《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》(楊叔子主編)第四章+系統(tǒng)的頻率特性分析

章系統(tǒng)的頻率特性分析◆頻率特性概述◆頻率特性的圖示方法◆頻率特性的特征量◆最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)◆通過(guò)諧波，識(shí)別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)◆利用MATLAB分析頻率特性習(xí)題：4.6、4.7(2)、4.9、4.12(3)(4)、4.13、4.15(7)(8)、4.192021/6/271頻率特性分析是經(jīng)典控制理論中研究與分析系統(tǒng)特性的主要方法。4.1頻率特性概述

因此，從某種意義上講，頻率特性法與時(shí)域分析法有著本質(zhì)的不同。頻率特性雖然是系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但它不僅能反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且可以用來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。2021/6/2724.1頻率特性概述(部分分式處理)線性定常系統(tǒng)對(duì)諧波輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。一、頻率響應(yīng)與頻率特性

1、頻率響應(yīng)2021/6/2734.1頻率特性概述2021/6/2744.1頻率特性概述根據(jù)頻率響應(yīng)的概念，可以定義系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。根據(jù)頻率特性和頻率響應(yīng)的概念，還可以求出系統(tǒng)的諧波輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為2.2021/6/275例4-2求原函數(shù)f(t)解：對(duì)分母的s多項(xiàng)式進(jìn)行因子分解s2+3s+2=(s+1)(s+2)兩邊同乘以(s+1)得令s=-1，則4.1頻率特性概述(部分分式處理)二、2021/6/276同理：f(t)=L-1[F(s)]=(-6e-t+14e-2t)4.1頻率特性概述由得：2021/6/2774.1頻率特性概述二、2021/6/2784.1頻率特性概述二、2021/6/2794.1頻率特性概述二、2021/6/27104.1頻率特性概述

三、根據(jù)定義來(lái)求，此方法麻煩。2021/6/27114.1頻率特性概述

這是對(duì)實(shí)際系統(tǒng)求取頻率特性的一種常用而又重要的方法。因?yàn)?，如果不知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或微分方程等數(shù)學(xué)模型就無(wú)法用上面兩種方法求取頻率特性。在這樣的情況下，只有通過(guò)實(shí)驗(yàn)求得頻率特性后才能求出傳遞函數(shù)。這正是頻率特性的一個(gè)極為重要的作用。

三、2021/6/2712根據(jù)定義來(lái)求，此方法麻煩。4.1頻率特性概述

三、2021/6/27134.1頻率特性概述四、2021/6/2714這表明系統(tǒng)的頻率特性就是單位脈沖響應(yīng)函數(shù)w（t）的Fourer變換，即w（t）的頻譜。所以，對(duì)頻率特性的分析就是對(duì)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的頻譜分析。4.1頻率特性概述五、（2）頻率特性實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的Fourier變換。2021/6/2715

頻率特性的計(jì)算量很小，一般都是采用近似的作圖方法，簡(jiǎn)單，直觀，易于在工程技術(shù)界使用。

可以采用實(shí)驗(yàn)的方法，求出系統(tǒng)或元件的頻率特性，這對(duì)于機(jī)理復(fù)雜或機(jī)理不明而難以列寫(xiě)微分方程的系統(tǒng)或元件，具有重要的實(shí)用價(jià)值，正因?yàn)檫@些優(yōu)點(diǎn)，頻率特性法在工程技術(shù)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。4.1頻率特性概述2021/6/27164.3L-R-C串聯(lián)電路如圖所示。假設(shè)作用在輸入端的電壓為。試求通過(guò)電阻R的穩(wěn)態(tài)電流i(t)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的頻率特性為：

系統(tǒng)的幅頻特性為：4.1頻率特性概述解：根據(jù)回路電壓定律有六、舉例2021/6/2717系統(tǒng)的相頻特性為：根據(jù)系統(tǒng)頻率特性的定義有，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為：4.1頻率特性概述2021/6/2718例4.4

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。當(dāng)系統(tǒng)的輸入時(shí)，測(cè)得系統(tǒng)的輸出，試確定該系統(tǒng)的參數(shù)nω,ξ。系統(tǒng)的頻率特性為其中，幅頻特性為:相頻特性為:由已知條件知，當(dāng)ω=1時(shí)，4.1頻率特性概述解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:2021/6/27194.1頻率特性概述2021/6/2720七、機(jī)械系統(tǒng)的頻率特性（動(dòng)柔度、動(dòng)剛度、靜剛度）

若機(jī)械系統(tǒng)的輸入為力，輸出為位移（變形），則機(jī)械系統(tǒng)的頻率特性就是機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)柔度。機(jī)械系統(tǒng)的頻率特性的倒數(shù)稱之為機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)剛度。當(dāng)w＝0時(shí)，系統(tǒng)頻率特性的倒數(shù)為系統(tǒng)的靜剛度。例4-5：已知機(jī)械系統(tǒng)在輸入力作用下變形的傳遞函數(shù)為2/(s+1)(mm/kg),求系統(tǒng)的動(dòng)剛度、動(dòng)柔度和精剛度。解：根據(jù)動(dòng)剛度和動(dòng)柔度的定義有：4.1頻率特性概述2021/6/27214.2頻率特性的圖示方法

頻率特性G(jw)以及幅頻特性和相頻特性都是頻率w的函數(shù)，因而可以用曲線表示它們隨頻率變換的關(guān)系。用曲線圖形表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀方便的優(yōu)點(diǎn)，在系統(tǒng)分析和研究中很有用處。常用的頻率特性的圖示方法：極坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖一、頻率特性的極坐標(biāo)圖頻率特性的極坐標(biāo)圖又稱Nyquist圖，也稱幅相頻率特性圖。2021/6/27224.2頻率特性的圖示方法在復(fù)平面[G(jω)]上表示G(jω)的幅值|G(jω)|和相角∠G(jω)隨頻率ω的改變而變化的關(guān)系圖，這種圖形稱為頻率特性的極坐標(biāo)圖，又稱為nyquist圖。2021/6/27234.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)所以，比例環(huán)節(jié)頻率特性的nyquist圖是：2021/6/27244.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)所以，積分環(huán)節(jié)頻率特性的nyquist圖是：2021/6/27254.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)所以，微分環(huán)節(jié)頻率特性的nyquist圖是：2021/6/27264.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)所以，慣性環(huán)節(jié)頻率特性的nyquist圖是：2021/6/27274.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)所以，微分環(huán)節(jié)頻率特性的nyquist圖是：2021/6/27284.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)2021/6/27294.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)2021/6/27304.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)2021/6/27314.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)2021/6/27324.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)所以，延時(shí)環(huán)節(jié)頻率特性的nyquist圖是：2021/6/27334.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖)2021/6/27344.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖舉例)例1試?yán)L制其頻率特性的Nyquist圖。2021/6/2735例2

已知某超前網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為試?yán)L制其頻率特性的Nyquist圖。法一：解：該網(wǎng)絡(luò)的頻率特性為其中，幅頻特性為：相頻特性為:實(shí)頻特性為:虛頻特性為:u、v滿足關(guān)系：又因?yàn)閡>0、v>0，系統(tǒng)頻率特性的Nyquist曲線為一個(gè)位于第一象限半圓。系統(tǒng)頻率特性的Nyquist圖如圖所示。4.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖舉例)2021/6/2736法二：因此，可以先作出的Nyquist圖，然后取其反對(duì)稱曲線，即為的Nyquist圖，最后將的Nyquist圖沿實(shí)軸右移1個(gè)單位，即得的Nyquist圖如圖所示。4.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖舉例)由于：2021/6/27374.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖舉例)例32021/6/27384.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖舉例)已知三個(gè)不同系統(tǒng)2021/6/27394.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖舉例)系統(tǒng)的頻率特性：系統(tǒng)的nyquist圖的一般形狀：若n>m，則若n＝m，則|G(jw)|=const2021/6/27404.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)dec(10倍頻程)2021/6/27414.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27424.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27434.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27444.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27454.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27464.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27474.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27484.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27494.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27504.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27514.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27524.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27534.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)關(guān)于典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性及其漸進(jìn)線和對(duì)數(shù)相頻特性的特點(diǎn)歸納如下：2021/6/27544.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)繪制系統(tǒng)的bode圖的步驟：2021/6/27554.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27564.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)系統(tǒng)bode圖的幾個(gè)特點(diǎn)系統(tǒng)的頻率特性：2021/6/27574.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)（解題步驟）2021/6/27584.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/2759例4.6

試?yán)L制傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。解：將傳遞函數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得其頻率特性為因此，它由一個(gè)比例環(huán)節(jié)（比例系數(shù)K=7.5）、一個(gè)一階導(dǎo)前環(huán)節(jié)（時(shí)間常數(shù)即轉(zhuǎn)折頻率為）、一個(gè)積分環(huán)節(jié)、一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)（時(shí)間常數(shù)，即轉(zhuǎn)折頻率為）和一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)（）等五個(gè)典型環(huán)節(jié)組成。法一：先分別作出五個(gè)典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線，然后，疊加，即得系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖（例4.4）所示。4.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/2760法二：（1）分別在橫坐標(biāo)軸上標(biāo)出三點(diǎn)。（3）再作中頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線。（2）該系統(tǒng)包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)，找出橫坐標(biāo)為ω=1，縱坐標(biāo)為20lg(7.5)=40.3dB的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的直線。這樣，便得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖（例4.4.b）所示。4.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27614.2頻率特性的圖示方法(典型環(huán)節(jié)的Bode圖)2021/6/27624.3頻率特性的特征量

如圖4.31所示，在頻域分析時(shí)要用到的一些有關(guān)頻率的特征量或頻域性能指標(biāo)有A(0)、wm、wr（Mr）、wb。1．零頻幅值A(chǔ)(0)

零頻幅值A(chǔ)(0)表示當(dāng)頻率ω接近于零時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與輸入幅值之比。

在頻率極低時(shí)，對(duì)單位反饋系統(tǒng)而言，若輸出幅值能完全準(zhǔn)確地反映輸入幅值，則A(0)=1。A(0)越接近于1，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。所以A(0)的數(shù)值與1相差的大小，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。2021/6/2763

若事先規(guī)定一個(gè)Δ作為反映低頻輸入信號(hào)的容許誤差，那么，ωM就是幅頻特性值與A(0)的差第一次達(dá)到Δ時(shí)的頻率值，稱為復(fù)現(xiàn)頻率。當(dāng)頻率超過(guò)ωM，輸出就不能“復(fù)現(xiàn)”輸入，所以，0~ωM表征復(fù)現(xiàn)低頻輸入信號(hào)的頻帶寬度，稱為復(fù)現(xiàn)帶寬。4.3頻率特性的特征量2．復(fù)現(xiàn)頻率ωM與復(fù)現(xiàn)帶寬0~ωM2021/6/27643．諧振頻率ωr及相對(duì)諧振峰值Mr

諧振頻率ωr在一定程度上反映了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度。ωr越大，則系統(tǒng)響應(yīng)越快。4.3頻率特性的特征量2021/6/2765

在學(xué)習(xí)系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)時(shí)，要充分注意到時(shí)域性能指標(biāo)和頻域性能指標(biāo)一樣，從不同的側(cè)面描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，要注意兩類性能指標(biāo)之間的聯(lián)系。4.3頻率特性的特征量4．截止頻率ωb和截止帶寬0~ωb

一般規(guī)定幅頻特性A(ω)的數(shù)值由零頻幅值下降到3dB時(shí)的頻率，亦即A(w)由A(0)下降到0.707A(0)時(shí)的頻率稱為截止頻率。頻率0～ωb的范圍稱為系統(tǒng)的截止帶寬或帶寬。它表示超過(guò)此頻率后，輸出就急劇衰減，跟不上輸入，形成系統(tǒng)響應(yīng)的截止?fàn)顟B(tài)。帶寬表征系統(tǒng)容許工作的最高頻率范圍，也反映系統(tǒng)的快速性，帶寬越大，響應(yīng)快速性越好。2021/6/2766

若傳遞函數(shù)G(s)的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)均在復(fù)平面s的左半平面內(nèi)，則稱G(s)為最小相位傳遞函數(shù)，具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)；

反之，若傳遞函數(shù)G(s)在[s]的右半平面內(nèi)存在零點(diǎn)或極點(diǎn)，則稱G(s)為非最小相位傳遞函數(shù)，具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。

非最小相位系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性圖一致，但是，它們的對(duì)數(shù)相頻特性圖是有區(qū)別的。4.4最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)2021/6/27674.4最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)例1：2021/6/2768通過(guò)諧波輸入，測(cè)取系統(tǒng)的頻率特性，繼而辨識(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。4.5通過(guò)諧波，識(shí)別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(P292)2021/6/27694.5通過(guò)諧波，識(shí)別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2021/6/27704.5通過(guò)諧波，識(shí)別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2021/6/27714.5通過(guò)諧波，識(shí)別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2021/6/27724.5通過(guò)諧波，識(shí)別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2021/6/27734.6利用MATLAB分析頻率特性調(diào)用格式

［re,im,ω］=nyquist(num,den,ω)

式中G(s)=num/den；ω用戶提供的頻率范圍；

re極坐標(biāo)的實(shí)部；im極坐標(biāo)的虛部若用戶不指定頻率ω范圍，則為Nyquist(num,den)一、利用matlab繪制nyquist圖

在matlab中，可以用nyquist函數(shù)自動(dòng)生成系統(tǒng)的nyquist圖，但生成的圖形可能會(huì)產(chǎn)生異?；騺G失重要信息。因此，通常采用帶輸出參數(shù)的nyquist函數(shù)得到實(shí)頻特性和虛頻特性，然后調(diào)用繪圖函數(shù)繪制nyquist圖。2021/6/27744.6利用MATLAB分析頻率特性k=24;nunG1=k*[0.250.5];denG1=conv([52],[0.052]);%系統(tǒng)的傳遞函數(shù)[re,im]=nyquist(nunG1,denG1);%求實(shí)頻特性和虛頻特性plot(re,im);grid%生成nyquist圖例：利用nyquist函數(shù)繪制系統(tǒng)的nyquist圖。Matlab文本如下：系統(tǒng)的nyquist圖2021/6/27754.6利用MATLAB分析頻率特性二、利用matlab繪制bode圖

在matlab中，可以用不帶輸出參數(shù)的bode函數(shù)自動(dòng)生成系統(tǒng)的bode圖。而用帶輸出參數(shù)的bode函數(shù)，可以得到系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。bode函數(shù)語(yǔ)法格式如下所示。[mag,Phase,w]=bode(sys,w)其中：mag:幅頻特性phase:相頻特性w:頻率范圍（可選項(xiàng)）sys:由tf、zpk、ss等建立的模型2021/6/2776例：利用bode函數(shù)繪制系統(tǒng)的bode圖。4.6利用MATLAB分析頻率特性Matlab文本如下：k=24;nunG1=k*[0.250.5];denG1=conv([52],[0.052]);%系統(tǒng)的傳遞函數(shù)w=logspace(-2,3,100);%產(chǎn)生介于之間的100個(gè)頻率點(diǎn)bode(nunG1,denG1,w);2021/6/27774.6利用MATLAB分析頻率特性三、利用matlab求系統(tǒng)的頻域特征量應(yīng)用帶輸出參數(shù)的nyquist函數(shù)和bode圖，可以分別得到系統(tǒng)的實(shí)頻特性、虛頻特性、幅頻特性和相頻特性，從而可得到系統(tǒng)的頻域特征量。例：對(duì)于傳遞函數(shù)為：的系統(tǒng)，應(yīng)用bode函數(shù)求得不同頻率下，系統(tǒng)的幅頻特性，從而根據(jù)定義計(jì)算出系統(tǒng)的頻域特征量。Matlab程序如下：2021/6/2778nunG1=200;denG1=[18100];%系統(tǒng)得傳遞函數(shù)w=logspace(-1,3,100);%產(chǎn)生介于之間的100個(gè)頻率點(diǎn)[Gm,Pm,w]=bode(nunG1,denG1,w);%求幅頻特性和相頻特性[Mr,k]=max(Gm);Mr=20*log10(Mr);Wr=w(k);%求諧振峰值和諧振頻率M0=20*log10(Gm(1));%求零頻值n=1;while20*log10(Gm(n))>=-3;n=n+1;endWb=w(n);%求截止頻率[M0WbMrWr]4.6利用MATLAB分析頻率特性2021/6/2779

（1）控制系統(tǒng)的Nyquist圖實(shí)驗(yàn)；（2）控制系統(tǒng)的Bode圖實(shí)驗(yàn)；一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、加深理解頻率特性的概念，掌握系統(tǒng)頻率特性的測(cè)試原理及方法。2、掌握頻率特性的Nyquist圖和Bode圖的組成原理，熟悉典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖和Bode圖的特點(diǎn)及其繪制，了解一般系統(tǒng)的的Nyquist圖和Bode圖的特點(diǎn)和繪制。3、了解MATLAB，能夠根據(jù)給出的傳遞函數(shù)運(yùn)用MATLAB求出幅相頻特性和對(duì)數(shù)頻率特性。二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備計(jì)算機(jī)、MATLAB軟件、打印機(jī)等實(shí)驗(yàn)三控制系統(tǒng)頻域特性分析2021/6/2780三、實(shí)驗(yàn)要求1、正確理解頻率特性的概念，熟悉典型環(huán)節(jié)的頻率特性。2、分析開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，并繪制其開(kāi)環(huán)Nyquist圖和Bode圖，求取剪切頻率ωc，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證理論的正確性。3、分析單位反饋系統(tǒng)的頻率特性，并繪制其Nyquist圖和Bode圖，求取諧振頻率ωr、諧振峰值Mr，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證理論的正確性。4、了解閉環(huán)頻率特性與時(shí)域性能之間的關(guān)系。掌握開(kāi)環(huán)增益K變化對(duì)頻率特性的影響，以及對(duì)Bode圖