2025年江蘇中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：分式（解析版）

第一章數(shù)與式

第03講分式

（思維導(dǎo)圖+9個(gè)考點(diǎn)+4種題型+難度分層練）

考情透視目標(biāo)導(dǎo)航..............................................................................2

知識(shí)導(dǎo)圖思維導(dǎo)航..............................................................................2

考點(diǎn)突破考法探究..............................................................................3

重點(diǎn)考點(diǎn)一分式的相關(guān)概念...............................................................3

重點(diǎn)考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)...............................................................4

重點(diǎn)考點(diǎn)三分式的運(yùn)算.....................................................................5

題型精研考向洞悉..............................................................................6

第一部分：?？伎键c(diǎn)講練........................................................................6

考點(diǎn)考分式的值為零的條件................................................................6

考點(diǎn)2：分式的值...........................................................................7

考點(diǎn)3：分式的基本性質(zhì).....................................................................9

考點(diǎn)4：最簡(jiǎn)公分母........................................................................10

考點(diǎn)5：分式的乘除法......................................................................10

考點(diǎn)6：分式的加減法......................................................................12

考點(diǎn)7：分式的混合運(yùn)算....................................................................15

考點(diǎn)8：分式的化簡(jiǎn)求值....................................................................16

考點(diǎn)9：負(fù)整數(shù)指數(shù)幕......................................................................18

第二部分：高頻題型洞悉........................................................................19

題型1：求分?jǐn)?shù)值為正（負(fù)）數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍..........................................19

題型2：求使分?jǐn)?shù)值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍..............................................21

題型3：利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化..............................................22

題型4：分式加減乘除混合運(yùn)算.............................................................24

分層訓(xùn)練鞏固提升.............................................................................27

基礎(chǔ)夯實(shí)訓(xùn)練.............................................................................27

能力拔高訓(xùn)練.............................................................................33

?考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航I

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

在中考，主要考查分

分式的相關(guān)概念>理解分式和最簡(jiǎn)分式的概念.

式的意義和分式值為零

情況，常以選擇題、填空

分式的基本性質(zhì)>能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分與通分.

題為主；分式的基本性質(zhì)

和分式的運(yùn)算考查常以

分式的運(yùn)算>能對(duì)簡(jiǎn)單的分式進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算.選擇題、填空題、解答

題的形式命題.

知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

概念：如果A,B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子:叫做分式.

---------------.r（當(dāng)BWO時(shí)，分式有意義）

z有無(wú)意義%>=====<

-----------1"（當(dāng)B=oea分式無(wú)意義）

<★值為0、）一（A=。且BwO（同時(shí)滿足f）

方式的值為1.當(dāng)A+B=O時(shí)，分式的值為-1

〈若A/B>0,則A、B同號(hào);若A/B<0,則A、B異號(hào).）

Y分式的相關(guān)概念）

約分的定義：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去,

叫分式的約分.

>|聯(lián)系與區(qū)別|

通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分

式相等的同分母分式，這一過(guò)程叫做分式的通分.

墨筒公式的定義：分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)

分式.

墨筒公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式

\的最高次幕的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母.

基本性質(zhì)其中A,B,C是整式且00題型01利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形

題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化

分式的性質(zhì)

跡03利^法則，將分式恒

符號(hào)法則

分式的加減法

ad±bc

分式的乘除法

分式的運(yùn)算）

分式的乘方

運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減.有括號(hào)的，先算括號(hào)里的.

分式的混合運(yùn)算

靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式.

考點(diǎn)突破?考法探究

重點(diǎn)考點(diǎn)一分式的相關(guān)概念

圜充實(shí)縣礎(chǔ)SH只精/

分式的概念：如果A,B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子金叫做分式，A為分子，B為分母.

D

對(duì)于分式金來(lái)說(shuō)：①當(dāng)BWO時(shí)，分式有意義；當(dāng)B=0時(shí)，分式無(wú)意義.

D

②當(dāng)A=0且BWO這兩個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，分式值為0.

③當(dāng)A=B時(shí)，分式的值為1.當(dāng)A+B=0時(shí)，分式的值為-1.

④若令0,則A、B同號(hào);若20,則A、B異號(hào).

約分的定義：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫分式的約分.

最簡(jiǎn)公式的定義：分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式.

通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母分式，這一過(guò)程叫做分式的通分.

通分步驟：①定最簡(jiǎn)公分母；②化異分母為最簡(jiǎn)公分母.

約分與通分的聯(lián)系與區(qū)別：

聯(lián)系都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行恒等變形，即每個(gè)分式變形之后都不改變?cè)质降闹?

區(qū)別1）約分是針對(duì)一個(gè)分式而言，約分可使分式變簡(jiǎn)單.

2）通分是針對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的，通分可使異分母分式化為同分母分式.

最簡(jiǎn)公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次幕的積作為公分母，這樣的

分母叫做最簡(jiǎn)公分母.

確定最簡(jiǎn)公分母的方法：

類型方法步驟

1）取單項(xiàng)式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)；

分母為單項(xiàng)式

2）取單項(xiàng)式中每個(gè)字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母中該字母的次數(shù).

1）對(duì)每個(gè)分母因式分解；

分母為多項(xiàng)式2）找出每個(gè)出現(xiàn)的因式的最高次幕,它們的積為最簡(jiǎn)公分母；

3）若有系數(shù),求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù).

?ft高顓易錯(cuò)把握細(xì)節(jié)

1.判斷一個(gè)式子是不是分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡(jiǎn)

后再判斷，例如：”就是分式.

a

2.分式的值為0,必須保證分母W0,否則分式無(wú)意義.

3.約分是對(duì)分子、分母同時(shí)進(jìn)行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式,約分要徹底，使分子、

分母沒(méi)有公因式，而且約分前后分式的值相等.

4.約分與通分都是根據(jù)是分式的基本性質(zhì).約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式，通分的關(guān)鍵是確定幾

個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母.

?技巧點(diǎn)被方法歸納

1）分式值為0的條件：分式的分子等于0且分母不等于0,這兩個(gè)條件必須同時(shí)考慮，進(jìn)而求解問(wèn)題.

2）分式值為正的條件：分式的分子、分母同號(hào).

3）分式值為負(fù)的條件：分式的分子、分母異號(hào).

4）分式的約分子和分母必須都是乘積的形式才能進(jìn)行約分，約分要徹底，使分子、分母沒(méi)有公因式.確定分

子、分母的公因式的方法：

分子、分母類型具體方法

單項(xiàng)式1）系數(shù)取各系數(shù)的最大公約數(shù);2）相同字母取字母的最低次幕.

多項(xiàng)式先把分子、分母進(jìn)行因式分解,再確定公因式

重點(diǎn)考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)

夯實(shí)目礎(chǔ)卻浪崎退

AA?r

分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于o的整式，分式的值不變.即=—（c^o）

BB?C

—p*AA+C

或十嬴(CHO),其中A,B,C是整式.

分式符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè),分式的值不變，即4=郎=-?=

D-DD

A

-B

?ft高麻易錯(cuò)把握細(xì)節(jié)

運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式；

②隱含條件：分式的分母不等于0.

■技巧點(diǎn)撥方法歸納

分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形和分式運(yùn)算的理論依據(jù)，正確理解和熟練掌握這一性質(zhì)是學(xué)好分式的

關(guān)鍵，利用分式的基本性質(zhì)可將分式恒等變形，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的分式，簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.

重點(diǎn)考點(diǎn)三分式的運(yùn)算

眉^兗實(shí)

星礎(chǔ)知浪稿以

分式運(yùn)算說(shuō)明

1）同分母：分母不變，分子相加減，即：-±-=—.

CCC

分式的加減法

2）異分母：先通分，化為同分母的分式，再加減.即：?±5=喀.

i）乘法：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.即：

分式的乘除法

2）除法：把除式的分子、分母顛倒位置，再與被除式相乘.即：2+5=2?4=善

babeb?c

分式的乘方把分子、分母分別乘方，即：的"=號(hào)

\bJbn

運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減。有括號(hào)的，先算括號(hào)里的.靈活運(yùn)用運(yùn)算

分式的混合運(yùn)算

律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式.

廉I離顓易錯(cuò)杷握細(xì)節(jié)

1.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時(shí)應(yīng)確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母.

2.整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式.

3.分式與分式相乘，

①若分子、分母是單項(xiàng)式，則先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡(jiǎn)分式或整式;

②若分子、分母是多項(xiàng)式，則先把分子、分母分解因式，看能否約分，再相乘.

4.當(dāng)分式與整式相乘時(shí),要把整式與分子相乘作為積的分子,分母不變.

5.乘方時(shí),一定要把分式加上括號(hào),并且一定要把分子、分母分別乘方.

6.分式乘方時(shí),確定乘方結(jié)果的符號(hào)與有理數(shù)乘方相同，即：

①正分式的任何次嘉都為正；②負(fù)分式的偶次哥為正,奇次賽為負(fù).

7.分式乘方時(shí),分式的分子或分母是多項(xiàng)式時(shí),應(yīng)把分子、分母分別看作一個(gè)整體.

22

如.=a?

\a-b）（a-b）2+a2_Z>2

8.分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)

算.

Q技15點(diǎn)撥方法歸納

先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值.在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和

分式的化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問(wèn)題

1）化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值.化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟,

代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式=

2）代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法.當(dāng)

未知數(shù)的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0.

題型精研?考向洞悉?

A\

第一部分：?？伎键c(diǎn)講練

考點(diǎn)1：分式的值為零的條件

【例1】（2024?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）若代數(shù)式二的值為0,則實(shí)數(shù)x的值是（）

X

A.0B.2C.3D.4

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式的值為0的意義得到％-2=0且xwO即可.

【規(guī)范解答】解：?.?代數(shù)式士的值為0,

x

..X—2=0且XwO,

解得x=2,

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查分式的值為0的條件，掌握“分子為0,分母不為0”是分式值為0的條件是正確解

答的關(guān)鍵.

【變式1］（2024?泗陽(yáng)縣三模）若使分式工二12的值為0,則。的值為（）

?2-1

A.一1或1B.—1或3C.3D.±1或3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式的值為0,分式的分子為0,分母不能為。即可求解.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得/-2a-3=（a-3）（a+l）=O且/-120,

解得67=3.

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查分式的值為零的條件，知道分子等于0分母不能等于0是解題關(guān)鍵.

【變式2］（2024?東臺(tái)市校級(jí)模擬）若分式~的值為0,則彳=1.

X+1

【思路點(diǎn)撥】分式的值為0的條件是：（1）分子為0;（2）分母不為0.兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可.據(jù)

此可以解答本題.

【規(guī)范解答】解：分式^―的值為0,得

x+1

尤2—1=0且x+lwO.解得x=1,

故答案為：L

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等

于零.注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少.

考點(diǎn)2：分式的值

1_2

【例2】（2024?姜堰區(qū)一模）對(duì)于分式L旦m的值，下列說(shuō)法一定正確的是（）

1-m

A.不可能為0B.比1大C.可能為2D.比加大

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式的性質(zhì)即可求出答案.

【規(guī)范解答】解：原式="叫（1+加）

1-m

=l+m,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，原式=1,

當(dāng)相=—1時(shí)，原式=0,

,/I—m^O，

.".mwl,原式w2,

不可能為2

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

尤2+2

【變式1］（2024?天寧區(qū)校級(jí)一模）分式的值，可以等于（）

x+1

A.-1B.0C.1D.2

【思路點(diǎn)撥】先把分式化簡(jiǎn)，再判斷求解.

2

【規(guī)范解答】解：^Y^+2=1+一1一＞1,

尤2+1尤2+1

當(dāng)x=0時(shí)，原式=2,

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了分式的值，掌握分式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2024?涕陽(yáng)市一模）若0＞0,6＞。，且。2一k=4。6,貝!］的值為.

a-2b一5一

【思路點(diǎn)撥】由"―"2=4"得儲(chǔ)―4必=〃，將4仍=廿左邊配成完全平方，從而將。用含人的代數(shù)式

表示出來(lái)，進(jìn)而計(jì)算空生的值即可.

a-2b

【規(guī)范解答】解：?.?，—3=4",

/.a2-4ab=Z?2,

（a-2b）2=5b2,

a=（2土非）b,

a>0,b>0,

a=（2+布）b,

a+2b_（2+逐）6+26_4方+5

a—2b（2+6）b-2b5

4A/5+5

故答案為:

-5

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查分式的值，熟練掌握完全平方公式，將。用含6的代數(shù)式表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)3：分式的基本性質(zhì)

【例3】（2024?宜興市二模）不改變分式的值，將分式二^二「中的分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，且

—0.3%+0.5

第一項(xiàng)系數(shù)都是最小的正整數(shù)，正確的是（)

A2x+1口2x—10r2%+102x+10

3x-53x+5.3x+5?3x-5

【思路點(diǎn)撥】分式的分子、分母同乘以-1,再同乘以10,再化簡(jiǎn)即可.

【規(guī)范解答】解：原式二券罪10(0.2x+l)2%+10

10(0.3%-0.5)3x-5

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了分式的基本性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用分式的分子、分母同乘以一個(gè)不等于0的數(shù),

分式的值不變來(lái)解決問(wèn)題.

【變式1］（2024?鼓樓區(qū)一模）若mwn,則下列化簡(jiǎn)一定正確的是（）

八m+3m口m—3nlm3m「3mm

A.----二一B.-----=—C.—=—D.—=—

n+3nn-3nnn3nn

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【規(guī)范解答】解：A.當(dāng)祖=2,〃=3時(shí)，％±1=9,'=2,即竺上2#',故本選項(xiàng)不符合題意;

〃+36幾3n+3n

B.當(dāng)機(jī)=2,〃=5時(shí)，生二1=一,，3=2,即%故本選項(xiàng)不符合題意；

〃一32〃5n—3n

C.當(dāng)機(jī)=2,”=3時(shí)，4=*■,-=即《片色，故本選項(xiàng)不符合題意；

M327n3n3n

D.—故本選項(xiàng)符合題意.

3nn

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能熟記分式的基本性質(zhì)（分式的分子和分母都乘或除以同一個(gè)

數(shù)，分式的值不變）是解此題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023?海門(mén)市二模）如果把分式匕空中的x和y都擴(kuò)大到原來(lái)的20倍，那么分式的值（）

X

A.擴(kuò)大到原來(lái)的20倍B.縮小到原來(lái)的工

20

C.擴(kuò)大到原來(lái)的2倍D.不變

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式的基本性質(zhì)解決此題.

【規(guī)范解答】解：2°x+2.2°y=20（無(wú)+2y）=x+2y,

20x20xx

.?.把分式匕空中的X和y都擴(kuò)大到原來(lái)的20倍，那么分式的值不變.

X

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)4：最簡(jiǎn)公分母

【例4】（2020?江陰市模擬）分式▲，工的最簡(jiǎn)公分母是6x2/

2x2y6xy3-'

【思路點(diǎn)撥】確定最簡(jiǎn)公分母的方法是：

（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式;

（3）同底數(shù)累取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡(jiǎn)公分母.

1____1

【規(guī)范解答】解：分式的最簡(jiǎn)公分母是61y3；

2x2y'6xy3

故答案為：6x2y3.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了最簡(jiǎn)公分母的定義及求法.通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次

事的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母.一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母

就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次幕，所有不同字母都寫(xiě)在積里.②如果各分母都是多項(xiàng)式，

就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)

的累的因式都要取最高次基.

【變式1］（2021?宜興市校級(jí)二模）分式」和工的最簡(jiǎn)公分母為_(kāi)2（根-〃）_.

2m—2nm—n

【思路點(diǎn)撥】利用最簡(jiǎn)公分母的定義求解即可.

【規(guī)范解答】解：分式」^和旦的分母分別是2（加-〃）、（m-n）.則它們的最簡(jiǎn)公分母是2（加-明

2m—2"m-n

故答案為：2（m-ri）.

【考點(diǎn)評(píng)析】主要考查了最簡(jiǎn)公分母，確定最簡(jiǎn)公分母的方法是：

（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式；

（3）同底數(shù)幕取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡(jiǎn)公分母.

考點(diǎn)5：分式的乘除法

【例5】（2024?秦淮區(qū)二模）（4」）,七24+1

aa

【思路點(diǎn)撥】做乘法運(yùn)算時(shí)要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后約分，有括號(hào)的先算括號(hào)里

面的.

【規(guī)范解答】解：原式

a（Q—1）

a+1

a—1

【考點(diǎn)評(píng)析】分式的乘除混合運(yùn)算一般是統(tǒng)一為乘法運(yùn)算，如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的，分子或分母是

多項(xiàng)式時(shí)，通過(guò)分解因式，把分子分母中能夠分解因式的部分，分解成乘積的形式，然后找到其中的公因

式約去.

【變式1］（2024?揚(yáng)州）⑴計(jì)算：|%-3|+2sin3O°-（宕-2）°；

（2）化簡(jiǎn)：-^（x-2）.

尤+1

【思路點(diǎn)撥】（1）先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，三角函數(shù)，零指數(shù)累，再按實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；

（2）按步驟依次化簡(jiǎn)分式.

【規(guī)范解答】解：⑴|乃-3|+2sin3O。-（逐-2）°

CC1,

=%-3+2x——1

2

=71—3；

（2）上2+（?！?）

x+1

x-21

=----x-----

x+1x—2

1

X+1

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)，熟練掌握法則與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2】（202式新吳區(qū)二模）⑴計(jì)算：萬(wàn)。_囪+（夕2；

【思路點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕法則計(jì)算即可;

（2）先分解因式，然后約分.

【規(guī)范解答】解：（1）原式=1-3+9

=7；

（2）原式=（x+4）（x-4）.」

x+42(x-4)

=2x；

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的乘除法，熟練運(yùn)用零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞法則和分解因式

是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)6：分式的加減法

【例6】（2024?梁溪區(qū)校級(jí)一模）已知實(shí)數(shù)根、n、〃滿足機(jī)-九+/?=—+—-—=0，則下列結(jié)論:①若根>0,

mnp

貝!）九,夕；②若夕=1,則療一加=1；③若病一夕2=2,則初=2；④若〃p=l,則機(jī)=1.其中正確的為（

）

A.②③④B.①②③④C.①②③D.①③④

【思路點(diǎn)撥】利用有理數(shù)的大小的比較法則可以判斷①正確；利用分式的加減法法則和等式的性質(zhì)可以判

斷②正確；利用分式的加減法法則和平方差公式可以判斷③的正確；利用分式的加減法法則和平方根的意

義可以判斷④不正確.

【規(guī)范解答】-：m-n+p=Q,

:.n—p=m,

m>0,

:.n-p>Q,

n>p.

.?.①的結(jié)論正確；

m—n+p=0,p=l,

mnp

m+nv

----=],

mn

:.m+n=mn,

:.m+m+l=m(m+1),

/.m2—m=1.

.?.②的結(jié)論正確;

,/—+-------=u,

mnp

111

：.m+p=n,--------=——,

mpn

p-m_1

-------=—,

mp----n

1_m-p

..—=--------.

nmp

m—n+p—0,

:.n=m+p，

1_m—p

??—,

m+pmp

：.mp=(m+p)(m-p)=m2-p2=2,

.??③的結(jié)論正確；

111c

,/——I--------=0,

mnp

111_n—p

??—―,

mpnnp

np=l,

1

/.—=n—p.

m

m—n+p=0,

:.m=n—p,

1

，一=m,

m

m2=1,

..m=±l.

.??④的結(jié)論不正確.

.?.正確的結(jié)論為①②③.

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了分式的加減法，等式的性質(zhì)，平方差公式，平方根，將所給等式適當(dāng)變形是

解題的關(guān)鍵.

【變式1]（2024?錫山區(qū)一模）化簡(jiǎn)，+。一1的結(jié)果是（）

a+1

A1D"2廠/]

A.1D.----C.---D.---

a—1〃+lQ+1

【思路點(diǎn)撥】直接利用分式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【規(guī)范解答】解：原式=」一+婦/0

a+1Q+1

2

_a

a+1

故選：c.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了分式的加減，正確通分運(yùn)算是解題關(guān)鍵.

【變式2](2024?建鄴區(qū)二模)計(jì)算——+的結(jié)果是

tz+1d—1a—1

【思路點(diǎn)撥】先通分，然后根據(jù)同分母的分式相加減的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【規(guī)范解答】解：「1一+」7

a+1a—1

12

=------1--------------

a+1(a+l)(a—1)

a-12

=--------------1--------------

(Q+])(〃-1)(Q+])(〃—1)

Q+1

3+])(〃-1)

1

-----，

d—\

故答案為：一一.

a—1

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了分式的加減，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2](2024?揚(yáng)中市二模)(1)計(jì)算：|--|+3-1-2o+sin3O0;

3

2

(2)化簡(jiǎn)：^-m+1.

m-1

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉對(duì)值性質(zhì)、零指數(shù)嘉的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值,

進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)先把機(jī)和1寫(xiě)成分母是根-1的分式

【規(guī)范解答】解：(1)原式=47+!1—i+1工

332

1

-?

2

2

/C、H-Um—mm(m—1)m—1

(2)原式=----------------+----

m-1m-1m-1

m2—m—n^+m+m—1

m-1

m—1

m—1

=1.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和分式的加減運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)、負(fù)

整數(shù)指數(shù)塞對(duì)值性質(zhì)、零指數(shù)募的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值和分式的通分與約分.

考點(diǎn)7：分式的混合運(yùn)算

【例7】（2024?沐陽(yáng)縣模擬）化簡(jiǎn)，—2）的結(jié)果是（

)

a-ba

A.a-\-bB.---C.a—b

a+ba-b

【思路點(diǎn)撥】先算括號(hào)里，再算括號(hào)外，即可解答.

h2

【規(guī)范解答】解：a）

a-ba

_aa1-b2

a-ba

a（a+b）（a—b）

a-ba

=a+b,

故選：A.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2024?徐州）計(jì)算：

⑴|一3|一2024。+（夕+海；

（2）（1—1）十X口—1.

XX

【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)塞、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、立方根的運(yùn)算法則計(jì)算，再根據(jù)有理數(shù)的加

減運(yùn)算法則計(jì)算即可；

（2）先計(jì)算括號(hào)里的，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，最后約分即可.

【規(guī)范解答】解：（1）|一3|-2024°+（：尸+鄧亞

=3—1+2—2

=2；

1x—1

(2)(1--)-4----

XX

%2-1X

----------

x2x-1

x2x—1

_x+1

X

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2](2024?濱湖區(qū)校級(jí)一模)⑴計(jì)算：(-1)-1+2sin450-13-^|；

(2)化簡(jiǎn)：(————

+3。―3。~一9

【思路點(diǎn)撥】(1)先化簡(jiǎn)，然后計(jì)算加減法即可；

(2)先通分括號(hào)內(nèi)的式子，同時(shí)將括號(hào)外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后化簡(jiǎn)即可.

【規(guī)范解答】解：(1)(一3尸+2$詒45。一|3-夜|

=(-2)+2x^--(3-V2)

—(—2)+yf2—3+y/2

=-5+2^2；

a

(2)(―....—)-

6Z+3。-3a2-9

3a(a—3)—Q(Q+3)(a+3)(Q—3)

(Q+3)(a—3)a

3/一9。一Q2—3a

a

26—12。

a

=2。-12.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算、分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)8：分式的化簡(jiǎn)求值

【例8】(2024?高新區(qū)校級(jí)模擬)先化簡(jiǎn)，再求值：土l+(x+l-二」)，其中彳=-2.

x2-lx-1

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后

代入求出答案即可.

【規(guī)范解答】解：之-二2龍十(x+l-2T無(wú)一」1)

x2-lx-l

_M尤―2)0+1)(「1)(2尤1)

(x+l)(x-1)x-l

x(x-2)x2-2x

(x+l)(x-1)x-1

x(x-2)x-1

(x+l)(x—1)x(x—2)

1

-------，

x+1

當(dāng)x二-2時(shí)，原式=—--=—1.

-2+1

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

【變式11(2024?亭湖區(qū)三模)先化簡(jiǎn)：伍+3+2)+"馬，再?gòu)牡恼麛?shù)中選取一個(gè)你喜歡的。

ci—32。—6

的值代入求值.

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行代入計(jì)算.

【規(guī)范解答】解：原式=(。+3)(”3)+5+八二

Q—32(?！?)

a2—4Q+2

a—32(?！?)

(〃+2)(.—2)2(。一3)

=-----------------x-----------

a—3a+2

=2a—4,

的范圍內(nèi)的整數(shù)為一2,-1,0,

又,當(dāng)a=3或-2時(shí)，分式無(wú)意義，

.1a可以取0或一1,

當(dāng)a=O時(shí)，原式二一!'；

或當(dāng)a=—1時(shí)，原式=—6.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2](2022?南京模擬)己知實(shí)數(shù)x,y,z,。滿足x+/=2010,y+a2=2011,z+a2=2012,且

孫z=6,則代數(shù)式三+，+2-,-工-工的值等于

yzxzxyxyz2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)孫z=6,可以先將所求式子化簡(jiǎn)，然后根據(jù)X+4=2010,y+〃2=2011,z+4=2012,

可以得到x-y=-l,y-z=-lfx-z=-2,然后代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題.

【規(guī)范解答】解：?肛z=6,

xyz111

-----1------1--------------------

yzxzxyxyz

_%+)+Zyz+xz+xy

66^6xyz

xyz

x2y2z2yz+xz+xy

=---1----1-----------------

6666

_%2+y2+z2-yz-xz-xy

6

=9（x-yy+（y-z）2+（x-z）2],

x+a2=2010,y+a2=2011,z+a2=2012,

x—y=—1,y—z——1,x—z=-2,

原式=1）~+（—1）~+（—2）^J=--x（1+1+4）=—=—,

1212122

故答案為：—.

2

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法.

考點(diǎn)9：負(fù)整數(shù)指數(shù)累

【例9】（2024?武進(jìn)區(qū)校級(jí)一模）計(jì)算：（-1）2+（1）-'=4.

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)乘方的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)計(jì)算乘方，再算加法即可.

【規(guī)范解答】解：原式=1+3

=4,

故答案為：4.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握乘方的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì).

【變式（2020?鹽城二模）計(jì)算：||-2--（萬(wàn)-4）°.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)暴和零指數(shù)塞的概念和運(yùn)算法則求解即可.

【規(guī)范解答】解：原式

221

22

=-1.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)累和零指數(shù)募的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)的概念

和運(yùn)算法則.

【變式2]（2023?東?？h二模）比較大?。?-2_<_2023°.（用“>“〈”或“="填空）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)以及零指數(shù)的幕計(jì)算方法，分別計(jì)算2<和2023°即可.

【規(guī)范解答】解：?.?2-2=3=工，2023°=1,而工<1,

2244

T2<2023°,

故答案為：<.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)累，零指數(shù)幕，掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)褰，零指數(shù)幕的計(jì)算方法是正確解答的

前提.

第二部分：高頻題型洞悉

題型1：求分?jǐn)?shù)值為正（負(fù)）數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍

【例1】（23-24八年級(jí)上?山東威海?期末）若分式亭號(hào)的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）

犬+4

,5555

A.x1—B.xW—C.x>—D.x<一

2222

【答案】D

九一

【思路點(diǎn)撥】本題考查了分式值的正負(fù)條件及解一元一次不等式.由于分式2斐=5的值為負(fù)數(shù)，而分母爐+4

x2+4

一定是正數(shù)，可知分子2x-5<0,然后解不等式即可.

【規(guī)范解答】解：??,分式與一的值為負(fù)數(shù)，而分母爐+4>0,

x+4

???2x-5<0,

解得

故選：D.

【變式1]（16-17八年級(jí)上?北京房山?期中）若分式F的值為正數(shù)，則x滿足

【答案】x>7/7<x

【思路點(diǎn)撥】本題考查了分式，解不等式，要使得分?jǐn)?shù)為正數(shù)，則分子、分母必須同號(hào)，據(jù)此作答即可.

【規(guī)范解答】根據(jù)題意有：三？>°，

7-x

V-6<0,

?,*7—x<0