甘肅省張掖市2025屆高三數(shù)學上學期第一次診斷考試理試題

第甘肅省張掖市2024屆高三數(shù)學上學期第一次診斷考試（理）試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C.D.2.若復數(shù)滿意（其中為虛數(shù)單位），則A.1 B. C.2 D.3.已知直線，，且，點到直線的距離（）A.B.C. D.4.已知則A. B. C. D.5.若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是()A.B.C.D.6.已知，，，則大小關系是（）A B. C. D.7.把函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標擴大到原來的倍，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個單調遞減區(qū)間為A. B.C.D.8.在長為的線段上任取一點，并以線段為邊作正方形，這個正方形的面積介于與之間的概率為()A. B. C. D.9.已知數(shù)列的首項，，前n項和滿意，則數(shù)列的前n項和為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A.B.C. D.11.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，且，則為坐標原點的面積等于（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)滿意當時，，且當時，；當時，且).若函數(shù)圖象上關于原點對稱的點恰好有3對，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題（本大題4小題，每小題5分，共20分．13.已知是單位向量，且，則__________.14.若綻開式中各項系數(shù)的和等于64,則綻開式中的系數(shù)是________.15.設函數(shù)．若的圖像關于原點對稱，則曲線在點處的切線方程為______．16.正四面體ABCD的棱長為a，E為棱BC的中點，過E作其外接球的截面，若截面面積最小值為，則______．三?解答題（本大題共6小題，共70分.）17.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，的面積為，求b的值.18.如圖，四棱錐中，底面，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若是等邊三角形，求二面角的余弦值．19．某“雙一流”高校專業(yè)獎學金是以所學專業(yè)各科考試成果作為評比依據(jù)，分為專業(yè)一等獎學金（獎金額元）、專業(yè)二等獎學金（獎金額元）及專業(yè)三等獎學金（獎金額元），且專業(yè)獎學金每個學生一年最多只能獲得一次.圖（1）是統(tǒng)計了該校年名學生周課外平均學習時間頻率分布直方圖，圖（2）是這名學生在年周課外平均學習時間段獲得專業(yè)獎學金的頻率柱狀圖.（1）求這名學生中獲得專業(yè)三等獎學金的人數(shù)；（2）若周課外平均學習時間超過小時稱為“努力型”學生，否則稱為“非努力型”學生，完成列聯(lián)表并推斷是否有的把握認為獲得專業(yè)一、二等獎學金與是否是“努力型”學生有關？（3）若以頻率作為概率，從該校任選一名學生，記該學生年獲得的專業(yè)獎學金額為隨機變量，求隨機變量的分布列和期望.20.已知拋物線上的點到其焦點F的距離為.(1)求拋物線C的方程；(2)點在拋物線C上，過點的直線l與拋物線C交于兩點，點H與點A關于x軸對稱，直線AH分別與直線OE，OB交于點M，N(O為坐標原點)，求證：.21.已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的極值點，求實數(shù)a的取值范圍.22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線l的一般方程與曲線的直角坐標方程；（2）設點.若直線l與曲線相交于不同的兩點，求的值.23.選修4-5：不等式選講設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若，且關于x的不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍.PAGE9-張掖市2024-2025學年第一學期高三年級第一次診斷考試數(shù)學（理科）試卷答案一、選擇題BDCDDBABABDC二、填空題13、14、15、16、17.答案：（1）（2）解析：（1）在中，由正弦定理及，得，.又，.，，.（2）角B是的內角，，.又，，解得.在中，由余弦定理得，，解得.18.答案：（1）見解析（2）解析：（1）證明：如圖取的中點，連接和，，，又，四邊形是平行四邊形，，又，平面平面，平面，平面；（2）依據(jù)題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，為等邊三角形，，不妨設，則，，設平面的法向量為，由，得，令，得，，易知平面，平面的法向量為，設二面角的平面角為，由圖視察可知為銳角，，二面角的余弦值為．19．【解析】獲得三等獎學金的頻率,故這名學生獲得專業(yè)三等獎學金的人數(shù)為人.每周課外學習時間不超過小時的“非努力型”學生有其中獲得一、二等獎學金學生有每周課外學習時間超過小時稱為“努力型”學生有人，其中獲得一、二等獎學金學生有人，聯(lián)表如圖所示:“非努力型”學生“努力型”學生總計獲得一二等獎學金學生未獲得一二等獎學金學生總計故有的把握認為獲得一二等獎學金與學習“努力型”學生的學習時間有關；的可能取值為,,,的分布列0600150030000.4240.320.1980.058元.20.答案：(1)方程為.(2)證明過程見解析.解析：(1)由點在拋物線上可得，，解得.由拋物線的定義可得，整理得，解得或(舍去).故拋物線C的方程為.(2)由在拋物線C上可得，解得，所以，直線OE的方程為.易知，均不為0.由題意知直線l的斜率存在且大于0，設直線l的方程為，聯(lián)立，得消去y，得.則，得，所以，.由直線OE的方程為，得.易知直線OB的方程為，故.數(shù)形結合可知，要證，即證，即證，即證，即證，則，此等式明顯成立，所以.21.答案：(1)的單調遞增區(qū)間，的單調遞減區(qū)間(2)解析：(1)，，令解得，所以，，故的單調遞增；，，故的單調遞減；綜上，的單調遞增區(qū)間，的單調遞減區(qū)間；(2)由題意：，，所以在上有兩個不同根，故在上有兩個不同根，即在上有兩個不同根，設，，，所以，，單調遞增：，，單調遞減；所以即.22、答案：（1），解析：（1）由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，得直線l的一般方程為，又將曲線的極坐標方程化為，曲線的直角坐標方程為.(2)將直線l的參數(shù)方程代入中，得，得此方程的兩根為直線l與曲線的交點對應的參數(shù)，，得，，由直線參數(shù)的幾何