2025屆遼寧省凌源市教育局高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2025屆遼寧省凌源市教育局高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．362．當輸入的實數(shù)時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．3．若函數(shù)滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．3 C． D．45．閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25，那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是（）A． B． C． D．6．若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．8．設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．9．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則10．已知，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點，則正實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．3312．拋物線的焦點為，點是上一點，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，則a1=_____，a1+a2+…+a5=____14．展開式中的系數(shù)為_______________．15．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值為.16．若函數(shù)(a＞0且a≠1)在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，則a的取值范圍是_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.18．（12分）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.19．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式：；（2）求證：．20．（12分）某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區(qū)，如圖，已知兩個購物廣場的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.（1）設(shè)，用關(guān)于的函數(shù)表示，并求在區(qū)間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；（2）如果，并且，試分別求出、、、的值.21．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)點，直線與曲線相交于，，求的值．22．（10分）已知，函數(shù)的最小值為1．（1）證明：．（2）若恒成立，求實數(shù)的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進而代入等差數(shù)列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項和.2、A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由推導出，且，將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.，由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，當時，取得最小值.故選：A.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應用，考查計算能力，屬于中等題.4、C【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，由柱體、椎體的體積公式進一步求出幾何體的體積.【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，如圖所示：故：.故選：C.【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計算可得輸出為25時的值，進而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，則，，，，，此時輸出，因而不符合條件框的內(nèi)容，但符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項可知C為正確選項，故選：C.【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，即可得到結(jié)論．解：不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0，]成立，等價于a≥-x-對于一切成立，∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點：不等式的應用點評：本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題7、D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，復雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實現(xiàn).8、B【解析】

求出在的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當時，，，，又，所以至少小于7，此時，令，得，解得或，結(jié)合圖象，故.故選：B.【點睛】本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.9、C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】對于，當為內(nèi)與垂直的直線時，不滿足，錯誤；對于，設(shè)，則當為內(nèi)與平行的直線時，，但，錯誤；對于，由，知：，又，，正確；對于，設(shè)，則當為內(nèi)與平行的直線時，，錯誤.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析，考查學生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點即為三個最值點，解出，，再建立不等式求出的范圍，進而求得的范圍.【詳解】解：令，解得對稱軸，，又函數(shù)在區(qū)間恰有個極值點，只需解得．故選：．【點睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.11、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、80211【解析】

由，利用二項式定理即可得，分別令、后，作差即可得.【詳解】由題意，則，令，得，令，得，故.故答案為：80，211.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，屬于中檔題.14、【解析】

把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數(shù)．【詳解】解：，故它的展開式中的系數(shù)為，故答案為：．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15、.【解析】.16、(1，)【解析】

在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2]，等價轉(zhuǎn)化為與的圖像在(1，)上恰有兩個交點，考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【詳解】由題意知：與的圖像在(1，)上恰有兩個交點考查臨界情形：與切于，．故答案為：.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，把已知條件進行等價轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點，等價研究的零點，先求導數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當時，，沒有零點；當時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當時，等價于．設(shè)函數(shù)，則．當時，，所以在單調(diào)遞減．而，故當時，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.18、橫線處任填一個都可以，面積為．【解析】

無論選哪一個，都先由正弦定理化邊為角后，由誘導公式，展開后，可求得角，再由余弦定理求得，從而易求得三角形面積．【詳解】在橫線上填寫“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，則這與矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因為，所以.從而有.又，所以由余弦定理及，得即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.將代入，解得.所以.【點睛】本題考查三角形面積公式，考查正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式等，正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換，求三角形面積時，①若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積；②若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）代入得，分類討論，解不等式即可；（2）利用絕對值不等式得性質(zhì)，，，比較大小即可.【詳解】（1）由于，于是原不等式化為，若，則，解得；若，則，解得；若，則，解得．綜上所述，不等式解集為．（2）由已知條件，對于，可得．又，由于，所以．又由于，于是．所以．【點睛】本題考查了絕對值不等式得求解和恒成立問題，考查了學生分類討論，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算能力，屬于中檔題.20、（1），最大值公頃；（2）17、25、5、5.【解析】

（1）由余弦定理求出三角形ABC的邊長BC，進而可以求出，，由面積公式求出，，即可求出，并求出最值；（2）由（1）知，，，即可求出、，再算出，代入（1）中表達式求出，。【詳解】（1）由余弦定理得，，所以，，同理可得又，所以，故在區(qū)間上的最大值為，近似值為。（2）由（1）知，，，所以，進而，由知，，，故、、、的值分別是17、25、5、5。【點睛】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應用，意在考查學生的數(shù)學建模以及數(shù)學運算能力。21、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由（為參數(shù)）直接消去參數(shù)，可得直線的普通方程，把兩邊同時乘以，結(jié)合，可得曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）把代入，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得．∵，∴，即．∴曲線的直角坐標方程為；（Ⅱ）把