遼寧省鐵嶺市六校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考

Page22本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合的交并補運算即可求解.【詳解】由題意可知集合,集合，∴，∴，故選：B．2.已知復(fù)數(shù)，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知，可依據(jù)題意干脆表示出，化簡即可得到結(jié)果.【詳解】由已知，復(fù)數(shù)，故選：A．3.已知平面對量，，，，且，則向量與向量的夾角為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)可得到：，由此求得；利用向量夾角的求解方法可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，則設(shè)向量與向量的夾角為則本題正確選項：【點睛】本題考查向量夾角的求解，關(guān)鍵是能夠通過平方運算將模長轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積，從而得到向量的位置關(guān)系.4.函數(shù)，（其中，，）其圖象如圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象（）A.向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)所過的特別點和正弦最小正周期公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和正弦型函數(shù)的變換性質(zhì)進行推斷即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)過兩點，設(shè)的最小正周期為，因為，所以有，而，因此，即，因為，所以，因為，所以，即，因此，而，而，因此該函數(shù)向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，故選：B5.足球被譽為“世界第一運動”，它是全球體育界最具影響力的單項體育運動，足球的表面可看成是由正二十面體用平面截角的方法形成的．即用如圖1所示的正二十面體，從每個頂點的棱邊的處將其頂角截去，截去個頂角后剩下的如圖2所示的結(jié)構(gòu)就是足球的表面結(jié)構(gòu)．已知正二十面體是由個邊長為的正三角形圍成的封閉幾何體，則如圖2所示的幾何體中全部棱的邊數(shù)為（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】計算原來正二十面體共有多少條棱，再計算出截去個頂角后每個面會多出3條棱，從而計算共多出多少條棱數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意可知原來正二十面體的每一條棱都會保留，正二十面體每個面條棱，每條棱屬于兩個面，則原來共有條棱，此外每個面會產(chǎn)生條新棱，共產(chǎn)生條新棱，∴共有條棱，故選：B．6.在中，角、、所對的邊分別為、、，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)，推斷命題“”和“”之間的邏輯推理關(guān)系，即可推斷出答案.【詳解】由“”成立可知，若為鈍角，則，則，若不為鈍角，則，則∴“”能推出“”成立，由中,“”成立可知，若為鈍角，∵，∴，∴，若不為鈍角，則，∴，∴“”能推出“”成立，∴“”是“”的充分且必要條件，故選:C．7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)以及函數(shù)，分別利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性，進而依據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.【詳解】令，，當(dāng)時，，，，單調(diào)遞增，，即，，即，令，，令，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞減，，即，綜上：.故選：D.8.已知數(shù)列的通項公式是，則（）A.0 B.55 C.66 D.78【答案】D【解析】【分析】先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種狀況計算出的值，可進一步得到數(shù)列的通項公式，然后代入轉(zhuǎn)化計算，再依據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，所以故選：D【點睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知、，且，則下列不等式中肯定成立的是（）．A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】采納三角代換結(jié)合三角函數(shù)協(xié)助角公式化簡，可推斷A;利用基本不等式推斷B;利用基本不等式結(jié)合對數(shù)運算推斷C;利用基本不等式結(jié)合指數(shù)運算推斷D.【詳解】A選項，設(shè)、，，∴，其中且，∴，A正確；B選項，因為、,，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,B錯，C選項，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號（最大值）,C正確，D選項，由B選項得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號（最大值），D正確，故選：ACD．10.已知無窮數(shù)列滿意：當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，則下列結(jié)論正確的為（）A.和均為數(shù)列中的項B.數(shù)列為等差數(shù)列C.僅有有限個整數(shù)使得成立D.記數(shù)列的前項和為，則恒成立【答案】BD【解析】【分析】分別令、，解出的值，可推斷A選項；利用等差數(shù)列的定義可推斷B選項；解不等式可推斷C選項；利用等比數(shù)列的求和公式可推斷D選項.【詳解】對于A選項，分析可知當(dāng)為奇數(shù)時，為奇數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，為偶數(shù)，令可得，不合乎題意，令可得，合乎題意，所以，不是數(shù)列中的項，是數(shù)列中的項，A錯；對于B選項，因為，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，B對；對于C選項，若為偶數(shù)，由可得，沖突，若為奇數(shù)，由可得，即，解得，全部滿意條件的奇數(shù)都合乎題意，所以，有無限個整數(shù)使得成立，C錯；對于D選項，為偶數(shù)，則，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，，D對.故選：BD.11.設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，函數(shù)，則（）A.的最大值為B.是以為周期的周期函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.對，【答案】BD【解析】【分析】利用題中的新定義，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可推斷選項A,C；利用周期函數(shù)的定義以及性質(zhì)即可推斷選項B，由分段函數(shù)的解析式以及周期性即可推斷選項D．【詳解】因為，，所以，所以是以為周期的周期函數(shù)，故是以為周期的周期函數(shù)，故選項B正確；由題意可得，，故的最大值為1，故選項A錯誤；函數(shù)在上為常數(shù)函數(shù)，故選項C錯誤；當(dāng)時，，故選項D正確．故選：BD【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù).12.定義在上的函數(shù)滿意：，，則下列說法正確的是（）．A.在處取得微小值，微小值為 B.只有一個零點C.若在上恒成立，則 D.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)可得，進而通過求導(dǎo)得的單調(diào)性，進而可推斷,將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，構(gòu)造函數(shù)求最值可求解C.【詳解】A選項，∵且可得：，即，∴（為常數(shù)），又∵，∴，∴，∴，其定義域為，，令，解得，當(dāng)時，則在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時，則在內(nèi)單調(diào)遞減，∴在處取得極大值，也是最大值，∴，故A錯，B選項，當(dāng),，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此只有唯一的零點，故B正確,C選項，要保證在上恒成立，即保證在上恒成立，在上恒成立，∴只需，令，其定義域為，∴，令，解得，當(dāng)時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，∴在處取得極大值，也是最大值，∴，∴，故C對，D選項，∵在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，又，∴，又∵、，∴，依據(jù)得，∴，∴，故D對，故選:BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則_____．【答案】【解析】【分析】由已知求得，再轉(zhuǎn)化，運用誘導(dǎo)公式可求得答案.【詳解】因為，所以，又，所以，則＝，故答案為：．【點睛】本題考查三角函數(shù)求值問題中給值求值型，關(guān)鍵在于找出待求的角與已知角之間的關(guān)系，屬于中檔題.14.設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，若，則的最小值________．【答案】【解析】【分析】求出等差數(shù)列的和與通項公式，然后化簡表達式，利用基本不等式求解即可．【詳解】解：等差數(shù)列的公差為，前項和為，若，，，．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故答案為．【點睛】本題考查數(shù)列與不等式的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項公式以及求和是的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算實力．15.如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，△ACD是等邊三角形，則的值為_______________．【答案】14.【解析】【分析】依據(jù)三角形的邊角關(guān)系，求得各個邊長和角度；依據(jù)向量數(shù)量積求得的值．【詳解】AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴cos∠BAC=；又△ACD是等邊三角形，∴AD=AC=10，cos∠CAD=，∴?=?（﹣）=?﹣?=10×10×﹣10×6×=14．【點睛】本題考查了利用三角形中各個角和邊的關(guān)系，求向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題．16.在三棱錐中，底面，，，為的中點，球為三棱錐的外接球，是球上任一點，若三棱錐體積的最大值是，則球的體積為___________.【答案】【解析】【分析】分析可知三棱錐外接球球心為中點，求出點到平面的距離，可得出點到平面的距離的最大值，利用錐體體積可得出關(guān)于的等式，求出的值，可得出球的半徑的值，再利用球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】正中，為的中點，則，而平面，平面，則，而，、平面，則平面，平面，所以，，平面，平面，，所以，的中點到點、、、的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點，從而，點是三棱錐外接球球心，設(shè)球的半徑為，則，，因為的外接圓圓心為的中點，設(shè)為，連接，因為、分別為、的中點，則，故平面，如圖，則有，即到平面的距離為，因此到平面距離的最大值為，又，即有，解得，所以，，所以球的體積為.故答案為：.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：假如是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；假如是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：依據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．求在區(qū)間上的最大值和最小值；若，求的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】利用倍角公式降冪，再由協(xié)助角公式化積．由x的范圍求得相位的范圍，則函數(shù)最值可求；由已知求得，再由誘導(dǎo)公式及倍角公式求的值．【詳解】解：,．,,,則，；由,得,．．【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用,考查型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查計算實力,屬于中檔題．18.如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，平面平面，是的中點，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)中點平面，進而證得；（2）取的中點，連接，可得，以為原點建立的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：因為是等邊三角形，且是的中點，所以，又因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又由平面，所以.【小問2詳解】解：取的中點，連接，、分別為、的中點，則，，則，又因為平面，以為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為且等邊三角形，可得,可得，則，設(shè)平面的法向量，則，令，可得，即，設(shè)平面的法向量，則，令，可得，即，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.19.已知正項等差數(shù)列滿意：，且成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前n項和，若對隨意均有恒成立，求的最小值．【答案】（1）（2）最小值為【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由及等差數(shù)列的通項公式得到，則，再依據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，求出，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求和得到，即可得到，從而求出的取值范圍，即可得解；【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，則，所以．因為、、成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，因為為正項數(shù)列，所以，所以，所以．【小問2詳解】解：由（1）可得，所以，因為對隨意均有，所以，所以實數(shù)的最小值為20.記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【小問1詳解】因為，即，而，所以；【小問2詳解】由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．21.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，平面⊥底面，為的中點，，，．（1）求證：平面⊥平面；（2）在棱上是否存在點使得二面角大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且．【解析】【分析】（1）要證面面垂直，就要證線面垂直，題中由已知可得BD⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得BQ⊥平面PAD，從而可得面面垂直；（2）假設(shè)存在，以Q為原點建立解析中所示的空間直角坐標(biāo)系．寫出各點坐標(biāo)，同時設(shè)，且，得，求出平面，平面的法向量，由法向量的夾角與二面角的關(guān)系求出，若求出不出，則說明不存在，求出則說明存在.【小問1詳解】∵AD//BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，平面ABCD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．【小問2詳解】假設(shè)存在點使得二面角大小為∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，平面，∴PQ⊥平面ABCD．如圖，以Q為原點建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，所以平面BQC的法向量為，由，且，得，又，設(shè)平面MBQ法向量，則，∴，取，則，，∴平面MBQ法向量為．∵二面角M-BQ-C為30°，∴，解得．∴，∴，由，得，所以存在點M滿意時，二面角大小為，且QM的長度為．22.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)存在極大值為，求實數(shù)的值（2）設(shè)函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)推斷的單調(diào)性，進而確定極值，通過構(gòu)造函數(shù)，即可求導(dǎo)確定單調(diào)性，進而得值，（2）求導(dǎo)，通過分類探討的范圍，確定單調(diào)性，即可求解【小問1詳解】由題意得函