《工程制圖與計(jì)算機(jī)繪圖》課件第2章

第2章投影法及點(diǎn)、直線和平面的投影2.1投影法的基本知識(shí)

2.2點(diǎn)的投影

2.3直線的投影

2.4平面的投影

2.1投影法的基本知識(shí)

一、投影法

物體在光線照射下會(huì)產(chǎn)生影子,如圖2-1所示。用幾何方法分析這種自然現(xiàn)象(圖2-2),把光源S稱為投射中心,光線稱為投射線,得到影子的平面稱為投影面,物體的影子稱為投影。因此,要作出物體在投影面上的投影,實(shí)質(zhì)上就是作出通過該物體的點(diǎn)、線、面的投射線與投影面的一系列交點(diǎn)和交線。這種按幾何法將物體表示在平面上的方法,稱為投影法。圖2-1投影現(xiàn)象圖2-2投影方法二、投影法的分類

1.中心投影法

投射中心S距離投影面有限遠(yuǎn)時(shí),所有投射線匯交于投射中心,如圖2-2所示，這種投影方法稱為中心投影法。按中心投影法作出的投影稱為中心投影，這種投影法主要用于繪制建筑物的透視圖。

2.平行投影法

投射中心距離投影面無限遠(yuǎn)時(shí),所有投射線互相平行,如圖2-3所示，這種投影法稱為平行投影法。按平行投影法作出的投影稱為平行投影。在平行投影法中,投射線的方向稱為投射方向。根據(jù)投射方向與投影面是否垂直,平行投影法又分斜投影法和正投影法兩種。圖2-3平行投影

(1)斜投影法:投射方向與投影面傾斜,如圖2-3(a)所示。

(2)正投影法:投射方向與投影面垂直,如圖2-3(b)所示。正投影法主要用于繪制機(jī)械、電氣、建筑和土木工程等圖樣。

軸測(cè)投影(軸測(cè)圖)是平行投影的一種。軸測(cè)圖立體感強(qiáng)，在工程中常用作輔助圖樣。本教材中反映點(diǎn)、線、面、體在空間投影情況的插圖以及反映物體空間形狀的插圖等均采用軸測(cè)圖。三、平行投影的基本性質(zhì)

1.平行投影的不變性

(1)點(diǎn)的投影仍然是點(diǎn)。

(2)直線的投影一般仍是直線,如圖2-4所示。直線上點(diǎn)的投影在直線的投影上，線段上的點(diǎn)分線段之比等于點(diǎn)的投影分線段投影之比,如圖2-4中, 。圖2-4投影的定比性

(3)空間互相平行的直線,其投影仍互相平行,如圖2-5所示,AB∥CD,ab∥cd。圖2-5投影的平行性

(4)當(dāng)線段或者平面平行于投影面時(shí),其投影反映原線段的實(shí)長(zhǎng)或原平面圖形的實(shí)形。如圖2-6所示,因?yàn)锳B∥P及△CDE∥P,故ab=AB及△cde≌△CDE。圖2-6投影的實(shí)形性

2.積聚性

當(dāng)直線、平面、柱面平行于投射方向時(shí),其投影具有積聚性,如圖2-7所示。圖2-7線、面投影的積聚性

3.類似性

當(dāng)平面與投影面傾斜但不平行投射方向時(shí),其投影具有類似性。如平面多邊形的投影仍為同邊數(shù)的多邊形，平面上圓的投影為橢圓。 2.2點(diǎn)的投影

點(diǎn)、直線、平面、立體等幾何元素中,點(diǎn)是最基本的元素。因此,首先研究點(diǎn)的投影。

一、點(diǎn)的三面投影

三個(gè)互相垂直的平面把空間分成八個(gè)部分,每個(gè)部分稱為一個(gè)分角,順序編號(hào)如圖2-8所示。

國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《技術(shù)制圖》中規(guī)定物體的圖樣優(yōu)先采用第一角畫法,即物體放在第一角內(nèi)作正投影。國(guó)際上的技術(shù)文件中,也有采用第三角畫法的圖樣。圖2-8三投影面體系三個(gè)互相垂直的平面構(gòu)成三投影面體系，簡(jiǎn)稱三面體系。三個(gè)投影面分別稱為水平投影面(H)、正立投影面(V)和側(cè)立投影面(W)。相應(yīng)的兩投影面交線稱為投影軸,三條投影軸的匯交點(diǎn)稱為原點(diǎn),如圖2-8所示。

如圖2-9(a)所示，在三投影面體系中,將第一角內(nèi)空間點(diǎn)A向三個(gè)投影面上作正投影：H面上的投影用a表示，稱為點(diǎn)的水平投影；V面上的投影用a′表示,稱為點(diǎn)的正面投影；W面上的投影用a″表示,稱為點(diǎn)的側(cè)面投影。為使點(diǎn)的三面投影圖繪制在同一平面上，須將OY軸分解成兩部分：OYH(在H面內(nèi))和OYW(在W面內(nèi))。將H面繞OX軸按圖2-9(b)中箭頭方向旋轉(zhuǎn)到與V面同面，將W面繞OZ軸按圖2-9(b)中箭頭方向旋轉(zhuǎn)到與V面同面，最后即得到如圖2-9(c)所示點(diǎn)A的三面投影圖。

圖2-9(c)中,點(diǎn)A的三個(gè)投影a、a′、a″來自三個(gè)不同的投影平面,它們經(jīng)過投影面展開后,重合在同一個(gè)平面——V面上。圖2-9點(diǎn)的三面投影下面分析點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律。

由圖2-9(a)可知,自A向三投影面作投影,形成以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體。投影展開時(shí),aaX⊥OX、a'aX⊥OX及a'aZ⊥OZ、a''aZ⊥OZ不變，另外，aaX=a''aZ；或者在圖2-9(b)中,OaYH=OaYW也不變。由此便可得出點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律如下：

(1)點(diǎn)的正面投影和水平投影連線垂直于OX軸,即a'a⊥OX。

(2)點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影連線垂直于OZ軸,即a'a''⊥OZ。

(3)點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離,等于點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離,即aaX=a''aZ,或者OaYH=OaYW。

以上是空間任一點(diǎn)的三面投影所必須保持的基本關(guān)系。作圖時(shí)為使aaX=a''aZ,可以原點(diǎn)為圓心作圓弧,或者自原點(diǎn)引45°輔助線,或作等腰直角三角形，如圖2-9(c)所示，但同一個(gè)圖的畫法應(yīng)一致。

二、點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

若將三投影面體系當(dāng)做笛卡爾直角坐標(biāo)系,則投影面體系的原點(diǎn)相當(dāng)于坐標(biāo)原點(diǎn),投影軸相當(dāng)于坐標(biāo)軸,投影面相當(dāng)于坐標(biāo)平面,如圖2-10(a)所示。空間點(diǎn)A到W、V、H各投影面的距離即為點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y,z)。在投影圖上,點(diǎn)A的三個(gè)投影a、a'、a''也完全可以用坐標(biāo)確定,如圖2-10(b)所示。因此，有了點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)(x,y,z),即可作出點(diǎn)的投影(a,a',a'')；有了點(diǎn)的投影(a,a',a''),即可確定它的坐標(biāo)(x,y,z)。由圖2-10(b)可以看出,點(diǎn)在每個(gè)投影面上的投影(如水平投影a)反映了點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)(如x,y)。點(diǎn)在任兩個(gè)投影面上的投影反映了點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)。因此,有了點(diǎn)的兩面投影,即可作出第三面投影。圖2-10點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

［例2-1］已知點(diǎn)A的兩個(gè)投影a、a',求作第三個(gè)投影a'',如圖2-11(a)所示。

解作圖步驟如下：

(1)由點(diǎn)a'作線垂直于OZ軸,a''在此直線上；

(2)由點(diǎn)a作aaYH⊥OYH,用畫圓弧的方法作aYW點(diǎn),自

aYW作線垂直于OYW；

(3)直線a''aYW與直線a'a''的交點(diǎn)a''即為點(diǎn)A的側(cè)面投影，如圖2-11(b)所示。圖2-11求作第三個(gè)投影

［例2-2］已知點(diǎn)A的坐標(biāo)(15,8,12),求作點(diǎn)A的三面投影。

解如圖2-12(a)所示,自點(diǎn)O沿X軸向左量取OaX=15mm,得aX點(diǎn)。自aX作線垂直于OX，如圖2-12(b)所示；自aX向下量取aaX=8mm，得點(diǎn)A的水平投影a；自aX向上量取12mm得a'。用畫圓弧的方法作出點(diǎn)A的側(cè)面投影a''，如圖2-12(c)所示。其中aaYH⊥OYH，a''aYW⊥OYW，a'a''⊥OZ。圖2-12已知點(diǎn)的坐標(biāo)求作點(diǎn)的投影

［例2-3］已知兩點(diǎn)A、B的投影，如圖2-13(a)所示，試判斷這兩點(diǎn)的空間相對(duì)位置，并作出兩點(diǎn)的軸測(cè)圖。

解由圖2-13(a)的水平(或正面)投影可以看出，點(diǎn)A比點(diǎn)B的X坐標(biāo)大，因此點(diǎn)A在點(diǎn)B的左方；由水平(或側(cè)面)投影可以看出，點(diǎn)A比點(diǎn)B的Y坐標(biāo)大，因此點(diǎn)A在點(diǎn)B的前方；由正面(或側(cè)面)投影可以看出，點(diǎn)A比點(diǎn)B的Z坐標(biāo)小，因此點(diǎn)A在點(diǎn)B的下方。綜合起來，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左、前、下方。

用圖2-13(b)說明A、B兩點(diǎn)的軸測(cè)圖的作圖方法，步驟如下：

(1)作投影軸的軸測(cè)圖——軸測(cè)軸。使OX水平，OZ⊥OX，OY平分∠XOZ。OX向左，OZ向上，OY向前。

(2)作V面為矩形，H、W面為平行四邊形，表示H、V、W的投影面邊框可以畫成粗線。

(3)作點(diǎn)的軸測(cè)投影圖。沿各軸測(cè)軸自O(shè)點(diǎn)按1∶1比例量取點(diǎn)A及點(diǎn)B的各坐標(biāo)值，得aX、aY、aZ及bX、bY、bZ，過它們分別作相應(yīng)軸測(cè)軸的平行線，其交點(diǎn)即為點(diǎn)A和點(diǎn)B的軸測(cè)圖，如圖2-13(b)所示。圖2-13空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置及軸測(cè)投影

三、特殊位置點(diǎn)與重影點(diǎn)的投影

若點(diǎn)在投影面上,則它的一個(gè)坐標(biāo)為零。如圖2-14中點(diǎn)A在H面上，其Z坐標(biāo)為零，點(diǎn)A的正面投影及側(cè)面投影分別在OX及OYW軸上。若點(diǎn)在投影軸上，則它的兩個(gè)坐標(biāo)為零,讀者可自己分析其投影特性。若空間兩點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)相同(另一個(gè)坐標(biāo)不同)，如圖2-14中B、C兩點(diǎn)，則它們?cè)贖面上的投影重合成一點(diǎn)，稱為B、C的重影點(diǎn)。對(duì)于重影點(diǎn)，一般把相應(yīng)坐標(biāo)大的點(diǎn)規(guī)定為可見，而把坐標(biāo)較小的點(diǎn)規(guī)定為不可見，并用小括號(hào)表示。若有多個(gè)點(diǎn)重影，則規(guī)定只有一個(gè)點(diǎn)可見，其余點(diǎn)都不可見。圖2-14特殊位置點(diǎn)與重影點(diǎn)的投影

2.3直線的投影

由2.1節(jié)“平行投影的基本性質(zhì)”可知，直線的投影一般仍為直線。同時(shí)又由初等幾何可知，兩點(diǎn)可以確定唯一一條直線。因此，欲作直線的投影圖，只要作出直線上任意兩點(diǎn)的投影，然后用直線連接兩點(diǎn)的同面投影，即得直線的三面投影。

直線對(duì)投影面的位置有三種情況：直線與某一投影面垂直，如圖2-15(a)所示，稱為投影面垂直線；直線與某一投影面平行并與另兩個(gè)投影面傾斜，如圖2-15(b)所示，稱為投影面平行線；直線與三投影面都傾斜，如圖2-15(c)所示，稱為一般位置直線。在三投影面體系中，直線對(duì)H、V、W投影面的傾角，分別用a、b、g表示，如圖2-15(c)所示。圖2-15直線對(duì)投影面的相對(duì)位置(a)投影面垂直線；(b)投影面平行線；(c)一般位置直線一、各種位置直線的投影特性

1.投影面垂直線

投影面垂直線有三種：垂直于H面的直線稱為鉛垂線；垂直于V面的直線稱為正垂線；垂直于W面的直線稱為側(cè)垂線。

現(xiàn)以圖2-16(a)所示物體上的鉛垂線AB為例，分析其投影特性，如圖2-16(c)所示。

(1)水平投影：由于AB垂直于H面，所以A、B兩點(diǎn)在H面上的投影重合，如圖2-16(b)所示。在投影圖2-16(c)中，其水平投影積聚成一點(diǎn)。圖2-16鉛垂線

(1)水平投影：由于AB垂直于H面，所以A、B兩點(diǎn)在H面上的投影重合，如圖2-16(b)所示。在投影圖2-16(c)中，其水平投影積聚成一點(diǎn)。

(2)正面投影：由于AB垂直于H面，故必垂直于OX軸和OY軸，同時(shí)必平行于V面和W面，所以其正面投影垂直于OX軸，即a'b'⊥OX，并且a'b'反映AB實(shí)長(zhǎng)，即a'b'=AB。

(3)側(cè)面投影:與(2)類似，a''b''⊥OYW，a''b''=AB。

直線與各投影面夾角分別為：a=90°，b=g=0°。

正垂線和側(cè)垂線也有類似的投影特性。各種投影面垂直線的投影特性見表2-1。表2-1投影面垂直線的投影特性

2.投影面平行線

投影面平行線有三種：平行于H面并傾斜于V面、W面的直線稱為水平線；平行于V面并傾斜于H面、W面的直線稱為正平線；平行于W面并傾斜于H面、V面的直線稱為側(cè)平線。

現(xiàn)以圖2-17(a)所示物體上的水平線AB為例，分析其投影特性，如圖2-17(c)所示。

(1)水平投影：由于AB平行于H面，所以水平投影反映實(shí)長(zhǎng)，即ab=AB，并且ab與OX軸及OYH軸的夾角反映直線AB對(duì)V面及W面的傾角b、g的真實(shí)大小，對(duì)H面的傾角a為零度。圖2-17水平線

(2)正面及側(cè)面投影：正面投影平行于OX軸，即a'b'∥OX；側(cè)面投影平行于OYW軸，即a''b''∥OYW。由于AB對(duì)V、W面傾斜，所以正面及側(cè)面投影均小于AB實(shí)長(zhǎng)，即a'b'＜AB，a''b''＜AB。

正平線及側(cè)平線也有類似的投影特性。各種投影面平行線的投影特性見表2-2。表2-2投影面平行線的投影特性

3.一般位置直線

對(duì)三個(gè)投影面都傾斜(既不平行也不垂直)的直線稱為一般位置直線，如圖2-18所示。一般位置直線的各面投影都對(duì)投影軸傾斜，既不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)(投影縮小)，也不反映空間直線對(duì)投影面的夾角。圖2-18一般位置直線

二、兩直線的相對(duì)位置及其投影特性

空間兩直線相對(duì)位置有三種情況：兩直線平行、兩直線相交和兩直線交叉(既不平行也不相交)。

1.兩直線平行

根據(jù)平行投影的基本性質(zhì)可知，如果空間兩直線互相平行，則兩直線的各同面投影互相平行。如圖2-19(a)、(b)所示，若空間直線AB∥CD，則ab∥cd，a'b'∥c'd'，a''b''∥c''d''。

反之，三組同面投影都平行的兩條直線，這兩條直線在空間也一定平行。需要注意，若兩條直線都平行于某投影面，一般需由它們所平行的投影面上的投影判斷它們是否平行。如圖2-19(c)所示，AB和CD都是側(cè)平線，它們的正面投影及水平投影必平行，但側(cè)面投影不平行，所以AB、CD在空間也不平行。圖2-19平行兩直線的投影

2.兩直線相交

如圖2-20(a)所示，空間兩直線AB與CD相交于K點(diǎn)。K點(diǎn)是它們的共有點(diǎn)，既在AB上也在CD上，所以K點(diǎn)的水平投影k一定是ab與cd的交點(diǎn)，正面投影k'一定是a'b'與c'd'的交點(diǎn)。在三面投影體系里，側(cè)面投影k''一定是a''b''與c''d''的交點(diǎn)，如圖2-20(b)所示。由于k、k'、k''是同一點(diǎn)K的三面投影，所以它必須符合點(diǎn)的投影規(guī)律。

由此可以得出結(jié)論：如果兩直線相交，它們的同面投影必相交，且兩直線各同面投影的交點(diǎn)即為兩直線交點(diǎn)的投影。反之，如果兩直線各同面投影相交，且交點(diǎn)的各面投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則此兩直線在空間必相交。圖2-20相交兩直線的投影

3.兩直線交叉

空間兩直線AB與CD既不平行也不相交，即是交叉兩直線，如圖2-21所示。因?yàn)榻徊鎯芍本€在空間不相交，所以它

們的同面投影的交點(diǎn)不是同一個(gè)點(diǎn)的投影，而是兩直線上不同的兩點(diǎn)在同一個(gè)投影面上的重影點(diǎn)。如圖2-21(a)所示，水平投影ab與cd的交點(diǎn)，實(shí)際上是AB上的Ⅲ點(diǎn)與CD上的Ⅳ點(diǎn)在水平投影面上的重影點(diǎn)。同理，正面投影a'b'與c'd'的交點(diǎn)，實(shí)際上是AB上的Ⅰ點(diǎn)與CD上的Ⅱ點(diǎn)在正立投影面上的重影點(diǎn)。AB與CD的投影圖及可見性如圖2-21(b)所示。圖2-21交叉兩直線及其重影點(diǎn)

2.4平面的投影

一、平面的表示法

平面是構(gòu)成立體的幾何元素。由初等幾何可知，平面可由下列任意一組幾何元素確定：

(1)不在同一直線上的三點(diǎn)，如圖2-22(a)所示。

(2)一直線和直線外的一點(diǎn)，如圖2-22(b)所示。

(3)相交兩直線，如圖2-22(c)所示。

(4)平行兩直線，如圖2-22(d)所示。

(5)任意的平面圖形(即平面的有限部分，如平面上的三角形、圓及其他封閉圖形)，如圖2-22(e)所示。圖2-22平面的幾何元素表示及投影平面也可以用它的跡線來表示，如圖2-23所示。圖2-24是圖2-23跡線平面對(duì)應(yīng)的投影圖。

平面與投影面的交線稱為平面的跡線。如圖2-23(a)所示，平面P與H面的交線稱為水平跡線，用PH表示；平面P與V面的交線稱為正面跡線，用PV表示；平面P與W面的交線稱為側(cè)面跡線，用PW表示。平面與投影軸的交點(diǎn)也是相應(yīng)兩條跡線與投影軸的交點(diǎn)，稱為跡線的集合點(diǎn)。跡線既在平面上也在投影面上，因此在投影圖上只畫跡線的一個(gè)投影，如水平跡線PH的水平投影，而不畫(也不標(biāo)記)它的正面及側(cè)面投影，如圖2-24(a)所示。圖中點(diǎn)A在正面跡線PV上。

平面對(duì)H、V、W投影面的傾角，同樣分別用a、b、g表示。圖2-23用跡線表示的平面圖2-24跡線平面的投影圖

二、各種位置平面的投影特性

平面對(duì)投影面的位置有三種：平行、垂直、傾斜，如圖2-25所示。圖2-25平面對(duì)投影面的各種位置在三投影面體系中，根據(jù)平面所處的位置，平面可以分成投影面平行面、投影面垂直面及一般位置平面三類。

1.投影面平行面

平行于一個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面。平行于H面的平面稱為水平面；平行于V面的平面稱為正平面；平行于W面的平面稱為側(cè)平面。

現(xiàn)以水平面為例，分析其投影特性，如圖2-26所示。圖2-26水平面的投影

(1)水平投影：水平面平行于水平投影面，故水平投影反映平面的實(shí)形。用跡線表示的水平面無水平跡線。

(2)正面投影及側(cè)面投影：正面投影及側(cè)面投影都具有積聚性，且積聚成直線，分別平行于OX軸及OYW軸。用跡線表示的水平面，其正面及側(cè)面跡線分別平行于OX軸及OYW軸。

水平面對(duì)三個(gè)投影面的夾角容易得到，a=0°，b=g=90°。

正平面和側(cè)平面有類似的投影特性。三種投影面平行面的投影特性見表2-3。表2-3投影面平行面的投影特性

2.投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面并與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面稱為投影面垂直面。垂直于H面并與V面、W面傾斜的平面稱為鉛垂面；垂直于V面并與H面、W面傾斜的平面稱為正垂面；垂直于W面并與H面、V面傾斜的平面稱為側(cè)垂面。

現(xiàn)以鉛垂面為例，分析其投影特性，如圖2-27所示。

(1)水平投影：由于鉛垂面垂直于H面，所以其水平投影具有積聚性，積聚成直線。該直線與OX軸及OYH軸的夾角，反映平面與V面及W面的夾角b及g。鉛垂面的水平跡線與平面的積聚性投影重合，對(duì)OX軸及OYH軸都傾斜。圖2-27鉛垂面的投影

(2)正面投影及側(cè)面投影：鉛垂面的正面投影及側(cè)面投影是平面圖形的類似形(多邊形則邊數(shù)相同，圓則成為橢圓)，面積縮小。鉛垂面的正面及側(cè)面跡線分別垂直于OX軸及OYW軸。

正垂面及側(cè)垂面有類似的投影特性。各種投影面垂直面的投影特性見表2-4。表2-4投影面垂直面的投影特性

3.一般位置平面

與三個(gè)投影面既不平行也不垂直，而處于傾斜位置的平面，稱為一般位置平面，如圖2-28所示。

一般位置平面的三面投影都是小于空間平面實(shí)形的類似形，其各面跡線均對(duì)投影軸傾斜。圖2-28一般位置平面的投影三、平面上的直線和點(diǎn)

1.平面上取直線和點(diǎn)

欲在平面上取直線，可以使直線通過平面上的兩個(gè)點(diǎn)，或者使直線通過平面上一點(diǎn)且平行于平面內(nèi)另一條直線。如圖2-29(a)所示，相交兩直線CD和DE確定一平面，A、B兩點(diǎn)分別在CD和DE直線上，即在平面上，連接A、B兩點(diǎn)的直線也在該平面上。圖2-29(b)中，三角形ABC確定一平面，通過平面內(nèi)的A點(diǎn)作直線AD∥BC，AD即在該平面上。反之，也可以用上述原理判斷一條直線是否在平面內(nèi)。

欲在平面內(nèi)取點(diǎn)，可以先在平面內(nèi)取直線，再在直線上取點(diǎn)。因?yàn)橹本€若在平面上，則直線上所有點(diǎn)都在平面上。反之，也可以根據(jù)這一原理判斷點(diǎn)是否在平面上。圖2-29在平面上取直線

［例2-4］已知△ABC上點(diǎn)D的正面投影，試作出D點(diǎn)的水平投影，如圖2-30(a)所示。圖2-