專題05 新定義與閱讀理解（解析版）

專題05新定義與閱讀理解題型一新定義1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在多項(xiàng)式（其中中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)操作”．例如：，，．下列說(shuō)法：①存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果．其中正確的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說(shuō)法①和②．說(shuō)法③需要對(duì)絕對(duì)操作分析添加一個(gè)和兩個(gè)絕對(duì)值的情況，并將結(jié)果進(jìn)行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案．【詳解】解：，故說(shuō)法①正確．若使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0，必須出現(xiàn)，顯然無(wú)論怎么添加絕對(duì)值，都無(wú)法使的符號(hào)為負(fù)，故說(shuō)法②正確．當(dāng)添加一個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有4種情況，分別是；；；．當(dāng)添加兩個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有3種情況，分別是；；．共有7種情況；有兩對(duì)運(yùn)算結(jié)果相同，故共有5種不同運(yùn)算結(jié)果，故說(shuō)法③不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進(jìn)行情況討論；需要注意去絕對(duì)值時(shí)的符號(hào)，和所有結(jié)果可能的比較．主要考查絕對(duì)值計(jì)算和分類討論思想的應(yīng)用．2．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”．若關(guān)于的二次函數(shù)（為常數(shù)，）總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用“倍值點(diǎn)”的定義得到方程，則方程的，可得，利用對(duì)于任意的實(shí)數(shù)總成立，可得不等式的判別式小于0，解不等式可得出的取值范圍．【詳解】解：由“倍值點(diǎn)”的定義可得：，整理得，∵關(guān)于的二次函數(shù)（為常數(shù)，）總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，∴∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)總成立，∴整理得，∴∴，∴，或當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，此不等式組無(wú)解，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程根的判別式以及二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，理解新定義并能熟練運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：等都是三倍點(diǎn)”，在的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得：三倍點(diǎn)所在的直線為，根據(jù)二次函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為和至少有一個(gè)交點(diǎn)，求，再根據(jù)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)值大小即可求出．【詳解】解：由題意可得：三倍點(diǎn)所在的直線為，在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，即在的范圍內(nèi)，和至少有一個(gè)交點(diǎn)，令，整理得：，則，解得，，∴，∴或當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，綜上，c的取值范圍是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵．4．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵，，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為________；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為________．【答案】6200；9313【分析】根據(jù)題中“天真數(shù)”可求得最小的“天真數(shù)”；先根據(jù)題中新定義得到，進(jìn)而，若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，再根據(jù)能被10整除求得，進(jìn)而可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，只需千位數(shù)字和百位數(shù)字盡可能的小，所以最小的“天真數(shù)”為6200；根據(jù)題意，，，，，則，∴，∴，若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，∴，∵能被10整除，∴，∴滿足條件的M的最大值為9313，故答案為：6200，9313．【點(diǎn)睛】本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運(yùn)算、整式的加減、數(shù)的整除等知識(shí)，理解新定義是解答的關(guān)鍵．5．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）定義：若x，y滿足且（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”．（1）若是“和諧點(diǎn)”，則__________．（2）若雙曲線存在“和諧點(diǎn)”，則k的取值范圍為__________．【答案】；【分析】（1）根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義得到，整理得到，解得（不合題意，舍去），即可得到答案；（2）設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的“和諧點(diǎn)”，根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義整理得到，由得到，則，由進(jìn)一步得到，且，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到k的取值范圍．【詳解】解：（1）若是“和諧點(diǎn)”，則，則，∴，即，解得（不合題意，舍去），∴，故答案為：（2）設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的“和諧點(diǎn)”，∴，，即，∴，則，∵，∴，即，∵，∴，且，對(duì)拋物線來(lái)說(shuō)，∵，∴開口向下，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵對(duì)稱軸為，，∴當(dāng)時(shí)，k取最大值為4，∴k的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形，則________．

【答案】或【分析】根據(jù)題意求得點(diǎn)，，，根據(jù)題意分兩種情況，待定系數(shù)法求解析式即可求解．【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，四邊形是矩形，∴，①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，將點(diǎn)，代入，∴解得：②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，將點(diǎn),代入，∴解得：綜上所述，或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對(duì)角線平分．求證：四邊形為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形是鄰等四邊形，請(qǐng)畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．(3)如圖3，四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角，連接，過(guò)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若，求四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)畫圖見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先證明，，再證明，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)新定義分兩種情況進(jìn)行討論即可；①，結(jié)合圖形再確定滿足或的格點(diǎn)D；②，結(jié)合圖形再確定滿足的格點(diǎn)D；（3）如圖，過(guò)作于，可得四邊形是矩形，，，證明四邊形為平行四邊形，可得，，設(shè)，而，，，由新定義可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵對(duì)角線平分，∴，∴，∴，∴四邊形為鄰等四邊形．（2）解：，，即為所求；（3）如圖，過(guò)作于，

∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，，設(shè)，而，∴，，由新定義可得，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，（不符合題意舍去），∴，∴四邊形的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義的含義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點(diǎn)是線段上與點(diǎn)，點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)，在的同側(cè)分別以，，為頂點(diǎn)作，其中與的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規(guī)定這三個(gè)角互為等聯(lián)角，點(diǎn)為等聯(lián)點(diǎn)，線段為等聯(lián)線．(1)如圖2，在個(gè)方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長(zhǎng)均為1，為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線段．請(qǐng)用三種不同連接格點(diǎn)的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點(diǎn)為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在中，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，作的等聯(lián)角和．將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到，再延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接．①確定的形狀，并說(shuō)明理由；②若，，求等聯(lián)線和線段的長(zhǎng)（用含的式子表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①等腰直角三角形，見(jiàn)解析；②；【分析】（1）根據(jù)新定義，畫出等聯(lián)角；（2）①是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．由折疊得，，，證明四邊形為正方形，進(jìn)而證明，得出即可求解；②過(guò)點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，則．證明，得出，在中，，，進(jìn)而證明四邊形為正方形，則，由，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示（方法不唯一）（2）①是等腰直角三角形．理由為：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．由折疊得，，，，四邊形為正方形又，，而，是等腰直角三角形．②過(guò)點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，則．，，由是等腰直角三角形知：，，，，而，，在中，，，，，，由，，∴四邊形為正方形，，由，得：，∴，，而，即，解得：，由①知：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，正方形的性質(zhì)與判定，折疊問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，理解新定義，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”．

(1)如圖①，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”的是___________；(2)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是___________，直線的解析式是___________．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________．(3)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)，，或(3)是直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義判斷這幾個(gè)點(diǎn)是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；（2）把代入求出解析式，再求與的交點(diǎn)即為，最后根據(jù)函數(shù)圖象判斷當(dāng)時(shí)，x的取值范圍；（3）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后求出，，，即可判斷的形狀．【詳解】（1）∵矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，∴矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”滿足，，∴點(diǎn)，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)不是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”，故答案為：，；（2）∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴把代入得，∴，∵“夢(mèng)之點(diǎn)”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，∴“夢(mèng)之點(diǎn)”都在直線上，聯(lián)立，解得或，∴，∴直線的解析式是，函數(shù)圖象如圖：

由圖可得，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是或；故答案為：，，或；（3）是直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴聯(lián)立，解得或，∴，，∵∴頂點(diǎn)，∴，，，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．10．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)到直線的距離等于圖形上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)稱為直線的“伴隨點(diǎn)”．例如：如圖1，已知點(diǎn)，，在線段上，則點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．

(1)如圖2，已知點(diǎn)，，是線段上一點(diǎn)，直線過(guò)，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是直線的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖3，軸上方有一等邊三角形，軸，頂點(diǎn)在軸上且在上方，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且點(diǎn)是直線：軸的伴隨點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形的邊長(zhǎng)；(3)如圖4，以，，為頂點(diǎn)的正方形上始終存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是直線：的伴隨點(diǎn)．請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)新定義得出，根據(jù)已知得出，則，即可求解；（2）當(dāng)?shù)捷S的距離最小時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)的邊長(zhǎng)為，以為圓心為半徑作圓，當(dāng)與軸相切時(shí)，如圖所示，切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)是直線：軸的伴隨點(diǎn)．且點(diǎn)到軸的距離最小，則的縱坐標(biāo)為，即，是等邊三角形，且軸，設(shè)交于點(diǎn)，則，得出，根據(jù)即可求解；（3）當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，直線的解析式為，得出，可得到直線的距離為，則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求得兩個(gè)臨界點(diǎn)時(shí)的的值，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，則，點(diǎn)是直線的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：當(dāng)?shù)捷S的距離最小時(shí)，∴點(diǎn)在線段上，設(shè)的邊長(zhǎng)為，以為圓心為半徑作圓，當(dāng)與軸相切時(shí)，如圖所示，切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)是直線：軸的伴隨點(diǎn)．且點(diǎn)到軸的距離最小，

則的縱坐標(biāo)為，即，∵是等邊三角形，且軸，設(shè)交于點(diǎn)，則，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去）∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為（3）解：如圖所示，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，

∵，，∴，，∵，設(shè)直線的解析式為，則解得∴直線的解析式為，∴直線垂直，當(dāng)時(shí)，∴，∵，即得到直線的距離為，則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，是直線：的伴隨點(diǎn)．此時(shí)在上，則，解得：，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則過(guò)點(diǎn)，此時(shí)，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，解直角三角形，切線的性質(zhì)，直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，理解新定義是解題的關(guān)鍵．題型二閱讀理解11．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：設(shè)有編號(hào)為1-100的100盞燈，分別對(duì)應(yīng)著編號(hào)為1-100的100個(gè)開關(guān)，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態(tài)，每按一次開關(guān)改變一次相對(duì)應(yīng)編號(hào)的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”．現(xiàn)有100個(gè)人，第1個(gè)人把所有編號(hào)是1的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第2個(gè)人把所有編號(hào)是2的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第3個(gè)人把所有編號(hào)是3的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，……，第100個(gè)人把所有編號(hào)是100的整數(shù)倍的開關(guān)按一次．問(wèn)最終狀態(tài)為“亮”的燈共有多少盞？幾位同學(xué)對(duì)該問(wèn)題展開了討論：甲：應(yīng)分析每個(gè)開關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律：乙：1號(hào)開關(guān)只被第1個(gè)人按了1次，2號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第2個(gè)人共按了2次，3號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第3個(gè)人共按了2次，……丙：只有按了奇數(shù)次的開關(guān)所對(duì)應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài)．根據(jù)以上同學(xué)的思維過(guò)程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有___________盞．【答案】10【分析】燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”，確定1-100中，各個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，完全平方數(shù)的因數(shù)為奇數(shù)個(gè)，從而求解．【詳解】所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”；因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)只有完全平方數(shù)，1-100中，完全平方數(shù)為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10個(gè)數(shù)，故有10盞燈被按奇數(shù)次，為“亮”的狀態(tài)；故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查因數(shù)分解，完全平方數(shù)，理解因數(shù)的意義，完全平方數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．12．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)．已知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B，D都完成后進(jìn)行，工序F須在工序C，D都完成后進(jìn)行；②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他工序；③各道工序所需時(shí)間如下表所示：工序ABCDEFG所需時(shí)間/分鐘99797102在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要______分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要______分鐘．【答案】53；28【分析】將所有工序需要的時(shí)間相加即可得出由一名學(xué)生單獨(dú)完成需要的時(shí)間；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，根據(jù)加工要求可知甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時(shí)做工序B；然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時(shí)做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G；最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時(shí)做工序F，然后可得答案．【詳解】解：由題意得：（分鐘），即由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，需要53分鐘；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，∵工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B，D都完成后進(jìn)行，且工序A，B都需要9分鐘完成，∴甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時(shí)做工序B，需要9分鐘，然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時(shí)做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G，需要9分鐘，最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時(shí)做工序F，需要10分鐘，∴若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要（分鐘），故答案為：53，28；【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理與時(shí)間統(tǒng)籌，根據(jù)加工要求得出加工順序是解題的關(guān)鍵．13．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求的值．解：∵m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴．則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)應(yīng)用：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則___________，___________；(2)類比：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求的值；(3)提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足且，求的值．【答案】(1)，(2)(3)的值為或【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出，，再根據(jù)，最后代入求值即可；（3）由題意可將s、t可以看作方程的兩個(gè)根，即得出，，從而由，求得或，最后分類討論分別代入求值即可．【詳解】（1）解：∵一元二次方程的兩個(gè)根為，，∴，．故答案為：，；（2）解：∵一元二次方程的兩根分別為m、n，∴，，∴；（3）解：∵實(shí)數(shù)s、t滿足，∴s、t可以看作方程的兩個(gè)根，∴，，∵，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，分式的混合運(yùn)算．理解題意，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．14．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點(diǎn)分別是邊，的中點(diǎn)，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切．

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵分別為的中點(diǎn)，∴．（依據(jù)1）

∴．∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形．（依據(jù)2）∴．∵，∴．同理，…任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫一個(gè)四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時(shí)畫出四邊形的對(duì)角線）(3)在圖1中，分別連接得到圖3，請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）(2)答案不唯一，見(jiàn)解析(3)平行四邊形的周長(zhǎng)等于對(duì)角線與長(zhǎng)度的和，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；（2）作對(duì)角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)即可；（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對(duì)邊和等于四邊形的一條對(duì)角線，即可得妯結(jié)論．【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）平行四邊形的定義（或兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）（2）解：答案不唯一，只要是對(duì)角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)等于四邊形的兩條對(duì)角線與長(zhǎng)度的和，證明如下：∵點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，∴．∴．同理．∴四邊形的周長(zhǎng)．即瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)等于對(duì)角線與長(zhǎng)度的和．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線．熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．15．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）閱讀下面材料：將邊長(zhǎng)分別為a，，，的正方形面積分別記為，，，．則例如：當(dāng)，時(shí)，根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)，時(shí)，______，______；(2)當(dāng)，時(shí)，把邊長(zhǎng)為的正方形面積記作，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計(jì)算結(jié)果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；(3)當(dāng)，時(shí)，令，，，…，，且，求T的值．【答案】(1)，(2)猜想結(jié)論：，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；（2）根據(jù)題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；（3）結(jié)合題意利用（2）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，時(shí)，原式；當(dāng)，時(shí)，原式；（2）猜想結(jié)論：證明：；（3）．【點(diǎn)睛】題目主要考查利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，理解題意，得出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．16．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，記為、為，若，則．

證明：設(shè)，∵，∴，易證∴，∴∴，若時(shí)，當(dāng)，則．同理：若時(shí)，當(dāng)，則．根據(jù)上述材料，完成下列問(wèn)題：如圖2，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，已知．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出的值；(3)求直線的解析式．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）首先求出點(diǎn)，然后設(shè)，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；（2）首先根據(jù)，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后證明出四邊形是矩形，得到，然后由即可求出；（3）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，然后利用求出，進(jìn)而得到，然后設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法將和代入求解即可．【詳解】（1）將代入得，，∴，∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，∴設(shè)，∵，，∴在中，，∴，∴解得，，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)要大于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，∴應(yīng)舍去，∴，∴，∴將代入，解得；∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）∵，，∴，，∴，，∵，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴；（3）∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，即，∴解得，∴，∴，∴設(shè)直線的解析式為，∴將和代入得，，∴解得，∴直線的解析式為．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)和幾何綜合題，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確理解材料的內(nèi)容．17．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）【問(wèn)題背景】“刻漏”是我國(guó)古代的一種利用水流計(jì)時(shí)的工具．綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個(gè)透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大小