專題31 圓的基本性質(zhì)【二十個(gè)題型】（舉一反三）（原卷版）

專題31圓的基本性質(zhì)【二十個(gè)題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算】 1【題型2圓中的角度、線段長(zhǎng)度計(jì)算】 3【題型3求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值】 5【題型4利用垂徑定理結(jié)合全等、相似綜合求解】 6【題型5在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)】 7【題型6垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】 8【題型7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 10【題型8利用垂徑定理求取值范圍】 12【題型9利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度、線段長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積、弧的度數(shù)】 13【題型10利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小】 14【題型11利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值】 15【題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明】 16【題型13利用圓周角定理求解】 18【題型14利用圓內(nèi)接四邊形求角度】 19【題型15利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題】 21【題型16利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題】 22【題型17利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】 24【題型18利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題】 25【題型19圓有關(guān)的常見輔助線-遇到弦時(shí),常添加弦心距】 27【題型20圓有關(guān)的常見輔助線-遇到有直徑時(shí),常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角】 28【知識(shí)點(diǎn)圓的基本性質(zhì)】1.圓在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑，以點(diǎn)O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。小于半圓的弧叫做劣弧。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。在同圓或等圓中，能重合的弧叫等弧。2.垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。幌业拇怪逼椒志€過圓心，且平分弦對(duì)的兩條?。?.弧.弦.圓心角之間的關(guān)系定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等。注：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弦，兩條弧.兩個(gè)弦的弦心距中，有一組量相等，那么其余各組量也分別相等4.圓周角定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)?！绢}型1圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算】【例1】（2023·福建泉州·南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）適時(shí)的休閑可以緩解學(xué)習(xí)壓力，如圖是火影忍者中的仙法·白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個(gè)同心圓，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周圍圓環(huán)面積約為（

）

A．40000π B．1600π C．64000π D．160000π【變式1-1】（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形ABCD的面積為2，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A′B′C′D′

【變式1-2】（2023·山東濰坊·中考真題）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A′B′C′D′【變式1-3】（2023·湖北武漢·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)較大的圓內(nèi)有15個(gè)半徑為1的小圓，所有的交點(diǎn)都為切點(diǎn)，圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為（）A．22+1633π B．20+1633π【題型2圓中的角度、線段長(zhǎng)度計(jì)算】【例2】（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為4正方形ABCD中，點(diǎn)E在以B為圓心的弧AC上，射線DE交AB于F，連接CE，若CE⊥DF，則DE=（）．

A．2 B．455 C．65【變式2-1】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，C是AB上一點(diǎn)，OA⊥OB，過點(diǎn)C作弦CD交OB于E，若OA=DE，則∠C與∠AOC滿足的數(shù)量關(guān)系是（

）

A．∠C=13∠AOC B．∠C=12∠AOC【變式2-2】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點(diǎn)E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BC的長(zhǎng)為（

A．403 B．8 C．245【變式2-3】（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，分別以O(shè)、P為圓心，大于12OP長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，直線MN交OP于點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，以O(shè)C長(zhǎng)為半徑作圓弧，交⊙O于點(diǎn)A，連接PA交MN于點(diǎn)B，連接OA、OB．若∠P=26°，則A．26° B．38° C．52° D．64°【題型3求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值】【例3】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【變式3-1】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，E為AC邊上的任意一點(diǎn)，把△BCE沿BE折疊，得到△BFE，連接AF．若BC=6,AC=8，則AF的最小值為【變式3-2】（2023·湖南永州·?？既＃┪覀冎?，兩點(diǎn)之間線段最短，因此，連接兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離；同理，連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．類似地，連接曲線外一點(diǎn)與曲線上各點(diǎn)的所有線段中，最短線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到曲線的距離．依此定義，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,1到以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的最短距離為．最長(zhǎng)距離為

【變式3-3】（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，正方形CDEF的邊長(zhǎng)為1，將正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，連接AG，則線段AG的取值范圍是

【題型4利用垂徑定理結(jié)合全等、相似綜合求解】【例4】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以直角邊BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD，∠CAB的角平分線交CD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)P．

(1)求證：AEAF(2)若tan∠CAB=43，求(3)連接PC、PB，若∠ABC=30°，AB=23，求△PCF的面積．【變式4-1】（2023·江蘇泰州·二模）如圖，在⊙O中，弦AD、BC相交于點(diǎn)E，連接OE，已知

(1)求證：BE=DE；(2)如果⊙O的半徑為5，AD⊥CB,DE=1，求AE的長(zhǎng)．【變式4-2】（2023·陜西西安·高新一中校考一模）如圖，AB是的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1=∠C．(1)求證：CB∥PD；(2)若BC=3，∠C=30°，求⊙O的直徑．【變式4-3】（2023·云南德宏·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是⊙O上一點(diǎn)，且AC=CF，連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)D交AB于點(diǎn)

(1)若AE=1，CD=6，求⊙O的半徑；(2)連接FC并延長(zhǎng)，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：ON?OP=OE?OM．【題型5在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)】【例5】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點(diǎn)A，與y軸分別交點(diǎn)為B，C，圓心M的坐標(biāo)是4,5，則弦BC的長(zhǎng)度為．【變式5-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?34x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O及A、B

(1)求⊙M的半徑；(2)點(diǎn)C為弧OA上的一點(diǎn)，且滿足∠COA=∠CBO，求C點(diǎn)坐標(biāo)．(3)直線y=x與⊙M交于點(diǎn)O、N兩點(diǎn)，求線段ON的長(zhǎng)．【變式5-2】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(3,a)a>3，半徑為3，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為42，則a的值是【變式5-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙C

(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)試確定經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線解析式；(3)在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型6垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】【例6】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)D均在格點(diǎn)上，并且在同一個(gè)圓上，取格點(diǎn)M，連接AM并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C，連接AD．

（1）AM=；（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出線段AP，使AP平分∠CAD，且點(diǎn)P在圓上，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）．【變式6-1】（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，M均為格點(diǎn)，以格點(diǎn)O為圓心，AB為直徑作圓，點(diǎn)M在圓上．

（Ⅰ）線段AB的長(zhǎng)等于；（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在BM上找出一點(diǎn)P，使PM=AM【變式6-2】（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖所示，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A，B，C，CE的延長(zhǎng)線經(jīng)過格點(diǎn)D，則弧AE的長(zhǎng)為（

）

A．3π4 B．π2 C．5π8【變式6-3】（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均為格點(diǎn)，且點(diǎn)A，B在圓上．（1）線段AC的長(zhǎng)等于；（2）過點(diǎn)D作DF∥AC，直線DF與圓交于點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在N的左側(cè)），畫出MN的中點(diǎn)P，簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）【題型7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問題情境：筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)t=0時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)∠AOM=30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)，2≈1.414

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，∠BOM的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）【變式7-1】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞.如圖，某地園林中的一個(gè)圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，求該門洞的半徑【變式7-2】（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）在一次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)課上，吳老師制作了一張簡(jiǎn)易的海域安全監(jiān)測(cè)平面圖，在圖中標(biāo)明了三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位置坐標(biāo)O0，0，A

(1)某天海面上出現(xiàn)可疑船只C，在監(jiān)測(cè)點(diǎn)A測(cè)得C位于南偏東45°，同時(shí)在監(jiān)測(cè)點(diǎn)O測(cè)得C位于南偏東60°，求監(jiān)測(cè)點(diǎn)O到C船的距離．（結(jié)果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3≈1.7，(2)當(dāng)可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行時(shí)，是否會(huì)闖入安全警戒區(qū)域？請(qǐng)通過計(jì)算作答．【變式7-3】（2023·廣東佛山·校考三模）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運(yùn)輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國(guó)橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．(1)某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，則這條橋主橋拱的半徑是______(2)某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MN=10m，拱頂P（拋物線頂點(diǎn)）距離水面4(3)如圖③，某時(shí)橋A和橋B的橋下水位均上升了2m【題型8利用垂徑定理求取值范圍】【例8】（2023·浙江寧波·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OE=AE=2，F(xiàn)為BD上一點(diǎn)，CF與AB交于點(diǎn)G，若FG>CG，則BF的長(zhǎng)的范圍為(

)

A．4<BF<42 B．C．42<BF<43【變式8-1】（2023·四川綿陽·二模）已知⊙O的弦AB=1.6，優(yōu)弧上的點(diǎn)到AB的最大距離為1.6，直線l⊥AB，若⊙O上有4個(gè)不同的點(diǎn)到l的距離等于0.4，則點(diǎn)O到l的距離d的范圍為．【變式8-2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP的長(zhǎng)度范圍是（A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤5【變式8-3】（2023·廣東廣州·華南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=34x?6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，若△CDE面積為S，則S的范圍是【題型9利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度、線段長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積、弧的度數(shù)】【例9】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊△ABC；分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作BC，AC，AB，三條弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．如果AB=3，那么這個(gè)曲邊三角形的周長(zhǎng)是（）．A．π B．2π C．92π D．【變式9-1】（2023·江蘇泰州·二模）如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條直徑，且∠AOC=50°，過點(diǎn)A作AE∥CD交⊙O于點(diǎn)E，則弧AE的度數(shù)為

【變式9-2】（2023·上海寶山·一模）如圖，已知圓O的弦AB與直徑CD交于點(diǎn)E，且CD平分AB．(1)已知AB=6，EC=2，求圓O的半徑；(2)如果DE=3EC，求弦AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)．【變式9-3】（2023·安徽合肥·一模）圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)所組成的圖形．

(1)已知：如圖1，OA=OB=OC，請(qǐng)利用圓規(guī)畫出過A、B、C三點(diǎn)的圓．若∠AOB=70°，則∠ACB=______．(2)已知，如圖2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，將AC沿BA方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A、P、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F(3)如圖3，將AC邊沿BC方向平移a個(gè)單位至DF，是否存在這樣的a，使得直線DF上有一點(diǎn)Q，滿足∠BQA=45°且此時(shí)四邊形BADF的面積最大？若存在，求出四邊形BADF面積的最大值及平移距離a，若不存在，說明理由．【題型10利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小】【例10】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P1~P8是⊙O的八等分點(diǎn)．若△P1P3P

A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)=b C．a(chǎn)>b D．a(chǎn)，b大小無法比較【變式10-1】（2023·甘肅平?jīng)觥と＃┤鐖D，在⊙O中，AB?=BC?=CD?，連接AC，CDA．AC=2CD B．AC<2CDC．AC>2CD D．無法比較【變式10-2】（2023·甘肅平?jīng)觥ざ＃┤鐖D所示，在⊙O中，AB=2CD，那么（A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．無法比較【變式10-3】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C、D是AB上兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥OC交OB于E點(diǎn)，在OD上取點(diǎn)F，使OF=DE，連接CF并延長(zhǎng)交OB于(1)求證：△OCF≌△DOE；(2)若C、D是AB的三等分點(diǎn)，OA=23①求∠OGC；②請(qǐng)比較GE和BE的大?。绢}型11利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值】【例11】（2023·江蘇泰州·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，C為AB的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦AP的中點(diǎn)D，則線段CD的最大值為（

）

A．2 B．7 C．23 D．【變式11-1】（2023·江蘇泰州·一模）如圖，CD是⊙O的直徑，CD=8，∠ACD=20°，點(diǎn)B為弧AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為．

【變式11-2】（2023·河南焦作·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為半徑OC，OB上的動(dòng)點(diǎn)．若OB＝2，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為．【變式11-3】（2023·河南·三模）圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)所組成的圖形．

(1)已知：如圖1，OA=OB=OC，請(qǐng)利用圓規(guī)畫出過A、B、C三點(diǎn)的圓．若∠AOB=70°，則∠ACB=______．(2)已知，如圖2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，將AC沿BA方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A、P、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F(3)如圖3，將AC邊沿BC方向平移a個(gè)單位至DF，是否存在這樣的a，使得直線DF上有一點(diǎn)Q，滿足∠BQA=45°且此時(shí)四邊形BADF的面積最大？若存在，求出四邊形BADF面積的最大值及平移距離a，若不存在，說明理由．【題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明】【例12】（2023·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1，圓O中，AB為弦，C為弧AB中點(diǎn)，連接OC交AB于D．

(1)求證：OC⊥AB；(2)如圖2，弦EF∥弦GH，連接EG、FH，求證：EG=FH(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BC、FG，若FG平分∠EFH,OD=3,GH=10，BC=25，求．【變式12-1】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)A，C及AB的中點(diǎn)D，且D是AC的中點(diǎn)．

(1)求證：△ABC是直角三角形；(2)若⊙O的半徑為1，求AB【變式12-2】（2023·廣東江門·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，BC是直徑，∠ABC的角平分線BD與⊙O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)M，且BM=MD，連接OD，交AC于點(diǎn)N．(1)證明：OD⊥AC；(2)試猜想AB與OD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式12-3】（2023·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，AB為⊙O直徑，點(diǎn)E是弦AC中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，

(1)求證：AD=(2)如圖2，連接BD交AC于點(diǎn)F，求證：DE(3)如圖3，在（2）條件下，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)G，連接GF，若∠DFG=45°，AG=2CF=4，求【題型13利用圓周角定理求解】【例13】（2023·湖北武漢·校考一模）如圖，BC是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，A為CBD的中點(diǎn)，AE⊥BC于H并交⊙O于點(diǎn)E，若CD=3DF，AC=4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（

）

A．52 B．81313 C．4【變式13-1】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，直徑AB=4，弦CD=2，連接AD，BC相交于點(diǎn)E，則∠AEC的度數(shù)是【變式13-2】（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE切⊙O于點(diǎn)A，AE與直徑BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．(1)如圖①，若∠C＝71°，求∠E的大??；(2)如圖②，當(dāng)AE＝AB，DE＝2時(shí)，求∠E的大小和⊙O的半徑．【變式13-3】（2023·廣東河源·三模）【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目：如圖①，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A3,0．動(dòng)點(diǎn)B在⊙O上，連接AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時(shí)針順序），求OC【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接OB，以O(shè)B為邊在OB的左側(cè)作等邊△BOE，連接AE．（1）請(qǐng)你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；（2）線段OC的最大值為．【靈活運(yùn)用】（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為5,0，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【遷移拓展】（4）如圖③，BC=43，點(diǎn)D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊作等邊△ABD，請(qǐng)直接寫出AC【題型14利用圓內(nèi)接四邊形求角度】【例14】（2023·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，若∠AOB=70°，則∠APB的度數(shù)為（

）A．110° B．145° C．135° D．160°【變式14-1】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE，OD，若AE∥OD，且AE=OD，則∠BCD的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．110°【變式14-2】（2023·江西九江·校考二模）如圖，直線AB，AD與⊙O分別相切于點(diǎn)B，D，C為⊙O上一點(diǎn)，且∠BCD=125°，則∠A的度數(shù)是．

【變式14-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，BC=CD=AD，則∠C的大小為．

【題型15利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題】【例15】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D．再將BD沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若BE=DE，設(shè)∠ABC=α，則A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°【變式15-1】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于點(diǎn)D，連接CD，若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC=25°，則∠DCA=．【變式15-2】（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？级＃┤鐖D，E為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)（不與C、D重合），將△BCE沿直線BE翻折到△BFE，延長(zhǎng)EF交AE于點(diǎn)G，點(diǎn)O是過B、E、G三點(diǎn)的圓劣弧EG上一點(diǎn)，則∠EOG＝°．

【變式15-3】（2023·安徽淮南·校聯(lián)考一模）如圖，已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)．(1)如圖①，將AC沿弦AC翻折，交AB于D，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=23，則⊙O的半徑為(2)如圖②，將BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直徑AB翻折，交BC于點(diǎn)E．（Ⅰ）若點(diǎn)E恰好是翻折后的BD的中點(diǎn)，則∠B的度數(shù)為；（Ⅱ）如圖③，連接DE，若AB=10，OD=1，求線段DE的長(zhǎng)．【題型16利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題】【例16】（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C在半⊙O上，AB=213cm，AC=6cm．D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，

A．13?2 B．13 C．3 【變式16-1】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）嘉嘉與淇淇在討論下面的問題：如圖，Rt△ABC中，AB=60，AC=45，∠BAC=90°．D，E分別是AC，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，DE=52，以DE為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ

嘉嘉：當(dāng)點(diǎn)D，E分別在AC，AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)О到點(diǎn)A的距離為定值；淇淇：當(dāng)PQ為圓О的直徑時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)最大．關(guān)于上述問題及兩人的討論，下列說法正確的是（

）A．兩人的說法都正確，線段PQ的最大值為52B．嘉嘉的說法正確，淇淇的說法有問題，線段PQ長(zhǎng)度的最大值為48C．淇淇的說法有問題，當(dāng)DE∥BC時(shí)，線段D．這道題目有問題，PQ的長(zhǎng)度只有最小值，沒有最大值【變式16-2】（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長(zhǎng)的最大值是（

）A．42 B．6 C．210 【變式16-3】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，－1），以M（－1，0）為圓心，以AM為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B，連結(jié)BM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)為53（1）求⊙M的半徑長(zhǎng)和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，連結(jié)AC，交線段PQ于點(diǎn)N，①求AC所在直線的解析式；②當(dāng)PN=QN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)直接寫出AQ的最小值和最大值．

【題型17利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】【例17】（2023·湖北武漢·?？家荒＃┰凇袿中，弦BD與弦CE相交于點(diǎn)F，∠DFC=105°，BC=4DE，延長(zhǎng)EC至點(diǎn)A，連接DA，設(shè)∠A=α，則α所在范圍可能是（A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22°【變式17-1】（2023·浙江杭州·三模）如圖，C、D是以AB為直徑的圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C、D不與A、B重合），M是弦CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P．若CD＝3，AB＝5，則PM的范圍是．【變式17-2】（2023·江蘇南京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，AC=6，BC=8，經(jīng)過C、D的⊙O交AC邊于點(diǎn)M，交BC邊于點(diǎn)N，且點(diǎn)M、N不與點(diǎn)C重合(1)若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)．①如圖①，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，求線段MN的長(zhǎng)；②如圖②，連接MN，若MN∥AB，求線段(2)如圖③，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，⊙O半徑r的范圍為．【變式17-3】（2023·浙江寧波·一模）如圖，E點(diǎn)為x軸正半軸上一點(diǎn)，⊙E交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，且A?1,0，E（1）如圖1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)和∠P的度數(shù)；（2）如圖2，若CQ平分∠PCD交PA于Q點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AQ的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化；若不變求出其值，若發(fā)生變化，求出變化的范圍；（3）如圖3，連接PD，當(dāng)P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C兩點(diǎn)重合），求PC+PDPA【題型18利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題】【例18】（2023·湖北襄陽·二模）如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，且∠D=30°，下列四個(gè)結(jié)論：①OA⊥BC；②BC=63cm；③弦BC與⊙O直徑的比為32；④四邊形ABOCA．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【變式18-1】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，且∠D＝30°，下列四個(gè)結(jié)論：①OA⊥BC；②BC＝63cm；③sin∠AOB＝32；④四邊形ABOC是菱形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【變式18-2】（2023·河北廊坊