2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第4章數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念第2課時含解析選修2

PAGEPAGE12等差數(shù)列的概念(第2課時)素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.能夠依據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式推出等差數(shù)列的重要性質(zhì)．2．能夠運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題．(重點、難點)3．能夠運(yùn)用等差數(shù)列的學(xué)問解決簡潔的實際問題.1.數(shù)學(xué)運(yùn)算；2．邏輯推理情境導(dǎo)學(xué)某展會期間，人流如織，總參觀人數(shù)超過7000萬．依據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計，某展館7月上旬平均每天參觀人數(shù)為20萬，在后面70天內(nèi)，前40天每天增加0.5萬人，后30天每天削減1萬人，在這段時間內(nèi)，有多少天參觀人數(shù)能達(dá)到30萬人？這是與等差數(shù)列單調(diào)性有關(guān)的問題，讓我們進(jìn)一步相識等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)吧！1．(1)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q∈R)是公差為pd1＋qd2的等差數(shù)列．(2)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)成公差為md的等差數(shù)列．(1)等差數(shù)列去掉前面若干項后，剩下的項是否還構(gòu)成等差數(shù)列？提示：是．變更了首項，公差不變．(2)等差數(shù)列中的奇數(shù)項、偶數(shù)項是否分別構(gòu)成等差數(shù)列？提示：是．公差為原來的2倍．2．(1)等差數(shù)列的項的對稱性：在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(2)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特殊地，若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，則am＋an＝2at.推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)在等差數(shù)列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q.(×)(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…也成等差數(shù)列．(√)(3)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＋p＝3t，則am＋an＋ap＝3at.(×)1．已知{an}是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中的{bn}也為等差數(shù)列的是()A．bn＝aeq\o\al(2,n) B．bn＝eq\f(1,an)C．bn＝a3n D．bn＝|an|C解析：{a3n}為等差數(shù)列，公差為原來的3倍．2．已知等差數(shù)列{an}，a7＋a19＝19，a9＝1，則a17的值為()A．20 B．18C．15 D．17B解析：∵a7＋a19＝a9＋a17＝19，∴a17＝18.3．已知數(shù)列{an}，{bn}為等差數(shù)列，且公差分別為d1＝2，d2＝1，則數(shù)列{2an－3bn}的公差為()A．7 B．5C．3 D．1D解析：{2an－3bn}的公差為2d1－3d2＝4－3＝1.4．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________.10解析：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，∴a5＝5.∴a2＋a8＝2a5＝10.【例1】(1)已知等差數(shù)列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值；(2)已知等差數(shù)列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值；(3)已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．解：(1)(方法一)設(shè){an}的公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋14d＝25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(3,2)，))故a25＝a1＋24d＝4＋24×eq\f(3,2)＝40.(方法二)因為5＋25＝2×15，所以在等差數(shù)列{an}中有a5＋a25＝2a15，從而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40.(方法三)因為5,15,25成等差數(shù)列，所以a5，a15，a25也成等差數(shù)列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28.(3)令cn＝an－bn，因為{an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{cn}也是等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{cn}的公差為d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，則5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差是d，則等差數(shù)列{an}有如下性質(zhì)：(1)當(dāng)d>0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列．(2)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*，n≠m)．(3)eq\f(am－an,m－n)＝d(m，n∈N*且n≠m)．(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特殊地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.1．若{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.解：∵a15＝8，a60＝20，∴d＝eq\f(a60－a15,60－15)＝eq\f(12,45)＝eq\f(4,15).∴a75＝a60＋15d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.2．已知{an}是等差數(shù)列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值．解：∵{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9，∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.3．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解：設(shè)b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9，則b1，b2，b3成等差數(shù)列，∴39＋b3＝2b2＝66，∴b3＝66－39＝27，即a3＋a6＋a9＝27.【例2】某公司經(jīng)銷一種產(chǎn)品，第1年可獲利200萬元．從第2年起，由于市場競爭等方面的緣由，其利潤每年比上一年削減20萬元．依據(jù)這一規(guī)律，假如公司不引進(jìn)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，那么從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解：設(shè)第n年的利潤為an萬元，則a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，∴每年的利潤可構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}，且公差d＝－20，∴an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)(－20)＝220－20n.若an<0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損．由an＝220－20n<0，得n>11.故從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損．1．解答數(shù)列實際應(yīng)用問題的基本步驟：①審題，即細(xì)致閱讀材料，細(xì)致理解題意；②建模，即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；③判型，即推斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列；④求解，即求出該問題的數(shù)學(xué)解；⑤還原，即將所求結(jié)果還原到實際問題中．2．在利用數(shù)列方法解決實際問題時，肯定要弄清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題．梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度．解：用數(shù)列{an}表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通項公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.梯子中間各級的寬度從上而下依次是40cm,47cm，54cm，61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.【例3】已知遞減等差數(shù)列{an}的前三項和為18，前三項的乘積為66，求數(shù)列{an}的通項公式．解：(方法一)依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝18，,a1a2a3＝66，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝18，,a1a1＋da1＋2d＝66，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝5.))∵數(shù)列{an}是遞減等差數(shù)列，∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)(－5)＝－5n＋16.即等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝－5n＋16.(方法二)設(shè)等差數(shù)列{an}的前三項依次為a－d，a，a＋d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，,a－daa＋d＝66，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,d＝±5.))又∵{an}是遞減等差數(shù)列，∴d<0，∴a＝6，d＝－5.∴等差數(shù)列{an}的首項a1＝11，公差d＝－5.∴an＝11＋(n－1)(－5)＝－5n＋16.【例4】在兩個等差數(shù)列2,5,8，…，197與2,7,12，…，197中，求它們的相同項構(gòu)成數(shù)列的通項公式及相同項的個數(shù)．解：記數(shù)列2,5,8，…，197為{an}，由已知，數(shù)列{an}的首項為2，公差為3，∴通項公式為an＝3n－1.記數(shù)列2,7,12，…，197為{bm}，則bm＝5m－3，若數(shù)列{an}的第n項與數(shù)列{bm}的第m項相同，即an＝bm，∴3n－1＝5m－3，∴n＝eq\f(5m－2,3)＝m＋eq\f(2m－1,3).又n∈N*，∴必需有m－1＝3k，即m＝3k＋1(k為非負(fù)整數(shù))．又2≤5m－3≤197，∴1≤m≤40，∴m＝1,4,7，…，40.∴兩數(shù)列的相同項為2,17,32，…，197.記兩數(shù)列的相同項構(gòu)成的數(shù)列為{cn}，則{cn}的通項公式為cn＝15n－13，共有eq\f(40－1,3)＋1＝14個相同項．(1)等差數(shù)列的設(shè)項技巧：已知三個數(shù)成等差數(shù)列時，設(shè)為a－d，a，a＋d；已知四個數(shù)成等差數(shù)列時，設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.(2)兩個等差數(shù)列的相同的項按原來的前后次序組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數(shù)．1．已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為26，中間兩項的積為40，求這四個數(shù)．解：設(shè)這四個數(shù)分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，依據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，))化簡，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝±\f(3,2).))所以這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.2．已知兩個等差數(shù)列5,8,11，…和3,7,11，…都有100項，它們有多少個共同項？解：設(shè)兩數(shù)列的共同項組成新數(shù)列{an}，則{an}是首項為11的等差數(shù)列．∵數(shù)列5,8,11，…與3,7,11，…的公差分別為3與4，∴{an}的公差d＝3×4＝12，∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.∵數(shù)列5,8,11，…與3,7,11，…的第100項分別為302與399，∴an＝12n－1≤302，∴n≤25.25.∵n∈N*，∴所給兩數(shù)列有25個共同項．1．已知{an}是等差數(shù)列，且a2＋a3＋a10＋a11＝48，則a6＋a7＝()A．12 B．24C．20 D．16B解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2(a3＋a10)＝48，所以a3＋a10＝24，故a6＋a7＝a3＋a10＝24，故選B．2．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，則3a12－a18的值為()A．24 B．36C．48 D．60C解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a9＝24，所以3a12－a18＝3(a1＋11d)－(a1＋17d)＝2a1＋16d＝2(a1＋8d)＝2a9＝48.故選C．3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝3，a4＝24，則a7＝()A．32 B．45C．64 D．96B解析：依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有a1＋a7＝2a4，a7＝2a4－a1＝48－3＝45.故選B．4．已知等差數(shù)列{an}滿意a1＋a2＋a3＋…＋a11＝0，則有()A．a(chǎn)1＋a11>0B．a(chǎn)2＋a10<0C．a(chǎn)3＋a9＝0D．a(chǎn)6＝6C解析：因為a1＋a2＋a3＋…＋a11＝0，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得到5(a3＋a9)＋a6＝0，所以5(a3＋a9)＋eq\f(1,2)(a3＋a9)＝0，所以a3＋a9＝0.故選C．5．在等差數(shù)列{an}中，a12＝23，a42＝143，an＝239，求n及公差d.解：由題意可得，d＝eq\f(a42－a12,42－12)＝eq\f(143－23,30)＝4，∴a1＝－21.∵an＝a1＋(n－1)d＝－21＋4(n－1)＝239，解得n＝66.綜上，n＝66，d＝4.在等差數(shù)列{an}中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素，有關(guān)等差數(shù)列的問題．假如條件與結(jié)論間無明顯聯(lián)系，則均可以化成關(guān)于a1，d的方程組求解；假如條件與結(jié)論存在明顯的特點，一般運(yùn)用性質(zhì)解決較為簡捷．課時分層作業(yè)(四)等差數(shù)列的概念(第2課時)(60分鐘100分)eq\f(基礎(chǔ)對點練,基礎(chǔ)考點分組訓(xùn)練)學(xué)問點1等差數(shù)列的性質(zhì)1．(5分)已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于()A．8 B．4C．6 D．12A解析：∵a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，∴a8＝8.∴m＝8.2．(5分)已知等差數(shù)列{an}中，a4＋a6＝8，則a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝()A．10 B．16C．20 D．24C解析：∵a4＋a6＝2a5＝8，∴a5＝4，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝20.3．(5分)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則由an＋bn所組成的數(shù)列的第37項為()A．0 B．37C．100 D．－37C解析：∵{an}，{bn}是等差數(shù)列，∴{an＋bn}是等差數(shù)列．∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴數(shù)列{an＋bn}的公差d＝0，∴a37＋b37＝100.得分4.(5分)已知等差數(shù)列{an}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，則an＝____________.n＋1或－n＋9解析：∵a3＋a5＝2a4＝10，∴a4＝5.∵a2a6＝(a4－2d)·(a4＋2d)＝25－4d2＝21，∴d2＝1.∴an＝n＋1或an＝－n＋9.學(xué)問點2等差數(shù)列的實際應(yīng)用5．(5分)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，最上面4節(jié)的容積共3升，最下面3節(jié)的容積共4升，則從上往下數(shù)，第5節(jié)的容積為()A．1升 B．eq\f(67,66)升C．eq\f(47,44)升 D．eq\f(37,33)升B解析：設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))則a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66)，故第5節(jié)的容積為eq\f(67,66)升．6．(5分)過圓x2＋y2＝10x內(nèi)一點(5,3)有k條弦的長度組成等差數(shù)列，且最小弦長為數(shù)列的首項a1，最大弦長為數(shù)列的末項ak，若公差d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，則k的取值不行能是()A．4 B．5C．6 D．7A解析：將x2＋y2＝10x化為(x－5)2＋y2＝52，表示圓心為C(5,0)，半徑r＝5的圓．設(shè)A(5,3)，則AC＝3，故a1＝8，ak＝10.∴10＝8＋(k－1)d，∴k＝eq\f(2,d)＋1.∵eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,2)，∴5≤eq\f(2,d)＋1≤7，即5≤k≤7.學(xué)問點3等差數(shù)列的綜合問題7.(5分)已知等差數(shù)列{an}滿意a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，aeq\o\al(2,8)－aeq\o\al(2,2)＝36，則a11的值為________．11解析：∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝10，∴a5＝2.∵aeq\o\al(2,8)－aeq\o\al(2,2)＝(a8＋a2)(a8－a2)＝2a5×6d＝36，∴d＝eq\f(3,2).∴a11＝a5＋6d＝2＋9＝11.8.(5分)正項數(shù)列{an}滿意a1＝1，a2＝2,2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)(n∈N*，n≥2)，則a7＝________.eq\r(19)解析：∵2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)，∴{aeq\o\al(2,n)}成等差數(shù)列，首項aeq\o\al(2,1)＝1，公差為aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,1)＝3，∴aeq\o\al(2,n)＝3n－2，∴an＝eq\r(3n－2).∴a7＝eq\r(21－2)＝eq\r(19).9.(5分)在等差數(shù)列－5，－3eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)，…的每相鄰兩項間插入一個數(shù)，使之成為一個新的等差數(shù)列{an}，則新數(shù)列的通項公式為an＝________.eq\f(3,4)n－eq\f(23,4)解析：新數(shù)列的公差d＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,2)＋5))＝eq\f(3,4)，∴an＝－5＋(n－1)·eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)n－eq\f(23,4).eq\f(實力提升練,實力考點拓展提升)10.(5分)(多選)等差數(shù)列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，則()A．公差d＝－4B．a(chǎn)2＝7C．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列D．a(chǎn)3＋a4＋a5＝84BC解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.∵a1＝3，∴d＝4.∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，a4＝a2＋2d＝15.∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45.11．(5分)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a2＋a8＝eq\f(2π,3)，則tan(a3＋a7)的值為()A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\r(3) D．－eq\r(3)D解析：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a3＋a7＝a2＋a8＝eq\f(2π,3).∴tan(a3＋a7)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3).12．(5分)假如點(n，an)(n∈N*)都在直線3x－y－24＝0上，那么在數(shù)列{an}中有()A．a(chǎn)7＋a9>0 B．a(chǎn)7＋a9<0C．a(chǎn)7＋a9＝0 D．a(chǎn)7a9＝0C解析：∵3n－an－24＝0，∴an＝3n－24.∴a7＋a9＝2a8＝0.13．(5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，則()A．d<0 B．d>0C．a(chǎn)1d<0 D．a(chǎn)1d>0C解析：∵等差數(shù)列{an}的公差為d，∴an＋1－an＝d.又∵數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，∴eq\f(2a1an＋1,2a1an)＝2a1d<1，∴a1d<0.14.(5分)在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f(1,3)a11的值是________．16解