甘肅省會(huì)寧縣2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

甘肅省會(huì)寧縣2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分開(kāi)來(lái)，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件類產(chǎn)品或者檢測(cè)出3件類產(chǎn)品時(shí)，檢測(cè)結(jié)束，則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)?緊跟時(shí)代脈搏的熱門(mén)?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項(xiàng)答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，“閱讀文章”不能放首位，四個(gè)答題板塊中有且僅有三個(gè)答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4325．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入，，則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是（）A． B． C． D．6．在中，為中點(diǎn)，且，若，則（）A． B． C． D．7．一小商販準(zhǔn)備用元錢(qián)在一批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種小商品，甲每件進(jìn)價(jià)元，乙每件進(jìn)價(jià)元，甲商品每賣(mài)出去件可賺元，乙商品每賣(mài)出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件8．若函數(shù)，在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，，均存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．在中，分別為所對(duì)的邊，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則的范圍是（）A． B．C． D．10．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．11．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．6312．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，為測(cè)量出高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得．已知山高，則山高_(dá)_________．14．我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》提出了“三斜求積術(shù)”．他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜．三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)數(shù)，相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實(shí)”，1作為“隅”，開(kāi)平方后即得面積．所謂“實(shí)”、“隅”指的是在方程中，p為“隅”，q為“實(shí)”．即若的大斜、中斜、小斜分別為a，b，c，則.已知點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，，，，，則的面積為_(kāi)_______．15．在中，內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，已知，且，則_________．16．已知，滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.18．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（2）記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上不同兩點(diǎn)，如果在曲線上存在點(diǎn)，使得①；②曲線在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若滿足，，，求.21．（12分）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.22．（10分）設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：f（x）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率，不放回情況下第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率，即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件，類產(chǎn)品共三件，則第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；不放回情況下，剩余4件產(chǎn)品，則第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；故第一次檢測(cè)出類產(chǎn)品，第二次檢測(cè)出類產(chǎn)品的概率為；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，古典概型概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),，，即函數(shù)為減函數(shù),,，則不等式等價(jià)為，則不等式的解集為,即的解為，，由得或，解得或,故不等式的解集為.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,是難題.3、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn)，構(gòu)造新的函數(shù)，將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)圖象，再結(jié)合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡(jiǎn)得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法，求得范圍.屬于中檔題.4、C【解析】

四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問(wèn)題．對(duì)相鄰問(wèn)題用捆綁法，不相鄰問(wèn)題用插入法是解決這類問(wèn)題的常用方法．5、B【解析】

先明確該程序框圖的功能是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計(jì)算，中的最大公約數(shù)，所以，，，故當(dāng)輸入，，則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是57.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的功能，做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎(chǔ)題.6、B【解析】

選取向量，為基底，由向量線性運(yùn)算，求出，即可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別，利潤(rùn)為元，由題意，畫(huà)出可行域如圖所示，顯然當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，最大.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，解決此類問(wèn)題要注意判斷，是否是整數(shù)，是否是非負(fù)數(shù)，并準(zhǔn)確的畫(huà)出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.8、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?，，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，，均存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當(dāng)、時(shí)，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題的求解，屬于中檔題.9、D【解析】試題分析：由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn)：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根，從而可得.10、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算，并計(jì)算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)?，所以z的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念，計(jì)算過(guò)程要注意.11、D【解析】

根據(jù)，得到，即，由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列，然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)?，所以?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12、C【解析】

函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為1．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用．14、.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.【詳解】，所以，由余弦定理可知，得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和計(jì)算整理能力,難度較易.15、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：，即∵∴∵∴故答案為416、2【解析】

作出可行域，平移基準(zhǔn)直線到處，求得的最小值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準(zhǔn)直線到處時(shí)，取得最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)可知有兩個(gè)不等實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，求得；討論和兩種情況，即可確定零點(diǎn)的情況，即可由零點(diǎn)的情況確定的取值范圍；（2）根據(jù)極值點(diǎn)定義可知，，代入不等式化簡(jiǎn)變形后可知只需證明；構(gòu)造函數(shù)，并求得，進(jìn)而判斷的單調(diào)區(qū)間，由題意可知，并設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，并求得，即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而可得，即可由函數(shù)性質(zhì)得，進(jìn)而由單調(diào)性證明，即證明，從而證明原不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)則，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)，所以.①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.②當(dāng)時(shí)，令得，0減極小值增所以，即.又因?yàn)椋?，所以在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）證明：由題意知，，所以，.要證明，只需證明，只需證明.因?yàn)?，，所?設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).因?yàn)?，不妨設(shè)，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以，即.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，，且在上是減函數(shù)，所以，即，所以原命題成立，得證.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)證明不等式，構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，極值點(diǎn)偏移證明不等式成立的應(yīng)用，是高考的常考點(diǎn)和熱點(diǎn)，屬于難題.18、（1）見(jiàn)解析（2）不存在，見(jiàn)解析【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，再令，轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，即可說(shuō)明.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增②，顯然無(wú)增區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，綜上當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”設(shè)是曲線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，.令，則，單調(diào)遞增，，故無(wú)解，假設(shè)不成立綜上，假設(shè)不成立，所以不存在“中值相依切線”【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為（為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程整理得，所以，..【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：主要考查極坐標(biāo)，參數(shù)方程與普通方程互化，及求三角形面積．需要熟記極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的公式，及與解析幾何相關(guān)的直線與曲線位置關(guān)系的一些解題思路．20、（1）；（2）【解析】

（1）化簡(jiǎn)得到，取，解得答案.（2），解得，根據(jù)余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.【詳解】（1）.取，解得.（2）,因?yàn)?，故?根據(jù)余弦定理：，..【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，余弦定理，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.21、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，得到，再結(jié)合題干所給數(shù)據(jù)得到公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用放縮法證明不等式即可；【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，放縮法證明數(shù)列不等式，屬于中檔題.22、（1）a＝1；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意可得|x﹣a|≥4x，