河南省商丘市十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試 數(shù)學(xué)（含答案）

1PAGE第12頁普通高中2024—2025學(xué)年（上）高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)（人教版）注意事項(xiàng)： 1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則直線的方程為（）A. B.C. D.2.若橢圓的長半軸長等于其焦距，則（）A B. C. D.3已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)（）A.3 B. C.2 D.14.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.5.已知圓的圓心在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A B. C. D.6.在四面體中，E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段上一點(diǎn)，且，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.7.已知點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線上存在兩點(diǎn)A，B，滿足，且，則r的最小值為（）A4 B.3 C.2 D.18.已知正方體的棱長為1，M為棱的中點(diǎn)，G為側(cè)面的中心，點(diǎn)P，Q分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q到平面的距離為（）A. B. C.1 D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，滿足，，，則下列結(jié)論正確是（）A. B.C. D.10.已知直線的方程為，圓的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.圓的半徑為12C.直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)D.圓心到直線距離的最大值為11.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)在直線上，若，，，且直線與拋物線交于另一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角為B.拋物線的方程為C.D.點(diǎn)在以線段為直徑的圓上三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面的法向量為，平面的法向量為，若α//β，x，，則______.13.已知雙曲線的一條漸近線與雙曲線的一條漸近線關(guān)于直線對稱，且這兩條漸近線的夾角為30°，則雙曲線與的離心率之積為______.14.過圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓C與直線，均相切.（1）若經(jīng)過圓心C的直線與，平行，求直線的方程；（2）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.16.如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，平面，，，，.（1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）證明：M，C，G，H四點(diǎn)共面.17.已知點(diǎn)在雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0上，且的實(shí)軸長為（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于另一點(diǎn)，且點(diǎn)位于軸下方，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).18.如圖，在平行六面體中，底面是矩形，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，且.（1）證明：平面平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.19.已知點(diǎn)，，定義A，B的“倒影距離”為，我們把到兩定點(diǎn)，的“倒影距離”之和為6的點(diǎn)M的軌跡C叫做“倒影橢圓”.（1）求“倒影橢圓”C的方程；（2）求“倒影橢圓”C的面積；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若“倒影橢圓”C的外接橢圓為E，D為外接橢圓E的下頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)D），且的外接圓的圓心為H（異于點(diǎn)O），證明：直線與的斜率之積為定值.普通高中2024—2025學(xué)年（上）高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)（人教版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】D2.【答案】A3【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ACD11.【答案】BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】1013.【答案】14.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【解析】【分析】（1）由題意直線到直線，的距離都等于圓的半徑，設(shè)直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求出即可.【小問1詳解】由題意直線到直線，的距離都等于圓的半徑，設(shè)直線的方程為，則，解得，所以直線的方程為；【小問2詳解】由題意可得，解得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，得到方向向量，借助向量夾角余弦值公式計(jì)算即可；（2）借助向量法，運(yùn)用空間向量共面的基本定理驗(yàn)證即可.【小問1詳解】連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，又，所以為等邊三角形，取的中點(diǎn)E，連接，則，所以.因?yàn)槠矫?，平面平面，所以以A為原點(diǎn)，以所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則由，可知所以于是故直線與直線所成角的余弦值為【小問2詳解】證明：因?yàn)椋苑謩e為中點(diǎn)，則連接，則設(shè)，由（1）知?jiǎng)t則解得所以故M，C，G，H四點(diǎn)共面.17.【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義及已知條件列出方程組來求解和.（2）利用三角形面積關(guān)系得到直線平行關(guān)系，進(jìn)而得出直線方程，再通過聯(lián)立直線方程與雙曲線方程求解點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】由題設(shè)條件，可得，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離相等.又點(diǎn)位于軸下方，所以由（1）可知，所以，則直線的方程為聯(lián)立整理得解得或.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.18.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，進(jìn)而可得為的中點(diǎn)，從而可證明，，再根據(jù)線面垂直得判定定理以及面面垂直得判定定理即可得證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則，則，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，則，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】由，可得，則，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，所以的長度為.19.【解析】【分析】（1）根據(jù)“倒影距離”和“倒影橢圓”的定義求解即可；（2）分類討論去絕對值符號(hào)，作出“倒影橢圓”的圖象，再結(jié)合圖象求面積即可；（3）先求出橢圓的方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再分別求出線段的中垂線的方程，設(shè)的外接圓的圓心的坐標(biāo)為，由這兩條中垂線方程得出的關(guān)系，進(jìn)而可得出結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)Mx,y由“倒影距離”的定義可知，，，由題意，即，所以“倒影橢圓”C的方程為；【小問2詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由對稱性知，，其圖象如圖所示，故“倒影橢圓”C的面積；【小問3詳解】由上圖知，“倒影橢圓”C