適用于新教材2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何課時(shí)規(guī)范練44雙曲線北師大版

課時(shí)規(guī)范練44基礎(chǔ)鞏固組1.(2024·山東青島一模)若雙曲線ky2-8x2=8的焦距為6,則該雙曲線的離心率為()A.324 B.3答案:A解析:因?yàn)閗y2-8x2=8為雙曲線,所以k≠0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為y28k由焦距為6可得c=8k+1=3,解得k=所以雙曲線為y28-所以雙曲線的離心率為e=ca2.(2024·湖南常德一模)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,A.5 B.2 C.72 D.答案:A解析:不妨設(shè)F(c,0),一條漸近線方程為y=bax,即bx-ay=0,所以|bc|b2+a2=2a,即b=2a,b2=4a23.(2024·湖南婁底高三期末)已知雙曲線C:x24-y25=1的左焦點(diǎn)為F1,M為雙曲線C右支上隨意一點(diǎn),D的坐標(biāo)為(3,1),則A.3 B.1 C.-1 D.-3答案:D解析:雙曲線的實(shí)半軸長為a=2,右焦點(diǎn)為F2(3,0),所以|MD|-|MF1|=|MD|-(|MF2|+2a)=(|MD|-|MF2|)-2a≤|F2D|-2a=(3-3)2+(1-0)2-44.(2024·山東濰坊一模)如圖,某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂移,建筑師通過雙曲線的設(shè)計(jì)元素給予了這座建筑以輕快、極簡和雕塑般的氣質(zhì),該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)上支的一部分A.53 B.54 C.4答案:B解析:點(diǎn)F(0,c)到漸近線y=abx,即ax-by=0的距離d=|-bc|又由題意可知a+c=36,a25.(2024·廣東佛山二模)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)以正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),且經(jīng)過該正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)A.22-2 B.22+2 C.2-1 D.2+1答案:A解析:由圖知,c=1,易知D(1,2),代入雙曲線方程得1a2-4b2=1,又a2+b2=1,聯(lián)立求解得a2=3-226.定義實(shí)軸長與焦距之比為黃金數(shù)5-12的雙曲線叫黃金雙曲線,若雙曲線x2a2-y2bA.5-12 B.3-答案:A解析:由題可知2a2c=5-12,所以2a2=(3-5)c2=(3-5)(a7.(2024·山東濟(jì)南歷城二中模擬)設(shè)F1,F2分別是雙曲線x24-y245=1的左、右焦點(diǎn),P是該雙曲線上的一點(diǎn),且3|PF1|=5|PF2|,則△PFA.143 B.715 C.153 D.515答案:C解析:設(shè)|PF1|=5x(x>0),則|PF2|=3x,則由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=5x-3x=2x=2a=4,所以x=2,故|PF1|=10,|PF2|=6.又|F1F2|=14,故cos∠F1PF2=100+36-1962×10×6=-12,故sin所以△PF1F2的面積為12×10×6×32=158.(多選)(2024·河北唐山三模)已知F1,F2為雙曲線C:y23-x2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為雙曲線C上隨意一點(diǎn),則(A.|PF1|-|PF2|=23B.雙曲線C的漸近線方程為y=±33C.雙曲線C的離心率為2D.|PF1+答案:CD解析:雙曲線C:y23-x2=1的焦點(diǎn)在y軸上,a=3,b=1,c=a2對于A,||PF1|-|PF2||=2a=23,而點(diǎn)P在哪支上并不確定,故A錯(cuò)誤;對于B,焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±abx=±3x對于C,e=ca對于D,設(shè)P(x,y),則|PO|=x2+y2=x2+(3x2+3)=3+4x2≥3(當(dāng)x=0時(shí),等號成立),因?yàn)镺為F9.(2024·廣東鶴山高三檢測)若雙曲線C:x2a2-y24=1的一條漸近線與直線l:3x+2y-答案:213解析:易知與直線l垂直的雙曲線C:x2a2-y24=1的漸近線方程為2x-ay=0,由兩直線垂直得,2×3-2a=0?a=3,∴c∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(13,0),F2(-13,0).∵虛軸的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為B(0,2),∴S△F1BF2=12·|F1F2|·10.(2024·全國甲,文15)記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿意條件“直線y=2答案:2(答案不唯一,只要1<e≤5即可)解析:由題意知,雙曲線C的漸近線方程為y=±bax,要使直線y=2x與雙曲線C無公共點(diǎn),只需ba由ba≤2,得c2-a2a2≤4,所以11.(2024·江蘇華羅庚中學(xué)高三檢測)已知雙曲線x23-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,3),則|PQ|+|PF1|的最小值為答案:5+23解析:由雙曲線方程知a=3,b=1,c=2,則F1(-2,0),F2(2,0).由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a=23,∴|PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|+23≥|QF2|+23(當(dāng)且僅當(dāng)P在線段QF2上時(shí),等號成立).又|QF2|=(-2-∴(|PQ|+|PF1|)min=5+23.綜合提升組12.已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),若sin∠PF2F1=3sin∠PFA.(1,2) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(2,3)答案:A解析:在△PF1F2中,因?yàn)閟in∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以|PF1|=3|PF2|.又點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a.在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|得3a+a>2c,即2a>c,所以e=ca<2又e>1,所以1<e<2.故選A.13.(多選)(2024·山東聊城一模)已知雙曲線C:x29-k+yA.雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上B.雙曲線C的焦距等于42C.雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于1D.雙曲線C的離心率的取值范圍為1,103答案:ACD解析:對于A,因?yàn)?<k<1,所以9-k>0,k-1<0,所以雙曲線C:x29-k-y對于B,由A知a2=9-k,b2=1-k,所以c2=a2+b2=10-2k,所以c=10-2k,所以雙曲線C的焦距2c=210對于C,設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±c,0),則漸近線方程為y=±bax,即bx±ay=0,所以焦點(diǎn)到漸近線的距離d=|bc|對于D,雙曲線C的離心率e=1+b2a2=1+1-k9-k=2-89-k14.(2024·山東濟(jì)寧模擬)過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線,設(shè)切點(diǎn)為A,直線FA交直線bx-ay=0于點(diǎn)B,若BA答案:y=±2x解析:因?yàn)橹本€FA交直線bx-ay=0于點(diǎn)B,直線FA與圓x2+y2=a2切于點(diǎn)A,所以O(shè)A⊥FA,|OA|=a,|OF|=c.因?yàn)閍2+b2=c2,所以|FA|=b.在Rt△FAO中,sin∠OFA=ac,tan∠OFA=ab,所以直線FA的方程為y=ab(由y=ab(x+c),設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),在Rt△FAO中,依據(jù)等面積可得yA=abc因?yàn)锽A=2AF,所以yB=3yA=3ab因?yàn)閥B=baxB=b所以abcb2-a2=3abc,所以c2所以a2+b2=3b2-3a2,所以4a2=2b2,所以2a=2b,所以ba所以雙曲線C的漸近線方程為y=±bax=±215.(2024·湖南長郡中學(xué)模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,雙曲線的左頂點(diǎn)為A,以F1F2為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P,Q兩點(diǎn),其中點(diǎn)Q在答案:1,213解析:由題意,以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,不妨設(shè)雙曲線的漸近線為y=baxy=bax,x2+y2=c2,解得x又A為雙曲線的左頂點(diǎn),∴A(-a,0),∴|AQ|=(a+a)∵|AQ|≥2|AP|,∴(a+a)2+b2≥2b,即4∴e2≤73又e>1,∴e∈1,213.創(chuàng)新應(yīng)用組16.(2024·山東日照二模)如圖1所示,雙曲線具有光學(xué)性質(zhì):從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射,其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A,B兩點(diǎn)反射后,分別經(jīng)過點(diǎn)C和D,且cos∠BAC=-45圖1圖2答案:10解析:如圖,連接F1B,F1A,則F1,A,C和F1,B,D都三點(diǎn)共線,設(shè)|F2B|=x,則|F1B|=x+2a.因?yàn)閏os∠