相似三角形專題解答題試題一附答案

相似三角形專題解答題試題精選一附答案一．解答題（共30小題）1．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD為角平分線，DE⊥AB，垂足為E．（1）寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形；（2）選擇（1）中一對加以證明．2．（2015?南京）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且=．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．3．（2015?寧夏）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點(diǎn)．連結(jié)AE．（1）若AB=AE，求證：∠DAE=∠D；（2）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接BD，交AE于F，求EF：FA的值．4．（2015?濱州）如圖，已知B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，△ABC與△DCE都是等邊三角形，其中線段BD交AC于點(diǎn)G，線段AE交CD于點(diǎn)F，求證：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．第1頁（共45頁）5．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點(diǎn)，將△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△OC′D′．（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點(diǎn)E，猜想∠AEB=θ是否成立？請說明理由．6．（2015?樂山）如圖1，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．（1）求CD邊的長；（2）如圖2，將直線CD邊沿箭頭方向平移，交DA于點(diǎn)P，交CB于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B停止）．設(shè)DP=x，四邊形PQCD的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．7．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．第2頁（共45頁）8．（2015?茂名）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒（0＜t＜），連接MN．（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．9．（2015?廈門）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．10．（2015?杭州）如圖，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）若=，AE=2，求EC的長；（2）設(shè)點(diǎn)F在線段EC上，點(diǎn)G在射線CB上，以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形與△EDC有一個銳角相等，F(xiàn)G交CD于點(diǎn)P．問：線段CP可能是△CFG的高線還是中線？或兩者都有可能？請說明理由．第3頁（共45頁）11．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延長BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延長線于點(diǎn)E．（1）求證：BD+2DE=BM．（2）如圖2，連接BN交AD于點(diǎn)F，連接MF交BD于點(diǎn)G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=．12．（2015?岳陽）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．（1）求證：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的長．13．（2015?淄博）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），平行四邊形AFPE的頂點(diǎn)F，E分別在AB，AC上．已知BC=2，S=1．設(shè)BP=x，平行△ABC四邊形AFPE的面積為y．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）上述函數(shù)有最大值或最小值嗎？若有，則當(dāng)x取何值時(shí)，y有這樣的值，并求出該值；若沒有，請說明理由．第4頁（共45頁）14．（2015?大連）在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如圖1，當(dāng)DE=DF時(shí)，圖1中是否存在與AB相等的線段？若存在，請找出，并加以證明；若不存在，說明理由；（2）如圖2，當(dāng)DE=kDF（其中0＜k＜1）時(shí)，若∠A=90°，AF=m，求BD的長（用含k，m的式子表示）．15．（2015?湘潭）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處．（1）求證：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．16．（2015?撫順）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點(diǎn)B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E，連接AE．（1）如圖①，當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，求證：AD=DE；（2）如圖②，當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由；（3）當(dāng)∠ABC=α?xí)r，請直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系．（用含α的三角函數(shù)表示）17．（2015?威海）（1）如圖1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的長．（2）如圖2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的長．第5頁（共45頁）18．（2015?赤峰）如圖，直線y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸，點(diǎn)P是x軸下方直線CD上的一點(diǎn)，且△OCP與△OBC相似，求過點(diǎn)P的雙曲線解析式．19．（2015?連云港）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長線上一點(diǎn)，AC=3CD，過點(diǎn)D作DH∥AB，交BC的延長線于點(diǎn)H．（1）求BD?cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的長．20．（2015?泰安）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD=∠B．（1）求證：AC?CD=CP?BP；（2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長．第6頁（共45頁）21．（2015?武漢）已知銳角△ABC中，邊BC長為12，高AD長為8．（1）如圖，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K．①求的值；②設(shè)EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的兩個頂點(diǎn)在△ABC一邊上，另兩個頂點(diǎn)分別在△ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長．22．（2015?邵陽）如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度．23．（2015?陜西）晚飯后，小聰和小軍在社區(qū)廣場散步，小聰問小軍：“你有多高？”小軍一時(shí)語塞．小聰思考片刻，提議用廣場照明燈下的影長及地磚長來測量小軍的身高．于是，兩人在燈下沿直線NQ移動，如圖，當(dāng)小聰正好站在廣場的A點(diǎn)（距N點(diǎn)5塊地磚長）時(shí)，其影長AD恰好為1塊地磚長；當(dāng)小軍正好站在廣場的B點(diǎn)（距N點(diǎn)9塊地磚長）時(shí)，其影長BF恰好為2塊地磚長．已知廣場地面由邊長為0.8米的正方形地磚鋪成，小聰?shù)纳砀逜C為1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．請你根據(jù)以上信息，求出小軍身高BE的長．（結(jié)果精確到0.01米）第7頁（共45頁）24．（2015?崇左）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上．（1）求證：△AEF∽△ABC；（2）求這個正方形零件的邊長；（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個矩形的最大面積是多少？25．（2015?湖州模擬）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，，連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．26．（2015?鎮(zhèn)江）某興趣小組開展課外活動．如圖，A，B兩地相距12米，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向勻速前進(jìn)，2秒后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)他（CD）在某一燈光下的影長為AD，繼續(xù)按原速行走2秒到達(dá)點(diǎn)F，此時(shí)他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達(dá)點(diǎn)H，此時(shí)他（GH）在同一燈光下的影長為BH（點(diǎn)C，E，G在一條直線上）．（1）請?jiān)趫D中畫出光源O點(diǎn)的位置，并畫出他位于點(diǎn)F時(shí)在這個燈光下的影長FM（不寫畫法）；（1）求小明原來的速度．第8頁（共45頁）27．（2015?黃岡校級自主招生）如圖，已知銳角△ABC的面積為1，正方形DEFG是△ABC的一個內(nèi)接正方形，DG∥BC，求正方形DEFG面積的最大值．28．（2015?青島模擬）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，問△AOB與△COD是否相似？有一位同學(xué)解答下：∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO．∴△AOD∽△BOC．∴．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD．請判斷這位同學(xué)的解答是否正確并說明理由．29．（2015?大慶模擬）如圖，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BDE，CA=CD，CB=CE，∠ACD與∠BDE都是銳角且∠ACD=∠BCE，連接AE交CD于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，AE與BD交于點(diǎn)P，連接PC．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）請你判斷△AMC與△DPM的形狀有何關(guān)系，并說明理由．30．（2015?常州模擬）如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且CF=3FD，△ABE與△DEF相似嗎？為什么？第9頁（共45頁）第10頁（共45頁）相似三角形專題解答題試題精選一附答案參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD為角平分線，DE⊥AB，垂足為E．（1）寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形；（2）選擇（1）中一對加以證明．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；全等三角形的判定．【分析】（1）利用相似三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)得出符合題意的答案；（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分別得出即可．【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD為角平分線，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD為角平分線，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2015?南京）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且=．第11頁（共45頁）（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可證明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理．3．（2015?寧夏）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點(diǎn)．連結(jié)AE．（1）若AB=AE，求證：∠DAE=∠D；（2）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接BD，交AE于F，求EF：FA的值．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的對邊互相平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AEB=∠EAD，根據(jù)等邊對等角可得∠ABE=∠AEB，即可得證；（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可證得△BEF∽△AFD，即可求得EF：FA的值．【解答】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，第12頁（共45頁）∴∠DAE=∠D；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△AFD，∴，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=BC=AD，∴EF：FA=1：2．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2015?濱州）如圖，已知B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，△ABC與△DCE都是等邊三角形，其中線段BD交AC于點(diǎn)G，線段AE交CD于點(diǎn)F，求證：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）由三角形ABC與三角形CDE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，一對角相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證；（2）由（1）得出的三角形全等得到對應(yīng)角相等，再由一對角相等，且夾邊相等，利用ASA得到三角形GCD與三角形FCE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到CG=CF，進(jìn)而確定出三角形CFG為等邊三角形，確定出一對內(nèi)錯角相等，進(jìn)而得到GF與CE平行，利用平行線等分線段成比例即可得證．【解答】證明：（1）∵△ABC與△CDE都為等邊三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，第13頁（共45頁）∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG為等邊三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點(diǎn)，將△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△OC′D′．（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點(diǎn)E，猜想∠AEB=θ是否成立？請說明理由．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，證出OC′=OD′，由SAS證明△AOC′≌△BOD′，得出對應(yīng)邊相等即可；②由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC′=∠OBD′，又由對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出∠BEA=90°，即可得出結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行線得出比例式，得出，證明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）證明：①∵△OCD旋轉(zhuǎn)到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D為OA、OB的中點(diǎn)，第14頁（共45頁）∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延長AC′交BD′于E，交BO于F，如圖1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如圖2所示：∵△OCD旋轉(zhuǎn)到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．第15頁（共45頁）6．（2015?樂山）如圖1，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．（1）求CD邊的長；（2）如圖2，將直線CD邊沿箭頭方向平移，交DA于點(diǎn)P，交CB于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B停止）．設(shè)DP=x，四邊形PQCD的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；函數(shù)關(guān)系式；平移的性質(zhì)；解直角三角形．【分析】（1）分別延長AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，由tanA=，AB=3，BC=2，得到BE=4，EC=2，AE=5，通過等角的余角相等得到∠A=∠ECD，由tanA=，得cosA=，于是得到cos∠ECD==，即問題可得；（2）由（1）可知tan∠ECD=，得到ED=，如圖4，由PQ∥DC，可知△EDC～EPQ，得到比例式，求得PQ=，由S=S﹣S，于是得到y(tǒng)=PQ?EP四邊形PQCD△EPQ△EDC﹣DC?ED=﹣=，于是當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P在M點(diǎn)處，由EC=BC，DC∥PQ，得到DM=ED=，于是結(jié)論可得．【解答】解：（1）如圖（3），分別延長AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，∵tanA=，AB=3，BC=2，∴BE=4，EC=2，AE=5，又∵∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，由tanA=，得cosA=，∴cos∠ECD==，∴CD=；第16頁（共45頁）（2）如圖4，由（1）可知tan∠ECD=，∴ED=，如圖4，由PQ∥DC，可知△EDC～EPQ，∴，∴，即PQ=，∵S=S﹣S，四邊形PQCD△EPQ△EDC∴y=PQ?EP﹣DC?ED=﹣=，∴當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P在M點(diǎn)處，由EC=BC，DC∥PQ，∴DM=ED=，∴自變量x的取值方范圍為：0＜x≤．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．第17頁（共45頁）【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BO=BD，由等量代換推出OE=BD，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD?CE=CD?DE．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵．8．（2015?茂名）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒（0＜t＜），連接MN．（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．第18頁（共45頁）【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【專題】壓軸題；動點(diǎn)型．【分析】（1）根據(jù)題意得出BM，CN，易得BN，BA，分類討論當(dāng)△BMN∽△BAC時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得，解得t；當(dāng)△BMN∽△BCA時(shí)，，解得t，綜上所述，△BMN與△ABC相似，得t的值；（2）過點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D，利用銳角三角函數(shù)易得DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性質(zhì)得，解得t．【解答】解：（1）由題意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），當(dāng)△BMN∽△BAC時(shí)，，∴，解得：t=；當(dāng)△BMN∽△BCA時(shí)，，∴，解得：t=，∴△BMN與△ABC相似時(shí)，t的值為或；（2）過點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D，由題意得：DM=BMsinB=3t=（cm），BD=BMcosB=3t=t（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（8﹣）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵M(jìn)D⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，第19頁（共45頁）∴，∴=，解得t=．【點(diǎn)評】本題主要考查了動點(diǎn)問題，相似三角形的判定及性質(zhì)等，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．9．（2015?廈門）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出=，再根據(jù)AD=3，AB=5，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．【點(diǎn)評】此題考查了平行線分線段成比例定理．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意準(zhǔn)確應(yīng)用平行線分線段成比例定理與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．（2015?杭州）如圖，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）若=，AE=2，求EC的長；（2）設(shè)點(diǎn)F在線段EC上，點(diǎn)G在射線CB上，以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形與△EDC有一個銳角相等，F(xiàn)G交CD于點(diǎn)P．問：線段CP可能是△CFG的高線還是中線？或兩者都有可能？請說明理由．第20頁（共45頁）【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】分類討論．【分析】（1）易證DE∥BC，由平行線分線段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三種情況討論：①若∠CFG=∠ECD，此時(shí)線段CP是△CFG的FG邊上的中線；②若∠CFG=∠EDC，此時(shí)線段CP為△CFG的FG邊上的高線；③當(dāng)CD為∠ACB的平分線時(shí)，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如圖1，若∠CFG=∠ECD，此時(shí)線段CP是△CFG的FG邊上的中線．證明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴線段CP是△CFG的FG邊上的中線；②如圖2，若∠CFG=∠EDC，此時(shí)線段CP為△CFG的FG邊上的高線．證明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴線段CP為△CFG的FG邊上的高線．③如圖3，當(dāng)CD為∠ACB的平分線時(shí)，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線．第21頁（共45頁）【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有關(guān)概念，分類討論，能全面的思考問題是解決問題的關(guān)鍵．11．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延長BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延長線于點(diǎn)E．（1）求證：BD+2DE=BM．（2）如圖2，連接BN交AD于點(diǎn)F，連接MF交BD于點(diǎn)G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）過點(diǎn)M作MP⊥BC交BD的延長線于點(diǎn)P，首先證明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到結(jié)論；（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的長．【解答】（1）證明：過點(diǎn)M作MP⊥BC交BD的延長線于點(diǎn)P，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，第22頁（共45頁）∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形∴BP=BM∴BD+2DE=BM．（2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴設(shè)正方形邊長為a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=．故答案為：．第23頁（共45頁）【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，運(yùn)用三角形相似求出正方形的邊長是解決第2小題的關(guān)鍵．12．（2015?岳陽）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．（1）求證：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結(jié)論；第24頁（共45頁）（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中點(diǎn)，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．13．（2015?淄博）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），平行四邊形AFPE的頂點(diǎn)F，E分別在AB，AC上．已知BC=2，S=1．設(shè)BP=x，平行△ABC四邊形AFPE的面積為y．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）上述函數(shù)有最大值或最小值嗎？若有，則當(dāng)x取何值時(shí)，y有這樣的值，并求出該值；若沒有，請說明理由．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出PF∥CA，證出△BFP∽△BAC，得出面積比等于相2似比的平方，得出S=，同理：S=（），即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；△BFP△PEC（2）由﹣＜0得出y有最大值，把（1）中函數(shù)關(guān)系式化成頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）∵四邊形AFPE是平行四邊形，第25頁（共45頁）∴PF∥CA，∴△BFP∽△BAC，∴=（），2∵S=1，△ABC∴S=，△BFP2同理：S=（），△PEC∴y=1﹣﹣，∴y=﹣+x；（2）上述函數(shù)有最大值，最大值為；理由如下：2∵y=﹣+x=﹣（x﹣1）+，﹣＜0，∴y有最大值，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，最大值為．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似得出關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．14．（2015?大連）在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如圖1，當(dāng)DE=DF時(shí)，圖1中是否存在與AB相等的線段？若存在，請找出，并加以證明；若不存在，說明理由；（2）如圖2，當(dāng)DE=kDF（其中0＜k＜1）時(shí)，若∠A=90°，AF=m，求BD的長（用含k，m的式子表示）．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】（1）如圖1，連結(jié)AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由第26頁（共45頁）∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，則∠AEB=∠DEF=∠BAE，根據(jù)等角對等邊得出AB=BE；（2）如圖2，連結(jié)AE．由A、D、E、F四點(diǎn)共圓，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再證明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后將AF=m，DE=kDF代入，計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）如圖1，連結(jié)AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如圖2，連結(jié)AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE與△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，第27頁（共45頁）∴==，∴BD=．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，勾股定理等知識，有一定難度．連結(jié)AE，證明A、D、E、F四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵．15．（2015?湘潭）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處．（1）求證：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B證明三角形相似即可；（2）由折疊的性質(zhì)知CD=DE，AC=AE．根據(jù)題意在Rt△BDE中運(yùn)用勾股定理求DE，進(jìn)而得出AD即可．【解答】證明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB=10．由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，222DE+BE=BD，222即CD+4=（8﹣CD），解得：CD=3，第28頁（共45頁）222在Rt△ACD中，由勾股定理得AC+CD=AD，222即3+6=AD，解得：AD=．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；2、勾股定理求解．16．（2015?撫順）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點(diǎn)B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E，連接AE．（1）如圖①，當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，求證：AD=DE；（2）如圖②，當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由；（3）當(dāng)∠ABC=α?xí)r，請直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系．（用含α的三角函數(shù)表示）【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】（1）首先過點(diǎn)D作DF⊥BC，交AB于點(diǎn)F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先過點(diǎn)D作DG⊥BC，交AB于點(diǎn)G，進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先過點(diǎn)D作DG⊥BC，交AB于點(diǎn)G，進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥BC，交AB于點(diǎn)F，則∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵M(jìn)N∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，第29頁（共45頁）∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG⊥BC，交AB于點(diǎn)G，則∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵M(jìn)N∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE?tanα；理由：如圖2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，則=tanα，∴AD=DE?tanα．第30頁（共45頁）【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△EBD∽△AGD是解題關(guān)鍵．17．（2015?威海）（1）如圖1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的長．（2）如圖2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【分析】（1）連接BE，證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；（2）連接BE，證明△ACD∽△BCE，得到==，求出BE的長，得到AD的長．【解答】解：（1）如圖1，連接BE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵AC=BC，DC=EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，第31頁（共45頁）∵AC=BC=6，∴AB=6，∵∠BAC=∠CAE=45°，∴∠BAE=90°，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，∴BE=9，∴AD=9；（2）如圖2，連接BE，在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，tan30°==，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴==，∵∠BAC=60°，∠CAE=30°，∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8，∴BE=10，∴AD=．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵，正確作出輔助線是重點(diǎn)．18．（2015?赤峰）如圖，直線y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸，點(diǎn)P是x軸下方直線CD上的一點(diǎn)，且△OCP與△OBC相似，求過點(diǎn)P的雙曲線解析式．第32頁（共45頁）【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．【分析】由直線y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點(diǎn)，易得OC=2，OB=4，再分兩種情況①當(dāng)∠OBC=∠COP時(shí)，△OCP與△OBC相似，②當(dāng)∠OBC=∠CPO時(shí)，△OCP與△OBC相似分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出過點(diǎn)P的雙曲線解析式．【解答】解：∵直線y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點(diǎn)，∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，①如圖1，當(dāng)∠OBC=∠COP時(shí)，△OCP∽△BOC，∴=，即=，解得CP=1，∴P（2，﹣1），設(shè)過點(diǎn)P的雙曲線解析式y(tǒng)=，把P點(diǎn)代入解得k=﹣2，∴過點(diǎn)P的雙曲線解析式y(tǒng)=﹣，②如圖2，當(dāng)∠OBC=∠CPO時(shí)，△OCP∽△COB，第33頁（共45頁）在△OCP和△COB中，∴△OCP≌△COB（AAS）∴CP=BO=4，∴P（2，﹣4）設(shè)過點(diǎn)P的雙曲線解析式y(tǒng)=，把P點(diǎn)代入得﹣4=，解得k=﹣8，∴過點(diǎn)P的雙曲線解析式y(tǒng)=．綜上可得，過點(diǎn)P的雙曲線的解析式為y=﹣或y=．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)求反比例函數(shù)，解題的關(guān)鍵是分兩種情況正確畫出圖形．19．（2015?連云港）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長線上一點(diǎn)，AC=3CD，過點(diǎn)D作DH∥AB，交BC的延長線于點(diǎn)H．（1）求BD?cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【分析】（1）首先根據(jù)DH∥AB，判斷出△ABC∽△DHC，即可判斷出=3；然后求出BH的值是多少，再根據(jù)在Rt△BHD中，cos∠HBD=，求出BD?cos∠HBD的值是多少即可．第34頁（共45頁）（2）首先判斷出△ABC∽△BHD，推得；然后根據(jù)△ABC∽△DHC，推得，所以AB=3DH；最后根據(jù)，求出DH的值是多少，進(jìn)而求出AB的值是多少即可．【解答】解：（1）∵DH∥AB，∴∠BHD=∠ABC=90°，∴△ABC∽△DHC，∴=3，∴CH=1，BH=BC+CH，在Rt△BHD中，cos∠HBD=，∴BD?cos∠HBD=BH=4．（2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴，∵△ABC∽△DHC，∴，∴AB=3DH，∴，解得DH=2，∴AB=3DH=3×2=6，即AB的長是6．【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時(shí)可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．（2）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．20．（2015?泰安）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD=∠B．（1）求證：AC?CD=CP?BP；（2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．第35頁（共45頁）【分析】（1）易證∠APD=∠B=∠C，從而可證到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB?CD=CP?BP，由AB=AC即可得到AC?CD=CP?BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，從而可證到△BAP∽△BCA，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可求出BP的長．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB?CD=CP?BP．∵AB=AC，∴AC?CD=CP?BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識，把證明AC?CD=CP?BP轉(zhuǎn)化為證明AB?CD=CP?BP是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到∠BAP=∠C進(jìn)而得到△BAP∽△BCA是解決第（2）小題的關(guān)鍵．21．（2015?武漢）已知銳角△ABC中，邊BC長為12，高AD長為8．（1）如圖，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K．①求的值；②設(shè)EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的兩個頂點(diǎn)在△ABC一邊上，另兩個頂點(diǎn)分別在△ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長．第36頁（共45頁）【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】（1）①根據(jù)EF∥BC，可得，所以，據(jù)此求出的值是多少即可．②首先根據(jù)EH=x，求出AK=8﹣x，再根據(jù)=，求出EF的值；然后根據(jù)矩形的面積公式，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．（2）根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊長為a，分兩種情況：①當(dāng)正方形PQMN的兩個頂點(diǎn)在BC邊上時(shí)；②當(dāng)正方形PQMN的兩個頂點(diǎn)在AB或AC邊上時(shí)；分類討論，求出正方形PQMN的邊長各是多少即可．【解答】解：（1）①∵EF∥BC，∴，∴=，即的值是．②∵EH=x，∴KD=EH=x，AK=8﹣x，∵=，∴EF=，∴S=EH?EF=x（8﹣x）=﹣+24，∴當(dāng)x=4時(shí)，S的最大值是24．（2）設(shè)正方形的邊長為a，①當(dāng)正方形PQMN的兩個頂點(diǎn)在BC邊上時(shí)，，解得a=．②當(dāng)正方形PQMN的兩個頂點(diǎn)在AB或AC邊上時(shí)，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12÷2=6，第37頁（共45頁）∴AB=AC=，∴AB或AC邊上的高等于：AD?BC÷AB=8×12÷10=∴，解得a=．綜上，可得正方形PQMN的邊長是或．【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在判定兩個三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．（2）此題還考查了二次函數(shù)的最值的求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．（3）此題還考查了矩形、正方形、直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．22．（2015?邵陽）如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度．【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意可得：△DEF∽△DCA，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出AC的長，即可得出答案．【解答】解：由題意可得：△DEF∽△DCA，則=，第38頁（共45頁）∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），答：旗桿的高度為11.5m．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，得出△DEF∽△DCA是解題關(guān)鍵．23．（2015?陜西）晚飯后，小聰和小軍在社區(qū)廣場散步，小聰問小軍：“你有多高？”小軍一時(shí)語塞．小聰思考片刻，提議用廣場照明燈下的影長及地磚長來測量小軍的身高．于是，兩人在燈下沿直線NQ移動，如圖，當(dāng)小聰正好站在廣場的A點(diǎn)（距N點(diǎn)5塊地磚長）時(shí)，其影長AD恰好為1塊地磚長；當(dāng)小軍正好站在廣場的B點(diǎn)（距N點(diǎn)9塊地磚長）時(shí)，其影長BF恰好為2塊地磚長．已知廣場地面由邊長為0.8米的正方形地磚鋪成，小聰?shù)纳砀逜C為1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．請你根據(jù)以上信息，求出小軍身高BE的長．（結(jié)果精確到0.01米）【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【分析】先證明△CAD～△MND，利用相似三角形的性質(zhì)求得MN=9.6，再證明△EFB～△MFN，即可解答．【解答】解：由題意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=MDN，∴△CAD～△MND，∴，∴，∴MN=9.6，又∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN，∴△EFB～△MFN，∴，∴∴EB≈1.75，∴小軍身高約為1.75米．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是相似三角形的判定．第39頁（共45頁）24．（2015?崇左）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上．（1）求證：△AEF∽△ABC；（2）求這個正方形零件的邊長；（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問這個矩形的最大面積是多少？【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用．【專題】壓軸題．【分析】（1）根據(jù)矩形的對邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．（2）根據(jù)正方形邊的平行關(guān)系，得出對應(yīng)的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD，從而得出邊長之比，，得到，進(jìn)而求出正方形的邊長；（3）分別討論長方形的長和寬在BC上的情況，再根據(jù)相應(yīng)得關(guān)系式得出所求．【解答】解：（1）∵四邊形EGFH為矩形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）設(shè)正方形零件的邊長為a在正方形EFGH中，EF∥BC，EG∥AD∴△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD∴，，∴，即：解得：a=48即：正方形零件的邊長為48；（3）設(shè)長方形的長為x，寬為y，當(dāng)長方形的長在BC時(shí)，由（1）知：，∵，∴當(dāng)，即x=60，y=40，xy最大為2400第40頁（共45頁）當(dāng)長方形的寬在BC時(shí)，，∵，∴當(dāng)，即x=40，y=60，xy最大為2400，又∵x≥y，所以長方形的寬在BC時(shí)，面積＜2400綜上，長方形的面積最大為2400．【點(diǎn)評】本題考查了正方形以及矩形的性質(zhì)，結(jié)合了平行線的比例關(guān)系求解，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用．25．（2015?湖州模擬）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，，連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)；平行線分線段成比例．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得，根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．【解答】（1）證明：∵ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴，第41頁（共45頁）又∵DF=DC，正方形的邊長為4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．26．（2015?鎮(zhèn)江）某興趣小組開展課外活動．如圖，A，B兩地相距12米，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向勻速前進(jìn)，2秒后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)他（CD）在某一燈光下的影長為AD，繼續(xù)按原速行走2秒到達(dá)點(diǎn)F，此時(shí)他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到