詳細解析余弦復(fù)合函數(shù)y=3x-cos(2x+1)的性質(zhì)及其圖像

函數(shù)y=3x-cos(2x+1)的性質(zhì)及其圖像主要內(nèi)容：本文介紹三角函數(shù)y=3x-cos(2x+1)的定義域、單調(diào)性、凸凹性等函數(shù)性質(zhì)，并通過導(dǎo)數(shù)知識求解函數(shù)的凸凹區(qū)間，簡要畫出函數(shù)在[-eq\f(2π+1,2),eq\f(2π-1,2)]區(qū)間上的圖像示意圖?！?函數(shù)的定義域根據(jù)函數(shù)的特征，函數(shù)是一次函數(shù)y1=3x和余弦函數(shù)y2=cos(2x+1)的和函數(shù)，且二者的定義域為全體實數(shù)，所以其和函數(shù)的定義域也為全體實數(shù)，即為(-∞，+∞)?！?函數(shù)單調(diào)性本題用導(dǎo)數(shù)知識來判斷函數(shù)的單調(diào)性并求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。因為y=3x-cos(2x+1),兩邊同時求導(dǎo)有：所以eq\f(dy,dx)=3+2sin(2x+1),又因為|sin(2x+1)|≤1，則eq\f(dy,dx)≥3-2=1>0,所以函數(shù)y為增函數(shù)。※.函數(shù)的凸凹性本題用導(dǎo)數(shù)知識來判斷函數(shù)的凸凹性并求解函數(shù)的凸凹區(qū)間。再次對x求導(dǎo)有：eq\f(d2y,dx2)=22*cos(2x+1)，令eq\f(d2y,dx2)=0，則cos(2x+1)=0，即：2x+1=kπ+eq\f(π,2)，k∈Z.結(jié)合本題限制區(qū)間[-eq\f(2π+1,2),eq\f(2π-1,2)]，即:2x+1∈[-2π，2π],所以此時有k=-2，-1，0，1，分別對應(yīng)2x+1=-eq\f(3π,2)，-eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，進一步求出:x對應(yīng)為：-eq\f(3π+2,4)，-eq\f(π+2,4)，eq\f(π-2,4)，eq\f(3π-2,4)；則函數(shù)的凸凹區(qū)間為：(1)當(dāng)x在[-eq\f(3π+2,4),-eq\f(π+2,4)]∪[eq\f(π-2,4)，eq\f(3π-2,4)]時，eq\f(d2y,dx2)<0,此時函數(shù)y為凸函數(shù);(2)當(dāng)x在[-eq\f(2π+1,2),-eq\f(3π+2,4)]∪[-eq\f(π+2,4)，eq\f(π-2,4)]∪[eq\f(3π-2,4),eq\f(2π-1,2)]時，eq\f(d2y,dx2)>0,此時函數(shù)y為凹函數(shù)。※.函數(shù)的部分點圖x-eq\f(2π+1,2)-eq\f(7π+4,8)-eq\f(3π+2,4)-eq\f(5π+4,8)-eq\f(π+1,2)-3.6-3.2-2.9-2.5-2.12x+1-2π-eq\f(7π,4)-eq\f(3π,2)-eq\f(5π,4)-πcos(2x+1)1eq\f(\r(2),2)0-eq\f(\r(2),2)-13x-eq\f(3,2)*(2π+1)-eq\f(3,8)*(7π+4)-eq\f(3,4)*(3π+2)-eq\f(3,8)*(5π+4)-eq\f(3,2)*(π+1)y-11.8-10.3-8.7-6.8-5.3x-eq\f(π+1,2)-eq\f(3π+4,8)-eq\f(π+2,4)-eq\f(π+4,8)-eq\f(1,2)-2.1-1.7-1.3-0.9-0.52x+1-π-eq\f(3π,4)-eq\f(π,2)-eq\f(π,4)0cos(2x+1)-1-eq\f(\r(2),2)0eq\f(\r(2),2)13x-eq\f(3,2)*(π+1)-eq\f(3,8)*(3π+4)-eq\f(3,4)*(π+2)-eq\f(3,8)*(π+4)-eq\f(3,2)y-5.3-4.4-3.9-3.4-2.5x-eq\f(1,2)eq\f(π-4,8)eq\f(π-2,4)eq\f(3π-4,8)eq\f(π-1,2)-0.5-0.10.30.71.12x+10eq\f(π,4)eq\f(π,2)eq\f(5π,4)πcos(2x+1)1eq\f(\r(2),2)0-eq\f(\r(2),2)-13x-eq\f(3,2)eq\f(3,8)*(π-4)eq\f(3,4)*(π-2)eq\f(3,8)*(3π-4)eq\f(3,2)*(π-1)y-2.5-1.00.92.84.3xeq\f(π-1,2)eq\f(5π-4,8)eq\f(3π-2,4)eq\f(7π-4,8)eq\f(2π-1,2)1.11.51.92.22.62x+1πeq\f(5π,4)eq\f(3π,2)eq\f(7π,4)2πcos(2x+1)-1-eq\f(\r(2),2)0eq\f(\r(2),2)13xeq\f(3,2)*(π-1)eq\f(3,8)*(5π-4)eq\f(3,4)*(3π-2)eq\f(3,8)*(7π-4)eq\f(3,2)*(2π-1)y4.35.25.75.96.8※.函數(shù)的示意圖y=3x-cos(2x+1) y(2.6,6.8)(1.9,5.7)(1.1,4.3)(0.3,0.9)