解答提升題03一次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用-2024年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)講練測（浙江新中考）（解析版）

解答提升題03一次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用

目錄

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分_____________

題畫FW數(shù)學(xué)背景不的二

類型一應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題

類型二一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題

類型三一次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題

題型02實際背景下的一次函數(shù)應(yīng)用

類型四一次函數(shù)行程問題

類型五最大利潤問題

類型六方案、決策問題

類型七其它應(yīng)用問題

第I頁共108頁

?—題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

題型01純數(shù)學(xué)背景下的一次函數(shù)應(yīng)用

類型一應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題

1.(2023?浙江湖州,模擬預(yù)測)已知一次函數(shù)y=H+b的圖象經(jīng)過點4(0,2),5(2,-4)

⑴求k和b的值

(2)若P(l,%),Q(3〃2)是該函數(shù)圖象上的兩點，試比較力與力的大小.

［答案］(l)fc=-3,b=2(2)%>y2

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)：

(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解析式，即可求解：

(2)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：將4(0,2),8(2,-4)代入、=k%+b,

符二.4，

解得:爆二3：

(2)由(1)可得攵=一3,

?..y隨x的增大而減小，

又?.1<3,

2.(2024.浙江嘉興?一模)在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)、=女工+13/0)的圖象經(jīng)過點4(1,3).

(I)求該函數(shù)的表達(dá)式.

(2)2］%,%)是、=/c%+1上的一個動點：。(工,力)是一次函數(shù)V=+"上的一個動點.當(dāng)0<%<3時，點P

4

到X軸的距離都大于點Q到A-軸的距寓，求〃的取值范圍.

【答案】(l)y=2x+l

(2)-1<n<1

【分析】本題考查了待定系數(shù)法，點到坐標(biāo)軸的距離，利用函數(shù)圖象解不等式等；

(1)將4(1,3)代入y=kx+l(kw0),即可求解；

(2)由點到坐標(biāo)軸的距離得0到x軸的距離匕=|2"+1|,Q到無軸的距離d2=|；x+n|,設(shè)y3=|；x+n|,

要使當(dāng)0VXV3時，力是圖象始終在為圖象的上方，利用函數(shù)圖象，即可求解；

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掌握待定系數(shù)法，能根據(jù)題意畫出圖象，利用函數(shù)圖象求解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：將4(1,3)代入y=kx+l(k工0)得

k+1=3,

解得：k=2,

該函數(shù)的表達(dá)式為y=2%+l：

(2)解：由題意得

=2x+1,

y2=~3x+n,

P到％軸的距離由=|2x+1|,

Q到x軸的距離d2=Sx+〃|，

???0<》V3時，點P到x軸的距離都大于點Q到x軸的距離，

2x+1>|^x+n|,

設(shè)乃=|江十斗

此時以>丫3，

如圖:

要使當(dāng)0VXV3時，力是圖象始終在為圖象的上方，

由圖象得：一147141；

故："的取值范圍為-147141.

3.(2024.浙江.一?模)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點力(2,m)在直線y=2x-3上，過點A的直線交)，軸于點8(0,3).

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(i)求用的值和直線/A的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若點P(t,y。在線段48上，點Q(t+1,丫2)在宜線y=2x-3上，判斷2yl+y?的值是否隨/的變化而變化,

若不變，求出這個值，若變，求出它的取值范圍.

【答案】(l)m=l,直線48的函數(shù)表達(dá)式為y=-％+3

(2)2%+力的值不變，是定值5

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求-?次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：

(I)把4(2,771)代入y=2x-3可求出，〃,然后利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)--次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得力=-t+3,%=2Q+1)-3=2t-1,進(jìn)而求出2yl+%的

值即可.

【詳解】(I)解：把4(2,m)代入y=2%—3得：771=2x2-3=1,

設(shè)直線48的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k00),

把4(2,1),8(0,3)代入得產(chǎn)?。?；1,

解得：『二工1，

?,?直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3；

(2)2%+%的值不變：

???點P(t,%)在線段AB上，點QQ+1,%)在直線'=2%-3上，

.?.%=—t+3,y2=2(t+1)-3=2t-1?

2%+y2=2(-t+3)+2t—1——2t+6+2t—1—5,

???2%+%的值不變，是定值5.

4.(2023?浙江溫州?中考真題)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點4(2,771)在直線y=2x-g上，過點A的直線交)，

軸于點8(0,3).

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(I)求利的值和直線48的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若點P(t,yJ在線段48上，點QQ—l,y2)在直線y=2x—g上，求必-%的最大值?

【答案】=y=-；x+3

(2年

【分析】(1)把點A的坐標(biāo)代入直線解析式可求解機，然后設(shè)直線48(1勺函數(shù)解析式為、=kx+b,進(jìn)而根

據(jù)待定系數(shù)法可進(jìn)行求解函數(shù)解析式；

(2)由(1)及題意易得當(dāng)=—：￡+3(0WtW2),y2=2(t-l)-1=2t-p則有％—y2=—:t+3—

=-?￡+4，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

\2/42

(詳解］⑴解：把點4(2,m)代入y=2x-1,得m=1.

設(shè)直線48的函數(shù)表達(dá)式為、=依+從把點乂2,(),8(0,3)代入得

儼+》卷，解得卜=T

Ib=3.(b=3.

二直線4/?的函數(shù)表達(dá)式為y--+3.

(2)解：?.,點戶(￡,月)在線段48上，點QQ-1J2)在直線y=2x-；上，

-+3(0<t<2),y2=2(c—1)—1=2t—I，

?*?71-yz=-^t+3-(2t-^=-yt+y.

Vk=--<0,

4

Ayi-y2的值隨x的增大而減小，

???當(dāng)￡=。時,%-丫2的最大值為學(xué)?

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(2024?浙江寧波.一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4(-2,巾)在直線y=-2x—1匕過點八的直線

交y軸于點8(0,5).

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⑴求m的值和直線/IB的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若點PQ,%)在直線48上，點QQ-tw)在直線J=一2亢一1上,當(dāng),取任意實數(shù)時，代數(shù)式力+k力的值

為定值，求k的值，并求出這個定值.

【答案】(l)y=%+5

(2)k=定值為藍(lán)

【分析】本題主要考查了?次函數(shù)的圖象與性質(zhì).熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，?次函數(shù)的圖象與

性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

(1)把點A的坐標(biāo)代入直線y=-2%-1可求得m值，然后設(shè)直線48的函數(shù)解析式為y=kx+b,進(jìn)而根

據(jù)待定系數(shù)法可進(jìn)行求解函數(shù)解析式：

(2)由(I)及題意得力=亡+5,y2=-2(t-l)-l,則有為+k%=(1-2k)t+k+5,然后根據(jù)代數(shù)

式為+ky2的值為定值即可求解.

【詳解】(1)把點4(-2,m)代入y=-2x—1,

得，m=-2x(-2)-1=3.

設(shè)直線的困數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

把點4(一2,3),8(0,5)代入，得，尸++匕=3,

解得憶;，

直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=%+5.

(2)??,點在直線y=%+5上，點Q(t-l)2)在直線y=-2%-1上,

?'yi=t+5,乃=-2(t—1)—1,

+ky2=￡+5-2k(t-1)—k=(1-2k)t+k+5.

???%+上月的值為定值，

.,.l-2/c=0,

k=$yi+以=0+：+5=￡?

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故上的值為手這個定值為*

6.(23-24九年級下.浙江杭州.階段練習(xí))已知一次函數(shù)、=/^+匕(左工0)的圖象經(jīng)過點/1(1,3),且與'軸交

于點8(0,5).

(1)求該函數(shù)表達(dá)式.

(2)若一次函數(shù)y=ex-l(cH0)的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(kH0)圖象交于點C(a,1),求a,c的值.

(3)蘭4>3時，對于欠的每一個值，函數(shù)y=m(x-2)4-l(mH0)的值都大Ty=kx+b(kH0)的值，求利的

取值范圍.

【答案】(l)y=-2/+5

(2)Q=2,c=1

(3)m>-2

【分析】此題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)圖象的交點問題、待定系數(shù)法等知識，讀懂題意，

熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

(1)利用待定系數(shù)法解答即可；

(2)把C(a,1)代入y=-2x+5求出點C的坐標(biāo)，再把點C的坐標(biāo)代入y=ex-l(c豐0)求出c的值即可:

(3)根據(jù)題意可得m(3-2)+1>-2x3+5,即可求出m的取值范圍.

【詳解】(1)???一次函數(shù)、=上￥+匕體工0)的圖象經(jīng)過點4(1,3),且與)，軸交于點8(0,5),

.(k+h=3,

，etb=5'

.(k=-2,

<?Ib=51

/.該一次函數(shù)解析式為y=-2x+5.

(2)???若一次函數(shù)y=ex-l(c工0)的圖象與一次函數(shù)y=-2x+5怪象交于點。(a,1),

/.—2a+5=1,

.*.a=2.

將C(2,l)坐標(biāo)代入y=ex-l(cH0)得：2c-1=1,

c=1.

(3)???函數(shù)y=〃心一2)十l(〃i,O)恒過定點(2,1),且(2,1)在次函數(shù)y=-2八十5圖象上.

又??,當(dāng)x>3時，對于x的每一個值，函數(shù)y=m(x-2)+1(7女工0)的值都大于y=-2x+5的值，

?\771(3—2)+1>-2x3+5,

解得m>—2.

7.(2023?浙江杭州?二模)設(shè)函數(shù)%=七%+。，函數(shù)y2二,("】，%，〃是常數(shù)，的不0,k2H。上

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(1)若函數(shù)％和函數(shù)y2的圖象交于點力(1，血)，點8(3,1),

①求函數(shù)力,力的表達(dá)式：

②當(dāng)2vxv3時，比較力與力的大小(直接寫出結(jié)果).

(2)若點C(2,m)向先左平移4個單位再向上平移九一m個單位得到點。，若函數(shù)月和函數(shù)力的圖象交于點。

和點。，求〃的值.

【答案】(I)①%=r+4；y2=②%<y2

(2)n=-3

【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題

的關(guān)鍵.

(1)①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式：

②利用函數(shù)圖象分析比較；

(2)根據(jù)平移確定點。的坐標(biāo)，然后利用函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征代入求解.

【詳解】(I)①把點見3,1)代入=*，

即1吟

解得：七二3.

二函數(shù)月的表達(dá)式為為=

把點4(1,7/1)代入丫2=:，解得m=3.

把點4(1,3),點8(3,1)代入yi=kYx+b,

"i+b=3

(3乂+h=lf

“解喉：

函數(shù)月的表達(dá)式為乃=-x+4；

②???函數(shù)刈和函數(shù)為的圖象交于火1，3),根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖象，如圖：

yjk

第8頁共108頁

觀察圖象得：當(dāng)2V欠V3時,函數(shù)％=等的圖象位于函數(shù)%=k]X+6的下方.

???當(dāng)2<x<3時，％<y2.

(2)由(1)得m=3,

?.6(2,3)

???向左平移4個單位，

???得(-2,3),

又再向上平移九-m個單位，

D(-2,n),

???C,。是函數(shù)外和函數(shù)乃的圖象交點，

/絲

-

12=3

<

1絲

-

k=n

-2

???n=-3.

8.(2024.浙江麗水.一模)設(shè)二次函數(shù)y=a/+bx+isho,b是常數(shù))，已知函數(shù)值y和自變量》的部分

對應(yīng)U又值如下表所示：

X???-10123???

y???in1n1P???

(1)若m=0時，求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)一1WXW3時，y有最小值為5求a的值；

(3)若aV—3,求證：n—m—p>20.

【答案】(1?=-?%2+9%+1：

初或-a

(3)證明見解析.

【分析】(1)利用表格數(shù)據(jù)以及待定系數(shù)法求解即可；

(2)由表可知，拋物線y=ax2+bx十1經(jīng)過(0,1),(2,1)兩點，進(jìn)而得到拋物線的對稱軸為直線x=1,則b=

-2a,即、=。42-2四+1,再分a>0和a<0兩種情況解答即可；

(3)利用二次函數(shù)的解析式求出m、*p,結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸進(jìn)而得到Tn-p=-7a-l,利用一

次函數(shù)的性質(zhì)即可求證：

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)和一次函

第9頁共108頁

數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：把(-1,0),(2,1)代入(=。*2+加+。得,

_1

笊與*，解得”了

14a+2b+1=1b=-

3

?,.二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-\x2++1：

oJ

(2)解：由表可知，拋物線、=。產(chǎn)+匕工+1經(jīng)過(0,1),(2,1)兩點，

當(dāng)4=0或%=2時，y=1,

???拋物線的對稱軸為直線4=1,

2a1>B[J/?=-2a,

.*.y=ax2—2ax+1

當(dāng)-1WxW3時，y有最小值為點

???①當(dāng)Q>0,%=1時，函數(shù)有最小值算

=a-2a+1,解得：a=/

②當(dāng)a<0,則％=-1或x=3時，函數(shù)y取得最小值，

=32a—6Q+1,Q=一工：

26

綜上，Q的值;或

Z6

(3)證明：由表和二次函數(shù)可得，

m=a-b+1,n=ab+1,p=9a+3b+L

?*.n—?n—p=ci4-b+l-(ci—b+1)—(9Q+3b4-1)=-9a—b—1?

???二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1,

1,

2a

=-2a,

n-?n-p=-9a-(-2a)-1=-7a-1,

V-7<0,

n-in-p的值隨a的減小而增大，

當(dāng)a<-3時，n-in-p>-7x(-3)-1=20,即〃-m-p>20.

類型二一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題

9.(2023?浙江杭州?二模)已知反比例函數(shù)%=g和一次函數(shù)力=~kx4-4k(k>0).

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(1)當(dāng)一3Wx工一1時，反比例函數(shù)月有最小值b,一次函數(shù)y?有最大值b+6,求力和k的值:

(2)若力>、2,求X的取值范圍.

【答案】(l)b=-g,k=:

(2)0<x<1或無>3

【分析】本題考杳了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，解一元二次方程;

(I)根據(jù)題意得出反比例函數(shù)必=考的圖象在一，三象限，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，進(jìn)而根據(jù)反

b=G,即可求解：

b+6=3k+4k

_3k

(=~得出交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象，即可求解.

y2=—kx+4k

【詳解】(1)解：??%>(),

???反比例函數(shù)為=§的圖象在一，三象限，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限,

???當(dāng)-3WXW-1時,反比例函數(shù)月有最小值反一次函數(shù)丫2有最大值。+6,

b吟

L+6=3k+4k

(,9

b=—

解得：?

[k=35

_3k

yi=v

y=—kx+4k

!2

解得:xx=1,x2=3

?.?反比例函數(shù)九一學(xué)的圖象在一，三象限，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限,

:.當(dāng)外>及時，0<x<1或x>3.

10.(2023?浙江杭州?二模)設(shè)函數(shù)為=§,函數(shù)%=8(自施，匕是常數(shù)，3于0,k2^Q).

(1)若函數(shù)為和函數(shù)的圖像交于點力(2,6),點8(4,n-2),

第II頁共108頁

①求b,〃的值.

②當(dāng)月>為時,直接寫出x的取值范制.

(2)若點。(8,m)在函數(shù)月的圖像上，點。先向下平移1個單位，再向左平移3個單位，得點。，點。恰好落

在函數(shù)月的圖像上，求〃?的值.

【答案】(1)①b=9,n=5②0VXV2或x>4

(2)m=

【分析】(I)①采用待定系數(shù)法即可求出.②采用數(shù)形結(jié)合的方法，求出兩個解析式的交點，結(jié)合圖像即

可求出.

(2)結(jié)合題意，表示出點。的坐標(biāo)，然后將CQ兩點代入到月中即可求出.

【詳解】(I)①把點42,6)代入到中，得

儲,

5=6

看〔二12

12

???yi=—

把8(4,n-2)代入到%=苫中,得

12

n-2=—

4

An=5

???8(4,3)

再把4(2,6)和8(4,3)代入到y(tǒng)z=k2x+b中，得

(2k2+b=6

(4/C2+b=3

解得：［k2=~l

(b=9

3

???%=-5無+9

綜上：6=9,71=5.

②如圖所示：

第12頁共108頁

解得比:襄腰：:

???4(2,6),B(4,3)

結(jié)合圖像，當(dāng)、1>、2時，

x的JR值范圍是：0<%<2或%>4.

(2)根據(jù)題意，???C(8,m)

:.D(5,m-1)

把點C,。代入到當(dāng)中，得

f7=m

ki=~~r

解得“I

m=——

3

綜上zn=-1.

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法，坐標(biāo)的平移，反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，巧妙的運用數(shù)

形結(jié)合的方法是解題的關(guān)健.

II.：2023?浙江杭州?二模)平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)為=+(如為常數(shù)，的工0)和一次函數(shù)yz=

k2(x+2-a)+l(七，a為常數(shù),心工0)的圖像都經(jīng)過點4(1,a).

(1)若a=3求心的值.

(2)若點B(a-2,1)是反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像的另一個交點，

①求必，為的函數(shù)表達(dá)式.

第13頁共108頁

②若0<y2<yv直接寫出x的取值范圍.

【答案】(l)ki=2

（2）①%=%y2=-1x+7；②0cxV：或4Vxef

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出h;

(2)①將力仔,a),8(Q-2,1)分別代入力=?可得到|Q=(Q-2)x1,即可得到a=6,再將/(|,6)分

別代入％=+，丫？=七。-4)+1,即口J得到3=4,&=一|；②畫出函數(shù)圖像，找出0<%<%對應(yīng)

的力的范圍即可.

【詳解】(1)解：若Q=3,則40,3),

-%kj=1x3=2；

(2)解：①???反比例函數(shù)1Al為常數(shù)，的。0)的圖像經(jīng)過點力(|,。)、點B(a-2,1)且也在一次

函數(shù)為=%(丫+2—“)+1(k2,。為常數(shù),%*。)的圖像卜，

?1?ga=(a-2)x1,解得a=6,

??A信，6)，8(4,1)，

將A停,6)分別代入力=，一，y2=k2(x-4)+1,

可得心=4,k2=-

，力，%的函數(shù)表達(dá)式分別為%y--1x+7,

②當(dāng)月=一|%+7=0時，％=g，

畫出函數(shù)圖像如圖所示，

第14頁共108頁

》的取值范圍是0V%V：或4Vx<g.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，掌握反比例函數(shù)

和一次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

12.(2024.浙江寧波?模擬預(yù)測)在平而直角坐標(biāo)系中，已知A也*0,設(shè)函數(shù)必=勺與函數(shù)y?=k2a-2)+3

的圖象交于點人，B.已知點A的橫坐標(biāo)是2,點8的縱坐標(biāo)是-1.

(1)求用也的值?

(2)連接04并延長至點P,使得04=RP,過點P作x軸的垂線，交x軸于點。，交力的圖象于點連接OD.設(shè)

△。尸。的面積為Si，△OC。的面積為S2，求金的值.

S2

【答案】(l)ki=6,七=：

(2)3

【分析】

此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知

識點.

第15頁共108頁

(1)首先將點力的橫坐標(biāo)代入％=七(x-2)+3,求出點人的坐標(biāo).然后代入必=3，求出的=6.然后

將點8的縱坐標(biāo)代入％=B，求出8(-6,-1),然后代入、2=紜(％-2)+3,即可求出；

(2)首先根據(jù)題意畫出圖形，利用兩點間距離求出。4,即可得到0P,利用待定系數(shù)法求出04所在直線的

表達(dá)式，設(shè)點利用兩點間距離公式求出P(4,6),然后求出點C和點。的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面枳公

式求解即可.

【詳解】(1)解：將點力的橫坐標(biāo)代入為=k2a-2)+3,得：y2=3,

???4(2,3),

將A(2,3)代入外=,，得：的=6,

6

將點8的縱坐標(biāo)代入力=：,得：-1=，即工=一6,

：,B(-6,-1),

將R(一6,一1)代入％=%(丫-2)+?.得，-1二七(一6-2)+?.

k2=%

力=2-2）+3=1+2,

:.的=6,七=

0A=V22+32=V13,

,:0A=AP,

...OP=20A=2\/13,

設(shè)直線。/1的解析式為=k3x（k3豐0）,

第16頁共108頁

A3=2k3,

???直線。A的解析式為y3=：x,

設(shè)點P

:.OP=Jm2+G771)=2177^,即半m=2-/13,

???m=4,

則P(4,6),

vPC1x軸，

.-.C(4,0),D(4t1),

???△OPD的面積為Si=?OC,LOCD的面積為S2=：CD?OC,

S1PD6-1

..豆=而=^=

13.(2023?浙江杭州?模擬預(yù)測)如圖，一次函數(shù)y=X+4的圖象與反比例函數(shù)y=-(左為常數(shù)且kHO)的

X

圖象交于A(-1,a),B兩點,與戈軸交于點C.

⑴求此反比例函數(shù)的表達(dá)式:

(2)若點P在x軸的正半軸上，且S-cp=4SAB”，求點P的坐標(biāo).

【答案】(l)y=—：

⑵尸Q)

*5

【分析】

本題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合題：

(1)利用點A在y=%+4上求進(jìn)而代入反比例函數(shù)y=:求k.

(2)聯(lián)立方程求出交點，設(shè)出點P坐標(biāo)表示三角形面積，求出P點坐標(biāo).

【詳解】(1)解：把點4(-1,a)代入y=x+4,得Q=3,

第17頁共108頁

：.A(-1,3)

把A(-1,3)代入反比例函數(shù)y=￡(左為常數(shù)且A。0)

:?k=-3,

??.反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-1：

(2)

fy=x4-4

解：聯(lián)立兩個函數(shù)的表達(dá)式得3,

y=--

解得客力噌=，

??.點8的坐標(biāo)為86-3,1)

當(dāng)y=x+4=0時，得力=-4

?,.點C[-4,0)

設(shè)點P的坐標(biāo)為G,0；

,??SAACP=4SABOC

|x+4|x3=4x1x4xl

解得%2=-日(舍去)，

???點po;.

14.12023?浙江杭州?中考真題)在直角坐標(biāo)系中，已知的心工0,設(shè)函數(shù)月=奈與函數(shù)%=取(久-2)+5的

圖象交于點力和點8.已知點4的橫坐標(biāo)是2,點8的縱坐標(biāo)是-4.

(1)求心,/(2的值.

(2)過點4作y軸的垂線，過點Z?作尤軸的垂線，在第二象限交于點C；過點4作x軸的垂線，過點。作y軸的垂線,

在第四象限交于點D.求證：直線CO經(jīng)過原點.

【答案】⑴七=10,七=2

⑵見解析

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【分析】(1)首先將點力的橫坐標(biāo)代入乃=七(丫-2)+5求出點A的坐標(biāo),然后代入月=?求出的=1D.

然后將點8的縱坐標(biāo)代入外=?求出8(-a-4),然后代入力=⑥(％-2)+5即可求出七=2；

(2)首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出點。和點。的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出CO所在直線的表達(dá)

式，進(jìn)而求解即可.

【詳解】(I)二?點4的橫坐標(biāo)是2,

二將x=2代入及=七(％—2)+5=5

?二/(2,5),

???將4(2,5)代入為=州,k[=10,

.10

..%=7

???點B的縱坐標(biāo)是-4,

.?.將y=-4代入外=,得，x=-1

,'8-4)，

.,.將8—4)代入—2)+5得，—4=k2(—：—2)+5,

，解得矽=2,

y2=2(%—2)+5=2無+1：

(2)如圖所示,

由題意可得，C(-1,5),0(2,-4),

??.設(shè)CO所在直線的表達(dá)式為y=kx+b,

.?.卜齊”=s,解得｛"廣U，

(2fc+b=-4(b=°

?*.y=-2x,

當(dāng)Y=。時，y=0,

，直線CD經(jīng)過原點.

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

第19頁共108頁

握以上知識點.

15.(2024?浙江?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)%=k”+b的圖像與反比例函數(shù)為

(1)已知點8的坐標(biāo)為(2,6),求：

①一次函數(shù)為和反比例函數(shù)丫2的解析式：

②在y軸上取一點P,當(dāng)△8CP的面積為5時，求點P的坐標(biāo)：

(2)過點B作BD1%軸于點D,點E為/1B中點，線段DE交y軸丁點F,連結(jié)力口若△4F。的面積為11,求A的

值.

【答案】(I)①一次函數(shù)解析式為y=x+4,反比例函數(shù)解析式為y=?：

②P的坐標(biāo)為(0,-1)或(0,9)：

3k=22.

【分析】(1)①把8(2,6)代入一次函數(shù)y=x+b的圖象與反比例函數(shù))，=：(%>0)即可求解：

②根據(jù)三角形面積求得PC的長，然后由直線的解析式求得C的坐標(biāo)，即可求得P的坐標(biāo)；

(2)由一次函數(shù)y=x+b,可得=45。，4(一h0),得出△480是等腰直角三角形，設(shè)8(m,m+b),

則攵=m(巾+6),進(jìn)一步得出A。。尸是等腰直角三角形，則。尸=OD=m,由△4FD的而枳為11,即可求

解：

本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積求法，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握知識點的應(yīng)用.

【詳解】(1)①???一次函數(shù)y=工+力的圖象與反比例函數(shù)y=>0)的圖象交于8(2,6),

6=2+b,6=：,

.'?b=4,k=12,

???一次函數(shù)解析式為y=%+4,反比例函數(shù)解析式為y=y：

第20頁共108頁

②?.?8(2,6),△88的面積為5,

：^PC-XB=5,

x2=5,

：,-2PC

：.PC=5,

由直線y=x+4得，C(0,4),

??/的坐標(biāo)為(0,-1)或(0,9)；

(2),:一次函數(shù)y=x+b,

：.z.BAD=45°,4(f,0),

,.,8Dlx軸于點0,

??.△48。是等腰直角三角形，

：.AD=BD,

?.?一次函數(shù)y=x+b的圖象與反比例函數(shù)y=^(x>0)的圖象交于B,

，設(shè)。(m,m+b).則4=rn(rn+b).

.'.AD=BD=m+b,

?點E為4B中點,

：.z.ADE=乙BDE=45°,

??.△DOF是等腰直角三角形，

：.0F=OD=m,

?.?△AFT)的面枳為11,

：.^AD-OF=11即*血+。)*抽=11,

:.k=m(m+b)=22.

16.(2023?浙江杭州?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系％0y中，一次函數(shù)九=七逐+匕(七工0)的圖象與反比

例函數(shù)￥=軟心工0,x>0)的圖象交于A(3,4),B(6,2)兩點.

(1)求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)過點P(a,0)作A:軸的垂線，與直線力=klX+b(ki工0)和函數(shù)y=§(心手0,x>0)的圖象的交點分別

第21頁共108頁

為點M,N,當(dāng)點M在點N下方時，直接寫出Q的取值范圍;

⑶將直線力8向下平移根(m>0)個單位長度，若平移后的直線與反比例函數(shù)y=個(&*0,x>0)的圖象只

有一個交點，試求m的值.

【答案】(I)一次函數(shù)的解析式為%=—[x+6,反比例函數(shù)的解析式為'=苫

(2)0<a<3或a>6

(3)m的值為6+4或或6-4或

【分析】(I)分別用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)題意畫出圖象，由圖象直接可得到答案；

(3)先求出平移后的直線的解析式，在聯(lián)立反比例函數(shù)，得到一個一元二次方程，由A=0,進(jìn)行計算即

可得到答案.

【詳解】(I)解：將4(3,4),8(6,2)代入％=自%+6(比￥：0),

.b=6

???一次函數(shù)的解析式為：yi=-1x+6,

將4(3,4)代入反比例函數(shù)y=0(&￡0,x>0),

得4=小

解得:k7=12,

???反比例函數(shù)的解析式為：y=-：

(2)解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：

二過點P(a，0)作x軸的垂線，與直線％=k/+b(kiH0)和函數(shù)y=§(心00,x>0)的圖象的交點分別

為點M,N,

當(dāng)點M在點N下方時，a的取值范圍為：0Va<3或a>6；

第22頁共108頁

(3)解：???將直線48向下平移m(m>0)個單位長度，

得到的新函數(shù)的解析式為：y=-lx+6-m,

???平移后的直線與反比例函數(shù)y=§僅2工0,x>0)的圖象只有一個交點，

-^x+6-nt=y,即—1%24-(6-m)x-12=0只有一個解，

:.△=(6-m)2-4xx(-12)=0,

解得：m=6+4及或m=6-4立，

二771的值為6+4々或6-4&.

【點睛】本題主要考杳待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，

一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題是解題的關(guān)鍵.

17.(2023?浙江?一?模)如圖，已知A的坐標(biāo)是(4,4),481%軸于點用反比例函數(shù)y=￡(x>0)的圖象分

別交4。，/W于點C,。，連接OD,△080的面積為2.

(1)求上的值和點C的坐標(biāo).

(2)若點P(Q,b)在該反比例函數(shù)圖象上，且在△AB。的內(nèi)部(包括邊界)，求〃的取值范圍.

【答案】(1次=4：(2,2)

(2)1<b<2

【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)的上值意義，求出攵的值即可：先求出正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立正比例函數(shù)解

析式和反比例函數(shù)解析式，求出點C的坐標(biāo)即可：

(2)先求出點。的坐標(biāo)，然后根據(jù)點C和。的坐標(biāo)，求出〃的取值范圍即可.

【詳解】(1)解：???SAOBD=2,

:.k=4,

???反比例函數(shù)為y=焚)，

設(shè)直線。/1解析式為y=mx,

將4(4,4)代入得，4m=4,

第23頁共108頁

Am=1,

...直線。/1解析式為y=x②，

由①②得/=4,

*.x=-2(不合題意，舍去)，x=2,

??.。為(2,2).

(2)解：將％=4代入y=%得y=l,

???點。的坐標(biāo)為(4,1),

??,點P(a/)在該反比例函數(shù)圖象上，且在△48。的內(nèi)部(包含邊界)，且C的坐標(biāo)為(2,2).?.由圖象得1SbS

2.

【點睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，求正比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交

點坐標(biāo)，解題的關(guān)健是熱練掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義.

類型三一次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題

18.12024?浙江寧波?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(0,4),8(4,0),。是y軸負(fù)半軸上一點，連結(jié)8C,

將線段8c繞著點8逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BD,連結(jié)4。交x軸于點E,若點E橫坐標(biāo)為3.

(I)求直線48的解析式；

(2)求點C坐標(biāo)：

(3)在％軸和直線上分別找點P,Q,使得8、C、P、Q構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，直接寫出點P坐標(biāo).

【答案】(1?=—戈+4

⑵(。,-2)

(3)(-2.5,0)或(8.5,0)或(-0.5,0)

【分析】(1)設(shè)直線48的解析式為y=依+匕，將力(0,4),8(4,0)代入丫=而+8之中求出鼠b即可得直線

AB的解析式;

(2)過點。作DF1%軸于F,先證AOCB和AFBD全等得OC=BF,OB=FD=OA=4,進(jìn)而證△CME和AFOE

第24頁共108頁

全等得OE=E尸=3,由此可得0C=8尸=2,由此可得點C的坐標(biāo):

(3)先求出直線AD的解析式為y=-g%+4,可設(shè)點Q(q,-gq+4),再設(shè)點P(p,O),根據(jù)點8、。、P、Q構(gòu)

成的四邊形是平行四邊形，因此有以下兩種情況：

①當(dāng)BC為平行四邊形的一邊時，又有兩種情況：(i)當(dāng)點Q在BC的上方時，連接CQ交工軸于T,則點T是CQ

和PB的中點，對于P(p,O),8(4,0),則點丁(個,0),對于C(0,-2),Q(q,-：q+4),則口匕當(dāng)今，由此得

方程解出p求解，據(jù)此解出p可得點P的坐標(biāo)；(ii)當(dāng)點Q在8。的下方時，連接PC,8Q交于點T,則點7是8Q

和PC的中點；②當(dāng)8C為平行四邊形的對角線時，連接PQ交HC于T,見點了是和PQ的中點.同理分別列

方程求出p的值得出P的坐標(biāo).

【詳解】(I)解：設(shè)直線的解析式為：y=kx+b,

將4(0,4),8(4,0)代入丫=依+從得：解得：｛1111'

直線48的表達(dá)式為：y=-%+4：

(2)過點。作D51》軸于F,如圖1所示：

圖I?.F(0,4),B(4,0),點E是｛。與x軸的交點，且橫坐標(biāo)為3,

???04=08=4,OE=3,8E=4—3=1,

,:DF14軸于F,

乙COB=Z.BFD=90°,

???乙0BC+乙OCB=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:BC=DB,LCBD=90°,

???乙08。+乙尸8D=90。，

:.乙0CB=乙FBD,

在A0CB和AF8D中，

LOCB=Z.FBD

乙COB=Z.BFD=90°,

BC=DB

???&CCB=^FBD(AAS),

第25頁共108頁

:.OC=BF,OB=FD=4,

:.OA=FD=4,

在A04E和△尸DE中,

Z.AOE=乙DFE=90°

LAEO=乙DEF,

OA=FD

:.^OAES△FDE(7L4S),

:.OE=EF=3,

BF=EF-BE=3-1=2,

OC=BF=2,

???點C的坐標(biāo)為(0,-2)：

(3)設(shè)直線4。的解析式為：y=mx+n,

n4m

將4(0,4),E(3,0)代入y=mx+71,得：卜~n?解得：~~

137n+71=U(幾=4

直線4。的解析式為：y=-1x+4,

???點Q在直線力。上，

???設(shè)點Q(q,-gq+4),

?.?點P在x軸上，

???設(shè)點P(p,0),

?.?點B、C、P、Q構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，

???有以卜兩種情況：

①當(dāng)8c為平行四邊形的一邊時，又有兩種情況：

(i)當(dāng)點Q在BC的上方時，連接CQ交工軸于T,如圖2所示：

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，點、T是CQ和P8的中點,

對于P(p,0)，8(4,0),則點T(管,0),

第26頁共108頁

對于C(0,-2)，Q(q,-gq+4)),則7停,三空)

(E=0

"I，p+4，

[2--

由t；6=0,解得q=1.5,

將q=1.5代入：誓，得：p=-2.5,

.?.點P(—2.5,0)；

(ii)當(dāng)點Q在BC的下方時，連接PC,BQ交于點T,如圖3所示:

圖3

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，點7是8Q和PC的中點,

對于P(p,0)，C(0,-2),則點7g,-l)，

對于8(4,0),Q(q,—gq+4),則T(手，一gq+2).

(2

-±+2=-l

,,3“g

"<7+4_P'

--i

由-jq+2=-l,解得：q—4.5,

將q=4.5代入等=旨得p=8.5,

二點P(8.5,0)；

②當(dāng)8c為平行四邊形的對角線時，連接PQ交8c于T,如圖4所示:

第27頁共108頁

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，點T是BC和PQ的中點，

對于8(4,0),C(0,-2),則點7(2,-1),

對于P(p,0)，Q(q,—gq+4),則7(等,一|q+2),

+2=-1

-I等二2，

由-:q+2=1,解得：q=4.5,

將q=4.5代入號=2,得：p=-0.5,

???點P(-0.5,0).

綜上所述：點P的坐標(biāo)為(一2.5,0)或(8.5,0)或(一0.5,0).

【點睛】此題主要考查了?次函數(shù)的圖象，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握待定

系數(shù)法求?次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，分類討論

是解決問題的難點，漏解是易錯點.

19.12U23?浙江金華?二模)在平面直角坐標(biāo)系中，若圖形M與圖形/V中，分別存在由尸，Q關(guān)于直線y=/o:對

稱，則稱這兩個圖形“軸對稱”.如甌正方形48CD各頂點的坐標(biāo)分別是4(1,1),8(1,0),C(2,0),

D(2,1).

y小

AD

~OHCx

(1)在點Pi(0,2),P2(0.3),4(-1,-2)中，哪些點與正方形—CD"軸對稱”?若是，求女的值.

(2)后點。與點Q為“2軸對稱”，求點Q的坐標(biāo).

第28頁共108頁

（3）直線y=:T+b與兩坐標(biāo)軸的交點.為E、F.若線段E"與正方形4RC/T”軸對稱”,求b的范圍.

【答案】（1）%（0,2）,k=l；。3（-1,-2）,k=-l；

⑶1WbW竽或一苧Wb4-1

t分析】（1）畫出圖形，根據(jù)“軸對稱”的定義即可求解:

（2）求出直線QD的解析式及交點坐標(biāo)即可解答：

（3）求出兩種特殊位置的b的值即可解答.

【詳解】（1）解：如圖所示，點P2、23與正方形軸對稱”,

k值分別是1、-1,

1\

P：

A

BC

?八

（2）解：如圖，在直線y=2不上，取點K（l,2）,過點K作KT_Ly軸于點7,作直線。7*交。K于點J,

過點。作OG_Ly軸于點G,

■

尸2r

7(0,2),0(2,1),G(0,1)

：.0T=OG=2,TK=TG=1,

第29頁共108頁

'：LOTK=LDGT=90°,

A△OTK三△DGT（STIS）,

:.乙TOK=乙GDT,

?:乙GDT+乙GTD=90°,

...ZTOK+乙。0=90°,

：./.0JT=90°,

：.DTLOK,

???點Q在直線DT上，

;直線DT的解析式為y=-^x+2,

#=T+2,

Iy=2x

???解得：{￡

（y=s

?優(yōu)，J

?：［D=}Q,

???Q（4T）=

（3）解：如圖所示，連接OD,

則OD=V22+l2=V5,

當(dāng)點D的V軸對稱”在EF上時，

直線y=；x+8與以點。為圓心，。。長為半徑的圓相切時，〃取到臨界值，如圖所示:

OH=OD=V5,且EF與圓O相切于點〃，

當(dāng)b>0時，

直線y=±x+b,當(dāng)％=0時，y=b,當(dāng)y=0時，x=~~b,

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：?0F=b,OE=-b,

4

：.EF=VOF2+OE2=—,

4

.??沙??！?沙?。從

解得b=竽，

當(dāng)點B的“A軸對稱”在線段EF上時,

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線段E尸與以點。為圓心，0B長為半徑的圓有交點，當(dāng)點產(chǎn)與點(0,1)重合時，力取的最小值，如圖所示:

此時y=梟+b經(jīng)過點(0,1),

=1,

???此時1”：

同理當(dāng)b<0時，可得一苧WbW-1；

綜上可得：或一竽464一1

【點睛】本題考查了兒何變換綜合題，?次函數(shù)的性質(zhì)，新定義，軸對稱變換的性質(zhì)，理解題意，尋找特

殊點是解決問題的關(guān)鍵