2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)A版（2019）高三（上）期末測試卷（高考模擬）

-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)A版（2019）高三（上）期末測試卷（高考模擬）姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題1．設(shè)集合A={?1，0，1，A．{?1} B．{?1C．{?1，0，2．設(shè)復(fù)數(shù)z=2?i1+i，則A．52 B．102 C．2 3．已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)+1a>2 B．a(chǎn)+1a≥24．已知a，b是單位向量，若a⊥(a+3A．13a B．?13a 5．如圖是杭州2023年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號及象征亞奧理事會的太陽圖形六個元素組成，集古典美和現(xiàn)代美于一體，富有東方神韻和時代氣息。其中扇面的圓心角為120°，從里到外半徑以1遞增，若這些扇形的弧長之和為90π（扇形視為連續(xù)弧長，中間沒有斷開），則最小扇形的半徑為（）A．6 B．8 C．9 D．126．已知曲線y=?x3?3x2+9x+9與曲線A．?16 B．?12 C．?9 D．?67．已知a=1A．c<a<b B．a(chǎn)<c<h C．b<a<c D．a(chǎn)<b<c8．(1+2x)(1+x)3展開式中，A．3 B．6 C．9 D．12二、多項選擇題9．命題“?1≤x≤2，x2A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥3 C．a(chǎn)≥4 D．a(chǎn)≤410．已知實數(shù)a，b，c滿足ea?cA．a(chǎn)=c B．a(chǎn)b≥C．a(chǎn)+b+2c的最小值為?3ln3 11．已知拋物線C：y2=6x的焦點為F，過點F的直線交A．|MN|的最小值是6B．若點P(52，C．1D．若|MF|?|NF|=18，則直線MN的斜率為±112．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=4A．三棱錐C1?B1C．MN⊥NC D．線段DN長度的最大值為33三、填空題13．已知sin(x+π4)=114．某地，第x年該地人均收入y的部分數(shù)據(jù)如下表：年份20152016201720182019年份編號x12345年人均收入y（萬元）0.50.611.4m根據(jù)表中所數(shù)據(jù)，求得y與x的線性回歸方程為：y=0.32x+015．函數(shù)y=[x]為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.90]=0，[lg99]=1，已知數(shù)列{an}滿足a3=316．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，過點F作傾斜角為π4的直線交橢圓C于A，四、解答題17．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且bcosA+acosB=?2ccosA.（1）求角A的值；（2）已知點D為BC的中點，且AD=2，求a的最大值.18．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a1（1）證明：數(shù)列{Snn（2）若bn=1an?an+1，設(shè)數(shù)列19．為了保障學(xué)生的飲食安全和健康，學(xué)校對飯?zhí)糜布筒似肪M行了改造升級，改造升級后的飯?zhí)貌似肥艿搅撕芏鄬W(xué)生的歡迎，因此在學(xué)校飯?zhí)镁筒统蔀榱撕芏鄬W(xué)生的就餐選擇.現(xiàn)將一周內(nèi)在飯?zhí)镁筒统^3次的學(xué)生認定為“喜歡飯?zhí)镁筒汀?，不超過3次的學(xué)生認定為“不喜歡飯?zhí)镁筒汀?學(xué)校為了解學(xué)生飯?zhí)镁筒颓闆r，在校內(nèi)隨機抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：性別飯?zhí)镁筒秃嫌嬒矚g飯?zhí)镁筒筒幌矚g飯?zhí)镁筒湍猩?01050女生203050合計6040100（1）依據(jù)小概率值α=0.（2）該校小林同學(xué)逢星期三和星期五都在學(xué)校飯?zhí)镁筒?，且星期三會從①號、②號兩個套餐中隨機選擇一個套餐，若星期三選擇了①號套餐，則星期五選擇①號套餐的概率為0.8；若星期三選擇了②號套餐，則星期五選擇①號套餐的概率為13，求小林同學(xué)星期五選擇②（3）用頻率估計概率，從該校學(xué)生中隨機抽取10名，記其中“喜歡飯?zhí)镁筒汀钡娜藬?shù)為ξ，事件“ξ=k”的概率為P(ξ=k)，求使P(ξ=k)取得最大值時k的值.參考公式：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82820．如圖（1）所示，在△ABC中，∠ABC=60°，過點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上，且AD=23，CD=5，沿AD將△CDA折起（如圖（2）），點E、F分別為棱（1）證明：AD⊥EF；（2）若二面角C?DA?B所成角的正切值為2，求二面角C?DF?E所成角的余弦值.21．已知函數(shù)f(（1）若函數(shù)f(x)在x=2處取得極值，求實數(shù)a（2）若當(dāng)x≥1時，f(x)（3）證明：當(dāng)n∈N*時，22．已知點(?2，0)在橢圓C：x2a2+y2b2=1（1）求C的方程；（2）過C的兩焦點F1、F2作兩條相互平行的直線l1，l2交

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：解不等式x2+2x-3<0?x+3x-1<0，解得-3<x<1所以A∩B={?1，故答案為：B.

【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根據(jù)集合的交集運算求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：因為復(fù)數(shù)z=2?i1+i，所以z=(2-i)(1-故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法運算法則得出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系得出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)乘法運算法則，進而得出z?z3．【答案】D【解析】【解答】解：當(dāng)a<0時，a+1a<0，故A、B錯誤；當(dāng)a>0時，a+1a>0，故C錯誤；當(dāng)故答案為：D.

【分析】由a<0，a+1a<0即可判斷A，B選項；由a>04．【答案】D【解析】【解答】解：已知a→，b→是單位向量，若a⊥(a+3b)，則a→·(a→+3b故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合單位向量的定義和數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積求投影向量的方法，進而得出a→在b5．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)第一個半徑為r，則從里到外的半徑構(gòu)成首項為r，公差為1的等差數(shù)列，共十項，

再因為圓心角為120°，所以圓心角為2π3，

所以90π=所以90π=2π3×10×(r+r+9)2

【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的定義，將問題轉(zhuǎn)化為首項為r，公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前n項和公式，從而解方程得出r的值，進而得出最小扇形的半徑。6．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)f(x)=?x∵f(x?1)=?(x?1)f(?x?1)=?(?x?1)∴f(x?1)+f(?x?1)=?4，即f(x)關(guān)于(?1，又∵y=∴y=1?2xx+1也關(guān)于∵f∴當(dāng)x∈(?∞，?3)∪(1，+∞)時，當(dāng)x∈(?3，1)時，f'∴f(x)的極大值為f(1)=14，極小值為f(?3)=?18，∵當(dāng)x∈(?1，+∞)時，y=?2+3當(dāng)x=1時，y<14，∴當(dāng)x∈(?1，+∞)時，f(x)與∴f(x)與y=1?2xx+1在∵f(x?1)+f(?x?1)=?4和y=?2+3x+1都關(guān)于∴f(x)與y=1?2xx+1在∴故答案為：B.【分析】首先，設(shè)f(x)=?x3?3x2+9x+9，則f(x?1)+f(?x?1)=?4，曲線關(guān)于(?1，?2)中心對稱，而對7．【答案】D【解析】【解答】解：令fx=lnx+1-xx+1，x∈-1，+∞，則f'x=1x+1-1x+12=xx+12，

當(dāng)x>0時，f'x>0，所以f(x)在0，+∞上是增函數(shù)，所以f0.1故答案為：D.【分析】先構(gòu)造函數(shù)fx=ln8．【答案】C【解析】【解答】解：(1+2x)(1+x)3=1+x3+2x1+x3展開式中x故答案為：C.

【分析】根據(jù)二項式定理展開式的通項公式即可得解.9．【答案】B,C【解析】【解答】解：因為x2?2a≤0，即x2≤2a，

可知命題“?1≤x≤2，x2≤2a”是真命題，

因為?1≤x≤2，x2max=4故答案為：BC.

【分析】根據(jù)恒成立問題分析可得a≥2，根據(jù)推出關(guān)系與包含關(guān)系的對應(yīng)分析判斷.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：令ft=et-t-1，則f't=et-1，當(dāng)t≤0時，f't≤0，ft為減函數(shù)，當(dāng)t>0時，f't>0，ft為增函數(shù)，所以ft≥f0=0，所以et≥t+1，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，等號成立，由ea-c+bec+1≤a+lnb+3，可得ea-c+elnb+c+1≤a-c+c+lnb+3，

而ea-c≥a-c+1，elnb+c+1≥lnb+c+2，所以ea-c+elnb+c+1≥a-c+c+lnb+3，

所以ea-c+elnb+c+1=a-c+c+lnb+3，當(dāng)且僅當(dāng)a-c=0，lnb+c+1=0時成立，

即lnb=-1-c，b>0，b=e-1-c，所以A正確；

對于B中，ab=ce-1-c=cec+1，令gx=xex+1，可得g'x=故答案為：AC.

【分析】令ft=et-t-1，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)ft的單調(diào)性，得到ft≥f0=0，進而得到ea-c+elnb+c+1≥a-c+c+lnb+3，得出ea-c+e11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因為拋物線C方程為：y2=6x，

所以p=3，

對A選項，因為MN≥2p=6，當(dāng)MN⊥x軸取等號，

A正確；

對B選項，若點P52，2，則MF+MP≥p2+xP=32+52=4，當(dāng)PM⊥y軸時取等號，

B正確；

對C選項，設(shè)直線MN的傾斜角為θ，θ∈[0，π)，

則根據(jù)拋物線的定義易得：MF=p+MFcosθ，

所以MF=p1-cosθ，同理可得NF故答案為：ABD.

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，拋物線的焦點弦的性質(zhì)，即可分別求解.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1則C(0，0，0)，D(4，0，0)，A1(4，4，對于選項A，因為點VC1?B1D1M=VM?B1所以三棱錐C1對于選項B，因為A1M=(x?4所以A1M⊥MN，又D1M⊥MN，A1所以MN⊥平面A1對于選項C，因為NC=(0，?4，?z)，且MN=(?x，0，對于選項D，因為DN=(?4，4當(dāng)且僅當(dāng)x=4?x時，即x=2時，zmax則|DN|=16+16+z2故答案為：ABD.

【分析】利用空間向量的坐標運算，用空間向量法對各個選項逐一判斷即可得出結(jié)論.13．【答案】?【解析】【解答】解：由題意得cos2(x+π4)=1-2si故答案為：?7

【分析】利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式求解.14．【答案】1.7【解析】【解答】解：x=1+2+3+4+55=3，y=0.5+0.6+1+1.4+m5=3.5+m5故答案為：1.7

【分析】根據(jù)平均數(shù)公式得樣本中心坐標，將點代入回歸直線方程，求出m，從而求出2019年該地區(qū)實際年人均收入。

15．【答案】4962【解析】【解答】∵an=n(an+1?an)，

∴1+nan=nan+1，

即ann=an+1n+1，

∴ann=a33=1，

∴an=n，

當(dāng)1≤n≤9時，0≤lgan≤1時，

bn=[lgan]=0；

當(dāng)10≤n≤99時，1≤lga16．【答案】1【解析】【解答】解：由題意設(shè)直線AB：y=x-c，設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，

聯(lián)立y=x-cx2a2+y2b2=1，得a2+b2x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0，故答案為：12

【分析】由題意設(shè)直線AB：y=x-c與橢圓聯(lián)立利用韋達定理求AB=1+k2x1-x2，和中點坐標式進而得到17．【答案】（1）解：因為A、C∈(0，π)，則由正弦定理可得?2cos所以，cosA=?12（2）解：因為D為BC中點，則AD=AB所以，2AD所以，4AD由余弦定理可得a2所以，b2+c由基本不等式可得b2+c2≥2bc當(dāng)且僅當(dāng)b=cb2+故a的最大值為43【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合三角形中角的取值范圍得出角C的正弦值的正負，再利用正弦定理和兩角和的正弦公式以及三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，進而得出角A的余弦值，從而得出角A的值。

（2）利用已知條件結(jié)合中點的性質(zhì)和平面向量基本定理以及余弦定理，再結(jié)合均值不等式求最值的方法，進而得出a的最大值。18．【答案】（1）解：對任意的n∈N?，則Sn+1所以，數(shù)列{Snn}為等差數(shù)列，且其首項為所以，Snn=1+n?1=n（2）解：當(dāng)n≥2時，ana1=1也滿足an=2n?1，故對任意的所以，bn故Tn【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的定義，從而證出數(shù)列{Snn}為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式得出數(shù)列{Sn}的通項公式。

（2）由（1）得出的數(shù)列{Sn}的通項公式結(jié)合an，S19．【答案】（1）解：由列聯(lián)表可得χ2所以依據(jù)小概率值α=0.（2）解：記星期三選擇了①號套餐為事件A1，選擇②號套餐為A星期五選擇了①號套餐為事件B1，選擇②號套餐為B則P(A1)=P(A2所以P(B所以P(B（3）解：依題意可得學(xué)生“喜歡飯?zhí)镁筒汀钡母怕蔖=60則ξ～B(10，35)，所以P(ξ=k)=C若P(ξ=k)取得最大值，則P(ξ=k)≥P(ξ=k+1)P(ξ=k)≥P(ξ=k?1)即C10即25≥3又0≤k≤10且k∈N，所以k=6.【解析】【分析】（1）計算卡方值，再根據(jù)臨界值比較即可；

（2）利用全概率公式計算即可；

（3）先求出學(xué)生”喜歡飯?zhí)镁筒汀案怕?，由題得出ξ～B(10，35)，可得20．【答案】（1）證明：翻折前，AD⊥BC，則AD⊥CD，AD⊥BD，翻折后，則有AD⊥CD，AD⊥BD，因為BD∩CD=D，BD、CD?平面BCD，所以，AD⊥平面BCD，因為BC?平面BCD，所以，AD⊥BC，在四棱錐A?BCD中，因為點E、F分別為棱AC、AB的中點，則EF//BC，因此，AD⊥EF.（2）解：因為AD⊥CD，AD⊥BD，則二面角C?DA?B的平面角為∠BDC，即tan∠BDC=2因AD⊥平面BCD，以點D為坐標原點，DB、DA所在直線分別為x、y軸，平面BCD內(nèi)過點D且垂直于BD的直線為z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為∠ABD=60°，AD⊥BD，AD=23又因為CD=5，則A(0，23，0)、E(12，設(shè)平面CDF的法向量為m=(x1，y則m?DC=x1設(shè)平面DEF的法向量為n=(x2則n?DF=x2所以，cos?由圖可知，二面角C?DF?E的平面角為銳角，故二面角C?DF?E的余弦值為1319【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合翻折的方法，再結(jié)合線線垂直證出線面垂直，再由線面垂直的定義證出線線垂直，再利用中點作中位線的方法和中位線的性質(zhì)，從而判斷出線線平行，進而證出AD⊥EF。

（2）利用已知條件結(jié)合二面角的作法和正切函數(shù)的定義，進而建立空間直角坐標系，從而得出點的坐標，進而得出向量的坐標，再利用平面的法向量求解方法，由數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，進而得出平面CDF的法向量和平面DEF的法向量，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式和二面角C?DF?E的平面角為銳角，從而得出二面角C?DF?E的余弦值。21．【答案】（1）解：∵f'(x)∴f'(2)則f'∴當(dāng)x∈(0，12)∪(2，f(x)在(0，1f(x)的極大值為f(綜上所述a=52；f(x)（2）解：f'令g(x)（?。┊?dāng)a2?4≤0，即?2≤a≤2時，g(則f(x)在[1，（ⅱ）當(dāng)a2?4>0，即a<?2或令g(x)=0，解得：當(dāng)a<?2時，x1<x2<0則f(x)在[1，當(dāng)a>2時，0<x1<x2，又x∴當(dāng)x∈(1，x2)時，g(f(x)