《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)》課件1第1章

項(xiàng)目一機(jī)械設(shè)計(jì)靜力學(xué)知識準(zhǔn)備1.1力的概念和公理1.2常見約束及其力學(xué)模型1.3物體的受力分析和受力圖1.4平面匯交力系的合成與平衡1.5力矩和力偶1.6平面任意力系的簡化1.7物體系統(tǒng)的平衡問題1.8考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題1.9空間力系簡介1.10物體的重心和平面圖形的形心

1.1力的概念和公理

1.1.1力的概念

1.力的定義

人們在長期的生產(chǎn)勞動(dòng)實(shí)踐中，經(jīng)過不斷的觀察和總結(jié)，形成了力的定義：力是物體間的相互機(jī)械作用。如用手推門時(shí)，手指與門之間有了相互作用，這種作用使門產(chǎn)生了運(yùn)動(dòng)；再如用汽錘鍛打工件，汽錘和工件有了相互作用，工件的形狀和尺寸發(fā)生了改變。

由此可見，力可使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和形狀尺寸發(fā)生改變。力使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變稱為力的外效應(yīng)；力使物體形狀尺寸的改變稱為力的內(nèi)效應(yīng)。

2.力的三要素及表示法

力對物體的效應(yīng)取決于力的三要素，即力的大小、方向和作用點(diǎn)。

力是一個(gè)既有大小又有方向的量，稱為力矢量。力可用一條有向線段表示，線段的長度按一定的比例尺，表示力的大?。痪€段箭頭的指向表示力的方向；線段的始端A(圖1-1)或末端B表示力的作用點(diǎn)。力的單位為牛［頓］(N)。

3.剛體

所謂剛體，就是在任何外力作用下，其大小和形狀始終保持不變的物體。顯然，剛體是對物體進(jìn)行抽象簡化后的一種理想模型。這樣的抽象化將使靜力學(xué)問題的研究大為簡化。圖1-1力的作用線

4.力系與等效力系

由若干個(gè)力組成的系統(tǒng)稱為力系。若一個(gè)力系與另一個(gè)力系對物體的作用效應(yīng)相同，則這兩個(gè)力系互為等效力系。若一個(gè)力與一個(gè)力系等效，則稱這個(gè)力為該力系的合力，而該力系中的各力稱為這個(gè)力的分力。把各分力等效代換成合力的過程稱為力系的合成，把合力等效代換成

分力的過程稱為力的分解。

5.平衡與平衡力系

平衡是指物體相對于地球靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。若力系使物體處于平衡狀態(tài)，則該力系稱為平衡力系。靜力學(xué)是研究物體在力系作用下平衡規(guī)律的科學(xué)。1.1.2靜力學(xué)公理

1.二力平衡公理

(1)二力平衡公理：作用于剛體上的兩個(gè)力，使剛體保持平衡的充分必要條件是：這兩個(gè)力的大小相等，方向相反，且作用在一條直線上。

如圖1-2(a)所示，物體放置在水平面上，受到重力G和水平面的作用力FN的作用而處于平衡狀態(tài)，這兩個(gè)力必等值、反向、共線。圖1-2(b)所示的電燈吊在天花板上，無論初始時(shí)電燈偏向什么位置，最后平衡時(shí)必滿足二力平衡條件，G和FT等值、反向、共線。圖1-2二力平衡

(2)二力構(gòu)件：在二個(gè)力作用下處于平衡的構(gòu)件一般稱為二力構(gòu)件。若二力構(gòu)件的形狀為桿狀，則稱之為二力桿。工程實(shí)際中，一些構(gòu)件的自重和它所承受的載荷比較起來很小時(shí)，其自重可以忽略不計(jì)。若它們只受二個(gè)外力作用而平衡，則均可簡化為二力構(gòu)件(或二力桿)。

如圖1-3(a)所示托架中，桿AB不計(jì)自重，在A端和B端分別受到作用力FA、FB處于平衡，此兩力必過這兩力作用點(diǎn)A、B的連線(圖1-3(a))。再如圖1-3(c)所示的三鉸拱結(jié)構(gòu)中，不計(jì)拱片自重時(shí)，在力F作用下，BC受FB、FC作用處于平衡，這兩力必過兩力作用點(diǎn)B、C的連線(圖1-3(d))。圖1-3二力構(gòu)件

2.加減平衡力系公理

(1)加減平衡力系公理：在一個(gè)已知力系上加上或減去一個(gè)平衡力系，不改變原力系對剛體的作用效應(yīng)。

(2)力的可傳性原理：作用于剛體上某點(diǎn)的力，沿其作用線移動(dòng)，不改變原力對剛體的作用效應(yīng)。圖1-4所示的小車，在A點(diǎn)作用力F和在B點(diǎn)作用力F對小車的作用效果相同。由此原理可知，力對剛體的效應(yīng)取決于力的大小、方向、作用線。必須指出，力的可傳性原理只適用剛體構(gòu)件。圖1-4力的可傳性

3.平行四邊形公理

(1)平行四邊形公理：作用于物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力，可以合成為一個(gè)力。合力也作用于該點(diǎn)，其大小和方向可用此兩力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對角線表示。

如圖1-5所示，F(xiàn)R是F1、F2的合力。力的平行四邊形公理符合矢量加法法則，即

FR=F1+F2

(1-1)

(2)三力平衡匯交原理：構(gòu)件在三個(gè)互不平行的力的作用下處于平衡，這三個(gè)力的作用線必共面且匯交于一點(diǎn)。圖1-5力的平行四邊形法則

(3)三力構(gòu)件：作用著三個(gè)力并處于平衡的構(gòu)件稱為三力構(gòu)件。三力構(gòu)件三個(gè)力的作用線交于一點(diǎn)。若已知兩個(gè)力的作用線，由此可以確定另一個(gè)未知力的作用線。

如圖1-3(b)中所示的桿件CD,在C、B、D三點(diǎn)分別受力作用處于平衡，C點(diǎn)的力FC必過B、D兩點(diǎn)作用力的交點(diǎn)H。再如圖1-6所示的桿件AB，A端靠在墻角，B端用繩BC系住，A端受到墻角的作用力FN必過G和FT的交點(diǎn)。圖1-6三力平衡匯交原理

4.作用力與反作用力公理

作用力與反作用力公理：兩物體間的作用力與反作用力，總是大小相等、方向相反、沿同一作用線，分別同時(shí)作用于兩個(gè)相互作用的物體上。

該公理說明了力總是成對出現(xiàn)的。應(yīng)用公理時(shí)注意區(qū)別它與二力平衡的兩個(gè)力是不同的，作用力與反作用力分別作用在兩個(gè)相互作用的物體上，二力平衡的兩個(gè)力作用在一個(gè)物體上。

圖1-3(a)、(b)中，AB桿B端受到的力FB與CD桿B點(diǎn)受到的力FB′就是一對作用力與反作用力。

1.2常見約束及其力學(xué)模型

1.2.1約束和約束反力

在工程實(shí)際中，構(gòu)件總是以一定的形式與周圍其他構(gòu)件相互聯(lián)系和制約的。例如，房梁受立柱的限制，使其在空間的位置得到固定；轉(zhuǎn)軸受到軸承的限制，使其只能繞軸心轉(zhuǎn)動(dòng)；小車受到地面的限制，使其只能沿路面運(yùn)動(dòng)等。這種限制物體運(yùn)動(dòng)的周圍物體稱為約束。物體受的力可以分為主動(dòng)力和約束反力。能夠促使物體產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢的力稱為主動(dòng)力。這類力有重力及一些作用載荷。主動(dòng)力通常都是已知的。當(dāng)物體沿某一方向的運(yùn)動(dòng)受到約束限制時(shí)，約束對物體就有一個(gè)反作用力，這個(gè)限制物體運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢的反作用力稱為約束反力。約束反力的方向與它所限制的運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢的方向相反，其大小和方向一般是隨主動(dòng)力的大小和作用線的不同而變化的，是一個(gè)未知力。1.2.2常見約束類型

工程實(shí)際中，構(gòu)件間相互聯(lián)接的形式是多種多樣的，按照構(gòu)件間不同的聯(lián)接性質(zhì)將約束分為柔性體約束、光滑面約束、光滑圓柱鉸鏈約束和固定端約束等幾種。

下面主要討論柔性體約束、光滑面約束和光滑圓柱鉸鏈約束的約束特性及其約束反力的方向和表示符號。對于固定端約束將在后面介紹。

1.柔性體約束

由繩索、鏈條、皮帶等柔性物體形成的約束稱為柔性體約束。這種約束只承受拉力,不承受壓力，約束反力沿柔體的中線,背離受力物體，用符號FT表示。

圖1-7(a)所示起重機(jī)吊起重物時(shí)，重物通過鋼繩懸吊在掛鉤上。鋼繩AC、BC對重物的約束反力沿鋼繩的中線，背離物體(圖1-7(b))。

必須指出的是，若柔體包絡(luò)了輪子的一部分，如圖1-8(a)所示的鏈傳動(dòng)或帶傳動(dòng)等，通常把包絡(luò)在輪上的柔體看成是輪子的一部分，從柔體與輪的切點(diǎn)處解除柔體。約束反力作用于切點(diǎn)，沿柔體中線背離輪子。圖1-8(b)所示為傳動(dòng)帶的約束反力的畫法。圖1-7起重的繩索圖1-8平帶傳動(dòng)

2.光滑面約束

當(dāng)兩物體直接接觸，并可忽略接觸處的摩擦?xí)r，這類約束稱為光滑面約束。

光滑面約束只限制了物體沿接觸面公法線方向的運(yùn)動(dòng)，所以其約束反力沿接觸面的公法線,指向受力物體，用符號FN表示。

如圖1-9(a)所示，重量為G的圓柱形工件放在V形槽內(nèi)，在A、B兩點(diǎn)與槽面作用，其約束反力沿接觸面公法線指向工件。

如圖1-9(b)所示,重量為G的工件AB放入凹槽內(nèi),在A、B、C點(diǎn)處分別與槽作用，其約束反力沿接觸面公法線指向工件。圖1-9光滑接觸面約束

3.光滑圓柱鉸鏈約束

如圖1-10所示，兩構(gòu)件采用圓柱銷所形成的聯(lián)接，當(dāng)忽略接觸處的摩擦?xí)r，這類約束稱為光滑圓柱鉸鏈約束。

(1)中間鉸。當(dāng)圓柱銷聯(lián)接的兩構(gòu)件均不固定時(shí)，通常將這種鉸鏈聯(lián)接稱為中間鉸，如圖1-10(a)所示。它只限制了構(gòu)件銷孔端的相對移動(dòng)，不限制構(gòu)件繞銷孔端的相對轉(zhuǎn)動(dòng)。

(2)固定鉸支座。把圓柱銷聯(lián)接的兩構(gòu)件中的一個(gè)固定起來時(shí)，稱為固定鉸支座，如圖1-10(c)所示。它限制了構(gòu)件銷孔端的隨意移動(dòng),不限制構(gòu)件繞圓柱銷中心的轉(zhuǎn)動(dòng)。圖1-10鉸鏈連接的受力分析圖1-10(d)所示的圓柱銷與銷孔在構(gòu)件主動(dòng)力的作用下，兩個(gè)光滑圓柱面在K點(diǎn)接觸，其約束反力必沿接觸點(diǎn)的公法線過鉸鏈的中心。由于主動(dòng)力的方向不同，銷與孔的接觸點(diǎn)就不同，所以約束反力的方向不確定。

綜上所述，中間鉸和固定鉸約束的約束反力過鉸鏈的中心，方向不確定，通常用兩個(gè)正交的分力FNx、FNy來表示(圖1-10(b)、(e))。

必須指出的是，當(dāng)中間鉸或固定鉸約束的是二力構(gòu)件時(shí)，其約束反力滿足二力平衡條件，沿兩約束反力作用點(diǎn)的連線，方向是確定的。如圖1-11(a)所示結(jié)構(gòu)，AB桿中間作用力F，桿件AB、BC不計(jì)自重，桿BC在B端受到中間鉸約束，約束反力的方向不確定。在C端受到固定鉸約束，約束反力的方向不確定，但BC桿在此兩力作用下處于平衡，是二力構(gòu)件，該二力必過B、C兩點(diǎn)的連線(圖1-11(b))。圖1-11支架的受力圖

(3)活動(dòng)鉸支座。如圖1-12(a)所示，在固定鉸支座的下邊安裝上滾珠后，稱為活動(dòng)鉸支座?；顒?dòng)鉸支座只限制構(gòu)件沿支撐面法線方向的運(yùn)動(dòng)，所以活動(dòng)鉸支座約束反力的作用線過鉸鏈中心,垂直于支撐面，一般指向構(gòu)件畫出，用符號FN表示。圖1-12(b)為活動(dòng)鉸支座的幾種力學(xué)簡圖及約束反力畫法。

圖1-13(a)所示桿件AB在主動(dòng)力F的作用下，其固定鉸鏈支座A和活動(dòng)鉸鏈支座B的約束反力如圖1-13(b)所示。圖1-12活動(dòng)鉸鏈約束圖1-13鉸鏈約束

1.3物體的受力分析和受力圖

在求解靜力平衡問題時(shí)，必須首先分析物體的受力情況，即進(jìn)行受力分析?？筛鶕?jù)問題的已知條件、約束類型和待求量，從相關(guān)結(jié)構(gòu)中恰當(dāng)?shù)剡x某一物體(或某幾個(gè)物體組成的系統(tǒng))為研究對象。

為了清楚地表示物體的受力情況，需把研究對象從與它聯(lián)系的周圍物體中分離出來，單獨(dú)畫出其輪廓簡圖，這一過程稱為解除約束取分離體。被解除約束的物體稱為分離體。在分離體上先按已知條件畫上主動(dòng)力(已知力)，再按約束的類型畫出全部的約束反力(未知力)，即得到物體的受力圖。

綜上所述，畫受力圖的步驟是：①確定研究對象；②解除約束取分離體；③在分離體上畫出全部的主動(dòng)力和約束反力。例1-1圖1-14(a)所示重量為G的球體A，用繩子BC系在墻壁上，畫球體A的受力圖。

解確定球體A為研究對象，取分離體(圖1-14(b))，在球體分離體的簡圖上畫出主動(dòng)力和約束反力。

球體在A點(diǎn)受主動(dòng)力G作用；在B點(diǎn)受柔體約束，約束反力沿柔體中心線背離球體，用FT表示；在D點(diǎn)受光滑面約束，約束反力沿接觸面D點(diǎn)的公法線，指向球體，用FN表示。圖1-14小球的受力圖例1-2圖1-15(a)所示的三鉸拱橋，由左、右兩半拱片鉸接而成，畫左半拱片AB的受力圖。

解確定左拱片AB為研究對象取分離體(圖1-15(b))，在分離體上畫出主動(dòng)力F和約束反力。

左半拱片B端受右半拱BC的作用，由于BC受兩個(gè)力處于平衡，所以BC對左半拱B點(diǎn)的作用力FB沿著B、C兩點(diǎn)的連線。左半拱A端受固定鉸支座約束，可用正交分力FAx、FAy表示(圖1-15(b))。圖1-15三鉸拱橋的受力圖例1-3圖1-16(a)所示為活塞連桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖，試畫活塞B的受力圖。

解以活塞B為研究對象取分離體(圖1-16(b))。在分離體上畫出主動(dòng)力F；缸筒壁對活塞B的約束視為光滑面，約束反力FN沿法線指向活塞B。連桿AB在A、B兩點(diǎn)受鉸鏈約

束處于平衡，是二力構(gòu)件，兩力過A、B兩點(diǎn)的連線。因此，連桿AB對活塞B的約束反力FB沿A、B的連線指向B銷。圖1-16活塞連桿機(jī)構(gòu)例1-4圖1-17(a)所示為凸輪機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖，試畫導(dǎo)桿AB的受力圖。

解以導(dǎo)桿AB為研究對象取分離體(圖1-17(b))。自重不計(jì)，凸輪對導(dǎo)桿的作用力FR沿接觸面公法線指向?qū)U；FR和主動(dòng)力F使導(dǎo)桿傾斜，與滑道B、D點(diǎn)相接觸產(chǎn)生了機(jī)械作用，故光滑面約束反力FNB、FND沿B、D兩點(diǎn)處的公法線指向?qū)U。圖1-17凸輪機(jī)構(gòu)

1.4平面匯交力系的合成與平衡

工程實(shí)際中，作用于構(gòu)件上的力系有各種不同的類型，若按力系中各力的作用線是否在同一平面內(nèi)來分，力系可分為平面力系和空間力系；若按力系中各力的作用線是否相交于一點(diǎn)或平行來分，力系可分為匯交力系、力偶系、平行力系和任意力系。作用于同一平面內(nèi)各力的作用線交于一點(diǎn)的力系稱為平面匯交力系。

由于力是矢量，故平面匯交力系的合成應(yīng)按矢量運(yùn)算法則進(jìn)行。1.4.1平面匯交力系合成的幾何法

1.兩個(gè)匯交力合成的力三角形法則

設(shè)力F1與F2作用于剛體上的A點(diǎn)，由靜力學(xué)公理可知以F1、F2為鄰邊做平行四邊形，其對角線即為它們的合力FR，并計(jì)做FR=F1+F2，如圖1-18(a)所示。為了方便起見，作圖時(shí)可省略AD與DC，直接將F2連在F1的末端，通過△ABC即可求得合力FR，如圖1-18(b)所示。此方法就稱為求兩匯交力合力的力三角形法則。圖1-18共點(diǎn)力的合成

2.多個(gè)匯交力合成的力多邊形法則

設(shè)在剛體某平面上有一匯交力系F1、F2、…、Fn的作用，力系作用線匯交于O點(diǎn)，其合力FR即可連續(xù)使用力的三角形法則來求得(見圖1-19)。其矢量表達(dá)式為

FR=F1+F2+…+Fn=∑F

(1-2)圖1-19平面匯交力系的合成由圖1-19可見，為求合力FR時(shí)，只需將各力F1、F2、…、F4首尾相接，形成一條折線，最后連接封閉邊，從首力F1的始端向末力F4的終端所形成的矢量，即為合力FR的大小和方向，此方法稱為力的多邊形法則。

綜上所述，平面匯交力系合成的一般結(jié)果為一個(gè)合力FR，合力FR為力系中各力的矢量和，其作用點(diǎn)仍為各力的匯交點(diǎn)，且合力FR的大小和方向與各力合成的順序無關(guān)。1.4.2平面匯交力系合成的解析法

1.力在直角坐標(biāo)軸上的投影

1)投影的定義

如圖1-20所示，設(shè)已知力F作用于剛體平面內(nèi)的A點(diǎn)，方向由A點(diǎn)指向B點(diǎn)，且與水平線夾角為α。在力F作用線所在平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系Oxy，過力F的兩端點(diǎn)A、B向x軸作垂線，垂足a、b在軸上截下的線段ab就稱為力F在x軸上的投影，記做Fx。

同理，過力F的兩端點(diǎn)向y軸作垂線，垂足在y軸截下的線段a1b1稱為力F在y軸上的投影，記做Fy。圖1-20力的正交分解

2)投影的正負(fù)規(guī)定

力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，其正負(fù)規(guī)定為：若投影ab(或a1b1)的指向與坐標(biāo)軸正方向一致，則力在該軸上的投影為正，反之為負(fù)。

若已知力F與x軸的夾角為α，則力F在x軸、y軸的投影表示為(1-3)

3)已知投影求作用力

由已知力求投影的方法可知，若已知一個(gè)力的兩個(gè)正交投影Fx、Fy，則這個(gè)力F的大小和方向?yàn)?/p>

式中α表示力F與x軸所夾的銳角。(1-4)

2.力沿坐標(biāo)軸正交分解

由力的平行四邊形公理可知，作用于一點(diǎn)的兩個(gè)力可以合成一個(gè)力。反過來，圍繞一個(gè)力做平行四邊形，可以把一個(gè)力分解成兩個(gè)力。若分解的兩個(gè)分力相互垂直，則稱為正交分解。如圖1-20所示，過力F的兩端作軸的平行線，平行線相交點(diǎn)構(gòu)成的矩形ADBC的兩邊AC和AD，就是力F沿x軸、y軸的兩個(gè)正交分力，記做Fx和Fy。由圖可見，正交分力的大小等于力沿其正交軸投影的絕對值，即

|Fx|=Fcosα=|Fx|,

|Fy|=Fsinα=|Fy|

必須指出，分力是力矢量，而投影是代數(shù)量。若分力的指向與坐標(biāo)軸同向，則投影為正，反之為負(fù)。分力的作用點(diǎn)在原力的作用點(diǎn)上，而投影與力的作用點(diǎn)位置無關(guān)。

3.合力投影定理

由力的平行四邊形法則可知，作用于剛體平面內(nèi)的兩個(gè)力可以合成一個(gè)力，其合力符合矢量加法法則。如圖1-21所示，作用于剛體平面內(nèi)A點(diǎn)的力F1、F2，其合力FR等于力F1和F2的矢量和，即

FR=F1+F2

在力作用平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，合力FR在x軸上的投影FRx和分力Fx、Fy在x軸上的投影分別為FRx=ad,F1x=ab,F2x=ac。由圖可見，ac=bd,ad=ab+bd。所以

FRx=ad=ab+bd=F1x+F2x

圖1-21力的分解同理

FRy=F1y+F2y

若剛體平面上的一點(diǎn)作用著n個(gè)力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，按兩個(gè)力合成的平行四邊形法則依次類推，從而得出力系的合力等于各分力矢量的矢量和，即

則其合力的投影

式(1-5)表明，合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，此即為合力投影定理。式中的∑Fx是求和式的簡便表示法，本書中的求和式均采用這種簡便表示法。(1-5)

4.平面匯交力系合成的解析法

利用合力投影定理即可求得合力FR的大小和方向，即(1-6)式中，α為合力FR與x軸所夾的銳角。

5.平面匯交力系平衡方程及其應(yīng)用

平面匯交力系平衡的必要和充分條件是力系的合力為零，即

FR=0

1)平面匯交力系平衡的幾何條件

由力多邊形法則可知，平面匯交力系的合力是由封閉邊的大小和方向確定的。合力等于零即封閉邊等于零，力多邊形自行封閉。故平面匯交力系平衡的幾何充要條件是力多邊形自行封閉。

2)平面匯交力系平衡的解析條件

由式可得：

式(1-7)表示平面匯交力系平衡的必要與充分的解析條件是力系中各力在坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均為零。此式即為平面匯交力系平衡解析方程。應(yīng)用平衡方程時(shí)，由于坐標(biāo)軸是可以任意選取的，因而可列出無數(shù)個(gè)平衡方程。但是，其獨(dú)立的平衡方程只有兩個(gè)，因此對于一個(gè)平面匯交力系，只能求解出兩個(gè)未知量。(1-7)

3)平衡方程的應(yīng)用

例1-5如圖1-22所示，吊鉤受三根鋼絲繩的拉力作用，已知各力大小分別為F1=F2=732N，F(xiàn)3=2000N，各力的方向如圖所示，求此三力的合力FR的大小和方向。

解在力系匯交點(diǎn)A建立坐標(biāo)系A(chǔ)xy，求合力FR在兩坐標(biāo)軸上的投影分別為圖1-22吊鉤受力分析則合力FR的大小為

由于FRx、FRy均為負(fù)，則合力指向左下方(圖1-22(b))，合力與x軸所夾的銳角α為例1-6圖1-23(a)所示支架由桿AB、BC組成，A、B、C三處均為光滑鉸鏈，在鉸B上懸掛重物G=5kN，桿件自重不計(jì)，試求桿件AB、BC所受的力。

解(1)受力分析。由于桿件AB、BC自重不計(jì)，且桿件兩端均為鉸鏈約束，故均為二力構(gòu)件，桿件受力必沿桿件的軸線。根據(jù)作用與反作用的關(guān)系，兩桿的B端對于銷B有反作用力F1、F2，銷B同時(shí)受重物G作用。

(2)確定研究對象。以銷B為研究對象取分離體，畫受力圖如圖1-23(b)所示。圖1-23支架受力分析

(3)建立坐標(biāo)系，列平衡方程求解：

∑Fy=0

F2sin30°-G=0

F2=2G=10kN

∑Fx=0-F1+F2cos30°=0

F1=F2cos30°=8.66kN例1-7圖1-24(a)所示重量為G的球放在傾角為30°的光滑斜面上，并用繩AB系住，AB與斜面平行，試求繩AB的拉力FT及球體對斜面的壓力FN。

解(1)以球體為研究對象取分離體，畫受力圖如圖1-24(b)所示。

(2)沿斜面建立坐標(biāo)系Oxy，列平衡方程求解：圖1-24例1-7圖

(3)若選圖1-24(c)所示的坐標(biāo)系列平衡方程，得

聯(lián)立求解方程組得

由此可見，列平衡方程求解平面匯交力系平衡問題時(shí)，坐標(biāo)軸應(yīng)盡量選在與未知力垂直的方向上，這樣可以列一個(gè)平衡方程式解出一個(gè)未知力，避免了求解聯(lián)立方程組，使計(jì)算簡便。FTcos30°-FNsin30°=0FTsin30°+FNcos30°-G=0例1-8圖1-25所示連桿機(jī)構(gòu)由AB、BC、AD組成，A、B、C、D點(diǎn)均為鉸鏈。若機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡，且已知角α和作用于A鉸的力F，試求維持機(jī)構(gòu)平衡時(shí)鉸B上的作用力F1。

解(1)受力分析，連桿AB、BC、AD不計(jì)自重，均受兩端鉸鏈約束，是二力桿件。

(2)分別畫兩銷釘A、B的受力圖(圖1-25(b)、(c))，建立坐標(biāo)系，列平衡方程。

對于銷A

圖1-25連桿機(jī)構(gòu)受力分析對于銷B

代入上式得

由此可見，畫構(gòu)件受力圖時(shí)，鉸鏈約束的約束反力可以假定其指向，應(yīng)用平衡方程解出為負(fù)值時(shí)，表示其約束反力的指向與實(shí)際相反。

1.5力矩和力偶

1.5.1力對點(diǎn)之矩

從生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中人們認(rèn)識到，力不僅能使物體產(chǎn)生移動(dòng)，還能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如用扳手?jǐn)Q螺母，扳手連同螺母一起繞螺母的中心線轉(zhuǎn)動(dòng)。其轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小不僅與作用力的大小和方向有關(guān)，而且與力作用線到螺母中心線的相對位置有關(guān)。工程中把力使物體產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度稱為力矩。用圖1-26所示扳手及受力在螺母中心線的垂直平面上的投影，來說明平面上力對點(diǎn)之距。平面上螺母中線的投影點(diǎn)O稱為矩心，力作用線到矩心O點(diǎn)的距離d稱為力臂，力使扳手繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力F的大小與力臂d的乘積及力矩的轉(zhuǎn)向。力對點(diǎn)之矩記做MO(F)，即

MO(F)=±Fd(1-8)

力對點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量，其正負(fù)規(guī)定為：力使物體繞矩心有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)時(shí)，力矩為正，反之為負(fù)。力矩的單位是N·m。圖1-26扳手1.5.2合力矩定理

如圖1-27所示，將作用于剛體平面上A點(diǎn)的力F沿作用線滑移到B點(diǎn)(B點(diǎn)為任意點(diǎn)O到力F作用線的垂足)，不會(huì)改變力F對剛體的效應(yīng)(力的可傳性原理)。在B點(diǎn)將F沿坐標(biāo)軸方向正交分解為兩分力Fx、Fy，即F=Fx+Fy，分別計(jì)算并討論力F和分力Fx、Fy對O點(diǎn)力矩的關(guān)系：

MO(Fx)=Fcosαdcosα=Fdcos2α

MO(Fy)=Fsinαdsinα=Fdsin2α

MO(F)=Fd=MO(Fx)+MO(Fy)圖1-27合力矩定理上式表明，合力對某點(diǎn)的力矩等于力系中各分力對同點(diǎn)力矩的代數(shù)和。該定理不僅適用于正交分解的兩個(gè)分力系，對任何有合力的分力系均成立。若力系有n個(gè)力作用，則

MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=∑MO(F)

(1-9)式(1-9)即為合力矩定理。

求平面內(nèi)力對某點(diǎn)的力矩，一般采用以下兩種方法：

(1)用力和力臂的乘積求力矩。這種方法的關(guān)鍵是確定力臂d。需要注意的是，力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂一定要垂直力的作用線。

(2)用合力矩定理求力矩。工程實(shí)際中，有時(shí)力臂d的幾何關(guān)系比較復(fù)雜，不易確定，這時(shí)可將作用力正交分解為兩個(gè)分力，然后應(yīng)用合力矩定理求原力對矩心的力矩。例1-9圖1-28(a)所示的構(gòu)件OBC，O端為鉸鏈支座約束，在C點(diǎn)作用力F，已知力F的方向角為α，OB=l，BC=h，求力F對O點(diǎn)的力矩。

解(1)由于力臂d的幾何關(guān)系比較復(fù)雜，不易確定，宜采用合力矩定理求力矩，即

MO(F)=MO(FCx)+MO(FCy)

=Fcosαh-Fsinαl=F(hcosα-lsinα)

(2)用力和力臂的乘積求力矩。在圖上過O點(diǎn)作力F作用線的垂線交于a點(diǎn)，找出力臂d。過B點(diǎn)作力線的平行線與力臂延長線交于b點(diǎn)，則

MO(F)=-Fd=-F(Ob-ab)

=-F(lsinα-hcosα)=F(hcosα-lsinα)圖1-28例1-9和例1-10圖例1-10圖1-28(b)、(c)所示圓柱直齒輪和貨箱，已知齒面法向壓力Fn=1000N，壓力角α=20°，分度圓半徑r=60mm。已知貨箱的作用力F，尺寸a、b和夾角α，試求齒面法向壓力Fn對軸心O的力矩和貨箱作用力F對支點(diǎn)A的力矩。

解(1)該齒輪法向壓力Fn的力臂沒有直接給出，可將法向壓力正交分解為圓周力Fτ和徑向力Fr，應(yīng)用合力矩定理得

MO(Fn)=MO(Fτ)+MO(Fr)=Fncosα×r+Fnsinα×0

=1000×cos20°×0.06N·m=56.4N·m

(2)貨箱作用力F的力臂沒有直接給出，可將其作用力沿貨箱長寬方向正交分解為F1、F2。應(yīng)用合力矩定理得

MA(F)=MA(F1)+MA(F2)

=-Fcosαb-Fsinαa=-F(bcosα+asinα)1.5.3力偶及其性質(zhì)

1.力偶的定義

在生產(chǎn)實(shí)踐中，作用力矩可以使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。另外，經(jīng)常還可以見到使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的例子，如圖1-29(a)、(b)所示，司機(jī)用手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤，鉗工用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)絞杠絲錐攻螺紋。在力學(xué)研究中，把使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的一對大小相等、方向相反、作用線平行的力稱為力偶。通常把力偶表示在其作用平面內(nèi)(見圖1-29(c))。

力偶是一個(gè)基本力學(xué)量，并具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，它既不平衡，也不能合成為一個(gè)合力，只能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力偶中兩個(gè)力作用線所決定的平面稱為力偶的作用平面；兩力作用線之間的距離d稱為力偶臂；力偶使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的方向稱為力偶的轉(zhuǎn)向。

圖1-29力偶力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，取決于力偶中的力與力偶臂的乘積，稱為力偶矩，記做M(F，F(xiàn)′)或M，即

M(F，F(xiàn)′)=±Fd

(1-10)

力偶矩和力矩一樣，是代數(shù)量。其正負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向，通常規(guī)定：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。力偶矩的單位是N·m或kN·m。力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向和作用平

面稱為力偶的三要素。三要素中任何一個(gè)發(fā)生改變，力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)就會(huì)發(fā)生改變。

2.力偶的性質(zhì)

根據(jù)力偶的定義，力偶具有以下一些性質(zhì)：

(1)力偶無合力，在坐標(biāo)軸上的投影之和為零。力偶不能與一個(gè)力等效，也不能用一個(gè)力來平衡，力偶只能用力偶來平衡。

力偶無合力，可見它對物體的效應(yīng)與一個(gè)力對物體的效應(yīng)是不同的。一個(gè)力對物體有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種效應(yīng)；而一個(gè)力偶對物體只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，沒有移動(dòng)效應(yīng)。因此，力與力偶不能相互替代，也不能相互平衡。可以將力和力偶看做是構(gòu)成力系的兩種基本要素。圖1-30力偶矩

(2)力偶對其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)。

圖1-30所示一力偶M(F，F(xiàn)′)=Fd，對平面任意點(diǎn)O的力矩，用組成力偶的兩個(gè)力分別對O點(diǎn)力矩的代數(shù)和度量，記做MO(F，F(xiàn)′)，即

MO(F，F(xiàn)′)=F(d+x)-F′x=Fd=M(F，F(xiàn)′)

以上推證表明，力偶對剛體平面上任意一點(diǎn)O的力矩，等于其力偶矩，與矩心到力作用線的距離x無關(guān)，即與矩心的位置無關(guān)。

3.力偶的等效性及等效代換特性

從力偶的以上性質(zhì)可知，同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則兩力偶等效，且可以相互代換，此即為力偶的等效性。

由力偶的等效性，可以得出力偶的等效代換特性：

(1)力偶可在其作用平面內(nèi)任意移動(dòng)，而不改變它對剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。

(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會(huì)改變力偶對剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效果。值得注意的是，以上等效代換特性僅適用于剛體，不適用于變形體。

由力偶的性質(zhì)及其等效代換特性可見，力偶對剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)完全取決于力偶的大小、轉(zhuǎn)向和作用平面。因此表示平面力偶時(shí)，可以不表明力偶在平面上的具體位置以及組成力偶的力和力偶臂的值，用一帶箭頭的弧線表示，并標(biāo)出力偶矩的值即可。圖1-31所示是力偶的幾種等效代換表示法。圖1-31力偶的等效性

4.力線平移定理

由力的可傳性原理知，作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng)，而不改變其對剛體的作用效應(yīng)。現(xiàn)在的問題是，能否在不改變作用效應(yīng)的前提下，將力平行移動(dòng)到剛體的任意點(diǎn)呢？

圖1-32描述了力向作用線外任一點(diǎn)的平行移動(dòng)的過程。欲將作用于剛體上A點(diǎn)的力F平行移動(dòng)到剛體內(nèi)任一點(diǎn)O，可在O點(diǎn)加上一對平衡力F′、F″，并使F′=F″=F，F(xiàn)和F″為一等值、反向、不共線的平行力，組成了一個(gè)力偶，稱為附加力偶，其力偶矩為

M(F，F(xiàn)″)=±Fd=MO(F)此式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點(diǎn)O的力矩。于是作用于平移點(diǎn)的F′和附加力偶M的共同作用就與作用于A點(diǎn)的力F等效。

由此可以得出：作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點(diǎn)的力矩。此即為力線平移定理。如圖1-33所示，鉗工用絲錐攻螺紋時(shí)，如果用單手操作，在絞杠手柄上作用力F，將力F平移到絞杠中心時(shí)，必須附加一力偶M才能使絞杠轉(zhuǎn)動(dòng)。平移后的F′會(huì)使絲錐桿變形甚至折斷。如果用雙手操作，兩手的作用力若保持等值、反向和平行，則平移到絞杠中心上的兩平移力相互抵消，絞杠只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。所以，用絲錐攻螺紋時(shí)，要求雙手操作且均勻用力，而不能單手操作。圖1-32力線平移定理圖1-33絲錐攻螺紋

5.平面力偶系的合成

作用于剛體上的同一平面內(nèi)的若干個(gè)力偶，稱為平面力偶系。

從前述力偶的性質(zhì)可知，力偶對剛體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，且轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小完全取決于力偶的大小和轉(zhuǎn)向。那么，剛體某一平面內(nèi)受若干個(gè)力偶共同作用時(shí)，也只能使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)?？梢宰C明，其力偶系對剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小等于各力偶轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的總和，即平面力偶系總可以合成一個(gè)合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。合力偶矩MR為

MR=M1+M2+…+Mn=∑M

(1-11)

6.平面力偶系的平衡

要使平面力偶系平衡，其合力偶矩必等于零。由此可見，平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和等于零，即

∑M=0

(1-12)例1-11圖1-34所示多孔鉆床在汽缸蓋上鉆四個(gè)直徑相同的圓孔，每個(gè)鉆頭作用于工件的切削力構(gòu)成一個(gè)力偶，且各力偶矩的大?。篗1=M2=M3=M4=15N·m，轉(zhuǎn)向如圖所示。試求該鉆床作用于汽缸蓋上的合力偶矩MR。

解取汽缸蓋為研究對象，作用于其上的各力偶矩的大小相等、轉(zhuǎn)向相同且在同一平面內(nèi)，因此合力偶矩為

MR=M1+M2+M3+M4=(-15)×4N·m=-60N·m圖1-34例1-11圖例1-12圖1-35(a)所示梁AB上作用一力偶，其力偶矩M=100N·m，梁長l=5m，不計(jì)梁的自重，求A、B兩支座的約束反力。

解(1)取梁AB為研究對象，分析并畫受力圖(圖1-35(b))。梁AB的B端為活動(dòng)鉸支座，約束反力沿支撐面公法線指向受力物體。由力偶的性質(zhì)可知，力偶只能與力偶平衡，因此FB必和FA組成一力偶與M平衡，所以A端反力FA必與FB平行、反向，并組成力偶。圖1-35例1-12圖

(2)列平衡方程求解：例1-13圖1-36(a)所示四桿機(jī)構(gòu)，已知AB∥CD，AB=l=40cm，BC=60cm，α=30°，作用于桿AB上的力偶矩M1=60N·m，試求維持機(jī)構(gòu)平衡時(shí)作用于桿CD上的力偶矩M2應(yīng)為多少？

解(1)受力分析。桿件BC兩端鉸鏈連接，不計(jì)自重，是二力桿。

(2)分別取桿AB、CD為研究對象，取分離體畫受力圖(圖1-36(b))。桿AB、CD作用力偶，只能用力偶平衡。分別列平衡方程得：對桿AB

對桿CD圖1-36四桿機(jī)構(gòu)

1.6平面任意力系的簡化

各力的作用線處于同一平面內(nèi)，既不平行又不匯交于一點(diǎn)的力系，稱為平面任意力系。如圖1-37(a)所示的支架式起吊機(jī)的受力，圖1-37(b)所示的曲柄連桿機(jī)構(gòu)的受力等，都是平面任意力系的工程實(shí)例。圖1-37支架式起吊機(jī)與曲柄連桿機(jī)構(gòu)的受力1.6.1平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡化

如圖1-38(a)所示，作用于剛體平面上A1，A2，…，An點(diǎn)的任意力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，在該平面任選一點(diǎn)O作為簡化中心，根據(jù)力線平移定理將力系中各力向O點(diǎn)平移，于是原力系就簡化為一個(gè)平面匯交力系F1′，F(xiàn)2′，…，F(xiàn)n′和一個(gè)平面力偶系M1，M2，…，Mn(見圖1-38(b))。圖1-38平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)的簡化

1.力系的主矢FR′

平移力F1′，F(xiàn)2′，…，F(xiàn)n′組成的平面匯交力系的合力FR′，稱為平面任意力系的主矢。由平面匯交力系合成可知，主矢FR′等于各分力的矢量和，并作用在簡化中心上(見圖1-38(c))。主矢FR′的大小和方向?yàn)?1-13)

2.力系的主矩MO

附加力偶M1，M2，…，Mn組成的平面力偶系的合力偶矩MO，稱為平面任意力系的主矩。由平面力偶系的合成可知，主矩等于各附加力偶矩的代數(shù)和，作用在力系所在平面上(見圖1-38(c))，即

MO=∑M=∑MO(F)

(1-14)

綜上所述，平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，得到一主矢FR′和一主矩MO，主矢的大小等于原力系中各分力投影的代數(shù)和的平方和再開方，作用在簡化中心上，其大小和方向與簡化中心的選取無關(guān)。主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡化中心的選取有關(guān)。1.6.2簡化結(jié)果的討論

平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，得到一主矢和一主矩，但這并不是力系簡化的最終結(jié)果，因此有必要對主矢和主矩予以討論。

(1)FR′≠0，MO≠0：由力線平移定理的逆過程可推知，主矢FR′和主矩MO也可以合成一個(gè)力FR，這個(gè)力就是任意力系的合力。所以，力系簡化的結(jié)果是力系的合力FR，且大小和方向與主矢FR′相同，其作用線與主矢F

R′的作用線平行，并且二者距離d=MO/FR′。

(2)FR′≠0，MO=0：此時(shí)，力系的簡化中心正好選在了力系合力FR的作用線上，主矩等于零，則主矢FR′就是力系的合力FR，作用線通過簡化中心。

(3)FR′=0，MO≠0：此時(shí)，表明力系與一個(gè)力偶系等效，原力系為一個(gè)平面力偶系，在這種情況下，主矩的大小與簡化中心的選擇無關(guān)。

(4)FR′=0，MO=0：表明原力系簡化后得到的匯交力系和力偶系均處于平衡狀態(tài)，所以原力系為平衡力系。例1-14圖1-39所示的正方形平面板的邊長為4a，其上A、O、B、C點(diǎn)作用力分別為：F1=F，F(xiàn)2=

F，F(xiàn)3=2F，F(xiàn)4=3F。求作用于板上該力系的合力FR。

解(1)選O點(diǎn)為簡化中心，建立圖1-39(a)所示的坐標(biāo)系，求力系的主矢和主矩。

主矢的大小圖1-39例1-14圖主矢的方向

主矩的大小

主矩的轉(zhuǎn)向沿逆時(shí)針方向。力系向O點(diǎn)簡化的結(jié)果如圖1-39(b)所示。

(2)由于FR′≠0，所以力系可合成一個(gè)合力FR，即

合力FR的作用線到O點(diǎn)的距離d為

如圖1-39(c)所示，力系的合力FR的作用線通過D點(diǎn)。1.6.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程

由上節(jié)的討論可知，當(dāng)平面任意力系簡化的主矢和主矩均為零時(shí)，力系處于平衡。同理，若力系是平衡力系，則該力系向平面任一點(diǎn)簡化的主矢和主矩必然為零。因此，平面任意力系平衡的必要和充分條件為

FR′=0，MO=0

即由此可得平面任意力系的平衡方程為

式(1-15)是平面任意力系平衡方程的基本形式，也稱為一矩式方程。這是一組三個(gè)獨(dú)立的方程，故只能求解出三個(gè)未知量。(1-15)1.6.4平面任意力系平衡方程的應(yīng)用

應(yīng)用平面任意力系平衡方程求解工程實(shí)際問題時(shí)，首先要為工程結(jié)構(gòu)和構(gòu)件選擇合適的簡化平面，畫出其平面簡圖，即建立起工程結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的平面力學(xué)模型；其次是確定研究對象，取分離體，畫其受力圖；然后列平衡方程求解。列平衡方程時(shí)要注意坐標(biāo)軸的選取和矩心的選擇。為使求解簡便，坐標(biāo)軸一般選在與未知力垂直的方向上，矩心可選在未知力作用點(diǎn)(或交點(diǎn))上。

例1-15圖1-40(a)所示為高爐加料小車的平面簡圖，小車由鋼絲牽引沿傾角為α的軌道勻速上升，已知小車的重量G和尺寸a、b、h、α，不計(jì)小車和軌道之間的摩擦，試求鋼索的拉力FT和軌道對小車的約束反力。

解(1)以小車為研究對象，取分離體畫受力圖(圖1-40(b))。

(2)沿斜面方向建立坐標(biāo)系Cxy，坐標(biāo)軸與未知力垂直。本例未知力無交點(diǎn)，矩心可選在未知力FNA或FNB的作用點(diǎn)上，列平衡方程解得：圖1-40高爐加料小車?yán)?-16圖1-41(a)所示為簡易起吊機(jī)的平面力學(xué)簡圖。

已知橫梁AB的自重G1=4kN，起吊重量G2=20kN，AB的長度l=2m，電葫蘆距A端的距離x=1.5m，斜拉桿CD的傾角α=30°。試求CD桿的拉力和A端固定鉸支座的約束反力。解(1)以橫梁AB為研究對象，取分離體畫受力圖(圖1-41(b))。

(2)將A端約束反力正交分解，坐標(biāo)軸選在A端反力的方向上(圖1-41(b))，矩心選在A端反力的交點(diǎn)上，列平衡方程求解得：圖1-41簡易起吊機(jī)由以上例題可以看出，列平衡方程求平面力系平衡問題時(shí)，與列投影方程或力矩方程的先后次序無關(guān)。在選取了合適的坐標(biāo)系和矩心后，要注意分析所要列出的投影方程或力矩方程中包含幾個(gè)未知力。一般先列出包含有一個(gè)未知力的方程，從而解出一個(gè)未知力，避免了求解聯(lián)立方程組，使求解過程簡便。1.6.5平衡方程的其它形式

平面任意力系的平衡方程除了基本形式的一矩式方程外，還有其它兩種形式。

1.二矩式方程

二矩式方程的表達(dá)式如下：(1-16)應(yīng)用二矩式方程時(shí)，所選坐標(biāo)軸x不能與矩心AB的連線垂直。

2.三矩式方程

三矩式方程的表達(dá)式如下：

應(yīng)用三矩式方程時(shí)，所選矩心A、B、C三點(diǎn)不能在同一直線上。

例如圖1-41(b)所示的簡易起吊機(jī)橫梁AB的受力圖，應(yīng)用三矩式方程選取A、B、C三點(diǎn)為矩心，列平衡方程求得：(1-17)1.6.6固定端約束和均布載荷

1.平面固定端約束

在1.2節(jié)里介紹了常見的三類基本約束模型，工程中還有一類常見的基本約束模型。如圖1-42所示，外伸陽臺(tái)插入墻體部分受到的限制作用(圖1-42(a))，車刀固定于刀架部分受到的限制作用(圖1-42(b))，電線桿埋入地底下部分受到的限制作用(圖1-42(c))，以及立柱牢固地澆注進(jìn)基礎(chǔ)部分受到的限制作用等。這些限制作用的共同點(diǎn)是構(gòu)件一端被固定，既不允許固定端的隨意移動(dòng)，又不允許構(gòu)件繞其固定端隨意轉(zhuǎn)動(dòng)。將這些工程實(shí)例簡化的力學(xué)模型，稱為平面固定端約束，如圖1-42(d)所示。圖1-42固定端約束平面固定端的約束反力比較復(fù)雜，若把這些約束反力組成的平面任意力系(圖1-42(e))向固定端A簡化，可得到一主矢FA和一主矩MA。一般情況下，F(xiàn)A的方向是未知的，常用兩個(gè)正交分力FAx、FAy表示。因此，平面固定端約束就有兩個(gè)約束反力FAx、FAy和一個(gè)約束力偶矩MA(圖1-42(f))。FAx、FAy限制了構(gòu)件A端的隨意移動(dòng)，而約束力偶矩MA則限制了構(gòu)件A端的隨意轉(zhuǎn)動(dòng)。

2.均布載荷

載荷集度為常量的分布載荷，稱為均布載荷。這里只討論在一段長度上均勻分布的載荷，其載荷集度q是每單位長度上作用力的大小，其單位是N/m。均勻載荷的簡化結(jié)果為一合力，常用FQ表示。合力FQ的大小等于均布載荷集度q與其分布長度l的乘積，即FQ=ql。合力FQ的作用點(diǎn)在其分布長度的中點(diǎn)上，方向與q方向一致。

由合力矩定理可知，均布載荷對平面上任意點(diǎn)O的力矩等于均布載荷的合力FQ與矩心O到合力作用線距離x的乘積，即MO(FQ)=qlx。例1-17圖1-43(a)所示為懸臂梁的平面力學(xué)簡圖。已知梁長為2l，作用均布載荷q，在B端作用集中力F=ql和力偶M=ql2，求梁固定端A的約束反力。

解(1)取梁AB為研究對象，畫受力圖(圖1-43(b))。A端為固定端約束，有兩約束反力FAx、FAy和一約束力偶矩MA。(2)建立坐標(biāo)系A(chǔ)xy，列平衡方程。圖1-43懸臂梁的平面力學(xué)簡圖

1.7物體系統(tǒng)的平衡問題

1.7.1靜定與靜不定問題的概念

由前述平面任意力系的平衡可知，若構(gòu)件在平面任意力系作用下處于平衡，則無論采用何種形式的平衡方程，都只有三個(gè)獨(dú)立的方程，解出三個(gè)未知量。而平面匯交力系和平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的方程，平面力偶系只有一個(gè)獨(dú)立的方程。強(qiáng)調(diào)每種力系獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，對解題是很重要的。當(dāng)力系中未知量的數(shù)目少于或等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目時(shí)，全部未知量可由獨(dú)立平衡方程解出，這類問題稱為靜定問題。反之，當(dāng)力系中未知量的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目時(shí)，全部未知量不能完全由獨(dú)立平衡方程解出，這類問題稱為靜不定問題。

用靜力學(xué)平衡方程求解構(gòu)件的平衡問題時(shí)，應(yīng)先判斷問題是否靜定，這樣至少可以避免盲目求解。1.7.2物體系統(tǒng)的平衡問題

工程機(jī)械和結(jié)構(gòu)都是由若干個(gè)構(gòu)件通過一定約束連接組成的系統(tǒng)，稱為物體系統(tǒng)，簡稱為物系。求解物系的平衡問題時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)以外物體對系統(tǒng)的作用力，同時(shí)還要分析系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的作用力。系統(tǒng)外部物體對系統(tǒng)的作用力，稱為物系外力；系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力，稱為物系內(nèi)力。物系外力與內(nèi)力是個(gè)相對概念，當(dāng)研究整個(gè)物系平衡時(shí)，由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)、相互抵消的，因此可以不予考慮。當(dāng)研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡時(shí)，系統(tǒng)中其它構(gòu)件對它們的作用力就成為這一構(gòu)件或部分構(gòu)件的外力，必須予以考慮。若整個(gè)物系處于平衡，那么組成物系的各個(gè)構(gòu)件也處于平衡。因此在求解時(shí)，既可選整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，也可選單個(gè)構(gòu)件或部分構(gòu)件為研究對象。對于所選的每一種研究對象，一般情況下(平面任意力系)可列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。分別取物系中n個(gè)構(gòu)件為研究對象，最多可列3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出3n個(gè)未知量。若所取研究對象中有平面匯交力系(或平行力系、力偶系)，則獨(dú)立平衡方程的數(shù)目將相應(yīng)的減少。現(xiàn)舉例說明物系平衡問題的解法。例1-18圖1-44(a)所示為三鉸拱橋平面力學(xué)簡圖。已知其上作用均布載荷q，跨長為2a，跨高為h。試分別求固定鉸支座A、B的約束反力和C鉸所受的力。

解(1)取三鉸拱整體為研究對象，畫受力圖(圖1-44(b))。列平衡方程：圖1-44三鉸拱橋平面力學(xué)簡圖

(2)取左半拱AC為研究對象，畫受力圖(圖1-44(c))，建立坐標(biāo)系，列平衡方程：例1-19圖1-45(a)所示為一靜定組合梁的平面力學(xué)簡圖。

由桿AB和桿BC用中間鉸B聯(lián)接，A端為活動(dòng)鉸支座約束，C端為固定端約束。已知梁上作用均布載荷q=15kN/m，力偶M=20kN·m，求A、C端的約束反力和B鉸所受的力。圖1-45靜定組合梁的平面力學(xué)簡圖解(1)取桿AB為研究對象，AB上作用均布載荷q，按平行力系畫受力圖(圖1-45(b))，即B鉸的約束反力確定，與FA和q平行。建立坐標(biāo)系，列平衡方程：

(2)取桿BC為研究對象，畫受力圖(圖1-45(c))，列平衡方程：負(fù)號表示C端約束力偶矩的實(shí)際轉(zhuǎn)向與圖相反。例1-20圖1-46(a)所示為柱塞式水泵的平面力學(xué)簡圖。作用于齒輪Ⅰ上的驅(qū)動(dòng)力偶MO，通過齒輪Ⅱ及連桿AB帶動(dòng)柱塞在缸體內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。已知齒輪的壓力角為α，兩齒輪

半徑分別為r1、r2，曲柄O2A=r3，連桿AB=5r1，柱塞阻力為F。不計(jì)各構(gòu)件自重及摩擦，當(dāng)曲柄O2A處于鉛垂位置時(shí)，試求作用于齒輪Ⅰ上驅(qū)動(dòng)力偶矩MO的值。圖1-46柱塞式水泵的平面力學(xué)簡圖解(1)分別取齒輪1、齒輪2、柱塞B為研究對象，畫受力圖(圖1-46(b)、(c)、(d))。

(2)圖1-46(d)中，柱塞受平面匯交力系作用，只有兩個(gè)未知力FAB、FB是可解的。列平衡方程：

(3)由于FAB已解出，圖1-46(c)變?yōu)榭山猓衅胶夥匠蹋?/p>

(4)由圖1-46(b)列平衡方程：

1.8考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題

在前面研究物體平衡問題時(shí)，總是假定物體的接觸面是完全光滑的，將摩擦忽略不計(jì)。實(shí)際上完全光滑的接觸面不存在。工程中，一些構(gòu)件的接觸面比較光滑且有良好的潤滑條件，摩擦很小而不起主要作用時(shí)，為使問題簡化可不計(jì)摩擦。但在許多工程問題中，摩擦對構(gòu)件的平衡和運(yùn)動(dòng)起著主要作用，因此必須考慮。例如，制動(dòng)器靠摩擦制動(dòng)、帶輪靠摩擦傳遞動(dòng)力、車床卡盤靠摩擦夾固工件等，都是摩擦有用的一面。摩擦也有其有害的一面，它會(huì)帶來阻力、消耗能量、加劇磨損、縮短機(jī)器壽命等。因此，研究摩擦是為了掌握摩擦的一般規(guī)律，利用其有用的一面，而限制或消除其有害的一面。

按物體接觸面間發(fā)生的相對運(yùn)動(dòng)形式，摩擦可分為滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦；按兩物體接觸面是否存在相對運(yùn)動(dòng)，可分為靜摩擦和動(dòng)摩擦；按接觸面間是否有潤滑，可分為干摩擦和濕摩擦。本節(jié)主要介紹靜滑動(dòng)摩擦及考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題。

1.8.1滑動(dòng)摩擦的概念

兩物體接觸面間產(chǎn)生相對滑動(dòng)或具有相對滑動(dòng)趨勢時(shí)，接觸面間就存在阻礙物體相對滑動(dòng)或相對滑動(dòng)趨勢的力，這種力稱為滑動(dòng)摩擦力?；瑒?dòng)摩擦力作用于接觸面的公切面上，并與相對滑動(dòng)或相對滑動(dòng)趨勢的方向相反。只有滑動(dòng)趨勢而無相對滑動(dòng)的摩擦，稱為靜滑動(dòng)摩擦，簡稱靜摩擦；接觸面之間產(chǎn)生相對滑動(dòng)時(shí)的摩擦，稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦，簡稱動(dòng)摩擦。

1.靜滑動(dòng)摩擦

物體接觸面間產(chǎn)生滑動(dòng)摩擦的規(guī)律，可通過圖1-47所示的實(shí)驗(yàn)說明。

當(dāng)用一個(gè)較小的力FT去拉重為G1的物體時(shí)，物體將保持平衡。由平衡方程知，接觸面間的摩擦力Ff與主動(dòng)力FT大小相等。

當(dāng)FT逐漸增大時(shí)，F(xiàn)f也隨之增加。此時(shí)Ff似有約束反力的性質(zhì)，隨主動(dòng)力的變化而變化。所不同的是，當(dāng)Ff和FT增加到某一臨界最大值Ffmax(稱為臨界摩擦力)時(shí)，就不會(huì)再增加；若繼續(xù)增加FT，物體將開始滑動(dòng)。因此，靜摩擦力有介于零到臨界最大值之間的取值范圍，

即0<Ff≤Ffmax。圖1-47靜滑動(dòng)摩擦實(shí)驗(yàn)大量實(shí)驗(yàn)表明，臨界摩擦力的大小與物體接觸面間的正壓力成正比，即

Ffmax=μsFN(1-18)

式中，F(xiàn)N為接觸面間的正壓力；μs為靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)，簡稱靜摩擦因數(shù)，它的大小與兩物體接觸面間的材料及表面情況(表面粗糙度、干濕度、溫度等)有關(guān)，常用材料的靜摩擦因數(shù)μs可從一般工程手冊中查得。式(1-18)稱為庫侖定律

或靜摩擦定律。摩擦定律給我們指出了利用和減小摩擦的途徑，即可從影響摩擦力的摩擦因素與正壓力入手。例如，一般車輛以后輪為驅(qū)動(dòng)輪，故設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使重心靠近后輪，以增加后輪的正壓力。車胎壓出的各種紋路，是為了增加摩擦因數(shù)，提高車胎和路面的附著能力。如帶傳動(dòng)中，用張緊輪或V型帶增加正壓力以增加摩擦力；通過減小接觸表面粗糙度、加入潤滑劑來減小摩擦因數(shù)以減小摩擦力等，都是合理利用靜滑動(dòng)摩擦的工程實(shí)例。由上述可知，靜摩擦力也是一種被動(dòng)且未知的約束反力。其基本性質(zhì)可用以下三要素表示：

(1)大?。涸谄胶鉅顟B(tài)時(shí)，0＜Ff≤Ffmax，由平

衡方程確定，在臨界狀態(tài)下Ff=Ffmax=μsFN。

(2)方向：始終與相對滑動(dòng)趨勢的方向相反，并沿接觸面作用點(diǎn)的切向，不能隨意假定。

(3)作用點(diǎn)：在接觸面(或接觸點(diǎn))摩擦力的合力作用點(diǎn)上。

2.動(dòng)滑動(dòng)摩擦

繼續(xù)上述實(shí)驗(yàn)，當(dāng)主動(dòng)力FT超過Ffmax時(shí)，物體開始加速滑動(dòng)，此時(shí)物體受到的摩擦阻力已由靜摩擦力轉(zhuǎn)化為動(dòng)摩擦力Ff。大量實(shí)驗(yàn)表明，動(dòng)滑動(dòng)摩擦力Ff′的大小與接觸面間的正壓力FN成正比，即

Ff′=μFN(1-19)

式中，μ為動(dòng)摩擦因數(shù)，它是與材料和表面情況有關(guān)的常數(shù)，一般μ值小于μs的值。動(dòng)摩擦力與靜摩擦力相比，有兩個(gè)顯著的不同點(diǎn)：

①動(dòng)摩擦力一般小于臨界靜摩擦力，這說明維持一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)要比使一個(gè)物體由靜止進(jìn)入運(yùn)動(dòng)要容易些。

②靜摩擦力的大小要由與

主動(dòng)力有關(guān)的平衡方程來確定；而動(dòng)摩擦力的大小則與主動(dòng)力的大小無關(guān)，只要相對運(yùn)動(dòng)存在，它就是一個(gè)常值。1.8.2摩擦角與自鎖現(xiàn)象

考慮靜摩擦研究物體的平衡時(shí)，物體接觸面就受到正壓力FN和靜摩擦力Ff的共同反作用。若將此兩力合成，其合力FR就代表物體接觸面對物體的全部反作用，故FR稱為全約束反力，簡稱為全反力。

全反力FR與接觸面法線的夾角為φ，如圖1-48(a)所示。顯然，全反力FR與法線的夾角φ隨靜摩擦力的增加而增大，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，夾角φ也達(dá)到最大值φm，φm稱為摩擦角，如圖1-48(b)所示。由此可知：(1-20)式(1-20)表示摩擦角的正切值就等于摩擦因數(shù)。摩擦角表示全反力與法線間的最大夾角。若物體與支撐面的靜摩擦因數(shù)在各個(gè)方向都相同，則這個(gè)范圍在空間就形成一個(gè)錐體，稱為摩擦錐，如圖1-48(c)所示。若主動(dòng)力的合力FQ作用在錐體范圍內(nèi)，則約束面必然產(chǎn)生一個(gè)與之等值、反向且共線的全反力FR與之平衡。無論怎樣增加力FQ，物體總能保持平衡。全反力作用線不會(huì)超出摩擦錐的這種現(xiàn)象稱為自鎖。由上述可見，自鎖的條件應(yīng)為

φ≤φm

(1-21)自鎖條件常可用來設(shè)計(jì)某些結(jié)構(gòu)和夾具，例如，磚塊相對于磚夾不相對下滑，腳套鉤在電線桿上不自行下滑等，都是自鎖現(xiàn)象。而在另外一些情況下，則要設(shè)法避免自鎖現(xiàn)象的發(fā)生，例如，變速器中滑動(dòng)齒輪的撥動(dòng)就不允許發(fā)生自鎖，否則變速器就無法工作。圖1-48摩擦角與自鎖現(xiàn)象1.8.3考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題

求解考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問題，與不考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡大體相同。不同的是在畫受力圖時(shí)要畫出摩擦力，并要注意摩擦力的方向與滑動(dòng)趨勢的方向相反，不能隨意假定摩擦力的方向。

由于摩擦力也是一個(gè)未知量，因此在求解時(shí)除列出平衡方程外，還需列出補(bǔ)充方程Ff≤μsFN，所得結(jié)果必然是一個(gè)范圍值。在臨界狀態(tài)下，補(bǔ)充方程Ff=Ffmax=μsFN，故所得結(jié)果也將是平衡范圍的極限值。例1-21圖1-49(a)所示為重G的物塊放在傾角為α的斜面上，物塊與斜面間的摩擦因數(shù)為μs，且tanα＞μs。求維持物塊靜止時(shí)水平推力F的大小。

解要使物體維持在斜面上靜止，力F既不能太大，也不能太小。若力F過大，物體將向上滑動(dòng)；若力F過小，則物塊向下滑動(dòng)。因此，F(xiàn)的數(shù)值必須在某一范圍內(nèi)。

(1)先考慮物塊處于下滑趨勢的臨界狀態(tài)，即力F為最小值Fmin，且剛好維持物塊不致下滑的臨界平衡。畫其受力圖(圖1-49(b))，沿斜面方向建立坐標(biāo)系，列平衡方程及補(bǔ)充方程：圖1-49例1-21圖解得然后考慮物塊處于上滑趨勢的臨界狀態(tài)，即力F為最大值Fmax且剛好維持物塊不致上滑的臨界平衡。畫其受力圖(圖1-49(c))，列平衡方程及補(bǔ)充方程：

解得

所以，使物體在斜面上處于靜止時(shí)的水平推力F的取值范圍為例1-22圖1-50(a)所示為一制動(dòng)裝置的平面力學(xué)簡圖。

已知作用于鼓輪上的轉(zhuǎn)矩為M，鼓輪與制動(dòng)片間的靜摩擦因數(shù)為μs，輪徑為r，制動(dòng)臂尺寸為a、b、c。試求維持制動(dòng)靜止所需的最小力F。

解(1)分別取制動(dòng)臂和鼓輪為研究對象，畫其受力圖(圖1-50(b)、(c))。

(2)由于所求為力F的最小值，故摩擦處于臨界狀態(tài)，對于鼓輪(圖1-50(c))，列平衡方程：得圖1-50制動(dòng)裝置列補(bǔ)充方程Ff=μsFN，所以

對于制動(dòng)臂(圖1-50(b))，列平衡方程：若采用圖1-50(d)所示的制動(dòng)裝置，同理可解得其維持制動(dòng)靜止所需的最小力F為

由此可見，圖1-50(a)所示的制動(dòng)裝置比圖1-50(d)所示的裝置省力，且當(dāng)a≤μsc時(shí)，圖1-50(a)的制動(dòng)裝置處于自鎖狀態(tài)。因此，圖1-50(a)所示裝置的結(jié)構(gòu)較合理。

1.9空間力系簡介

1.9.1空間力的投影和力對軸之矩

1.力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

1)一次投影法

設(shè)空間直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸如圖1-51所示，已知力F與三坐標(biāo)軸的夾角分別為α、β、γ，則力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影等于力的大小乘以該夾角的余弦，即(1-22)式中，α、β、γ分別為力F與x、y、z軸所夾的銳角。圖1-51一次投影法

2)二次投影法

如圖1-52所示，若已知力F與z軸的夾角為γ，力F與z軸所確定的平面與x軸的夾角為φ，可先將力F在Oxy平面上投影，然后再向x、y軸進(jìn)行投影，則力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影

分別為(1-23)圖1-52二次投影法反過來，若已知力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小和方向，即

例1-23已知斜齒圓柱齒輪上A點(diǎn)受到另一齒輪對它作用的嚙合力Fn，F(xiàn)n沿齒廓在接觸處的公法線作用，且垂直于過A點(diǎn)齒面的切面，如圖1-53(a)所示。α為壓力角，β為斜齒輪的螺旋角。試計(jì)算圓周力Fτ、徑向力Fr、軸向力Fα的大小。(1-24)圖1-53斜齒圓柱齒輪的受力圖解建立如圖1-53(a)所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，先將嚙合力Fn向平面Axy投影得Fxy，其大小為

Fxy=Fncosα

向z軸投影，得徑向力為

Fr=Fnsinα

然后將Fxy向x、y軸上投影，如圖1-53(c)所示，因θ=β，得

圓周力Fτ=Fxycosβ=Fncosαcosβ

軸向力Fa=Fxysinβ=Fncosαsinβ

2.力對軸之矩

在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到構(gòu)件繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，為度量力對繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)件的作用效果，引入力對軸之矩的概念。

以推門為例，如圖1-54所示，門上作用力F，使其繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將力F分解為平行于z軸的分力Fz和垂直于z軸的分力Fxy(此分力的大小即為力F在垂直于z軸的平面A上的投影)。由經(jīng)驗(yàn)可知，分力Fz不能使靜止的門繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以分力Fz對z軸之矩為零；只有分力Fxy才能使靜止的門繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即Fxy對z軸之矩就是力F對z軸之矩?，F(xiàn)用符號Mz(F)表示力F對z軸之矩，點(diǎn)O為平面A與z軸的交點(diǎn)，d為點(diǎn)O到力Fxy作用線的距離。因此，力F對z軸之矩為

Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxyd

(1-25)

上式表明，力對軸之矩等于這個(gè)力在垂直于該軸的平面上的投影對該軸與平面交點(diǎn)之矩。力對軸之矩是力使物體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，是一個(gè)標(biāo)量。其正負(fù)號可以按以下方法確定：從z軸正端來看，若力矩沿逆時(shí)針，則規(guī)定為正，反之為負(fù)。也可按右手法則來確定其正負(fù)號。

力對軸之矩等于零的情況是：①當(dāng)力與軸相交時(shí)(此時(shí)d=0)；②當(dāng)力與軸平行時(shí)(此時(shí)|Fxy|=0)。圖1-54力對軸之矩

3.合力矩定理

如一空間力系由F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n組成，其合力為FR，則可證明合力FR對某軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和，即

Mz(FR)=∑Mz(F)

(1-26)

例1-24圖1-55所示拖架OC套在軸z上，在C點(diǎn)作用一力

F=1000N，圖中C點(diǎn)在Oxy面內(nèi)。試分別求力F對x、y、z軸之矩。圖1-55例1-24圖解應(yīng)用二次投影法，求得各分力的大小為：由合力矩定理得：1.9.2空間力系的平衡方程

1.空間力系的簡化

設(shè)物體作用一空間力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，如圖1-56(a)所示。與平面任意力系的簡化方法一樣，在物體內(nèi)任取一點(diǎn)O作為簡化中心，依據(jù)力的平移定理，將圖中各力移到O點(diǎn)，加上相應(yīng)的附加力偶，就可得到一個(gè)作用于簡化中心O點(diǎn)的空間匯交力系和一個(gè)附加的空間力偶系。將作用于簡化中心的匯交力系和附加的空間力偶系分別合成，便可得到一個(gè)作用于簡化中心O點(diǎn)的主矢FR′和一個(gè)主矩MO。主矢FR′的大小為

主矩MO的大小為圖1-56空間力系的簡化示意圖

2.空間力