內(nèi)蒙古包頭市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測文科試題含解析

內(nèi)蒙古包頭市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測文科試題留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場、座位號寫在答題卡上，將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.做選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫出本試卷上無效.3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.符合題目要求的.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由交集和補(bǔ)集定義可得答案.【詳解】由題可得，則.故選：A2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算律，共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)模的概念計算.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定與中間量0的大小關(guān)系，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.【詳解】,，故故選：D.4.已知A，B，C三人都去同一場所熬煉，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C每隔3天去一次.若3月11日三人都去熬煉，則下一次三人都去熬煉的日期是（）A.3月22日 B.3月23日 C.3月24日 D.3月25日【答案】B【解析】【分析】三人各自去熬煉的日期事實(shí)上是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列學(xué)問進(jìn)行求解.【詳解】由題意，三人各自去熬煉的日期分別是等差數(shù)列，公差分別為2,3,4，最小公倍數(shù)為12，所以下一次三人都去熬煉的日期是3月23日.故選：B.5.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿足度,從運(yùn)用該產(chǎn)品的用戶中隨機(jī)調(diào)查了100個用戶,依據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿足度評分,得到如圖所示的用戶滿足度評分的頻率分布直方圖.若用戶滿足度評分的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別為a,b,c,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)眾數(shù),平均數(shù),中位數(shù)的概念和公式,帶入數(shù)字,求出后比較大小即可.【詳解】解:由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為65,即,由表可知,組距為10,所以平均數(shù)為:,故,記中位數(shù)為,則有:,解得:,即,所以.故選：B.6.若函數(shù)與都在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析在一個較大區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，找出它們的公共增區(qū)間，分析出的最大值.【詳解】的周期為，的周期為，分析在內(nèi)兩個函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)與都在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為的最大公共增區(qū)間所以則，，所以的最大值為.故選：C.7.已知，，則（）A. B. C.8 D.16【答案】A【解析】【分析】先求再依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，則，故選：A8.設(shè)為直線，為平面，則的必要不充分條件是（）A.直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直B.直線與平面內(nèi)隨意直線都垂直C.直線在與平面垂直的一個平面內(nèi)D.直線與平面都垂直于同一平面【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意知找一個由能推出的但反之不成立的一個結(jié)論.【詳解】依據(jù)題意知找一個由能推出的但反之不成立的一個結(jié)論.對A：依據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則；若，則直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，故A錯誤；對B：依據(jù)線面垂直的定義，直線與平面內(nèi)隨意直線都垂直是的充要條件，故B錯誤；對C：若，設(shè)，由面面垂直的判定知，故直線在與平面垂直的一個平面內(nèi)；若直線在與平面垂直的一個平面內(nèi)，不妨設(shè)平面，若取，則不成立，故C正確；對D：若，又，則，不行能有平面與平面垂直，故D錯誤.故選：C9.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列方程求出，進(jìn)而可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，比照選項(xiàng)可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得，，故選：D.10.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，斜率為2的直線與的交點(diǎn)為，.若，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)斜率為2的直線方程為，與拋物線進(jìn)行聯(lián)立可得，設(shè)，，所以，接著利用拋物線的定義即可求解【詳解】由拋物線：可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，設(shè)斜率為2的直線方程為，所以消去得，，解得，設(shè)，，所以，利用拋物線的定義可得，即，解得，所以的方程為故選：C11.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用倍角變形求得，再利用二倍角的正切公式求即可.【詳解】即，，，，即.故選：C12.已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，，，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，，，，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用線面垂直的判定定理證得面，再推到兩兩垂直，進(jìn)而將三棱錐補(bǔ)形成長方體，從而求得球的半徑，由此得解.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，所以，又，即，所以，因?yàn)椋?，所以面，因?yàn)槊?，所以，又，所以兩兩垂直，故將三棱錐補(bǔ)形成長方體，如圖，則長方體的外接球與三棱錐的外接球相同，設(shè)球的半徑為，則，即，所以球的體積為.故選：B..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要仔細(xì)分析圖形，明準(zhǔn)確點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)，然后求出和，再利用點(diǎn)斜式求直線方程即可.詳解】由已知，，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即故答案為：14.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.，，則______.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，從而求解出公比的值，再利用等比數(shù)列求和公式代入求解即可得答案.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，結(jié)合題意，得，又，所以，所以.故答案為：15.某學(xué)校為了解1000名新生的身體素養(yǎng)，將這些學(xué)生編號為1，2，……，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn).若53號學(xué)生被抽到，則810號至820號中間被抽到的學(xué)生號是______.【答案】813【解析】【分析】依據(jù)已知條件，結(jié)合系統(tǒng)抽樣的定義，即可求解.【詳解】由題意知，系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔為，若53號學(xué)生被抽到，則被抽到的學(xué)生的編號為，，，所以，解得，所以.所以810號至820號中間被抽到的學(xué)生號是.故答案為：813.16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且傾斜角為的直線與的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)題意，設(shè)出直線的方程，之后與雙曲線的漸近線聯(lián)立，分別求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，之后依據(jù)題中條件，得出A是的中點(diǎn)，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得出其坐標(biāo)間的關(guān)系，借助雙曲線中的關(guān)系，求得該雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)直線的方程為，兩條漸近線的方程分別為和，分別聯(lián)立方程組，求得，由，為的中點(diǎn)得A是的中點(diǎn)，所以有，整理得，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系，可以的到，故答案為：.三、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角結(jié)合余弦定理即可求得.（2）由正弦定理邊化角，將化為，利用兩角和差的正余弦公式，可求得，依據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案.【小問1詳解】由已知得，故由正弦定理得，由余弦定理得，因，所以.【小問2詳解】由（1）知，由及正弦定理得，即，化簡整理得，所以，所以得，由于，，所以.18.9年來，某地區(qū)第年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值（單位：百萬元）統(tǒng)計圖如下圖所示.依據(jù)該圖供應(yīng)的信息解決下列問題.（1）求這9個生產(chǎn)總值中超過其平均值的概率；（2）由統(tǒng)計圖可看出，從第6年起先，該地區(qū)第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值呈直線上升趨勢，試從第6年起先用線性回來模型預(yù)料該地區(qū)第11年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值.（附：對于一組數(shù)據(jù)，，，其回來直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：，.）【答案】（1）（2）134.6百萬元.【解析】【分析】（1）計算9年的生產(chǎn)總值的平均值，依據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.（2）利用最小二乘法求得回來直線的方程，將代入，即可求得答案.【小問1詳解】依據(jù)統(tǒng)計圖供應(yīng)的信息，9年的生產(chǎn)總值的平均值為（百萬元）,所以第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值不低于43百萬元的有第年，共3個，所以這9個生產(chǎn)總值中超過其平均值的概率為.【小問2詳解】從第6年起先，依據(jù)第年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為（單位：百萬元）及統(tǒng)計圖，得678942607898所以，，，，，故，所以從第6年起先，產(chǎn)值關(guān)于年數(shù)的線性回來方程為，當(dāng)時，，答：第11年的第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值約為134.6百萬元.19.如圖，直四棱柱的底面是平行四邊形，，，，，，分別是，，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，，證明四邊形是平行四邊形，得，證明平面；（2）利用等體積法計算點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】連接，，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)?，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且，故，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平?【小問2詳解】因?yàn)椋O(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，則，即.在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則因?yàn)樗睦庵侵彼睦庵?，所以，在中，因?yàn)?，，所?又在中，，在中，.又因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，，，H為BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗睦庵侵彼睦庵?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?所以，又，所以由，得，故.所以點(diǎn)到平面距離為.20.已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線.（1）求的方程，并說明是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長交于點(diǎn).證明：直線與的斜率之積為定值.【答案】（1）（），所以是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含上下頂點(diǎn)（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)斜率公式結(jié)合已知即可得出答案；（2）設(shè)直線的斜率為，則其方程為，聯(lián)立方程求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，記，從而可得的坐標(biāo)，從而可得直線的方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再依據(jù)斜率公式即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)得，化簡得（），所以是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含上下頂點(diǎn)；【小問2詳解】設(shè)直線的斜率為，則其方程為（），由，解得，記，則，，，于是，故直線的方程為，由，得，①設(shè)，則由題設(shè)可知和是方程①的解，故，由此得，從而直線的斜率，所以，所以直線與的斜率之積為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形的軌跡方程，考查了橢圓與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了橢圓中的定值問題，有肯定的難度.21.已知函數(shù).（1）若存在極值，求的取值范圍；（2）當(dāng)，且時，證明：函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)存在極值的充分條件，求導(dǎo)，利用分類探討，可得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得答案.【小問1詳解】，，當(dāng)，即時，，在單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)，即時，，；，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時，在處取得極大值，無微小值.綜上，若存在極值，則.【小問2詳解】當(dāng)時，，，因?yàn)?，令，則，所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，所以在有唯一的零點(diǎn)，，；，，于是在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知在存在唯一的極大值點(diǎn)（），由，，，令，，由，；，，則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即，故，即，可知在和分別恰有一個零點(diǎn).所以當(dāng)時，有且僅有兩個零點(diǎn).（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，假如多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的面積.【答案】（1）;當(dāng)時，直線的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時，直線的參數(shù)方程為.（2）【解析】【分析】(1)將中的參數(shù)s消去得曲線的直角坐標(biāo)方程;依據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，此時要留意分與兩種狀況.(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，依據(jù)參數(shù)幾何意義得之間關(guān)系，得的方程，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，以為底為高求的面積.【小問1詳解】由得，而，即曲線的直角坐標(biāo)方程為，由為參數(shù)），當(dāng)時，消去參數(shù)，可得直線的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時，可得直線的參數(shù)方程為.【小問2詳解】將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理可得：．①曲線截直線所得線段的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則方程①有兩解，設(shè)為，，則，故，解得．的傾斜角為．所以直線方程，直線與軸的交點(diǎn)為，，，，故的面積為.[