《高等微波網(wǎng)絡(luò)》課件第4章

第4章網(wǎng)絡(luò)綜合4.1網(wǎng)絡(luò)綜合的基本概念4.2單端口集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)的綜合4.3無耗單端口網(wǎng)絡(luò)的綜合4.4雙端口達(dá)林頓梯形網(wǎng)絡(luò)的綜合4.5等長度傳輸線雙端口無耗網(wǎng)絡(luò)的綜合4.6Butterworth綜合4.7Chebyshev綜合4.81/4波長阻抗變換器

4.1網(wǎng)絡(luò)綜合的基本概念

網(wǎng)絡(luò)綜合在微波工程中指的是預(yù)先規(guī)定元件的特性指標(biāo)而用網(wǎng)絡(luò)去實(shí)現(xiàn)的一個(gè)過程。它包括三個(gè)方面的問題：

(1)提出目標(biāo)，即預(yù)想的理想響應(yīng)；

(2)選用可能的函數(shù)去逼近理想響應(yīng)；

(3)設(shè)法實(shí)現(xiàn)具有逼近函數(shù)特性的網(wǎng)絡(luò)。

綜合有不同的分類，根據(jù)元件的特性，可以分為集總參數(shù)綜合和分布參數(shù)綜合。根據(jù)所規(guī)定的特性，可以分為幅值綜合和相位綜合；根據(jù)頻率特性可以分為低通、高通、帶通、帶阻等。

復(fù)平面下網(wǎng)絡(luò)的模型如圖4.1-1所示。圖4.1-1網(wǎng)絡(luò)模型其傳遞函數(shù)為：

極點(diǎn)在左半平面，零點(diǎn)在右半平面的傳遞函數(shù)叫做全通函數(shù)。

根據(jù)信號處理的知識，可知零、極點(diǎn)均在s域LHS的傳遞函數(shù)為最小相移函數(shù)。(4.1.1)4.1.1理想低通模型

研究所要綜合的一般低通網(wǎng)絡(luò)如圖4.1-2所示。

網(wǎng)絡(luò)的幅值特性常用增益G和截止頻率ωc表示，G表示端口2負(fù)載所吸收的功率Pl與端口1信號源所能提供的最大資用功率Pa之比，即

應(yīng)該指出，可能實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)增益函數(shù)G必須滿足如下約束條件：

(4.1.2)圖4.1-2低通響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)

(1)增益G必須是ω的偶函數(shù)：

即

G(ω)=G(－ω)

(4.1.5)(4.1.3)(4.1.4)

(2)增益G(ω2)必須是頻率ω的有限次冪的有理多項(xiàng)式。

這是因?yàn)椴捎糜邢迋€(gè)集總元件實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)，其S參數(shù)一定是ω的有限次冪有理多項(xiàng)式。

(3)盡可能地逼近理想響應(yīng)函數(shù)。

因?yàn)槭聦?shí)上有限次冪的有理多項(xiàng)式無法達(dá)到我們所希望的理想低頻響應(yīng)，所以網(wǎng)絡(luò)綜合理論就提出采用某類函數(shù)去逼近目標(biāo)。最常用的是Butterworth函數(shù)、Chebyshev函數(shù)和Jacobi函數(shù)。4.1.2網(wǎng)絡(luò)綜合的一般過程

為了分析方便，在網(wǎng)絡(luò)綜合理論中，常常把jω虛軸延拓為復(fù)平面s。其中

s=σ+jω

(4.1.6)

延拓的概念在數(shù)學(xué)、物理和工程方面均有廣泛的應(yīng)用。它只要求原jω平面在延拓前后的特性保持相同，而對于其他區(qū)域則可帶一定的任意性。很容易看出，在s平面上的增益G可以寫成

G(－s2)=S21(s)S21(－s)

(4.1.7)如果用表示S21(－s)，稱為Herwitz共軛，則有

(4.1.8)

本章所綜合的是無耗集總元件網(wǎng)絡(luò)，所以還可以進(jìn)一步寫成

(4.1.9)

下一個(gè)重要步驟是已知S11(s)S*11(s)，試圖分解出S11(s)。特別注意分解的形式是不唯一的，但是分解所得的S11(s)必須在s的右半平面保持解析，而且需進(jìn)一步綜合出網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)輸入端的S11(s)求出低通網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗函數(shù)，即

最后，根據(jù)Zin(s)綜合出梯形網(wǎng)絡(luò)。(4.1.10)

4.2單端口集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)的綜合

在綜合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之前首先要把預(yù)給的工作特性化為對應(yīng)的有理函數(shù)，它們一般是網(wǎng)絡(luò)參量函數(shù)。下面討論單端口網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的一些特點(diǎn)。

從N端口網(wǎng)絡(luò)入手，在任何信號作用下，根據(jù)基爾霍夫定理，N端口集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)域端口電壓和電流之間有如下關(guān)系：(4.2.1)式中，zij是微積分算子，即

式中，Lij、Rij和Cij為第i網(wǎng)口與第j網(wǎng)口的公共元件。因此，式(4.2.1)是關(guān)于t的微積分方程組。

對式(4.2.1)施行Laplac變換，假設(shè)初始條件為0，則得(4.2.2)(4.2.3)采用復(fù)頻率可以把振幅振動過程的幅度變化和相位變化統(tǒng)一起來加以描述，因此它相比于實(shí)頻率只能描述單純簡諧振蕩而言具有更一般的性質(zhì)。式(4.2.3)是一個(gè)代數(shù)方程組，Ui(s)、Ii(s)分別稱為復(fù)頻域電壓和電流，而

從式(4.2.3)可以解得電流為(4.2.4)(4.2.5)式中，Δ(s)為式(4.2.3)的系數(shù)行列式，Δji(s)是元素Zji(s)的代數(shù)余子式。Δ(s)、Δji(s)均為s的多項(xiàng)式，且為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。它們之比為一實(shí)系數(shù)的s有理函數(shù)。

對于單端口網(wǎng)絡(luò)，工作特性參量主要是其輸入阻抗。這時(shí)在式(4.2.3)中由于只有一個(gè)端口，i=j=1，所以，輸入阻抗為

Zin也稱為單端口網(wǎng)絡(luò)的策動點(diǎn)阻抗函數(shù)。(4.2.6)根據(jù)上述討論可以得到單端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗函數(shù)的一些基本概念：

(1)Zin(s)可表示為

(2)式(4.2.7)中分子多項(xiàng)式的根s1，s3，…為阻抗函數(shù)Zin(s)的零點(diǎn)，而分母多項(xiàng)式的根s2，s4，…為阻抗函數(shù)Zin(s)的極點(diǎn)。(4.2.7)

(3)對于無源網(wǎng)絡(luò)，零點(diǎn)、極點(diǎn)不可能位于s平面的右半平面，因?yàn)闊o源網(wǎng)絡(luò)中電壓、電流不可能是增長型振蕩的(能量守恒)。

(4)零點(diǎn)、極點(diǎn)必然是成對共軛地出現(xiàn)的，因?yàn)橹挥羞@樣才能保證阻抗函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)為正。對應(yīng)的物理意義就是電感、電阻和電容總應(yīng)為實(shí)數(shù)值，不存在復(fù)數(shù)值的電路元件。

(5)無源單端口的阻抗函數(shù)是正實(shí)函數(shù)，即當(dāng)s為實(shí)數(shù)時(shí)，Zin(s)必為實(shí)數(shù)；當(dāng)Res≥0時(shí)ReZin(s)≥0。利用網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部儲能和耗能恒為正實(shí)函數(shù)的性質(zhì)，可以證明結(jié)論(5)。Zin(s)的正實(shí)性意味著s平面的右半平面映射到Zin平面的右半平面，而s的正實(shí)軸映射到Zin平面的正實(shí)軸；但s平面的負(fù)實(shí)軸不一定只映射到Zin平面的負(fù)實(shí)軸上。

通過類似分析，可得單端口網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納也具有上述性質(zhì)。單端口網(wǎng)絡(luò)阻抗函數(shù)和導(dǎo)納函數(shù)的正實(shí)性是該網(wǎng)絡(luò)在物理上可實(shí)現(xiàn)的條件。以下通過簡單的例子來說明綜合的基本過程。

【例4.2.1】綜合一個(gè)單端口網(wǎng)絡(luò)，使其輸入阻抗的模在ω=ω0處為極點(diǎn)，在ω=0及ω=2ω0處為零點(diǎn)。在ω>2ω0范圍不作要求，即限于ω≤2ω0。畫出該網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗特性如圖4.2-1(a)所示。

解首先觀察所給的工作特性，用有理函數(shù)形式表示輸入阻抗。由ω=0，ω=2ω0為零點(diǎn)，依據(jù)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布必然成對共軛地出現(xiàn)，可寫出下面驗(yàn)證Zin(s)是否為正實(shí)函數(shù)。當(dāng)s為實(shí)數(shù)時(shí)，Zin(s)顯然為實(shí)數(shù)；當(dāng)Res≥0時(shí)ReZin(s)≥0，因此Zin(s)是可以用物理結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的。接著用一定的數(shù)學(xué)方法綜合出具體的電路結(jié)構(gòu)來。綜合的方法很多，最常用的是輾轉(zhuǎn)相除法：化為連分式即

根據(jù)以上連分式，可以畫出梯形電路來，如圖4.2-1(b)所示。圖4.2-1例4.2.1網(wǎng)絡(luò)的工作特性及其綜合結(jié)構(gòu)

4.3無耗單端口網(wǎng)絡(luò)的綜合

無耗單端口網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗為一電抗函數(shù)，即Zin=jX。根據(jù)Foster定理，電抗函數(shù)X有如下特性:

(1)X(ω)為ω的單調(diào)增函數(shù)；

(2)X(ω)是ω的奇函數(shù)，即X(－ω)=－X(ω)；

(3)X的零、極點(diǎn)交替出現(xiàn)；

(4)X(ω)的零極點(diǎn)必定關(guān)于原點(diǎn)對稱出現(xiàn)。從物理上看，電抗函數(shù)或者是電感性，或者是電容性，這樣X(ω)的分子或分母中必然有一個(gè)因子ω，它由ω=0是X(ω)的零點(diǎn)還是極點(diǎn)來決定。當(dāng)ω=0，X=0時(shí)，因子ω位于分子上；當(dāng)ω=0，X=∞時(shí)，因子ω位于分母上。同時(shí)，X(ω)在ω=∞處的性質(zhì)可根據(jù)內(nèi)在的零、極點(diǎn)分布來決定。如果分子的ω最高次冪比分母高一次，則ω=∞是X(ω)的極點(diǎn);如果分子的ω最高次冪比分母低一次，則ω=∞為X(ω)的零點(diǎn)。可見，從ω=0和ω=∞點(diǎn)來觀察，電抗函數(shù)可能有四種情況：

當(dāng)ω=0，X=－∞和ω=∞，X=+∞時(shí)，對應(yīng)的電抗函數(shù)有如下形式：

式中，H為正實(shí)數(shù)，n為奇數(shù)。

當(dāng)ω=0，X=－∞和ω=∞，X=0時(shí)，對應(yīng)的電抗函數(shù)有如下形式：(4.3.1)(4.3.2)式中，n為偶數(shù)。

當(dāng)ω=0，X=0和ω=∞，X=∞時(shí)，對應(yīng)的電抗函數(shù)有如下形式：

式中，n為偶數(shù)。

當(dāng)ω=0，X=0和ω=∞，X=0時(shí)，對應(yīng)的電抗函數(shù)有如下形式：(4.3.3)(4.3.4)式中，n為奇數(shù)。n等于ω在零到無窮大間的零、極點(diǎn)數(shù)目的總和，即

0<ω1<ω2<…<ωn<∞

(4.3.5)

可以看出，上述式子中分子和分母都是ω的多項(xiàng)式，它們的系數(shù)都是正有理數(shù)，各項(xiàng)的冪逐項(xiàng)下降兩次，分子和分母的最高次冪相差一次，所以，分子多項(xiàng)式若是奇函數(shù)，則分母多項(xiàng)式就一定是偶函數(shù)，反之亦然，從而保證了電抗函數(shù)為ω的奇函數(shù)。將式(4.3.1)~式(4.3.4)中的jω?fù)Q成復(fù)頻率s，便可以將電抗函數(shù)Zin(jω)=jX(ω)解析延拓到復(fù)頻率s平面上的Zin(s)。利用上述電抗函數(shù)的性質(zhì)，可以容易地判斷一個(gè)有理函數(shù)是否為電抗函數(shù)。例如：是電抗函數(shù)，而不是電抗函數(shù)。已知電抗函數(shù)后，便可綜合出無耗單端口網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，常用的方法仍是利用輾轉(zhuǎn)相除法將電抗函數(shù)變成連分式形式，從而得到梯形網(wǎng)絡(luò)。設(shè)電抗函數(shù)的通式為(4.3.6)利用輾轉(zhuǎn)相除法得其連分式為

則bi(i=1，3，5，…)是串聯(lián)電感Li，bj(j=2，4，6，…)是并聯(lián)電容Cj，于是得到最后的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖4.3-1所示。(4.3.7)圖4.3-1無耗梯形網(wǎng)絡(luò)

4.4雙端口達(dá)林頓梯形網(wǎng)絡(luò)的綜合

早在1939年，達(dá)林頓已經(jīng)證明，任何有理正實(shí)函數(shù)都可以作為其終端接有一個(gè)電阻的無耗雙口網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗進(jìn)行綜合。這一節(jié)只研究當(dāng)信號源與負(fù)載均為電阻性時(shí)，可實(shí)現(xiàn)一定類型的轉(zhuǎn)換功率增益特性的無耗雙口網(wǎng)絡(luò)的綜合法。

設(shè)圖4.4-1的無耗雙口網(wǎng)絡(luò)對R1與R2的歸一化散射矩陣為S(s)，信號源與負(fù)載之間的轉(zhuǎn)換功率增益特性為G(ω2)。有|S21(jω)|2=G(ω2)

(4.4.1)圖4.4-1無耗雙口網(wǎng)絡(luò)對無源雙口網(wǎng)絡(luò)來說，|S21(jω)|介于0和1之間，故轉(zhuǎn)換功率增益特性在實(shí)頻率軸的所有點(diǎn)應(yīng)滿足

0≤G(ω2)≤1

(4.4.2)

對無耗雙口網(wǎng)絡(luò)來說，散射矩陣具有幺正性，則有

|S22(jω)|2=1－|S21(jω)|2=1－G(ω2)

(4.4.3)

經(jīng)過解析延拓，式(4.4.1)和式(4.4.3)變?yōu)?/p>

S21(s)S21(－s)=G(－s2)

(4.4.4)

S22(s)S22(－s)=1－G(－s2)

(4.4.5)因而對于給定的G(ω2)，可以按式(4.4.5)求得S22(s)。式(4.4.5)左端函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn)都是象限對稱的。因?yàn)樯⑸渚仃嘢必須是有界實(shí)矩陣，所以在因式分解時(shí)，必須把式(4.4.5)中左半平面LHS的極點(diǎn)分配給S22(s)，若將式(4.4.5)LHS平面的零點(diǎn)也分配給S22(s)，則這樣的S22(s)稱為最小相移反射系數(shù)。

當(dāng)輸入端口接參考電阻R1時(shí)，輸出端口的反射系數(shù)為(4.4.6)圖4.4-1中從輸出端看進(jìn)去的策動點(diǎn)阻抗為

下一步就可以將Z22(s)作為終端接有電阻的無耗雙口網(wǎng)絡(luò)的輸入端口策動點(diǎn)阻抗綜合，而這個(gè)終端電阻是R1或1/R1。

最后要指出的是，由式(4.4.5)分解出來的最小相移反射系數(shù)S22(s)可以取正、負(fù)兩個(gè)不同符號。對具有低通特性的G(ω2)，由式(4.4.7)得(4.4.7)(4.4.8)或

除了R1=R2的特例外，S22(s)的符號只允許有一種選擇，這一點(diǎn)由式(4.4.9)可以看出，下面以實(shí)際例子作進(jìn)一步說明。(4.4.9)

【例4.4.1】設(shè)信號源內(nèi)阻與負(fù)載電阻分別為R1=2Ω，R2=1Ω。要求的轉(zhuǎn)換功率增益特性為

試設(shè)計(jì)無耗雙口網(wǎng)絡(luò)。

解這里G(ω2)是一個(gè)低通響應(yīng)函數(shù)，設(shè)想網(wǎng)絡(luò)N具有圖4.4-2所示的結(jié)構(gòu)。(4.4.10)圖4.4-2具有低通特性的LC梯形網(wǎng)絡(luò)當(dāng)ω=0時(shí)，串臂電感相當(dāng)于短路，此時(shí)的轉(zhuǎn)換功率增益是

由式(4.4-10)可得ω=0時(shí)的增益為(4.4.11)(4.4.12)由式(4.4.11)和式(4.4.12)得k=8。故轉(zhuǎn)換功率特性應(yīng)為

由式(4.4.5)得(4.4.13)(4.4.14)上式的最小相移分解方式是

式(4.4.15)有兩種可能的符號。由式(4.4.7)決定的輸出端策動點(diǎn)阻抗Z22(s)也有兩個(gè)不同的值。當(dāng)式(4.4.15)取正號時(shí)

當(dāng)式(4.4-15)取負(fù)號時(shí)(4.4.15)(4.4.16a)(4.4.16b)按給定條件R1=2Ω，即Z22(0)=2Ω，故Z22(s)應(yīng)取式(4.4-16a)，式(4.4-15)中取正號。Z22(s)的連分式展開式如下：

按達(dá)林頓綜合法實(shí)現(xiàn)的雙口網(wǎng)絡(luò)如圖4.4-3所示。(4.4.17)圖4.4-3例4.4.1實(shí)現(xiàn)的雙口網(wǎng)絡(luò)

4.5等長度傳輸線雙端口無耗網(wǎng)絡(luò)的綜合

單純由集總元件L、C所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)在微波系統(tǒng)中是很難實(shí)現(xiàn)的。微波系統(tǒng)中，常用一定長度的傳輸線(短截線)來構(gòu)成微波元件。本節(jié)介紹用等長度傳輸線構(gòu)成微波網(wǎng)絡(luò)的綜合方法。

4.5.1s面網(wǎng)絡(luò)

首先討論由等長度傳輸線構(gòu)成微波元件的特性。在等長度傳輸線構(gòu)成的微波元件中，傳輸線不外有三種工作狀態(tài)：短路線、開路線和連接線，如圖4.5-1所示。對于電長度為θ的短路線而言，其輸入阻抗Zin=Z0jtanθ。而對于開路線，輸入導(dǎo)納Yin=Y0jtanθ。對于連接線，它是一雙端口網(wǎng)絡(luò)，其A矩陣為圖4.5-1傳輸線的三種工作狀態(tài)由此可見，無論是那種傳輸線，它們都是jtanθ的函數(shù)，而θ又是ω的函數(shù)(

)，所以，可以把tanθ看成是新的頻率變量，即令s=jtanθ，則三種傳輸線的特性變?yōu)殚_路線:

Yin(s)=Y0s=sC

(4.5.1)短路線:

Zin(s)=Z0s=sL

(4.5.2)連接線:(4.5.3)于是，在ω平面上的傳輸線根據(jù)其工作狀態(tài)不同，在s復(fù)平面上分別對應(yīng)于

短路線：電感L=Z0。

開路線：電容C=Y0。

連接線：單位元件。連接線在s平面上是一特殊的雙端口網(wǎng)絡(luò)，沒有集總元件與之對應(yīng)，我們稱其為單位元件(unitelement，簡記為u.e.)。

ω平面上的電阻在s平面上還是個(gè)電阻，因?yàn)樗c頻率無關(guān)。應(yīng)用s=jtanθ的頻率變換，可以把ω平面上的等長傳輸線網(wǎng)絡(luò)變換成s面上的由集總元件和單位元件組成的網(wǎng)絡(luò)，這種網(wǎng)絡(luò)稱為s面網(wǎng)絡(luò)。在這種變換中，對應(yīng)變換點(diǎn)上網(wǎng)絡(luò)的特性是不變的(如輸入阻抗、工作特性等)。

【例4.5.1】將圖4.5-2(a)所示的ω平面上的等長傳輸線網(wǎng)絡(luò)變換為s面網(wǎng)絡(luò)，并求其輸入阻抗。(網(wǎng)絡(luò)已關(guān)于終端負(fù)載歸一化。)

解利用ω平面上等長傳輸線與s面網(wǎng)絡(luò)元件的等效關(guān)系，不難畫出圖4.5-2(a)網(wǎng)絡(luò)的s面等效網(wǎng)絡(luò)，如圖4.5-2(b)所示。圖(b)中網(wǎng)絡(luò)總歸一化轉(zhuǎn)移矩陣為于是歸一化輸入阻抗為如果θ=90°，即，則zin=1。圖4.5-2例4.5.1題圖4.5.2s面網(wǎng)絡(luò)的綜合

首先預(yù)給網(wǎng)絡(luò)的工作衰減函數(shù)，求得其輸入阻抗，然后由輸入阻抗綜合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。但因通常所給的工作衰減都是頻率ω的函數(shù)，所以必須經(jīng)過s=jtanθ的頻率變換，得出s面上的工作衰減，然后求出s面的輸入阻抗，進(jìn)行s面網(wǎng)絡(luò)綜合。把ω面上的工作衰減變換成s面上的工作衰減，要視具體情況而定。本節(jié)主要討論已知s面網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗，如何綜合出s面網(wǎng)絡(luò)來。已知s面網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗去綜合s面網(wǎng)絡(luò)時(shí)，需從輸入阻抗中逐次地移出電感L、電容C以及單位元件，要求每移出一個(gè)元件應(yīng)使輸入阻抗逐次簡化，最后只剩下一個(gè)負(fù)載電阻，這樣就完成了s面網(wǎng)絡(luò)的綜合。從輸入阻抗Zin(s)中移出電感L和電容C的過程比較簡單，只要將Zin(s)分子與分母相除就可以了，它有下列幾種可能情況：

(1)Zin(s)=sL+Zin′(s)，即移出一個(gè)串聯(lián)電感L；

(2)Zin(s)=

+Zin′(s)，即移出一個(gè)串聯(lián)電容C；

(3)Yin(s)=sC+Yin′(s)，即移出一個(gè)并聯(lián)電容C；

(4)Yin(s)=

+Yin′(s)，即移出一個(gè)并聯(lián)電感L。從輸入阻抗中移出一個(gè)單位元件則比較復(fù)雜。需要應(yīng)用下面的理查茲定理。

理查茲定理設(shè)s面網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗Zin(s)=(m1+n1)(m2+n2)，其中，m是s的偶函數(shù)，n是s的奇函數(shù)。如果在s=1時(shí)，m1m2－n1n2=0，則可以從Zin(s)中移出一個(gè)特性阻抗為Z0=Zin(1)的單位元件，其余函數(shù)Zin′(s)為

且比Zin(s)的結(jié)構(gòu)簡單(即Zin′(s)的分子和分母的最高次冪比Zin(s)的低一次)。(4.5.4)如果在s=1時(shí)m1m2－n1n2≠0，則式(4.5.4)的結(jié)構(gòu)比Zin(s)的結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，這時(shí)須把Zin(s)的分子和分母同乘以s+1，然后再移出單位元件，這樣得到的余函數(shù)結(jié)構(gòu)要簡單些。

式(4.5.4)的證明是容易的，由于單位元件是一段θ的傳輸線，所以

解出Zin′得在上式中令Z0=Zin(1)，便得到式(4.5.4)。從證明過程中可以看出，在任何條件下式(4.5.4)都成立。之所以還要求滿足條件(m1m2－n1n2)|s=1=0，是為了保證Zin′(s)比Zin(s)結(jié)構(gòu)更簡單，因?yàn)檫@時(shí)Zin′(s)中分子和分母多項(xiàng)式中含有公因子s2－1，可以消去。如果(m1m2－n1n2)|s=1≠0，則Zin(s)的分子和分母都乘以s+1后，條件(m1m2－n1n2)|s=1=0便可以滿足。所以，(m1m2－n1n2)|s=1=0這個(gè)條件是非常重要的。只有滿足了這個(gè)條件，每移出一單位元件、電感L或電容C，都可使原函數(shù)逐漸簡化，最后有可能把原函數(shù)分解成只剩下一個(gè)負(fù)載電阻，從而完成s面網(wǎng)絡(luò)的綜合。

【例4.5.2】已知一雙端口無耗網(wǎng)絡(luò)歸一化輸入阻抗

，試綜合其s面網(wǎng)絡(luò)。

解首先驗(yàn)證(m1m2－n1n2)|s=1=4×16－8×8=0，所以可以移出一單位元件，其特性阻抗z0=zin(1)=，余函數(shù)為消去上式中分子、分母的公因子s2－1，再從zin′(s)中移出一個(gè)并聯(lián)電感，用分子除分母，得

即導(dǎo)納所以并聯(lián)電感。余函數(shù)可以驗(yàn)證：

所以可再從zin′(s)中移出一個(gè)單位元件，其特性阻抗為

而余函數(shù)為最后剩下的負(fù)載電阻為1。這樣便完成了s面網(wǎng)絡(luò)綜合，綜合的電路就是圖4.5-2(b)所示電路。

需要說明的是，由輸入阻抗綜合出的s面網(wǎng)絡(luò)不是唯一的。

4.6Butterworth綜合

本節(jié)和下節(jié)簡單介紹如何采用所選定的逼近函數(shù)去近似問題所要求的理想增益，即“逼近論問題”。廣義地說，構(gòu)成的逼近函數(shù)除了要符合是頻率ω的偶函數(shù)和有理多項(xiàng)式的條件外，還必須盡可能地趨近理想特性曲線。詳細(xì)的綜合步驟可參看相關(guān)書籍。

1.Butterworth逼近以及基本性質(zhì)

Butterworth首先在1930年提出如下一類響應(yīng)特性：(4.6.1)其中，0≤Kn≤1。

Butterworth逼近有如下基本性質(zhì)：

(1)在ω=0和ω=∞處具有最大平滑特性，故通常把Butterworth又稱為最平坦函數(shù)；

(2)通帶和阻帶的Butterworth逼近面積分別與理想響應(yīng)的面積差為，也就是與成比例；

(3)在ω=0處，G(0)=Kn。而在ω=ωc處，不管n為何值，均有。這個(gè)性質(zhì)也成為Butterworth的三分貝帶邊性質(zhì)。

2.Butterworth響應(yīng)中n的選擇

在微波工程中，Butterworth響應(yīng)中的參數(shù)n表示所要綜合的集總元件的數(shù)目，它是根據(jù)通帶與阻帶內(nèi)所要求的技術(shù)指標(biāo)來決定的。n越大，函數(shù)越接近于矩形響應(yīng)。

4.7Chebyshev綜合

1.Chebyshev多項(xiàng)式

n階第一類Chebyshev多項(xiàng)式定義為

當(dāng)|x|≤1時(shí)，Tn(x)=cos(ncos－1x)

(4.7.1)

當(dāng)|x|>1時(shí)，Tn(x)=cosh(ncosh－1x)

(4.7.2)

其遞推公式是

Tn+1(x)=2xTn(x)－Tn－1(x)

(4.7.3)

2.Chebyshev多項(xiàng)式的幾個(gè)重要性質(zhì)

(1)零點(diǎn)性質(zhì)：

當(dāng)n=2k，k=0，1，2…時(shí)，Tn(0)=(－1)；

當(dāng)n=2k+1，k=0，1，2…時(shí)，Tn(0)=0。

(2)帶邊特性:

Tn(1)=1

(3)奇偶特性:

Tn(－x)=(－1)nTn(x)

(4)帶內(nèi)特性:自變量|x|≤1稱為帶內(nèi)，n階Chebyshev多項(xiàng)式有n個(gè)零點(diǎn)，這n個(gè)零點(diǎn)全部落在-1<x<１的區(qū)域內(nèi)，且Tn(x)在-1和+1之間等波紋起伏。因此，也常常把Chebyshev響應(yīng)稱為等波紋響應(yīng)。

(5)帶外特性：|x|>1稱為帶外，|Tn(x)|在帶外單調(diào)上升，當(dāng)x1時(shí)，Tn(x)≈2n－1xn。

(6)最佳特性:

所有n階多項(xiàng)式Tn(XMx)中(其中XM＞１)，若x0表示其最大一個(gè)實(shí)根，對于一定的XM(1－x0)，定義上升斜率為

則Chebyshev多項(xiàng)式可得到最大的Q值，即

3.Chebyshev逼近及n的選擇

Chebyshev逼近是在微波工程中最為常用的一類函數(shù)。定義Chebyshev響應(yīng)的增益是

十分明顯，是ω的偶函數(shù)，即符合逼近函數(shù)條件，ε稱為等波紋系數(shù)，ωc是截止角頻率。(4.7.4)

4.81/4波長阻抗變換器

在微波電路中，常常遇到阻抗匹配問題，如不同傳輸線間的連接、不同元件間的連接、各種天線與饋線間的連接等問題。如果是直接連接，必然是會產(chǎn)生反射，影響功率傳輸。因此，需要在連接點(diǎn)間插入匹配網(wǎng)絡(luò)，以達(dá)到阻抗匹配，保證功率無反射地傳輸。根據(jù)待匹配負(fù)載的性質(zhì)，阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)可以分為三種：一種是匹配純電阻負(fù)載的阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)，稱之為阻抗變換器，這類匹配都是無反射匹配；另一種是匹配復(fù)阻抗負(fù)載的阻抗變換網(wǎng)絡(luò)，通常采用共軛匹配，以期獲得最大功率輸出；第三種是匹配負(fù)阻與正阻的阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)，以期獲得一定的功率增益。本節(jié)介紹最常用的一種阻抗匹配器——1/4波長阻抗變換器的原理與設(shè)計(jì)方法。4.8.1基本原理

我們知道，一節(jié)λ/4線可起到阻抗變換作用。設(shè)源阻抗Zg=Rg，負(fù)載阻抗ZL=RL，λ/4線特性阻抗為Z1，則輸入阻抗，在l=λ/4時(shí)，，所以，。于是，只要，就可以保證輸入端匹配，即Zg=Zin。之所以能達(dá)到匹配，是因?yàn)槠鋬啥水a(chǎn)生的反射在輸入端大小相等，相位相反，相互抵消所致。但當(dāng)頻率變化l≠λ/4時(shí)，兩端反射將不能完全抵消，因而匹配程度變壞。所以，一節(jié)λ/4變換器的匹配帶寬很窄。為此，采用多節(jié)階梯阻抗變換器，這種變換器是由許多長度相同(在中心頻率上是1/4波長)、特性阻抗不等的均勻傳輸線構(gòu)成的，如圖4.8-1所示。圖中各阻抗值都對源阻抗Z0歸一化，即Z0=1，ZL=Zn+1=R，R叫做阻抗變化比。各傳輸線特性阻抗呈階梯變化，階梯上的反射在輸入端相互抵消，只要階梯阻抗變化足夠慢，就能夠保證足夠的寬帶匹配。圖4.8-11/4波長階梯阻抗變換器對于一節(jié)1/4波長阻抗變換器，A矩陣為(4.8.1)匹配條件為，則或A11和A22是實(shí)函數(shù)，并且是cosθ的一次多項(xiàng)式。對于兩節(jié)1/4波長阻抗變換器，A矩陣為即

由于傳輸線無耗，Z1、Z2為實(shí)數(shù)，所以A11、A22為實(shí)函數(shù)，并且是cosθ的二次多項(xiàng)式，在Z1Z2=R的情況下，有(4.8.2)推而廣之，對于n節(jié)1/4波長阻抗變換器，有

由于各傳輸線無耗，所以Z1，Z2，…，Zn是實(shí)數(shù)，因此A11、A22是實(shí)函數(shù)，并且是cosθ的n次多項(xiàng)式；A12、A21為虛函數(shù)，并且在ZiZn－i+1=R的情況下，有(4.8.3)已知1/4波長階梯阻抗變換器的A矩陣后，可求得

式中，a11，a12，a21，a22為歸一化A矩陣參數(shù)，且

于是(4.8.4)考慮到網(wǎng)絡(luò)無耗和互易，A11、A22為實(shí)數(shù)，A12、A21為虛數(shù)以及detA=1，有(4.8.5)通常都要求1/4波長階梯阻抗變換器滿足

于是，式(4.8.5)變成(4.8.6)由于A11和A22均為cosθ的n次多項(xiàng)式，所以也是cosθ的n次多項(xiàng)式。令其為Pn(cosθ/μ0)，其中μ0為一常數(shù)。這樣，1/4波長阻抗變換器的工作衰減為(4.8.7)再引入頻率變換，則

(4.8.8)式中，Pn(x)為x的n次多項(xiàng)式。這樣，便可以像設(shè)計(jì)濾波器那樣設(shè)計(jì)阻抗變換器了。在一般情況下，阻抗變換器的工作特性都指定在ω1~ω2的頻帶內(nèi)，中心頻率為ω0，帶內(nèi)最大衰減不超過LAr或輸入電壓駐波比不超過ρr。對帶外則一般不作要求。下面先研究一下x=cosθ/μ0的變換。

設(shè)有一低通原型，工作衰減為式(4.８.8)，如圖4.８-2(a)所示。經(jīng)過x=cosθ/μ0變換后，變到ω面上的工作衰減如圖4.8-2(b)所示。變換的對應(yīng)點(diǎn)如表4.8.1所示。表4.8.1變換的對應(yīng)點(diǎn)

圖4.8-2x=cosθ/μ0變換前后的工作衰減由于傳輸線阻抗的半波長重復(fù)性，所以，圖4.8-2(b)的響應(yīng)每經(jīng)2ω0重復(fù)一次。圖4.8-2(b)中響應(yīng)在ω1~ω2內(nèi)衰減不超過LAr，故可作為1/4波長階梯阻抗變換器的響應(yīng)。因此，如果把式(4.8.8)按低通響應(yīng)設(shè)計(jì)，再用變換式x=cosθ/μ0變換到ω面上，就可以得到阻抗變換器響應(yīng)。低通原型可以采用Butterworth或Chebyshev多項(xiàng)式逼近，故Pn(x)可以選為Butterworth或Chebyshev多項(xiàng)式，從而得到最平坦或切比雪夫階梯阻抗變換器。4.8.2綜合過程

在式(4.8.8)中若選用，則可得到

Butterworth變換器；若選用，則可得到Chebyshev阻抗變換器，下面以Butterworth變換器為例給出綜合過程。

首先給出1/4波長阻抗變換器帶寬的定義。通常定義相對帶寬為(4.8.9)式中，λg1和λg2分別為工作頻帶內(nèi)最長的和最短的波導(dǎo)波長。中心波長定義為

每節(jié)長度為

電長度為(4.8.10)(4.8.11)(4.8