浙江省杭州市西湖區(qū)部分校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

Page14浙江省杭州市西湖區(qū)部分校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題考生須知:1.本試卷分試題卷和答題卷，滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級和姓名.3.全部答案必需寫在答題卷上，寫在試題卷上無效.4.考試結(jié)束，上交答題卷.選擇題部分一、單項選擇題1.下列函數(shù)中，最小正周期為的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用周期公式T，求解C選項，利用周期公式T，求解A、B、D選項，即可作出推斷．【詳解】A、，∵ω＝1，∴2π，本選項不滿意題意；B、，∵ω＝2，∴T=π，本選項不滿意題意；C、y＝tan，∵ω，∴T2π，本選項不滿意題意；D、，∵ω，∴T，本選項滿意題意；故選D．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的學(xué)問有正切函數(shù)及正余弦函數(shù)的周期，嫻熟駕馭周期公式是解本題的關(guān)鍵．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】化簡得到，從而得到對應(yīng)的點位于其次象限.【詳解】，所以對應(yīng)的點（-2,1）位于其次象限.故選：B3.的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式先化簡，再利用差角的余弦公式化簡得解.【詳解】由題得原式=.故選D【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式和差角的余弦公式化簡求值，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.4.若，則的取值范圍是（）A.[3，7] B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量的減法的幾何意義，確定向量共線時取得最值，即可求得答案.【詳解】由題意知，且,當(dāng)同向時，取得最小值，；當(dāng)反向時，取得最大值，；當(dāng)不共線時，取得最小值，，故的取值范圍是，故選：C5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函數(shù)定義域，解除A；再由函數(shù)奇偶性解除D，最終依據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可得出B正確，C錯誤.【詳解】A選項，的定義域為，故A不滿意題意；D選項，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故D不滿意題意；B選項，正切函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間是增函數(shù)，即B正確；C選項，正弦函數(shù)奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間是增函數(shù)；因此是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故C不滿意題意.故選：B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟記三角函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可，屬于基礎(chǔ)題型.6.若非零向量滿意，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，進而依據(jù)向量數(shù)量積的運算律和向量垂直時數(shù)量積為0得，進而得答案.【詳解】解：依據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，則，若，則，即，又由，則，故選：C．7.在中，，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)可得，可設(shè)，利用余弦定理求出的值后可得的大小.【詳解】因為，故，設(shè)，則，因為，故.故選：A.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，解題中留意把各內(nèi)角正弦值的比值轉(zhuǎn)化為邊的比值，本題屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)下列結(jié)論錯誤的是A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】C【解析】【詳解】試題分析：原函數(shù)利用誘導(dǎo)公式化簡為：，此函數(shù)為最小正周期為的偶函數(shù)，所以A,B正確，函數(shù)的對稱軸由：得到：，明顯，無論取任何整數(shù)，，所以C錯誤，答案為C.考點：1.誘導(dǎo)公式；2.三角函數(shù)的性質(zhì).二、多項選擇題9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確是（）A.復(fù)數(shù)的實部為 B.復(fù)數(shù)的虛部為 C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D.復(fù)數(shù)的模為1【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模的定義推斷各選項．【詳解】的實部是，虛部是，共軛復(fù)數(shù)是，，正確選項為AC．故選：AC．10.已知向量，，，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)向量平行的判定方法可判定A是否正確；依據(jù)向量垂直的判定方法可判定B是否正確；依據(jù)向量的坐標(biāo)運算方法可判定C、D是否正確.【詳解】由題意，，A錯誤；，，所以B正確，C錯誤；，D正確.故選：BD.11.設(shè)函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù) B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.最大值為2 D.其圖象關(guān)于點對稱【答案】AD【解析】【分析】首先依據(jù)協(xié)助角公式化簡函數(shù)，然后依據(jù)選項，依次推斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；函數(shù)的最大值是，故C錯誤；當(dāng)時，，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故D正確.故選：AD12.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的命題是（）A.若，則肯定是等邊三角形B.若，則肯定是等腰三角形C.若，則肯定是等腰三角形D.若，則肯定是銳角三角形【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化邊為角變形推斷AB，舉特例推斷C，由余弦定理及銳角三角形的定義推斷D．【詳解】由正弦定理，若，則，為三角形內(nèi)角，所以，三角形是等邊三角形，A正確；若，由正弦定理得，即，，則或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯；例如，，，滿意，但此時不是等腰三角形，C錯；時，由余弦定理可得，即為銳角，但是否都是銳角，不能保證，因此該三角形不肯定是銳角三角形，D錯．故選：A．【點睛】易錯點睛：本題考查三角形形態(tài)的推斷，解題時利用正弦定理、余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換后再進行變形推斷是常用方法，解題時留意三角函數(shù)性質(zhì)的正確應(yīng)用，如選項B，在由得結(jié)論時不能干脆得出，否則會出現(xiàn)漏解，在推斷三角形形態(tài)時，銳角三角形須要三個內(nèi)角都是銳角，直角三角形只有一個角是直角，鈍角三角形只有一個角是鈍角，它們推斷方法有一些區(qū)分，這些是易錯點．三、填空題13.若，則__________．【答案】【解析】【分析】干脆利用余弦的二倍角公式進行運算求解即可.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若則邊___________.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)正弦定理得到，從而得到，再利用勾股定理計算即可.【詳解】由題知：，因為，所以.又因為，所以.所以，，.故答案為：15.在矩形中，，，是直線上的動點（端點可?。?，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)進行向量數(shù)量積的求解.【詳解】依據(jù)題意，建立如圖直角坐標(biāo)系，此時設(shè)點故其最大值為1，最小值為0.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運算，本題的重點是建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)求解問題.16.有下列說法:①函數(shù)的最小正周期是;②終邊在軸上的角的集合是;③把函數(shù)的圖像上全部的點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像;④函數(shù)在上是減函數(shù).其中，正確的說法是__________.（填序號）【答案】①③【解析】【分析】由余弦函數(shù)性質(zhì)推斷①，由角的定義推斷②，由三角函數(shù)的平移變換推斷③，由誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)性質(zhì)推斷④．【詳解】①函數(shù)的最小正周期是，正確；;②終邊在軸上的角的集合是，錯誤；;③把函數(shù)的圖像上全部的點向右平移個單位長度得到圖象的函數(shù)解析式為，正確；④，它在上是增函數(shù)，錯誤．故答案為：①③．四、解答題17.已知（1）求;（2）設(shè)的夾角為，求的值;（3）若向量與相互垂直，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)向量的減法的坐標(biāo)運算，即可求得答案；（2）求出向量的數(shù)量積和模，依據(jù)向量的夾角公式即可求得答案;（3）依據(jù)向量垂直時數(shù)量積為0，列方程即可求得答案.【小問1詳解】因為，所以；【小問2詳解】由題意得，，故；【小問3詳解】因為向量與相互垂直，故，即.18.已知在中，，分別是角所對的邊.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因為且，可得：，代入正切的倍角公式即可得解；（2）由題意可得：，所以，，由正弦定理，得，代入面積公式即可得解.【詳解】（1）因為且，∴∴（2）由，得，由，所以，則，由正弦定理，得，∴的面積為.【點睛】本題考查了三角恒等變換和解三角形，考查了正弦定理和面積公式，是對三角形基本量的計算，該類題型只需正確應(yīng)用公式即可得解，屬于常規(guī)考查，是基礎(chǔ)題.19.已知復(fù)數(shù)z滿意，z2的虛部為2.（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)在復(fù)平面上的對應(yīng)點分別為A?B?C，求△ABC的面積.【答案】（1）或（2）1【解析】【分析】（1）設(shè)，依據(jù)已知條件列方程求得，由此求得.（2）求得的坐標(biāo)，從而求得三角形的面積.【小問1詳解】設(shè)，①，的虛部為，所以②，由①②解得或.所以或.【小問2詳解】當(dāng)時，，，所以，，所以三角形的面積為.當(dāng)時，，，所以，，所以三角形的面積為.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）先對函數(shù)化簡為，然后利用正弦函數(shù)的取值范圍可求出的值域；（2）由解出范圍就是所要求的遞增區(qū)間.【詳解】解：（1）因為，所以所以的值域為；（2）由，得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為【點睛】此題考查三角函數(shù)的恒等變換公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.21.如圖，在邊長為1菱形中，，E是線段上一點，且滿意，設(shè)，（1）用表示.（2）在線段上是否存在一點滿意?若存在，確定點的位置，并求；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，，．【解析】【分析】（1）由平面對量的線性運算法則求解；（2）假設(shè)存在滿意題意的點，設(shè)，由求得值，即存在，然后把平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算計算出模．【小問1詳解】，則，所以；【小問2詳解】假設(shè)存在滿意題意的點，設(shè)，，，由得，解得．，，．22.設(shè)函數(shù)，其中向量，．（1）求函數(shù)的最小正周期（2）在上的單調(diào)遞