2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第01講直線的方程(九大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第01講直線的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：傾斜角與斜率的計算 2題型二：三點(diǎn)共線問題 2題型三：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題 2題型四：直線的方程 3題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題 3題型六：兩直線的夾角問題 4題型七：直線過定點(diǎn)問題 4題型八：中點(diǎn)公式 4題型九：軌跡方程 502重難創(chuàng)新練 503真題實(shí)戰(zhàn)練 8題型一：傾斜角與斜率的計算1．（2024·高三·山東濟(jì)寧·期末）直線的傾斜角是.2．（2024·高三·浙江杭州·期末）直線的傾斜角是.3．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，若直線的斜率分別為，則（

）

A． B．C． D．題型二：三點(diǎn)共線問題5．若三點(diǎn)，，共線，則.6．若點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)等于7．已知，，三點(diǎn)在同一條直線上，則．題型三：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題8．已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是.9．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為.10．已知點(diǎn)，若直線過點(diǎn)且與線段沒有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為．11．若直線：與連接，的線段相交，則的取值范圍是．12．已知兩點(diǎn)，和直線，則直線恒過定點(diǎn)；若直線與線段AB有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型四：直線的方程13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的平分線所在直線的方程為.14．過點(diǎn)引直線，使，到它的距離相等，則該直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或15．已知過定點(diǎn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．16．（2024·四川綿陽·二模）過點(diǎn)，且與原點(diǎn)距離最大的直線的方程為（

）A． B． C． D．題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題17．已知直線l過點(diǎn)，且分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則面積最小值為．18．若一條直線經(jīng)過點(diǎn)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為．19．已知直線l過點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時，直線l的方程為.20．已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線l過點(diǎn)，且分別與軸正半軸交于、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).(1)當(dāng)面積最小時，求直線l的方程；(2)求的最小值及此時直線l的方程.題型六：兩直線的夾角問題22．若直線過點(diǎn)且與直線，的夾角相等，則直線的方程是．23．直線過點(diǎn)，且與直線：的夾角為，則直線的方程為．24．直線與直線所成夾角大小為．題型七：直線過定點(diǎn)問題25．若無論實(shí)數(shù)取何值，直線都經(jīng)過一個定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.26．過定點(diǎn)的直線與過定點(diǎn)的直線交于，則27．已知直線（m為任意實(shí)數(shù)）過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；若直線與直線，分別交于M點(diǎn)，N點(diǎn)，則的最小值為．28．已知直線經(jīng)過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.題型八：中點(diǎn)公式29．已知兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線和上，且的中點(diǎn)為，則，直線的一般式方程為．30．直線分別交x軸和軸于A、兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.31．已知直線：過定點(diǎn)，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點(diǎn)平分，求的值.題型九：軌跡方程32．方程表示的圖形是（

）A．兩條直線 B．四條直線 C．兩個點(diǎn) D．四個點(diǎn)33．已知?，的面積為，則動點(diǎn)的軌跡方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或34．到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．35．到兩條平行直線和的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是.36．已知三條直線、和且與的距離是．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離之比是，試求出點(diǎn)的軌跡方程．1．（2024·上海嘉定·一模）直線傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．（2024·河南信陽·三模）動點(diǎn)P在函數(shù)的圖像上，以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·重慶·三模）當(dāng)點(diǎn)到直線l：的距離最大時，實(shí)數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．25．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則（

）A． B． C． D．16．（2024·新疆烏魯木齊·三模）直線，的斜率分別為1，2，，夾角為，則（

）A． B． C． D．7．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）動點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024·貴州遵義·一模）已知直線與函數(shù)的圖象在處的切線沒有交點(diǎn)，則（

）A．6 B．7 C．8 D．129．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·二模）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則可能等于（

）A．-1 B． C． D．010．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）若的圖象在處的切線分別為，且，則（

）A．B．的最小值為2C．在軸上的截距之差為2D．在軸上的截距之積可能為11．（多選題）（2024·河南·模擬預(yù)測）已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸分別交于A，B點(diǎn)，則（

）A．若直線的斜率為1，則直線的方程為B．若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為C．若M為的中點(diǎn)，則的方程為D．直線的方程可能為12．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知直線，直線，與相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的軌跡方程為．13．（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為．14．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知直線，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)k的值為；若直線l不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是.15．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo).16．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程．17．直線的方程為.(1)證明直線過定點(diǎn)；(2)已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)線分別與軸正半軸?軸正半軸交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求的周長及此時直線的方程.18．已知的三個頂點(diǎn)是，，．(1)過點(diǎn)的直線與邊相交于點(diǎn)，若的面積是面積的3倍，求直線的方程；(2)求的角平分線所在直線的方程．1．（2002年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（1995年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（全國卷））圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．3．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（四川卷））如圖，是同一平面內(nèi)的三條平行直線，與間的距離是1，與間的距離是2，正三角形的三頂點(diǎn)分別在上，則的邊長是（

）A． B． C． D．4．（2015年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）如下圖，直線的方程是（

）A． B．C． D．5．（2006年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題（上海卷））已知直線過點(diǎn)，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，則面積最小值為．6．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（上海卷））直線的傾斜角．7．（2004年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））直線（a為常實(shí)數(shù)）的傾斜角的大小是．8．（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（北京卷））若三點(diǎn)，，，（）共線，則的值等于.9．（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（浙江卷））已知曲線C是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡．l是過點(diǎn)的直線，M是C上（不在l上）的動點(diǎn)；A、B在l上，，軸（如圖）．(1)求曲線C的方程；(2)求出直線l的方程，使得為常數(shù)．10．（2005年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（廣東卷））在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長為2，寬為1，邊分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段上．(1)若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；(2)求折痕的長的最大值．第01講直線的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：傾斜角與斜率的計算 2題型二：三點(diǎn)共線問題 3題型三：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題 4題型四：直線的方程 7題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題 8題型六：兩直線的夾角問題 11題型七：直線過定點(diǎn)問題 12題型八：中點(diǎn)公式 13題型九：軌跡方程 1502重難創(chuàng)新練 1603真題實(shí)戰(zhàn)練 25題型一：傾斜角與斜率的計算1．（2024·高三·山東濟(jì)寧·期末）直線的傾斜角是.【答案】/【解析】由直線可得，直線的斜率，即，，即，所以直線的傾斜角為.故答案為：2．（2024·高三·浙江杭州·期末）直線的傾斜角是.【答案】0【解析】的斜率為0，設(shè)傾斜角為，則，解得，故傾斜角為0故答案為：03．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率為，因?yàn)橹本€的傾斜角大于等于小于，故經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是，故選：D4．（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，若直線的斜率分別為，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】解析

設(shè)直線的傾斜角分別為，則由圖知，所以，即．故選：A題型二：三點(diǎn)共線問題5．若三點(diǎn)，，共線，則.【答案】【解析】由題意，直線的斜率為，直線的斜率為：，因三點(diǎn)共線，故，即，解得：.故答案為：.6．若點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)等于【答案】【解析】由題意可得，即，解得，故答案為：7．已知，，三點(diǎn)在同一條直線上，則．【答案】【解析】因?yàn)?，，三點(diǎn)在同一條直線上，所以，即，解得．故答案為：.題型三：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題8．已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是.【答案】【解析】如圖直線與線段相交，因?yàn)?，結(jié)合圖形可知的斜率取值范圍是.故答案為：9．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為.【答案】【解析】可以看成上的點(diǎn)和構(gòu)成的直線的斜率，在中令得，令則，設(shè)，，則，，所以的范圍為.故答案為：.10．已知點(diǎn)，若直線過點(diǎn)且與線段沒有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為．【答案】【解析】設(shè)過點(diǎn)且垂直于軸的直線交線段于點(diǎn)，如下圖所示：當(dāng)直線由位置繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動到位置時，的斜率從逐漸變大，此時，；當(dāng)直線由位置繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動到位置時，的斜率為負(fù)值，且逐漸增大至，此時，.綜上所述，直線與線段有交點(diǎn)時，其斜率的取值范圍是，所以直線與線段沒有交點(diǎn)時，其斜率的取值范圍是.故答案為:.11．若直線：與連接，的線段相交，則的取值范圍是．【答案】【解析】直線的方程可整理為，令，解得，所以直線恒過點(diǎn)，由圖可知，直線在直線和之間旋轉(zhuǎn)時恒與線段相交，，，，所以或，解得或.故答案為：.12．已知兩點(diǎn)，和直線，則直線恒過定點(diǎn)；若直線與線段AB有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】空一：，該直線的斜率為，所以直線恒過；空二：如下圖所示：因?yàn)?，所以?dāng)直線與線段AB有公共點(diǎn)時，則有，或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：；題型四：直線的方程13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的平分線所在直線的方程為.【答案】【解析】由題意，可設(shè)的平分線的傾斜角為，如圖，則，即.則或，又，故，故，故的平分線所在直線的方程為，故答案為：14．過點(diǎn)引直線，使，到它的距離相等，則該直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，，到它的距離分別為1，3，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，由，到它的距離相等得，解得或，即直線方程為或.故選：C.15．已知過定點(diǎn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線可變?yōu)?，所以過定點(diǎn)，又因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知，令，所以直線與軸的交點(diǎn)為，令，所以直線與軸的交點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，所以此時直線為：.故選：C.16．（2024·四川綿陽·二模）過點(diǎn)，且與原點(diǎn)距離最大的直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】原點(diǎn)設(shè)為O，直線OP的斜率為，當(dāng)過點(diǎn)的直線垂直于點(diǎn)與原點(diǎn)O的連線時，該直線與原點(diǎn)距離最大，此時直線方程,即，故選：B.題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題17．已知直線l過點(diǎn)，且分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則面積最小值為．【答案】24【解析】由題意可知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，因?yàn)橹本€分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，所以，令，則，即，令，則，即，所以其中，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，即面積最小值為.故答案為：18．若一條直線經(jīng)過點(diǎn)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為．【答案】或【解析】由題意可知該直線不經(jīng)過原點(diǎn)，且存在斜率且不為零，所以設(shè)直線方程為，因?yàn)樵撝本€過點(diǎn)，所以有，因?yàn)樵撝本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，所以有，或，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，此時方程為：，當(dāng)時，，此時方程為：，當(dāng)時，，故答案為：或19．已知直線l過點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時，直線l的方程為.【答案】x＋2y－4＝0【解析】法一，利用截距式設(shè)出直線方程，再利用基本不等式求面積最小時的直線方程；法二顯然存在，設(shè)(其中)求出坐標(biāo)，然后求解三角形的面積，再利用基本不等式求解面積的最小值時的直線方程.法一設(shè)直線l：，且a＞0，b＞0，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)M(2,1)，所以，則≥，故ab≥8，故S△AOB的最小值為×ab＝×8＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號，此時a＝4，b＝2，故直線l：，即x＋2y－4＝0.法二設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－，即k＝－時，等號成立，故直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.故答案為：.20．已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【解析】（1）證明：直線的方程為：提參整理可得：．令，可得，不論為何值，直線必過定點(diǎn).（2）設(shè)直線的方程為．令則，令．則，直線與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，三角形面積最小．此時的方程為．21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線l過點(diǎn)，且分別與軸正半軸交于、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).(1)當(dāng)面積最小時，求直線l的方程；(2)求的最小值及此時直線l的方程.【解析】（1）設(shè)直線，且∵直線過點(diǎn)則當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號所以的最小值為，直線1即.（2）由∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，∴此時直線,故的最小值為9，此時直線l的方程.題型六：兩直線的夾角問題22．若直線過點(diǎn)且與直線，的夾角相等，則直線的方程是．【答案】或【解析】直線的斜率，直線的斜率，依題意直線的斜率存在，設(shè)斜率為，所以，整理得，可得或，又直線過點(diǎn)，則或，整理得或.故答案為：或23．直線過點(diǎn)，且與直線：的夾角為，則直線的方程為．【答案】或【解析】由題設(shè)，直線斜率為，則其傾斜角為，所以直線的傾斜角為或，且過，故直線的方程為或，即或.故答案為：或24．直線與直線所成夾角大小為．【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，兩條直線夾角為，則，，則，，所以.故答案為：.題型七：直線過定點(diǎn)問題25．若無論實(shí)數(shù)取何值，直線都經(jīng)過一個定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【解析】令，解得，故經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：26．過定點(diǎn)的直線與過定點(diǎn)的直線交于，則【答案】10【解析】由題意可得：，則，由，則，當(dāng)時，兩直線垂直，當(dāng)時，兩直線斜率之積等于，∴直線和直線垂直，則.故答案為：1027．已知直線（m為任意實(shí)數(shù)）過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；若直線與直線，分別交于M點(diǎn)，N點(diǎn)，則的最小值為．【答案】42【解析】直線，聯(lián)立，解得，，故；易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，令，得；令，得，則，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故答案為：，28．已知直線經(jīng)過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】直線即，由得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：題型八：中點(diǎn)公式29．已知兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線和上，且的中點(diǎn)為，則，直線的一般式方程為．【答案】1【解析】由題意得，得．設(shè)，由得即，則直線的方程為，即．故答案為：1；.30．直線分別交x軸和軸于A、兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【解析】因A、兩點(diǎn)在x軸和軸上，設(shè)，因是線段的中點(diǎn)，則，故直線的截距式方程為：.故答案為：.31．已知直線：過定點(diǎn)，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點(diǎn)平分，求的值.【解析】則直線過定點(diǎn)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，依題意為中點(diǎn)在中令，則，即所以，即，將其代入直線中可得解之得題型九：軌跡方程32．方程表示的圖形是（

）A．兩條直線 B．四條直線 C．兩個點(diǎn) D．四個點(diǎn)【答案】A【解析】因?yàn)?，則，解得，解得，其表示的兩條圖形為兩條直線.故選：A.33．已知?，的面積為，則動點(diǎn)的軌跡方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以動點(diǎn)到的距離為，設(shè)，則的方程為，即，由題意可得，即，所以動點(diǎn)的軌跡方程為:或.故選:B34．到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，則到兩坐標(biāo)軸距離相等，即，即.故選：D35．到兩條平行直線和的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】【解析】設(shè)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由題意得∴，∴，即.∵是任意的，故所求點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為36．已知三條直線、和且與的距離是．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離之比是，試求出點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1）將直線的方程化為，兩條平行線與間的距離，解得或，又，所以．（2）因?yàn)橹本€，直線，設(shè)點(diǎn)，依題意有，即，所以或，即的軌跡方程或．1．（2024·上海嘉定·一模）直線傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)直線與橫軸平行時，直線的傾斜角是，因此直線傾斜角的取值范圍為，故選：C2．已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解析：，又因?yàn)樗?，故選：B.3．（2024·河南信陽·三模）動點(diǎn)P在函數(shù)的圖像上，以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，解得，故的定義域?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，故以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍是.故選：C4．（2024·重慶·三模）當(dāng)點(diǎn)到直線l：的距離最大時，實(shí)數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】直線l：，整理得，由，可得，故直線恒過點(diǎn)，點(diǎn)到的距離，故；直線l：的斜率，故，解得故選：B.5．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】∵角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，∴，解得，∴，∴，∴．故選：A．6．（2024·新疆烏魯木齊·三模）直線，的斜率分別為1，2，，夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線，的傾斜角分別為，則,;因此；所以.故選：C7．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）動點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為，因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又因?yàn)椋裕?故選：C.8．（2024·貴州遵義·一模）已知直線與函數(shù)的圖象在處的切線沒有交點(diǎn)，則（

）A．6 B．7 C．8 D．12【答案】B【解析】，，，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為：，則，因?yàn)橹本€與直線沒有交點(diǎn)，所以直線與直線平行，則.故選：C.9．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·二模）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則可能等于（

）A．-1 B． C． D．0【答案】AC【解析】由表示與點(diǎn)所成直線的斜率，又是在部分圖象上的動點(diǎn)，圖象如下：如上圖，，則，只有B、C滿足.故選：BC10．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）若的圖象在處的切線分別為，且，則（

）A．B．的最小值為2C．在軸上的截距之差為2D．在軸上的截距之積可能為【答案】AC【解析】對于A，B：由題意可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的斜率分別為，因?yàn)椋?，得，因?yàn)椋?，故A正確，B錯誤．對于C，D：的方程為，即，令，得，所以在軸上的截距為，的方程為，可得在軸上的截距為，所以在軸上的截距之差為，在軸上的截距之積為，故C正確，D錯誤．故選：AC11．（多選題）（2024·河南·模擬預(yù)測）已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸分別交于A，B點(diǎn)，則（

）A．若直線的斜率為1，則直線的方程為B．若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為C．若M為的中點(diǎn)，則的方程為D．直線的方程可能為【答案】AC【解析】對于A，直線l的斜率為1，則直線l的方程為，即，故A正確；對于B，當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時，l的方程為，故B錯誤；對于C，因?yàn)橹悬c(diǎn)，且A，B在軸、軸上，所以，，故AB的方程為，即，故C正確；對于D，直線與x軸無交點(diǎn)，與題意不符，故D錯誤．故選：AC．12．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知直線，直線，與相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的軌跡方程為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，因?yàn)?，所以，設(shè)，所以，所以，所以，化簡可得：.故答案為：.13．（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為．【答案】/【解析】設(shè)直線與直線的傾斜角分別為，則，且，所以，因?yàn)?，所以，即兩條直線的夾角為，故答案為：.14．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知直線，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)k的值為；若直線l不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是.【答案】或；.【解析】因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，在中，令，得，令，得，依題意可得，即，解得或；直線的方程可化為，所以，所以，所以直線過定點(diǎn)，所以，由直線可得：，若不經(jīng)過第三象限，則，故答案為：或；.15．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】【解析】設(shè)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求重心，代入歐拉線得方程，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立歐拉線方程得三角形外心，外心到三角形兩頂點(diǎn)距離相等可得另一方程，兩方程聯(lián)立求得C點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，ΔABC的重心為,代入歐拉線方程得：,整理得：

①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即．聯(lián)立，解得.．的外心為．則，整理得：

②聯(lián)立①②得：或．當(dāng)時重合，舍去．∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．16．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程．【解析】（1）因?yàn)檫吷系母咚谥本€方程為，設(shè)線的斜率為，則，解得，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，則直線的方程為,，又邊上的中線所在直線方程為，且該直線過點(diǎn)，所以聯(lián)立，解得的坐標(biāo)為．（2）設(shè)，因?yàn)檫吷系闹芯€所在直線方程為，所以的中點(diǎn)在直線上，且邊上的高所在直線過頂點(diǎn)，所以，解得，即的坐標(biāo)為．由（1）知，由兩點(diǎn)式方程得，化簡得.即直線的方程為．17．直線的方程為.(1)證明直線過定點(diǎn)；(2)已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)線分別與軸正半軸?軸正半軸交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求的周長及此時直線的方程.【解析】（1）直線的方程變形為為，由，得到，又時，恒成立，故直線恒過定點(diǎn).（2）由，令，得到，令，得到，由，得到，所以，，令，得到，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，直線的方程為，又，，所以，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，的周長為，此時直線的方程為.18．已知的三個頂點(diǎn)是，，．(1)過點(diǎn)的直線與邊相交于點(diǎn)，若的面積是面積的3倍，求直線的方程；(2)求的角平分線所在直線的方程．【解析】（1）設(shè)則，因?yàn)榈拿娣e是面積的3倍，所以，則解得故直線的方程為，即（2）顯然，的斜率存在且不為零，設(shè)的方程為，則過點(diǎn)且與垂直的直線的方程為設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，因?yàn)橹本€的方程為，所以整理得因?yàn)?，所以，解得或又，，所以，故直線的方程為，即1．（2002年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，直線的斜率，此時傾斜角為；直線的斜率不存在，此時傾斜角為；所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：B.2．（1995年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（全國卷））圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖象可得，，故選：C3．（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（四川卷））如圖，是同一平面內(nèi)的三條平行直線，與間的距離是1，與間的距離是2，正三角形的三頂點(diǎn)分別在上，則的邊