適用于新教材2025版高中數(shù)學重難點突破練三新人教A版必修第二冊

PAGE重難點突破練(三)重難點一柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征1.下列說法正確的是 ()A.有2個面平行,其余各面都是梯形的幾何體是棱臺B.多面體至少有3個面C.各側(cè)面都是正方形的四棱柱肯定是正方體D.九棱柱有9條側(cè)棱,9個側(cè)面,側(cè)面為平行四邊形2.用一個平面去截一個幾何體,得到的截面是四邊形,則這個幾何體可能是 ()A.圓錐 B.圓柱C.球體 D.以上都有可能3.如圖陰影部分所示的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)180°所形成的幾何體為 ()A.一個球體B.一個球體中間挖去一個圓柱C.一個圓柱D.一個球體中間挖去一個長方體4.(多選題)下面關(guān)于四棱柱的命題,真命題是 ()A.若有兩個側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱B.若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱C.若四個側(cè)面兩兩全等,則該四棱柱為直四棱柱D.若四棱柱的四條對角線兩兩相等,則該四棱柱為直四棱柱5.紙制的正方體的六個面依據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北,現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開,外面朝上展平,得到如圖所示的平面圖形,則標“△”的面的方位是________.

6.一圓臺的母線長為20cm,母線與軸的夾角為30°,上底面半徑為15cm,則下底面半徑為________cm,圓臺的高為________cm.

7.從一個底面半徑和高都是R的圓柱中,挖去一個以圓柱上底面為底,下底面中心為頂點的圓錐,得到如圖所示的幾何體.假如用一個與圓柱下底面距離等于l(l<R)并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面積.8.圓臺的上、下底面半徑分別為5cm,10cm,母線長AB=20cm,從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到點A,求:(1)繩子的最短長度;(2)在繩子最短時,上底圓周上的點到繩子的最短距離.重難點二立體圖形的直觀圖1.用斜二測畫法畫如圖所示直角三角形的水平放置的直觀圖,正確的是 ()2.如圖所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直觀圖,其中D'是A'C'的中點,且A',B',C',D'與A,B,C,D分別對應(yīng),則在原△ABC中,與線段BD的長相等的線段至少有 ()A.0條 B.1條 C.2條 D.3條3.如圖所示,△A'B'C'表示水平放置的△ABC在斜二測畫法下的直觀圖,A'B'在x'軸上,B'C'與x'軸垂直,且B'C'=3,則△ABC在邊AB上的高為 ()A.62 B.33 C.32 D.34.如圖所示,Rt△A'B'C'為水平放置的△ABC的直觀圖,其中A'C'⊥B'C',B'O'=O'C'=2,則△ABC的面積是________.

5.畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖.6.在水平放置的平面α內(nèi)有一個邊長為1的正方形A'B'C'D',如圖,其中的對角線A'C'在水平位置,已知該正方形是某個四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖,試畫出該四邊形的真實圖形并求出其面積.重難點三簡潔幾何體的表面積、體積1.用與球心距離為2的平面去截球,所得的截面面積為π,則球的體積為 ()A.20π3 B.205π3 C.2052.如圖為一個正六棱柱形態(tài)的瓷器筆筒,高為18.7cm,底面邊長為7cm(數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù)),用一層絨布將其側(cè)面包袱住,忽視絨布的厚度,則至少須要絨布的面積為 ()A.120cm2 B.162.7cm2C.785.4cm2 D.1570.8cm23.(多選題)一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等,下列結(jié)論正確的是 ()A.圓柱的側(cè)面積為2πR2B.圓錐的側(cè)面積為2πR2C.圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D.圓錐的表面積最小4.(多選題)正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M,N,若線段MN的最小值為3-1,則 ()A.正方體的外接球的表面積為12πB.正方體的內(nèi)切球的體積為πC.正方體的棱長為1D.線段MN的最大值為3+15.如圖所示,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則V1V26.已知正四面體棱長為2,分別求該正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑.7.底面半徑為2,高為42的圓錐有一個內(nèi)接的正四棱柱(底面是正方形,側(cè)棱與底面垂直的四棱柱).(1)設(shè)正四棱柱的底面邊長為x,試將棱柱的高h表示成x的函數(shù).(2)當x取何值時,此正四棱柱的表面積最大?并求出最大值.重難點突破練(三)重難點一1.D選項A錯誤,反例如圖①;一個多面體至少有4個面,如三棱錐有4個面,不存在有3個面的多面體,所以選項B錯誤;選項C錯誤,反例如圖②,上、下底面是全等的菱形,各側(cè)面是全等的正方形,它不是正方體;依據(jù)棱柱的定義,知選項D正確.2.B用一個平面去截圓柱,當截面和圓柱的上、下底面圓都相交時,得到的截面是四邊形,而對圓錐與球體都不行能.3.B由題意,依據(jù)球的定義,可得圓面旋轉(zhuǎn)形成一個球,依據(jù)圓柱的概念,可得里面的矩形旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱,所以繞中間軸旋轉(zhuǎn)半周,形成的幾何體為一個球中間挖去一個圓柱.4.BDA錯,必需是兩個相鄰的側(cè)面;B正確,因兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面可得到側(cè)棱垂直于底面;C錯,反例可以是斜四棱柱;D正確,對角線兩兩相等,則此兩對角線所在的平行四邊形為矩形,可得側(cè)棱與底面垂直,棱柱為直棱柱.5.【解析】如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1,沿棱DD1,D1C1,C1C剪開,正方形DCC1D1向北方向;沿棱AA1,A1B1,B1B剪開,正方形ABB1A1向南方向,然后將正方體沿BC剪開并綻開,則標“△”的面是正方形DCC1D1,方位是北.答案:北6.【解析】如圖所示,圓臺的母線長為l=20cm,母線與軸的夾角為30°,上底面的半徑為r=15cm,所以圓臺的高為h=lcos30°=20×32=103則R-r=lsin30°=20×12所以底面圓的半徑為R=15+10=25(cm).答案:251037.【解析】軸截面如圖.被平行于下底面的平面所截的圓柱的截面圓的半徑O1C=R,圓錐的截面圓的半徑O1D設(shè)為x.因為OA=AB=R,所以△OAB是等腰直角三角形.又CD∥OA,則CD=BC.故x=l.所以截面面積S=πR2-πl(wèi)2=π(R2-l2)(l<R).8.【解析】(1)如圖所示,將側(cè)面綻開,繩子的最短長度為側(cè)面綻開圖中AM的長度,設(shè)OB=lcm,則θ·l=2π×5,θ·(l+20)=2π×10,解得θ=π2,l=20所以O(shè)A=40cm,OM=30cm,所以AM=OA即繩子最短長度為50cm;(2)作OQ⊥AM于點Q,交BB'于點P則PQ為所求的最短距離,因為OA·OM=AM·OQ,所以O(shè)Q=24cm.故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm),即上底圓周上的點到繩子的最短距離為4cm.重難點二1.B以直角頂點為坐標原點建立平面直角坐標系,由斜二測畫法規(guī)則知,在直觀圖中此角變?yōu)殁g角,解除C和D,又原三角形的高在y軸上,在直觀圖中在y'軸上,長度減半,故B正確.2.C先依據(jù)斜二測畫法把直觀圖還原為真正的平面圖形,然后依據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)找出與線段BD長度相等的線段.把△A'B'C'還原后為直角三角形,且D為斜邊AC的中點,所以AD=DC=BD.3.A如圖,過C'作C'D'∥O'y'交x'軸于D',則2C'D'是△ABC在邊AB上的高.由于△B'C'D'是等腰直角三角形,則C'D'=2B'C'=32.所以△ABC在邊AB上的高等于2×32=62.4.【解析】把直觀圖還原為原圖形,如圖所示:由題意知,BC=B'C'=4,OA=2O'A'=22×2=42,所以△ABC的面積是S△ABC=12BC·OA=12×4×42=8答案:825.【解析】(1)過點C作CE⊥x軸,垂足為點E,如圖①所示,畫出對應(yīng)的x'軸,y'軸,使∠x'O'y'=45°,如圖②所示.(2)如圖②所示,在x'軸上取點B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE;在y'軸上取一點D',使得O'D'=12OD;過點E'作E'C'∥y'軸,使E'C'=1(3)連接B'C',C'D',并擦去x'軸與y'軸及其他一些協(xié)助線,如圖③所示,四邊形O'B'C'D'就是所求的直觀圖.6.【解析】四邊形ABCD的真實圖形如圖所示,因為A'C'在水平位置,四邊形A'B'C'D'為正方形,所以∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,所以在原四邊形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC,因為DA=2D'A'=2,AC=A'C'=2,所以S四邊形ABCD=AC·AD=22.重難點三1.B用平面去截球所得截面的面積為π,所以截面圓的半徑為1.已知球心到該截面的距離為2,所以球的半徑為r=12+2所以球的體積為V=43π×(5)3=202.C依據(jù)正六棱柱的底面邊長為7cm,得正六棱柱的側(cè)面積為6×7×18.7=785.4(cm2),所以至少須要絨布的面積為785.4cm2.3.CD由題意可得,圓柱、圓錐的底面半徑均為R,高均為2R,球的半徑為R.則圓柱的側(cè)面積為2πR×2R=4πR2,故A錯誤.圓錐的側(cè)面積為12×2πR×5R=5πR2,故B錯誤球的表面積為4πR2,所以圓柱的側(cè)面積與球面面積相等,故C正確.圓錐的表面積為S側(cè)+S底=5πR2+πR2=(5+1)πR2,圓柱的表面積為S側(cè)+2S底=4πR2+2πR2=6πR2,球的表面積為4πR2,所以圓錐的表面積最小,故D正確.4.AD設(shè)正方體的棱長為a,則其外接球的半徑為R=32a,內(nèi)切球的半徑為R'=a2,正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M,N,由于兩球球心相同,可得MN的最小值為3a2-a2=3-1,解得a=2,故C錯誤;所以外接球的半徑為3,表面積為4π×3=12π,故A正確;內(nèi)切球的半徑為1,體積為43π,故B錯誤;MN的最大值為R5.【解析】設(shè)球的半徑為r,則V1V2=π答案:36.【解析】如圖所示:設(shè)外接球和內(nèi)切球的半徑分別為R,r,由于正四面體是中心對稱圖形,所以外心和內(nèi)心重合,球心O在高線上