浙江省紹興市柯橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測數(shù)學(xué)試題

浙江省紹興市柯橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合A={x|x<2或x>3}，B=x22x-5A．[52,3) B．(2,52]2．若1+ia?i=i（a∈R，i為虛數(shù)單位），則A．2 B．2 C．3 D．23．函數(shù)y=lnA．?∞,1 B．1,+∞ C．?4．已知平面向量a=10sinθ,1，b=A．?13或?3 B．13或?3 C．13或35．已知命題p：函數(shù)f(x)=2x3+x?a在1,2A．3≤a<18 B．3<a<18 C．a(chǎn)<18 D．a(chǎn)≥36．直線mx?ny+m?n=0交曲線x2+yA．25 B．45 C．3 7．已知x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，且x+2y=2，則x2A．34 B．94 C．328．若對任意實(shí)數(shù)x≥0，恒有2ex+2mxA．?102,2C．ln2?2,102二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知a∈R，關(guān)于x的一元二次不等式ax?2x+2A．xx>2a或x<?2C．x?2<x<2a10．已知直線m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則下列線面關(guān)系可能成立的是（）A．m⊥n B．m⊥平面βC．平面α/平面β D．平面α⊥平面11．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S5A．?dāng)?shù)列2aB．SC．當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，SnD．S12．雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0上一動點(diǎn)Px0,y0A．當(dāng)x0>a時，點(diǎn)a,0在B．mC．GD．當(dāng)x0<?a三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若3x?1xn的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中的含x14．已知函數(shù)fx=12x215．盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計的，已成為巴黎的城市地標(biāo)，盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長為a，高為23a，若該四棱錐的五個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該外接球的表面積是16．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P2,0的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，直線AF、BF分別交C于M、N，則四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，且bsin（1）求角A；（2）若a=23，求△ABC18．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若Snn為等差數(shù)列，且滿足（1）求數(shù)列an（2）設(shè)Tn=a19．臨近新年，某水果店購入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進(jìn)行質(zhì)量檢查.（1）應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門檢測.①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.20．如圖，在三棱錐P?ABC中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，PA=PC=4.（1）求證：PB⊥AC；（2）若平面PAC⊥平面ABC，在線段PB（包含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得平面PAB⊥平面ACE，若存在，求出PE的長，若不存在，請說明理由.21．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0與圓x?22+y?12=（1）求橢圓C的離心率；（2）若a=6，求k22．已知函數(shù)f(x)=x?ln（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程f(x)=a有兩個解x1,x

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由22x?5>1，得2x?5>0，解得x>5由A={x|x<2或x>3}，得?R所以(?故選：C

【分析】本題考查集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算.先解指數(shù)不等式可求出集合B，再利用補(bǔ)集的定義可求出?R2．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)?+ia?i=i，又因?yàn)?+ia?i=1+ia+ia-ia+i=a+i+ai+i2a3．【答案】C【解析】【解答】由y=ln∴x2?2x>0，解得x<0所以函數(shù)y=lnx2令u=x2?2x，則函數(shù)u=x2而函數(shù)y=lnu在由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得y=lnx2故選：C.

【分析】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0可得：x2?2x>0，解不等式可求出函數(shù)的定義域，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得：u=x2?2x4．【答案】A【解析】【解答】∵a=(10sin∴a?b∴sinθcos∴tanθ=?1故選：A.

【分析】本題考查平面向量垂直的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.先利用平面向量垂直的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化可列出方程10sinθcosθ+3=0，化簡方程可得：sinθ5．【答案】D【解析】【解答】函數(shù)f(x)=2x3+x?a在R上單調(diào)遞增，由函數(shù)f(x)=2得f(1)=3?a<0f(2)=18?a≥0，解得3<a≤18，即命題p成立的充要條件是3<a≤18顯然3<a≤18成立，不等式3≤a<18、3<a<18、a<18都不一定成立，而3<a≤18成立，不等式a≥3恒成立，反之，當(dāng)a≥3時，3<a≤18不一定成立，所以命題p成立的一個必要不充分條件是a≥3.故選：D

【分析】本題考查零點(diǎn)的定義，充分必要條件的定義.根據(jù)題意可得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，再結(jié)合函數(shù)f(x)=2x3+x?a在1,2內(nèi)有零點(diǎn)，利用零點(diǎn)存在性定理可列出不等式組f(1)=3?a<0f(2)=18?a≥0，解不等式組可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，再利用集合子集的定義進(jìn)行判斷可得：3<a≤18成立，不等式a≥3恒成立，反之，當(dāng)6．【答案】B【解析】【解答】mx?ny+m?n=0即mx+1則直線mx?ny+m?n=0恒過定點(diǎn)(?1,?1)，且曲線x2+(y?1)將點(diǎn)(?1,?1)代入圓方程得1+4=5<25，所以點(diǎn)-1,-1在圓內(nèi).設(shè)圓心到直線mx?ny+m?n=0的距離為d，則|AB|=2r因?yàn)閳A心到直線距離的最大值為直線所過定點(diǎn)與圓心的距離，即dmax∴|AB|故選：B.

【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系.先將直線方程變形為mx+1?y+1n=0，進(jìn)而可推出直線恒過定點(diǎn)(?1,?1)，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得：曲線x2+(y?1)2=257．【答案】B【解析】【解答】由x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，得x>0,y+1≥1，由x+2y=2，得x+2(y+1)=4，于是x=≥14[5+22(y+1)x所以當(dāng)x=43,y=13故選：B

【分析】本題考查利用基本不等式求最值.等式x+2y=2，變形可得：x+2(y+1)=4，式子x2+1x+28．【答案】C【解析】【解答】∵2e∴2e設(shè)f(x)=2ex+4mx?設(shè)hx=2ex+4m?2x∴f'(x)在[0,+當(dāng)m≥?12時，f'∴f(x)min=f(0)=2,?∴當(dāng)m<?12時，則f'(0)<0，不妨取當(dāng)x∈0,x0時，f'(x)<0∴f(x)在0,x0上單調(diào)遞減，在∴f(x)∴2e∴ex0≤4，即x0≤ln∴2m=x0?綜上可得ln2?2≤m≤故選：C.

【分析】本題考查恒成立問題.先將不等式進(jìn)行移項(xiàng)可得：2ex+4mx?x2≥4m2?8(x≥0)，設(shè)f(x)=2ex+4mx?x2，求出導(dǎo)函數(shù)可得：f'(x)=2ex+4m?2x，再設(shè)h9．【答案】A,C,D【解析】【解答】當(dāng)a=0時，ax?2x+2當(dāng)a>0時，ax?2x+2=ax?當(dāng)a<0時，ax?2x+2若2a若2a<?2??1<a<0，則不等式的解為：若2a>?2?a<?1，則不等式的解為：故選：ACD

【分析】本題考查醫(yī)院將二次不等式的解法.根據(jù)不等式的特征，需要分三種情況：a=0，a>0，a<0，依次求出對應(yīng)方程的根，再根據(jù)a的范圍：a=0，a>0，a<0，依次2a與?210．【答案】A,D【解析】【解答】AD，當(dāng)平面α⊥平面β，且m⊥n時，兩直線可以為異面直線，AD正確；C，若平面α/平面β，則m//n，則m,nB，當(dāng)m⊥平面β時，則平面α/平面β故選：AD

【分析】本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，平面與平面垂直的性質(zhì)，平面與平面平行的性質(zhì).當(dāng)平面α⊥平面β，利用平面與平面垂直的性質(zhì)可得：m⊥n時，兩直線可以為異面直線，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)和D選項(xiàng)；若平面α/平面β，利用直線與平面垂直的性質(zhì)可得：m//n，據(jù)此可推出m,n共面，據(jù)此可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)m⊥平面β時，利用平面與平面平行的性質(zhì)可得：平面α/平面β，進(jìn)而利用直線與平面垂直的性質(zhì)可得：m//n，據(jù)此可推出11．【答案】A,B【解析】【解答】等差數(shù)列an中，S5=5(a1+于是等差數(shù)列an的公差d=a4前n項(xiàng)和SnA，顯然2a1>0，2B，S9C，顯然等差數(shù)列an因此當(dāng)n=4或n=5時，SnD，Snn=?因此S1故選：AB

【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.根據(jù)題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求出a3=10，a4=5，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出公差d，進(jìn)而可求出an，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求出Sn.根據(jù)等比數(shù)列的定義，作商可得：2an+12an=132，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)；利用12．【答案】A,B【解析】【解答】

A，當(dāng)P點(diǎn)位于雙曲線右支時，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與PF1,P根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有PN=再根據(jù)雙曲線的定義，有PFPN+得到NF1?QF解得xk=a，即所以當(dāng)x0>a時，點(diǎn)(a,0)在B，以下證明雙曲線焦半徑公式，設(shè)點(diǎn)Px0,若點(diǎn)Px0,則PF1?a2c?若點(diǎn)Px0,則PF2x0?a2對于本題來說，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時，由于PM為∠FPF因此PF結(jié)合e=ca，得到m=a由于PM為∠FPF因此PF1PC，當(dāng)點(diǎn)P位于雙曲線右支上時，由于G為△PF1F根據(jù)A選項(xiàng)的結(jié)論可知G的橫坐標(biāo)為a，設(shè)G(a,r)，根據(jù)三角形的面積公式，有12即12reD，當(dāng)x0<?a時，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，同A選項(xiàng)方法可得同C選項(xiàng)方法（或根據(jù)雙曲線對稱性可得）可得y=a顯然a>0，y0≠0，則故選：AB.

【分析】本題考查三角形內(nèi)切圓性質(zhì)，雙曲線定義，雙曲線的簡單幾何性質(zhì).利用圓的切線的性質(zhì)可得：PN=PN+NF1?PQ+QF2=2a，據(jù)此可得NF1?QF2=2a，設(shè)Kxk,0，進(jìn)而可求出點(diǎn)K的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)(a,0)在△PF113．【答案】270【解析】【解答】由3x?1xn展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2所以3x?1x5令5?32r=2所以含x2項(xiàng)的系數(shù)為3故答案為：270.

【分析】本題考查二項(xiàng)式的系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng).根據(jù)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，據(jù)此可列出方程2n=32，解方程可求出n=5，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得：Tr+1=14．【答案】5【解析】【解答】∵f∴f'(x)=0時，x=3因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?,6，在左端點(diǎn)x=4處無法取到極值，∴a∈4,6，而a∈Z*故答案為：5.

【分析】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值.先求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)，再令f'(x)=0，可求出x=3或x=a，再根據(jù)函數(shù)定義域?yàn)?,6，所以在左端點(diǎn)15．【答案】289【解析】【解答】如圖，

因?yàn)镺A<OP，所以球心O在PO1因?yàn)檎睦忮F的底面邊長為a，高為23a，所以設(shè)OO'=x則22a2+x所以外接球的表面積為4π17a故答案為：289π【分析】本題考查球的內(nèi)接幾何體問題.先作出圖形，據(jù)此可得球心O在PO1的延長線上，利用四棱錐的性質(zhì)可求出AO1=2216．【答案】9【解析】【解答】

設(shè)An2,2nn>0，直線AB：x=my+2，則x=my+2所以yA·y由AM過焦點(diǎn)，設(shè)直線AM：x=ty+1，則x=ty+1y2=4x所以yA·yM=-4所以AM=1n則AM+當(dāng)且僅當(dāng)n=2故答案為：9.【分析】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì).設(shè)An2,2nn>0及直線AB：x=my+2，將直線AB的方程與拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立，消x可得：y2-4my-8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為：B4n2,-4n，再根據(jù)17．【答案】（1）由已知得，bsinπ則根據(jù)正弦定理得sinBcosAcosA∵△ABC為銳角三角形，∴A=π（2）由正弦定理得asinA=b則b=4sinB,c=4sinB+a+b+c=2=2=23因?yàn)?<B<π20<2π3所以sinB+π6【解析】【分析】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）先利用正弦定理進(jìn)行邊化角和利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡可得：sinBcosA2=sinAsinB(sinB>0)（2）先利用正弦定理化簡可得：b=4sinB,c=4sinB+π3，據(jù)此可得：a+b+c=23+4（1）由已知得，bsinπ則根據(jù)正弦定理得sinBcosAcosA∵△ABC為銳角三角形，∴A=π（2）由正弦定理得asinA=b則b=4sinB,c=4sinB+a+b+c=2=2=23因?yàn)?<B<π20<2π3所以sinB+π618．【答案】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列Snn的公差為d，又S1∴3d=5?8=-3，∴d=?1，∴S∴Sn=?n2∴an=∴an=?2n+10（2）由（1）得，a1當(dāng)n≤5時，Tn當(dāng)n≥6時，T=2×?∴T【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.（1）利用等差數(shù)列的定義可求出Snn的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求出Sn，再求出Sn-1，兩式相減，再利用Sn（2）由an的通項(xiàng)公式，可推出a1>a2>?>a（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列Snn的公差為d，又S1∴3d=5?8=-3，∴d=?1，∴S∴Sn=?n2∴an=∴an=?2n+10（2）由（1）得，a1當(dāng)n≤5時，Tn當(dāng)n≥6時，T=2×?∴T19．【答案】（1）由題意知：3636+27+18所以應(yīng)從A，B，C三種水果各抽4，3，2箱.（2）①由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，4，則有：PX=0=C54C94=5126，PX01234P52010101所以隨機(jī)變量X的期望為EX=0×5126+1×2063+2×1021【解析】【分析】本題考查分層抽樣，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望.（1）根據(jù)分層抽樣的定義，依次求出A，B，C三種水果所占的比例，再利用比例依次乘以9，據(jù)此可求出應(yīng)從A，B，C三種水果的箱數(shù)；（2）①根據(jù)題意可得：X的可能取值為0，1，2，3，4，利用超幾何的計算公式分別求出變量對應(yīng)的概率，據(jù)此可列出分布列，再利用數(shù)學(xué)期望計算公式進(jìn)行計算可求出期望；

②先利用對立事件的定義可得：A為事件“抽取的4箱水果中，都是質(zhì)量上乘的，或都是質(zhì)量一般的水果”，據(jù)此可列出式子：PA（1）由題意知：3636+27+18所以應(yīng)從A，B，C三種水果各抽4，3，2箱.（2）①由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，4，則有：PX=0=CPX=2=CPX=4所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P52010101所以隨機(jī)變量X的期望為EX②由題意可知：A為事件“抽取的4箱水果中，都是質(zhì)量上乘的，或都是質(zhì)量一般的水果”，所以PA20．【答案】（1）取AC的中點(diǎn)O，連接OP,OB，因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的正三角形，所以O(shè)B⊥AC，由PA=PC，所以O(shè)P⊥AC，又OB∩OP=O,OB,OP?平面OPB，所以AC⊥平面OPB，又PB?平面OPB，所以PB⊥AC；（2）由（1）得OP⊥AC,OB⊥AC，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC且交線為AC，且OP?平面PAC，所以O(shè)P⊥平面ABC，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0設(shè)PE=λPB0≤λ≤1設(shè)平面PAB的法向量為m=x,y,z，AB=令y=5，則x=15設(shè)平面ACE的法向量為n則n?AC=?2x=0n?若平面PAB⊥平面ACE，則m?n=0+5+此時PE=0,536【解析】【分析】本題考查直線與平面垂直的判定，利用空間向量求二面角.（1）取AC的中點(diǎn)O，連接OP,OB，利用等邊三角形的性質(zhì)可得：OB⊥AC，再根據(jù)PA=PC，利用等腰三角形的性質(zhì)可得：OP⊥AC，利用直線與平面垂直的判定可證明AC⊥平面OPB，再利用直線與平面垂直的性質(zhì)可證明結(jié)論.（2）根據(jù)OP⊥AC,OB⊥AC，利用直線與平面垂直的性質(zhì)可證明OP⊥平面ABC，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出PB?,PE?,AB?,AE?，據(jù)此可求出平面PAB的法向量和平面（1）取AC的中點(diǎn)O，連接OP,OB，因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的正三角形，所以O(shè)B⊥AC，由PA=PC，所以O(shè)P⊥AC，又OB∩OP=O,OB,OP?平面OPB，所以AC⊥平面OPB，又PB?平面OPB，所以PB⊥AC；（2）由（1）得OP⊥AC,OB⊥AC，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC且交線為AC，且OP?平面PAC，所以O(shè)P⊥平面ABC，如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0設(shè)PE=λPB0≤λ≤1設(shè)平面PAB的法向量為m=x,y,z，AB=令y=5，則x=15設(shè)平面ACE的法向量為n則n?AC=?2x=0n?若平面PAB⊥平面ACE，則m?n=0+5+此時PE=0,53621．【答案】（1）由已知得，MN中點(diǎn)為2,1，設(shè)Mx則x1+x2=4,作差得x1?x由k=y1?y2（2）由（1）及題設(shè)得橢圓C的方程為：x26+則其右焦點(diǎn)F3,0，A?設(shè)Dx3,y3x26+∴過F作x軸的垂線交AD,BE分別于點(diǎn)G,H，kAD=y令x=3，則y=y同理直線BE:y=y4得GF=y所以1由（※）知，1y3+k1???????【解析】【分析】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.（1）設(shè)Mx1,y1（2）設(shè)直線DE的方程為x=my+3，將直線DE的方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，消y可得：m2+2y2+23my?3=0，利用韋達(dá)定理可得：y3+y4=?23（1）由已知得，MN中點(diǎn)為2,1，設(shè)Mx則x1+x2=4,作差得x1?x由k=y1?y2（2）由（1）及題設(shè)得橢圓C的方程為：x26+則其右焦點(diǎn)F3,0，A?設(shè)Dx3,y3x26+∴過F作x軸的垂線交AD,BE分別于點(diǎn)G,H，kAD=y令x=3，則y=y同理直線BE:y=y4得GF=y所以1由（※）知，1y3+k122．【答案】（1）函數(shù)f(x)=x?lnx+exx當(dāng)0<x<