遼寧省五校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試

遼寧省五校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知A，B均為集合U={1，2，3，4，5}的子集，A．{1} B．{1，3} C．{2，2．z=(1+2i)(2?i)，則z的共軛復(fù)數(shù)z等于（）A．3+4i B．3?4i C．4+3i D．4?3i3．若sinα+sinβ=A．cos(α+β)=?58C．cos(α?β)=?584．(x?3)(x+2)5的展開式中A．?40 B．40 C．120 D．2005．設(shè)a>0，b>0，2a+b=1，則1aA．22 B．1+22 C．2+226．函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分圖象如圖，則（）A．ω=π8，φ=π4 C．ω=π8，φ=3π4 7．已知函數(shù)f(x)=1x?1+1xA．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8．圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究起源于古希臘，阿波羅尼奧斯（前262-前190）的《圓錐曲線論》全書8篇，共487個(gè)命題.16世紀(jì)天文學(xué)和物理學(xué)揭示了圓錐曲線是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍性形式.17、18世紀(jì)隨著射影幾何學(xué)和解析幾何學(xué)的創(chuàng)立發(fā)展，18世紀(jì)40年代瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述.現(xiàn)有圓錐PO'頂點(diǎn)為P，底面圓心為O'，母線與底面直徑的長度相同.點(diǎn)A在側(cè)面上，點(diǎn)B在底面圓周上，MN為底面直徑，二面角A?MN?B為30°A．22 B．33 C．12二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．X是隨機(jī)變量，（）A．若X～B(n，p)，則E(X)=npB．若X～H(N，nC．若X～N(μ，σ2)D．若X～N(2，10．已知正方體ABCD?AA．直線B1C與DB．直線B1C與平面DC．點(diǎn)B1到直線D1D．點(diǎn)B1到平面D111．已知點(diǎn)A，B在雙曲線C：x2?y2=1A．當(dāng)x02?y0B．當(dāng)x02?y0C．存在點(diǎn)A，B，使得x0D．存在點(diǎn)A，B，使得0<x12．已知函數(shù)f(x)=axA．當(dāng)a>0時(shí)，f(0)是f(x)的極小值B．當(dāng)a=1π時(shí)，f(πC．當(dāng)a<1?sin1時(shí)，aD．當(dāng)a>1?sin1時(shí)，a三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知向量|a|=2，|b|=3，且a14．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為25，公差為?2的等差數(shù)列，則數(shù)列{|15．在正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，AB=2，16．點(diǎn)A在圓(x?3)2+y2=2上，點(diǎn)B在拋物線y四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知(sinB+sinC)2（1）求A；（2）若3a?2b=c，求B18．為了解某藥物在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：隨機(jī)抽取100只小鼠，給服該種藥物，每只小鼠給服的藥物濃度相同、體積相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)藥物的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如下直方圖：（1）求殘留百分比直方圖中a的值；（2）估計(jì)該藥物在小鼠體內(nèi)殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）在體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間[5.5，7.5]的小鼠中任取3只，設(shè)其中體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間[6.19．如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1（1）證明：B1M//（2）求二面角B?AA20．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n（1）求{a（2）求證：Tn21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F1(?2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點(diǎn)（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)A(3，1)，設(shè)點(diǎn)M，N在C上，且直線MN不與x軸垂直，記k1，k2（?。τ诮o定的數(shù)值λ（λ∈R且λ≠13），若k1（ⅱ）記（?。┲械亩c(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程.22．（1）已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為{x∈R|x>0}，設(shè)y=g(x)是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1（2）已知ex≥lnx+c(x>0)，設(shè)c的最大值為c0（參考數(shù)據(jù)：1.648<e<1.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】已知A，B均為集合U={1，2，3，4，5}的子集，

因?yàn)?UB={3，4，5}，所以2．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)閦=(1+2i)(2?i)=2-i+4i-2i2=4+3i，則z的共軛復(fù)數(shù)z=4-3i.3．【答案】B【解析】【解答】若sinα+sinβ=22，cosα?cosβ=12，

則sinα+sin4．【答案】A【解析】【解答】(x+2)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=2rC5rx5-r，

所以(x?3)(x+2)55．【答案】D【解析】【解答】設(shè)a>0，b>0，2a+b=1，

則1a+1b=2a+b(1a+1b)=2+2ab+ba+1=3+2ab6．【答案】A【解析】【解答】利用函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分圖象，

因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)(0，2)，則2sinφ=2，所以sinφ=22，

又因?yàn)?≤φ<2π，所以φ=π4或φ=3π4，

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)（2，2)，所以sin(ωx+φ)=1，

由函數(shù)的圖象可知2為函數(shù)在原點(diǎn)右邊的第一個(gè)最大值點(diǎn)，

所以2ω+φ=π7．【答案】C【解析】【解答】已知函數(shù)f(x)=1x?1+1x+1x+a，設(shè)甲：a=1；乙：f(x)是奇函數(shù)，

當(dāng)a=1時(shí)，則函數(shù)f(x)=1x?1+1x+1x+1=x(x+1)+x2-1+x(x-1)x(x2-1)=x2+x+8．【答案】C【解析】【解答】不妨設(shè)圓錐底面半徑長為2，依題意，二面角A?MN?B為30°，

設(shè)A，B在同一條母線上，即∠AO'B=30°，

所以圓錐的母線與底面直徑長度相等，所以∠ABO'=60°，所以O(shè)A'⊥PB，

平面AMN與圓錐PO'側(cè)面的交線是某橢圓的一部分，則MN為橢圓的長軸，OA'為橢圓的短半軸，

則橢圓的長半軸：a=O9．【答案】A,B,C【解析】【解答】對于A，若X～B(n，p)，則E(X)=np，D(X)=np(1?p)，所以A對；

對于B，若X～H(N，n，M)，則E(X)=nMN，所以B對；

對于C，若X～N(μ，σ2)，則E(X)=μ，D(X)=σ10．【答案】B,C【解析】【解答】

對于A，由正方體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)易得D1A∥BC1，且BC1⊥B1C，故D1A⊥B1C，

顯然直線B1C與D1A所成角的正弦值不為32，所以A錯(cuò)；

對于C，由正方體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)易得B1D1=AB1=AD1=2，即?AB11．【答案】A,B,C【解析】【解答】

由題意知，雙曲線C：x2?y2=1的漸近線方程為y=±x對應(yīng)的直線為±1，記為k漸1，k漸2，

設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A，B在雙曲線的同一支上，x1=x2，y1=y2，此時(shí)x0>，y0=0，

滿足當(dāng)x02?y02>1時(shí)，點(diǎn)A，B在雙曲線的同一支上；

12．【答案】A,B,D【解析】【解答】在x∈(0，π2)上有cosx>1-x22，cosx<1-x22+x424，

sinx>x-x36，sinx<x-x36+x5120，

令r(x)=cosx-1+x22-x424，0<x<π2，則r'(x)=-sinx+x-x36，其中r'(0)=0，

令t(x)=r'(x)，則t'(x)=-cosx+1-x22，其中t'(0)=0，

令u(x)=t'(x)，則u'(x)=sinx-x，其中u'(0)=0，

令i(x)=u'(x)，則i'(x)=cosx-1<0在(0，π2)上恒成立，

故i(x)=u'(x)在(0，π2)單調(diào)遞減，又u'(0)=0，故u'(x)<0在(0，π2)上恒成立，

故u(x)=t'(x)在(o，π2)單調(diào)遞減，又因?yàn)閠'(0)=0，故t'(x）<0在(0，π2)上恒成立，故cosx>1-x22，

所以t(x)=r'(x)在(0，π2)上單調(diào)遞減，又r'(0)=0，故r'(x)<0在(0，π2)上恒成立，

故r(x)=cosx-1+x22-x424在(0，π2)上單調(diào)遞減，且r(0)=0，故cosx<1-x213．【答案】29【解析】【解答】已知向量|a|=2，|b|=3，且a?b=1，

因?yàn)閨2a→+b→|14．【答案】458【解析】【解答】已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1為25，公差d為?2的等差數(shù)列，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an=a1+(n-1)d=25+(n-1)×(-2)=25+2-2n=27-2n，n∈N，

所以數(shù)列{|an|}的通項(xiàng)公式為：an=27-2n，n∈N，15．【答案】7212【解析】【解答】分別取?ABC和?A1B1C1的重心O，O1，連接OO1，AO，A1O1，

因?yàn)檎馀_(tái)ABC?A1B1C1中，AB=216．【答案】2【解析】【解答】因?yàn)閳A(x?3)2+y2=2的圓心C(3，0)，半徑r為2，

又因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線y2=4x上，所以設(shè)點(diǎn)B(m，2m)，m≥0，

則ABmin17．【答案】（1）解：由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系可得：(b+c)2而cosA=b2+c（2）解：由題設(shè)3sinA?2sinB=sin所以32?2sin所以π6<B+π6<【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合正弦定理和余弦定理，進(jìn)而得出角A的余弦值，再結(jié)合三角形中角的取值范圍，進(jìn)而得出角A的值.

（2）利用已知條件結(jié)合正弦定理和(1)中角A的值以及三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，進(jìn)而得出角C與角B的關(guān)系式，再利用三角形中角的取值范圍得出角B的取值范圍，再結(jié)合兩角差的正弦公式和輔助角公式，從而得出sin(B+18．【答案】（1）解：由題知，0.解得a=0.（2）解：由圖知，x=2×0（3）解：體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間[5.5，6.5)內(nèi)的頻率為則百分比位于區(qū)間[5.5，X的所有取值為0，1，2，3，所以P(X=0)=C103P(X=2)=C101所以，X的分布列如下：X0123P2445202由期望公式得E(X)=0×24【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，再結(jié)合各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，再利用頻率之和等于1，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)a的值。（2）利用已知條件結(jié)合頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法，進(jìn)而估計(jì)該藥物在小鼠體內(nèi)殘留百分比的平均值。

（3）利用頻率分布直方圖求頻率的方法求出體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間[5.5，6.5)內(nèi)和位于19．【答案】（1）證明：因?yàn)閏os<AA1因?yàn)閏os<AA1以A為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，所以B1(22+1，12，所以B1M=(?設(shè)面A1C1所以m·→A1C→1=0因?yàn)锽1M?m=0，B1M（2）解：B(1，設(shè)面BAA1的法向量因?yàn)锳A1=(2令y2=1，則設(shè)面AA1D因?yàn)锳D=(0，1令x3=1，所以o=所以二面角B?AA1?D【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合余弦函數(shù)的值，進(jìn)而得出角的值，從而建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出平面A1C1D的法向量，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再由B1M不在面A1C1D內(nèi)，從而證出直線20．【答案】（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an經(jīng)驗(yàn)證：當(dāng)n=1時(shí)也成立.所以{an（2）證明：由（1）得an又bn當(dāng)n=1時(shí)，b1當(dāng)n≥2時(shí)，bn所以當(dāng)n≥2時(shí)，Tn令M=6則12兩式相減得：1=3所以M=7所以Tn即Tn【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合Sn，an的關(guān)系式和分類討論的方法，從再結(jié)合檢驗(yàn)法得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.（2）由（1）得出的數(shù)列{21．【答案】（1）解：因?yàn)閨PF所以P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)方程為則2a=26，c=2，a2?b2C的方程為x2（2）解：設(shè)直線MN的方程為：y=kx+m，其中3k+m≠1點(diǎn)M，N滿足x26+y22=1則36k2m2?4（?。┳C明：因?yàn)閥M所以k1k2直線MN的方程為：y=kx?3λ+1所以直線過定點(diǎn)(3（ⅱ）由xQ=33λ+13λ?1所以點(diǎn)Q的軌跡方程為直線y=?33x【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合三角形中兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)以及橢圓的定義，進(jìn)而得出點(diǎn)P的軌跡為橢圓，再結(jié)合橢圓的定義得出a的值，再利用F1(?2，0)，F(xiàn)2(2，22．【答案】（1）證明：由題意可知g(x)=f令h(x)=f(x)?g(x)，則h(x)=f(x)?f顯然h(x易知h'由h'(x所以x∈(0，x1)時(shí)，h'即h(x)在(0，x1)上單調(diào)遞減，在故f(x)≥g(x)；（2）