概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案模板

精品文檔精品文檔授課章節(jié)第一章隨機(jī)變量的數(shù)字特征授課形式授課時間第 周周 （月日）第 至 節(jié)教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：能力目標(biāo)：素質(zhì)目標(biāo)：教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)補(bǔ)充內(nèi)容教學(xué)場地及教具使用教學(xué)過程方法手段時間分配導(dǎo)入隨機(jī)變量的概率分布完整地描述了隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律，但是在實際問題中求得隨機(jī)變量的概率分布并不容易，而且對某些問題來說，只需知道它的某些特征，我們把刻畫隨機(jī)變量某些方面特征的數(shù)值稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。本章主要研究隨機(jī)變量的期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等數(shù)字特征。新課隨機(jī)變量的期望離散型隨機(jī)變量的期望引例10人參加考試，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分。常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院普通類課程教案

定義[若X的分布律為P(X=xi)=pi,i=1,2…Z工1 工。 ... K豆 ...P當(dāng)級就說N1白 川^=r^t1 12數(shù) 絕對收斂時(即 收斂)1 是離散型隨機(jī)變量X的i說明：(1)若X取值為有限個x1,x2,…，xnMEX二￡0科二工盧i+/巧十…十工總，則 i-i(2)若X取值為可列無限多個x1,x2，…，xn…? 演芭=為為+狎/%+…+/%;+…貝U 網(wǎng)82研這時才要求無窮級數(shù)I 絕對收斂。很明顯，X的期望EX體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。下面介紹幾種重要離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。.兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量X的分布律為分布 EXX?(0,1) pX~B(n,p) npX?P⑴ 工下面介紹離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。定理4-1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xJ=Pk，k=1,2,…。令Y=g(X),若級數(shù) 絕對收斂，則隨機(jī)變量Y特別情形=+…+M&+…的4.1.4連續(xù)型隨機(jī)變量的期望對于連續(xù)型隨機(jī)變量的期望，形式上可類似于離散型隨機(jī)變量的期望給予定義，只需將和式i 中的xi改變x,pi改變?yōu)閒（x）dx（其中f（x）為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)）以及和號“Z”演變?yōu)榉e分號“J”即可。定義4-2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）,若廣義f+0定義4-2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）,若廣義f+0：， ■積分乙近期dI絕對收斂，則稱該積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（簡稱期望或均值），記為￡乂，即「■+<1：'sx=xf(x)dx.C4,1.5)F，1.均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X在［a,b］上服從均勻分布，其概率密度為/w=b-aQ,其他,則豆（茍-［W球5）放=1X—~(_b2-a2)=b-a21『 11口 dx xb一口b-a2a+biL在區(qū)間［a,b］上服從均勻分布的隨機(jī)變量的期望是該區(qū)間中點(diǎn).指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為A0的指數(shù)分布，其概率密度為/W=幅一叱戶0,十求SXa/W=0,兀三“-Hj：'乙一％x=-Hj：'乙一％x=用!'oEX: 在描一盤=1Jar+?j：， r+!1：?二L球⑴以4微積分中有廣汽-"盤=2Jo■HCi10即指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為參數(shù)為的倒數(shù)。.正態(tài)分布設(shè)N 其概率密度為［-Tf廠玲一L一？&,一00CC400,匹仃則X的期望E（X）=u。（不證）上面三種情況列表如下（可以作為公式使用）EX分布EXX?U(a,b)X?E(入)X?N(u,02)下面介紹連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。定理4-2設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fX(x),又隨機(jī)變量Y=g(X)，貝U當(dāng) 收斂時，有磯F)二磯冢㈤]=匚g⑺&?此C4.1B二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望定理4-3(1)若(X，Y)為離散型隨機(jī)變量，若其分布律為p=P{X=Xi，Y=yJ,邊緣分布律為Pi-=ZPHP”工/則磯為二Z&a=22＞手小(4.1.?)第門=祗啊=￡￡制巧,弭1,8)J 1J,f(2)其(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y),fx(x),f(X,Y)的概率密度與邊緣概率密度，則 X磯為=]稔住'心=]J7f(x,y)dxdyr(4.1.P)磯F)=，必5沖一廣廣射”曲力f4.1.1口)證明略。定理4-4設(shè)g(X,Y)為連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)g(X,Y),(1)若(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，級數(shù)收斂，則用屋工町=1JI冢卒以|片(4」.1D(2)若(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，且積分收斂，則用鼠照F)]=□二鼠")力"岫0n(4.1.12)期望的性質(zhì)fF期望有許多重要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以進(jìn)行期望的運(yùn)算。下面列舉的這些性質(zhì)對離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量而言，都可以利用隨機(jī)變量函數(shù)的期望與二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式加以證明。性質(zhì)4-1常數(shù)的期望等于這個常數(shù)，即E(C)=C，其中C為常數(shù)。證明常數(shù)C作為隨機(jī)變量，它只可能取一個值C,即P{X=C}=1,所以E(C)=C1=C性質(zhì)4-2常數(shù)與隨機(jī)變量X乘積的期望等于該常數(shù)與隨機(jī)變量X的期望的乘積，即E(CX)=CE(X)。證明設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),則有磯⑺=「陽㈤④=仃1球⑶上=CE(X').當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時，請讀者自證。二有E(CX+b)=CEX+b

性質(zhì)4-3隨機(jī)變量和的期望等于隨機(jī)變量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）。證明不妨設(shè)（X,Y）為二維隨機(jī)變量，其概率密度為f（x,y）,Z=X+Y是（X，Y）的函數(shù)，有磯Z）二川蘆+為二廣廠（工+了）點(diǎn)"）衣心f+0：-j+c口 『-Ror-Hii-= （匯j）四的+ yf（x,y）dxdyJ-IjjJ-0 J-IjjJ-0=E（X）+E（Y）。這一性質(zhì)可作如下推廣:E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1，C2為常數(shù)。結(jié)合性質(zhì)4-2與性質(zhì)4-3可證此性質(zhì)。一般地，設(shè)X1，X2,…,Xn為n個隨機(jī)變量，則有E（X1+X2+…+Xn）=EX1+EX2+…+EXnE（C1X1+C2X2+…+CX）=C1EX1+C2EX2+...+CEX性質(zhì)4-4兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E（XY）=E（X）E（Y）。證明僅證連續(xù)型情況，因為X，Y相互獨(dú)立，所以f（x,y）=fX（x）fY（y），r-Hl-r4-0：' r-Hl-「4-Tl'磯豺）二JJ楨六工力公辦二J［鉗式用力3公。J—l￡lT—i￡l J—i￡lJ—Ijjj-Fro r-Re-=［稔⑶怒］J—Ij;l J-V*=E（X）E（Y）由數(shù)學(xué)歸納法可證得：當(dāng)X1，X2,…，Xn相互獨(dú)立時有E（X1X2…Xn）=E（X1）E（X2）...E（Xn）。方差的概念n n定義4-3設(shè)隨機(jī)變量 的期望存在，則稱為隨機(jī)變量X的方差，記作D（X）UD（X）=稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。從隨機(jī)變量的函數(shù)的期望看，隨機(jī)變量X的方差D（X）即是X的函數(shù) 的期望。由方差定義可知，當(dāng)隨機(jī)變量的取值相對集中在期望附近時，方差較小；取值相對分散時，方差較大，并且總有.若X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為則 （4.2.1）2D（X）=［：（x-E（X））f（x）dx（2D（X）=［：（x-E（X））f（x）dx（4.2.2）在計算方差時，用下面的公式有時更為簡便；即X的方差等于X*的期望減去X的期望的平方。當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量時，f?X2(4.2.4)(4.2.5)(4.2.4)(4.2.5)1=1 1=1 J當(dāng)X是連續(xù)型隨面變量時，常見隨機(jī)變量的方差1.0-1分布設(shè)X的分布律為E◎ LP1-P P其中0<P<1,則X的方差D(X)=P(1-P).因為DiXi=EiX2i-[EiX.]2f而s[x2]=o2x(i-p)n,戶=以刈*=必故D(X)=ZY2-(E^)2=p-p2=p(i-p)(2)二項分布設(shè)X?B(n,p)則有―--口 (不證)(3)泊松分布設(shè)X?P(N),則有陛三勾 (不證)(4)均勻分布設(shè)X?U(a,b),則有s-ftra"口其他EX成EXb-a

???已知EX=入葉匕）2口㈤=留2—（EX產(chǎn)=[（f+抽+產(chǎn)）—[3十匕尸:,L^=—（b-^12（5）指數(shù)分布r1口-工工r>n產(chǎn)常伽， 則"f㈤= ,-設(shè) 〔口，"口,.?E/=J：/孔元曲=廣一獷心如2下.'DX=E（X2）-（EX）2=芻一。尸二與 ：.DX=\之工1 A（6）正態(tài)分布可以證明，若乂?加kM）,則力—M下表是六種常見分布的期望和方差的結(jié)果。要求大家熟記下面公式。分布EXD區(qū)承?⑴，1）PP（1-P）冗~8hp)upnp(l-p)*p⑴K?U(冉b)1211國?E（義）IA.2國?口（力，C72）注產(chǎn)4.2.3方差的性質(zhì)性質(zhì)4-5常數(shù)的方差等于零，隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于隨機(jī)變量的方差，即D(C)=0,D(X+C)=D(X).證明D(C)=E(C-E(C))Z= =^(0)=OrDte-^)=E[(X-tC)-E&-+€)？= CO2=eDc-e(x)T=口⑸性質(zhì)4-6常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的方差等于這個常數(shù)的平方與隨機(jī)變量方差的乘積，即 ，其中C為常；數(shù)DX=EX2-(EX)2= =~6 3 18證明口?0=現(xiàn)5-￡?0?=現(xiàn)CT-2￡(》)了=v-國Z)冶4同歐刀性質(zhì)4-7兩個獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差等于它們方差之和，即若X,Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(1+Y)=Em-E(T+門了=現(xiàn)(X—E(Xy)+(Y-趴門)了二磯一次(力力小磯(F-￡(/)力42磯(丫一四⑺)W-應(yīng)P0)]，上式最后一項E[(X—E(X))(Y—E(Y))]=E[XY—XE(Y)一YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)—E(X)E(Y)—E(Y)E(X)+E(X)E(Y)二E(XY)—E(X)E(Y),因為X與Y相互獨(dú)立，有E(XY)=E(X)E(Y),因而上式為零因此D(X+Y)=D(X)+D(Y)注意：證明過程中得到有用結(jié)論E[(X—E(X))(Y—E(Y))]=E(XY)—E(X)E(Y)這一性質(zhì)也可推廣到n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量情況：若相互獨(dú)立，則D區(qū)+.+…+見)=9(區(qū)])+?(.)+…+刃(國J將這一性質(zhì)應(yīng)用于二項分布可知，二項分布隨機(jī)變量X能表示成n個相互獨(dú)立的兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量之和：pq,k=1,2,...,n,則U以㈤=以占；+"(Wa】+…+"CA.==即0_⑼4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)對二維隨機(jī)變量(X,Y),我們除了討論X與Y的期望和方差之外，還需討論X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征，本節(jié)主要討論這方面的數(shù)字特征。協(xié)方差定義4-4設(shè)有