛%｝滿足：^=1,5^=30,,(n＞2),則下列結(jié)論中正確的是()

A.電=；B.｛%｝是等比數(shù)列

4°

C-an+l=-an,n>2

4.(2024?安徽淮北二模)已知數(shù)列｛4｝,｛々｝的前"項(xiàng)和分別為5“工，若生=2”-1工=2向-2,則()

A.Slo=lOOB.bi0=1024

C.1二一］的前10項(xiàng)和為WD.［，］的前1。項(xiàng)和為黑

l???n+iJ19

三、填空題

5.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛g｝的前幾項(xiàng)和為S"，滿足S“=2%-2,則%=；數(shù)列出｝滿足

￡=log/%-21,數(shù)列，1的前〃項(xiàng)和為1，則7；的最大值為

6.(2024?浙江嘉興?二模)設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,等比數(shù)歹式包｝的前九項(xiàng)和為1,若4=-1,&=84,

(l-2")S?=n(n+l)7；,,貝心”=.

反思提升：

S1,77=1,

(1)已知S"求期的常用方法是利用＜7"=彳轉(zhuǎn)化為關(guān)于Z的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公

、Sn—Sn-1,1彥2,

式.

(2)5,,與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路

方向1:利用a〃=S"—S"i(“N2)轉(zhuǎn)化為只含的，S”i的關(guān)系式，再求解.

方向2:利用S〃一S"i=a”SN2)轉(zhuǎn)化為只含以，0一的關(guān)系式，再求解.

【考點(diǎn)2】由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式

一、單選題

4

1.（2024?河南?三模）已知函數(shù)滿足:且V尤,yeR,/（x+y）=/（x）+/（y）+6xy,則Z。。）

Z=1

的最小值是（）

A.135B.395C.855D.990

2.（23-24高三上?湖北?階段練習(xí)）定義：在數(shù)列｛q｝中，---=^（?eN*）,其中〃為常數(shù)，則稱數(shù)列

an+\an

｛%｝為"等比差"數(shù)列.已知"等比差”數(shù)列｛4｝中，4=%=1，%=3,則”=（）

^22

A.1763B.1935C.2125D.2303

二、多選題

3.（23-24高三下?甘肅?開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列｛q｝滿足%=3,2°用=34-2,則（）

A.也-2｝是等差數(shù)列

619丫

B.｛%>｝的前"項(xiàng)和為1141-1+2”

C.｛凡｝是單調(diào)遞增數(shù)列

D.數(shù)列<a"+i+1|J,的最小項(xiàng)為4

4.（2024?山東煙臺(tái)?一模）給定數(shù)列｛%｝,定義差分運(yùn)算：-"eN*.若數(shù)列｛%｝

滿足%=川+",數(shù)列也｝的首項(xiàng)為1,且?jiàn)y=（"+2）-2"T,〃eN*,則（）

A.存在河>0,使得恒成立

B.存在M>0,使得恒成立

C.對(duì)任意〃>0,總存在〃eN*,使得么

,Mb

D.對(duì)任意Af>0,總存在〃wN*,使得">M

b"

三、填空題

5.（23-24高二上?廣東河源?期末）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足。角=3；?！埃瑒t組=_____.

〃+1〃6

6.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛為｝滿足4=1,2見(jiàn)+「%+4見(jiàn)+1=。5€m），則數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公

式為.

反思提升：

（1）形如a〃+i=a〃+笊〃）的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).

5

⑵形如的遞推關(guān)系式可化為丁=X〃）的形式，可用累乘法，也可用an=

Cln

ClnCln-142八、、L、［、w<

----??一?ai代入求出通項(xiàng).

an-ian-2Qi

（3）形如an+i=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為（即+i+x）=p（斯+x）的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，

求出通項(xiàng)公式，求變量％是關(guān)鍵.

（4）形如■+1="一（4B,。為常數(shù)）的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.

DCln二\C'

【考點(diǎn)3】數(shù)列的性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?山東濟(jì)寧?三模）已知數(shù)列｛%｝中，q=2,an+l=an-an_^n>2,〃cN*）,則%（四二（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2024?天津?二模）已知數(shù)列｛4｝為不單調(diào)的等比數(shù)列，的=；,%=，，數(shù)列物/滿足勿=1-。用，則數(shù)

列也｝的最大項(xiàng)為（）.

,3795

A.—B.-C.—D.一

4884

二、多選題

n

3.（2024?浙江紹興?二模）已知等比數(shù)列｛%｝的公比為心前”項(xiàng)和為S"，前”項(xiàng)積為T“，且V”?N*,普<0,

則（）

A.數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列B.數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列

C.若數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則4>1D.若數(shù)列｛騫｝是遞增數(shù)列，則0>1

4.（2022?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契提出的"兔子數(shù)列"：1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55,89,144,233,…，在現(xiàn)代生物及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它可以表述為數(shù)列｛q｝滿足

q=%=1,%+2=4+1+。“（"?、）.若此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列抄“｝,記也｝的前〃項(xiàng)和為

S,,則以下結(jié)論正確的是（）

A.?！?9-2+1=。B.S〃+1。=S〃+2+9

C.82022=2D.^2022=2696

三、填空題

5.（2024?湖北武漢?二模）歐拉函數(shù)乂〃eN*）的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)“，且與"互質(zhì)的正整數(shù)

6

的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：03）=2,必4）=2,貝1]必8）=；若

，/

2=-E，則勿的最大值為_(kāi)______.

夕（2）

6.（23-24高二上?湖北省直轄縣級(jí)單位?期中）已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為。“=-1+沏，且｛q｝為遞減數(shù)

列，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

反思提升：

1.解決數(shù)列周期性問(wèn)題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期,

進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.

2.求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

（1）函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大（?。╉?xiàng),

否則，利用作差法.

ClnCln—1,

（2）利用＜（〃22）確定最大項(xiàng),利用＜（〃22）確定最小項(xiàng).

Qn^~Cln+l

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

fl

1.（2024?四川廣安?二模）已知數(shù)列｛4“｝滿足％=2,?+i="(neN*),貝!]%()24

“”+1

A.-3

（2024?廣東深圳?二模）已知〃為正整數(shù)，且1＞2”，則

A.n=lC.n=3D.n>4

3.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S“，若%+2g=0,S3=1,且aVS“Va+2,

O

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

1「13]「33]3一

2JL24J142」L2_

4.（2023?山西?模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱

為“三角垛三角垛"的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10

個(gè)球，…，設(shè)〃三角垛〃從第一層到第〃層的各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛風(fēng)｝,則（）

7

B.〃io=66

c.2?！?]=?！?。〃+2D.〃2023—“2022=2023

二、多選題

5.（2024?云南?二模）記數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S.,S“=A〃+B,A、3為常數(shù).下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若A+B=l,貝！J%=1

B.若A=2,則。2=2

C,存在常數(shù)A、B,使數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列

D.對(duì)任意常數(shù)A、B,數(shù)列｛%｝都是等差數(shù)列

6.（2024?云南昆明?一模）在數(shù)列｛風(fēng)｝中，Vn>2,〃eN*,記｛風(fēng)｝的前w項(xiàng)和為S“，則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.若4=1,a2=2,則q=1B.若4=1,%=2,則

C.若。1=2,a2=3,則%=〃+1D.若〃i=2,a2=3,則820=230

7.（2022?廣東?模擬預(yù)測(cè)）己知數(shù)列也｝滿足a[=lM,+*="（〃N2,〃eN*）,S”為其前“項(xiàng)和，則（：

A.。4一。2=7B.《0=55

C.S5=35D,as+a4=28

三、填空題

8.（2022?黑龍江齊齊哈爾?一模）數(shù)列｛%｝中，％=1,當(dāng)“22時(shí)，見(jiàn)=2"a,i,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為.

9.（23-24高二下?江西撫州?階段練習(xí)）數(shù)列｛氏｝滿足q+々g+…+&=3"-2（"eN*,〃N1）,則氏=

10.（2023?四川樂(lè)山?三模）已知數(shù)列｛?｝滿足。"+i=2a“+2,%=1,則氏=.

四、解答題

11.（23-24高二上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝中，4=1,4包=2",neN*.

an

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)a=log2%+3?,求數(shù)列的前九項(xiàng)和S“.

8

，、1112n

12.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為Sa,且不+丁+…+丁=￡山.

⑴求｛見(jiàn)｝的通項(xiàng)公式；

（2）若優(yōu)=（〃T）（"+2）,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T,.

aa

??+i

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?四川宜賓?二模）在數(shù)列｛4｝中，已知%=2,%=1,且滿足。“+2+。，=?！?1，則數(shù)列｛%｝的前2024

項(xiàng)的和為（）

A.3B.2C.1D.0

二、多選題

2.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)歹式見(jiàn)｝滿足qul.中ngMeN*,則下列結(jié)論成立的有（）

A.%=2

B.數(shù)歹式如“｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列

D.數(shù)列｛4-6｝的前"項(xiàng)和S”的最小值為$6

三、填空題

3.（2023?湖南邵陽(yáng)二模）已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,叫用=2（”+2）q,eN*）,設(shè)數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S”，

則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=,S“+2=.

四、解答題

4.（2024?全國(guó),高考真題）記