遼寧省大連市濱城2025屆高三數學上學期期中‖試卷含解析

Page22遼寧省大連市濱城2024屆高三數學上學期期中（‖）考試試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，是虛數單位，若復數為純虛數，則（）A.0 B.1或-1 C. D.1【答案】D【解析】【詳解】為純虛數，，即.故選：.2.已知集合，，，則C中元素的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【詳解】由題意，當時，，當，時，，當，時，，即C中有三個元素，故選：C3.“”是“直線與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【詳解】充分性：當時，直線與即為：與，所以兩直線平行.故充分性滿意；必要性：直線與平行，則有：，解得：或.當時，直線與即為：與，所以兩直線平行，不重合；當時，直線與即為：與，所以兩直線平行，不重合；所以或.故必要性不滿意.故“”是“直線與平行”的充分不必要條件.故選：A4.已知函數若，則m的值為（）A. B.2 C.9 D.2或9【答案】C【解析】【詳解】∵函數，，∴或，解得.故選：C.5.將函數的圖象向右平移個單位長度，再把全部點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標保持不變)得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關于直線對稱C.在區(qū)間上單調遞減 D.在區(qū)間上單調遞增【答案】D【解析】【詳解】函數的圖象向右平移個單位長度可得：，再把全部點的橫坐標伸長到原來的2倍，可得，對A，的最小正周期為，故A錯誤；對B，所以不是函數的對稱軸，故B錯誤；對C，因為，所以，所函數是先減再增，故C錯誤；對D，因為，所以，所以在區(qū)間上單調遞增，故D正確；故選：D.6.濟南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國務院列為全國重點文物愛護單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點之一就是窗門處運用尖拱造型，其結構是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖2，和所在圓的圓心都在線段AB上，若，，則的長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】過作，設圓弧AC的圓心為O，半徑為，則，在中，，所以，，所以在直角三角形中，，所以，所以，而，所以，所以.故選：A.7.如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點，若與的面積相等，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵D在線段BC上，且，∴，又為線段AD上一點，若與的面積相等，∴，為的中點，如圖建立平面直角坐標系，則，∴，∴.故選：D.8.已知數列，，，，，，，，，，…，其中每一項的分子和分母均為正整數.第一項是分子與分母之和為2的有理數；接下來兩項是分子與分母之和為3的有理數，并且從大到小排列；再接下來的三項是分子與分母之和為4的有理數，并且從大到小排列，依次類推.此數列第n項記為，則滿意且的n的最小值為（）A.47 B.48 C.57 D.58【答案】C【解析】【詳解】將數列分組為（），（，），（，，），（，，，），…，設滿意的首次出現在第m組的第x個數的位置上，則，此時數列共有項數為，即得，解得由于，而，故，又,故符合條件的m,的最小值為11，則滿意且的n的最小值為，故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設m，n是兩條不同直線，是平面，m，n不在內，下列結論中正確的是（）．A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】ABC【解析】【詳解】A選項，由于，所以存在直線且，由于，所以，所以，所以A選項正確.B選項，垂直于同一個平面的兩條直線平行，所以B選項正確.C選項，若，，則存在，，由于，所以，所以C選項正確.D選項，若，，則可能與平行，D選項錯誤.故選：ABC10.下列不等關系中肯定成立的是（）A. B.C.， D.，【答案】ABC【解析】【詳解】A.因為，所以，故正確B.因為在上遞增，則，因為在上遞減，則，所以，故正確；C.因為，所以，，故正確；D.當時，，故錯誤；故選：ABC11.過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點（A在第一象限），M為線段AB的中點.M在拋物線的準線l上的射影為點N，則下列說法正確的是（）A.的最小值為4 B.C.△NAB面積的最小值為6 D.若直線AB的斜率為，則【答案】ABD【解析】【詳解】由題意知,設直線AB方程,，聯立，可得，，故，則，故當時，的最小值為4，故A正確；又，即M點縱坐標為2m,故，當時，軸，NF在x軸上，此時;當時,，，故，綜合可知，,故B正確；又點N到直線AB的距離為，故，當時，取最小值4，故C錯誤；若直線AB的斜率為，則直線AB方程為，即，則，由于A在第一象限，故解得，故，由于同向，故，故D正確，故選：ABD12.在棱長為1的正方體中，E，F，G分別為線段，CD，CB上的動點（E，F，G均不與點C重合），則下列說法正確的是（）A.存在點E，F，G，使得平面EFGB.存在點E，F，G，使得C.當平面EFG時，三棱錐與C-EFG體積之和的最大值為D.記CE，CF，CG與平面EFG所成的角分別為，，，則【答案】ACD【解析】【詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設，對于A，因為平面，平面，所以，又因，所以平面，又平面，所以，當時，，此時，要使平面EFG，只需即可，，則，則，即，當時，，故存點E，F，G，使得平面EFG，故A正確；對于B，，則，要使，只須要即可，，，，則，故，因為，所以，所以，所以不存在點E，F，G，使得，故B錯誤；對于C，因為平面EFG，所以，，則，則，所以，要使最大，則，此時，所以體積之和的最大值為，故C正確；對于D，由B，，則，因為，所以到平面的距離滿意，所以，所以，，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則__________．【答案】【解析】【詳解】.故答案為：14.已知，分別為雙曲線的左?右焦點，點P在雙曲線上，若，，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】【詳解】不妨假設點P在雙曲線右支上，則，由于，，故，故，而，故，故答案為：15.已知有序數對，滿意，有序數對滿意，定義，則D的最小值為__________．【答案】##【解析】【詳解】對于有序數對，整理得，令，則對于有序數對，整理得，令，則，依據切線的性質，當取最小值時，必有，令，得到，代入，得，故點到直線的距離設為，即的最小值為，則所求的的最小值為故答案為：16.在高為2的直三棱柱中，AB⊥AC，若該直三棱柱存在內切球，則底面△ABC周長的最小值為___________.【答案】##【解析】【詳解】因為直三棱柱的高為2，設內切球的半徑為，所以，所以，又因為AB⊥AC，所以設，所以.，因為，所以△ABC周長的最小值即為面積的最小值，而，當且僅當“”時取等.當時，底面△ABC周長最小，所以，所以，所以此時△ABC周長的最小值：.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數列是公比為2的等比數列，，，成等差數列．（1）求數列的通項公式；（2）若，設數列的前n項和，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【小問1詳解】因為，，成等差數列，所以，又因為數列的公比為2，所以，即，解得，所以．【小問2詳解】由（1）知，則，所以，①，②①②得．所以．又因為，所以是遞增數列，所以，所以．18.在①，②，③．這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知銳角三角形的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，__________，且．（1）求角C的值；（2）求a的取值范圍．注：假如選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】【小問1詳解】選擇條件①．∵，∴由正弦定理，得．∵，∴，∴，∴，即，∴．∵，∴，∴．選擇條件②．由，得，∴．則由余弦定理，得．∵，∴．選擇條件③．∵，∴，結合，得．由正弦定理，得，即．則由余弦定理，得．∵，∴．【小問2詳解】∵，∴．∵為銳角三角形，且，∴，∴．又，∴，∴．由正弦定理，得，∴，∴，∴，即a的取值范圍為．19.在底面為正三角形的三棱柱中，平面ABC⊥平面，，.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【小問1詳解】證明：因為，，所以，則，所以，即，因為平面ABC∥平面，平面ABC⊥平面，所以平面平面，因為平面平面，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】解：如圖，以為原點，，所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設平面的法向量為，則，即，取x=1，則，又因為x軸⊥平面ABC，所以取平面ABC的法向量，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.“綠水青山就是金山銀山”是時任浙江省委書記習近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時提出的科學論斷，2017年10月18日，該理論寫入中共19大報告，為響應總書記號召，我國某西部地區(qū)進行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方公里，其中是沙漠（其余為綠洲），從今年起，該地區(qū)進行綠化改造，每年把原有沙漠的改造為綠洲，同時原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設從今年起第n年綠洲面積為萬平方公里．（1）求第n年綠洲面積與上一年綠洲面積的關系；（2）推斷是否是等比數列，并說明理由；（3）至少經過幾年，綠洲面積可超過？【答案】(1)(2)是等比數列，理由見解析.(3)至少經過6年，綠洲面積可超過60%．【解析】【詳解】（1）由題意得，所以；（2）由（1）得，∴，所以是等比數列.（3）由（2）有，又，所以，∴，即；，即，兩邊取常用對數得：，所以，∴．∴至少經過6年，綠洲面積可超過60%．21.已知橢圓C的焦點坐標為和，且橢圓經過點.（1）求橢圓C的方程；（2）若，橢圓C上四點M，N，P，Q滿意，，求直線MN的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【小問1詳解】解：由題意可知，c=1，設橢圓方程為，將點代入橢圓方程，得，解得（舍），，所以橢圓方程為.【小問2詳解】設，，，，，因為，所以，即，又，都在橢圓上，所以，，即，②-①得，即……③，又，同理得……④④-③得，所以.22.已知函數．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）當時，方程有兩個實根，求實數m的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【詳解】解：（1）由題意知函數的定義域為，因為，所以．①當時，在區(qū)間上恒成立，所以函數的單調遞增