2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)(八大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：平行的判定 2題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法 3題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法 4題型四：利用面面平行證明線面平行 5題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行 6題型六：面面平行的證明 8題型七：面面平行的性質(zhì) 9題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 1002重難創(chuàng)新練 1103真題實(shí)戰(zhàn)練 16題型一：平行的判定1．（多選題）（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（多選題）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別在棱，，，上，且平面平面，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．平面3．（多選題）已知直線，平面，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．，則B．，則C．，則D．，則4．設(shè)、是兩個(gè)平面，、是兩條直線，且．下列四個(gè)命題：①若，則或

②若，則，③若，且，則

④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法5．（2024·新疆昌吉·高三?？紝W(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；（2）若正方體棱長(zhǎng)為2，求三棱錐的體積．6．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖所示，在正四棱錐中，底面ABCD的中心為O，PD邊上的垂線BE交線段PO于點(diǎn)F，．

（1）證明：//平面PBC；7．如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，，，，，，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面ABCD；題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法8．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著，書中將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“墊堵”．如圖，在墊堵中，已知，且點(diǎn)，，分別是，，邊的中點(diǎn)．(1)求證：平面；9．（2024·天津?yàn)I海新·高三?？计谥校┤鐖D，四棱錐的底面是菱形，平面底面，，分別是，的中點(diǎn)，，，．（1）求證：平面；10．如圖，四棱臺(tái)的底面是菱形，且，平面，，，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．題型四：利用面面平行證明線面平行11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，且有，，，平面，．（1）求證：平面；12．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．（1）證明：平面；13．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4（1）求證：；題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行14．（2024·廣東·三模）如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，，直線與平面相交于點(diǎn).(1)證明：；15．如圖，在三棱柱中，，側(cè)面為矩形.(1)記平面與平面交線為，證明：；16．如圖，在四棱錐中，，，，、分別是棱，的中點(diǎn)，且平面.證明：.

17．如圖，空間六面體中，，平面平面為正方形，求證：；題型六：面面平行的證明18．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，四邊形為菱形，，平面，E，F(xiàn)，Q分別是BC，PC，PD的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；19．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓臺(tái)中，為軸截面，為下底面圓周上一點(diǎn)，為下底面圓內(nèi)一點(diǎn)，垂直下底面圓于點(diǎn).(1)求證：平面平面；20．如圖，在六面體中，，四邊形是平行四邊形，．(1)證明：平面平面．(2)若G是棱的中點(diǎn)，證明：．21．如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，．(1)若中點(diǎn)為，求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．題型七：面面平行的性質(zhì)22．如圖，在正方體中，作截面如圖交，，，分別于，，，，則四邊形的形狀為（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．梯形23．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是兩條相交直線，是兩個(gè)互相平行的平面，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件24．已知正方體，平面與平面的交線為l，則（

）A． B． C． D．題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用25．如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B． C． D．26．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，是上一點(diǎn)，且，連接與，為中點(diǎn).(1)過點(diǎn)的平面平行于平面且與交于點(diǎn)，求；27．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.28．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點(diǎn)分別在棱上，其中E是的中點(diǎn)，連接．

(1)若M為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若平面，求點(diǎn)M的位置．1．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若與所成的角相等，則C．若，，則D．若，則2．（2024·四川樂山·三模）在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在棱上，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·山東·二模）《蝶戀花·春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為：“墻里秋千墻外道，墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假如將墻看作一個(gè)平面，墻外的道路、秋千繩、秋千板看作是直線.那么道路和墻面線面平行，秋千靜止時(shí)，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．秋千繩與墻面始終平行B．秋千繩與道路始終垂直C．秋千板與墻面始終垂直D．秋千板與道路始終垂直4．已知平面，和直線m，n，若，，則“，”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是，為的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（

）A． B．2 C． D．46．（2024·貴州黔東南·二模）平面過直三棱柱的頂點(diǎn)，平面平面，平面平面，且，，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．（2024·內(nèi)蒙古·三模）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．（2024·江西·二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)滿足，若在正方形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)滿足平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．5 D．9．（多選題）（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）設(shè)是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，在命題“，，且__________．則”中的橫線處填入下列四組條件中的一組，使該命題為真命題，則可以填入的條件有（

）A． B．C． D．10．（多選題）（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知為空間中三條不同的直線，為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，則B．若，則與為異面直線C．若，且，則D．若，則11．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，已知底面為正方形，平面、平面都與平面垂直，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，則（

）A．四邊形BCTS為等腰梯形B．不存在點(diǎn)，使得∥平面C．存在點(diǎn)，使得D．點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離和的最小值為12．（2024·西藏拉薩·二模）如圖，正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都為為的中點(diǎn)，是底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則長(zhǎng)度的取值范圍是.13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，E，F(xiàn)分別為線段BC與AD的中點(diǎn)，M，N分別為線段AE與CF上的動(dòng)點(diǎn)，若平面ABD，則線段MN長(zhǎng)度的最小值為．14．（2024·浙江寧波·一模）在棱長(zhǎng)均相等的四面體中，為棱（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與平面平行．若平面與平面，平面的交線分別為，則所成角的正弦值的最大值為．15．（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，在直角梯形中，，把梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至分別為中點(diǎn).

(1)證明:平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.16．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，和都為等邊三角形，且邊長(zhǎng)分別為2和4，,為線段的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，平面.

(1)求證:點(diǎn)H為線段的中點(diǎn);(2)求三棱錐的體積.17．（2024·西藏拉薩·二模）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，兩底面均為正方形，，點(diǎn)在線段上，且.(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.18．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為．(1)求O到側(cè)面的距離；(2)若E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，證明：平面ABP．1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．2．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.3．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；4．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；5．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．

(1)證明：平面；8．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；(3)求點(diǎn)到平面的距離．9．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；10．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：平行的判定 2題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法 5題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法 7題型四：利用面面平行證明線面平行 9題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行 11題型六：面面平行的證明 13題型七：面面平行的性質(zhì) 15題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 1702重難創(chuàng)新練 2103真題實(shí)戰(zhàn)練 39題型一：平行的判定1．（多選題）（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，若，則或與異面，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，則，且，可得，又因?yàn)?，所以，B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，或或或與相交，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若，則，又，所以，D項(xiàng)正確．故選：BD．2．（多選題）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別在棱，，，上，且平面平面，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．平面【答案】ABD【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面與平面和平面的都相交，是交線，所以，故A正確；因?yàn)殚L(zhǎng)方體，所以平面平面，而平面與這兩個(gè)平行平面的都相交，是交線，所以，故B正確，如圖，連接，此時(shí)平面與平面和平面的都相交，是交線，所以，而，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；如圖，連接，由長(zhǎng)方體性質(zhì)得面面，此時(shí)平面與這兩個(gè)平面的都相交，是交線，所以，又因?yàn)槊妫?，所以平面，故D正確.故選：ABD3．（多選題）已知直線，平面，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．，則B．，則C．，則D．，則【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A中，可能在內(nèi)，也可能與平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，與也可能相交，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，與也可能相交，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，依據(jù)面面平行的判定定理可知，故D正確．故選：ABC．4．設(shè)、是兩個(gè)平面，、是兩條直線，且．下列四個(gè)命題：①若，則或

②若，則，③若，且，則

④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】對(duì)于①：若，因?yàn)?，，則，若，因?yàn)椋?，則，若不在也不在內(nèi)，因?yàn)?，，，所以且，故①正確；對(duì)于②：若，則與，不一定垂直，也有可能相交但不垂直，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：過直線分別作平面，與，分別相交于直線，直線，因?yàn)?，過直線的平面與平面相交于直線，所以，同理可得，所以，因?yàn)椋?，則，因?yàn)椋?，則，又因?yàn)椋瑒t，故③正確；對(duì)于④：與和所成的角相等，則和不一定垂直，比如：正方體中，平面平面，與平面所成角為，與平面所成角為，又，所以，但與不垂直，故④錯(cuò)誤；綜上只有①③正確．故選：A．題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法5．（2024·新疆昌吉·高三?？紝W(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；（2）若正方體棱長(zhǎng)為2，求三棱錐的體積．【解析】（1）連接交于，連接，如圖，

因?yàn)樵谡襟w中，底面是正方形，則是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，則是的中位線，故，又面，面，所以平面．（2）因?yàn)檎襟w中，平面，所以．6．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖所示，在正四棱錐中，底面ABCD的中心為O，PD邊上的垂線BE交線段PO于點(diǎn)F，．

（1）證明：//平面PBC；【解析】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)FO至點(diǎn)M，使，連接MD，∵底面ABCD的中心為O，∴平面ABCD，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴而，∴，∴，∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC；7．如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，，，，，，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面ABCD；【解析】（1）連接BD，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．，又平面，平面直線平面題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法8．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著，書中將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“墊堵”．如圖，在墊堵中，已知，且點(diǎn)，，分別是，，邊的中點(diǎn)．(1)求證：平面；【解析】連結(jié)，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面；9．（2024·天津?yàn)I海新·高三?？计谥校┤鐖D，四棱錐的底面是菱形，平面底面，，分別是，的中點(diǎn)，，，．（1）求證：平面；【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榈酌媸橇庑?，是的中點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．10．如圖，四棱臺(tái)的底面是菱形，且，平面，，，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，幾何體為四棱臺(tái)，四點(diǎn)共面，且平面，平面，平面平面，；四邊形和均為菱形，，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）連接交于，平面，平面平面，平面，又平面，，，，平面，平面；四邊形為菱形，，，，．題型四：利用面面平行證明線面平行11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，且有，，，平面，．（1）求證：平面；【解析】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，又平面，所以平面?2．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．（1）證明：平面；【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、、，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則且，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，因?yàn)槠矫?，故平面?3．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4（1）求證：；【解析】（1）由題意得，，平面，平面，平面，平面而，平面平面，又平面平面題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行14．（2024·廣東·三模）如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，，直線與平面相交于點(diǎn).(1)證明：；【解析】（1）因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，則平面，又平面，平面平面，所以.15．如圖，在三棱柱中，，側(cè)面為矩形.(1)記平面與平面交線為，證明：；【解析】（1）因?yàn)樵谌庵?，，由于平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所?6．如圖，在四棱錐中，，，，、分別是棱，的中點(diǎn)，且平面.證明：.

【解析】連接，如圖，∵、分別是、中點(diǎn)，∴為中位線，.平面，平面，∴平面.又∵平面，，，平面，∴平面平面.又∵平面平面，平面平面，∴.17．如圖，空間六面體中，，平面平面為正方形，求證：；【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?又因?yàn)闉檎叫危瑒t，且平面平面，可得平面.平面平面，所以平面平面.且平面平面，平面平面，所以.題型六：面面平行的證明18．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，四邊形為菱形，，平面，E，F(xiàn)，Q分別是BC，PC，PD的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又E，F(xiàn)，Q分別是BC，PC，PD的中點(diǎn)，所以，，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平?因?yàn)?，，平面，所以平面平?19．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓臺(tái)中，為軸截面，為下底面圓周上一點(diǎn)，為下底面圓內(nèi)一點(diǎn)，垂直下底面圓于點(diǎn).(1)求證：平面平面；【解析】（1）證明：由于垂直下底面圓,故,平面，平面，所以平面又,所以，平面，平面，所以平面平面,所以平面平面20．如圖，在六面體中，，四邊形是平行四邊形，．(1)證明：平面平面．(2)若G是棱的中點(diǎn)，證明：．【解析】（1）由，得，而平面，平面平面，則平面，由，平面，平面，得平面，又平面，所以平面平面.（2）延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，由，，得，由，G是棱的中點(diǎn)，得，因此點(diǎn)重合，記為，顯然平面平面，平面平面，由（1）知，平面平面，所以.21．如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，．(1)若中點(diǎn)為，求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）∵為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面，∵是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，∵，，∵平面，，平面，∴平面，∵，平面，，∴平面平面（2）根據(jù)題意可得，∴，，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，根據(jù)等體積法可得，∴，解得，∴點(diǎn)到平面的距離為題型七：面面平行的性質(zhì)22．如圖，在正方體中，作截面如圖交，，，分別于，，，，則四邊形的形狀為（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．梯形【答案】A【解析】在正方體中，可得平面平面，且平面平面，平面平面，所以，同理可證：，所以四邊形的形狀一定為平行四邊形.故選：A.23．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是兩條相交直線，是兩個(gè)互相平行的平面，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若是兩條相交直線，，且，由，則存在過直線的平面與相交，令交線為，于是，顯然與也相交，令交線為，則，因此，由是兩條相交直線，，知，否則與有公共點(diǎn)，所以，即充分性成立；若是兩條相交直線，，且，則或者，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A24．已知正方體，平面與平面的交線為l，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，.對(duì)于A，，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榕c相交，所以與不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榕c不平行，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榕c不平行，所以與不平行，故D錯(cuò)誤；故選：A.題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用25．如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，顯然，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?所以平面，因?yàn)?，平面，平?所以平面，又因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，點(diǎn)在側(cè)面上，所以點(diǎn)位于線段上，因?yàn)?，，所以?dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，最大，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，所以，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是.故選：B26．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，是上一點(diǎn)，且，連接與，為中點(diǎn).(1)過點(diǎn)的平面平行于平面且與交于點(diǎn)，求；【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，只需在平面?nèi)向作一條垂線即可證明該垂線與平面垂直，進(jìn)而與垂直；再利用平面，有，利用直線與平面垂直的判定定理可得平面，則.建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離計(jì)算公式求得,過作，交于，交于；過作交于.因?yàn)?，面，面，則面，同理面，由，且、平面，所以平面面，平面即為題中所述平面.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，所?因?yàn)?，所?因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，所以為中點(diǎn)，所以，所以，則.27．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.【解析】（1）若平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，同理為的中點(diǎn)，所以.（2）因?yàn)椋酌?，如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，故，則，，設(shè)平面的法向量為，則取，可得.因?yàn)?，，所以，，則，因?yàn)槠矫?，所以，即，所以，即，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.28．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點(diǎn)分別在棱上，其中E是的中點(diǎn)，連接．

(1)若M為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若平面，求點(diǎn)M的位置．【解析】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)N，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且CD，又底面是矩形，且E是的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面．（2）設(shè)過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn)N，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，又平面平面，所以平面，同理得，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，且，所以，且，所以點(diǎn)M為的中點(diǎn)．1．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若與所成的角相等，則C．若，，則D．若，則【答案】D【解析】對(duì)于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與所成的角相等，則可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，，則可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，D正確.故選：D．2．（2024·四川樂山·三模）在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在棱上，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】依題意，作出圖形如圖所示設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,又平面，平面，所以平面，過點(diǎn)作，交于,則易知平面，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平?又平面,所以平面.因?yàn)?所以四邊形為平行四邊形，所以,因?yàn)椋?,所以.故選：D.3．（2024·山東·二模）《蝶戀花·春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為：“墻里秋千墻外道，墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假如將墻看作一個(gè)平面，墻外的道路、秋千繩、秋千板看作是直線.那么道路和墻面線面平行，秋千靜止時(shí)，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．秋千繩與墻面始終平行B．秋千繩與道路始終垂直C．秋千板與墻面始終垂直D．秋千板與道路始終垂直【答案】B【解析】顯然，在蕩秋千的過程中，秋千繩與墻面始終平行，但與道路所成的角在變化秋千板與墻面垂直，故也與道路始終垂直．故選：B．4．已知平面，和直線m，n，若，，則“，”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)，，，是兩個(gè)不同平面，，時(shí)，或，相交，反過來，時(shí)，，，則，.故“，”是“”的必要而不充分條件.故選：B.5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是，為的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，又DE?面，面，所以平面，又為的中點(diǎn)，所以，又面，面，所以平面，又，面，面，所以平面平面，又因?yàn)槭莻?cè)面上一點(diǎn)，且平面，所以的軌跡為線段，，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：B.6．（2024·貴州黔東南·二模）平面過直三棱柱的頂點(diǎn)，平面平面，平面平面，且，，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，將直三棱柱向上補(bǔ)一個(gè)全等的直三棱柱，則，，因?yàn)槠矫?，平面，且平面，平面，所以平面，且平面，又因?yàn)?，且平面，所以平面平面，且平面，故平面即為平面，所以交線即為直線，因?yàn)椋瑒t與所成角為，設(shè)，則，，可得，所以為等邊三角形，所以，所以即與所成角的正弦值為.故選：A.7．（2024·內(nèi)蒙古·三模）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，可能在內(nèi)或者內(nèi)，故不能推出且，所以充分性不成立；當(dāng)且時(shí)，設(shè)存在直線，，且，因?yàn)?，所以，根?jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知，所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分條件.故選：C.8．（2024·江西·二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)滿足，若在正方形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)滿足平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】C【解析】如圖，在棱上分別取點(diǎn)，使得，，連接，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)椋?，又，正方體的棱長(zhǎng)為4，所以，，，在棱上取點(diǎn),使得，則且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又且，則四邊形是平行四邊形，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，在正方形?nèi)有一動(dòng)點(diǎn)滿足平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)?，所以，?dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.故選：C.9．（多選題）（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）設(shè)是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，在命題“，，且__________．則”中的橫線處填入下列四組條件中的一組，使該命題為真命題，則可以填入的條件有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】A．如圖：，，，，，利用面面平行的性質(zhì)可知：，故A正確，符合題意；B．，，，，如下圖：或與是異面直線，故B錯(cuò)誤，不符合題意；C．，，，，如下圖：因?yàn)?，，，，故正確，符合題意；D．，，，，如下圖：，，，，故D正確，符合題意．故選：ACD．10．（多選題）（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知為空間中三條不同的直線，為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，則B．若，則與為異面直線C．若，且，則D．若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，顯然，又，則，A正確；對(duì)于B，由，得與可能相交、可能平行、也可能為異面直線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，知點(diǎn)在平面內(nèi)，即為平面的公共點(diǎn)，而，因此，C正確；對(duì)于D，由，得，而，因此，D正確.故選：ACD11．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，已知底面為正方形，平面、平面都與平面垂直，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，則（

）A．四邊形BCTS為等腰梯形B．不存在點(diǎn)，使得∥平面C．存在點(diǎn)，使得D．點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離和的最小值為【答案】BC【解析】因?yàn)槠矫?、平面都與底面垂直，平面平面，所以平面．選項(xiàng)A：如下圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，又，所以，故四邊形為梯形，但，，故四邊形BCTS不是等腰梯形，故A錯(cuò)誤．選項(xiàng)B：連接，如下圖：因?yàn)槠矫媾c平面相交，而平面，且不會(huì)與平面和平面的交線平行，所以不存在點(diǎn)，使得平面，故B正確．選項(xiàng)C：連接，設(shè)，易知為的中點(diǎn)，如下圖所示，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，則，因?yàn)槠矫?，所以平面．又平面，所以．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以．因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故C正確．選項(xiàng)D：易知，將沿著展開，使與在同一個(gè)平面上，連接交于點(diǎn)，如圖所示，則由對(duì)稱性可得，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離和的最小值為．在中，其斜邊上的高，所以，所以D錯(cuò)誤．故選：BC.12．（2024·西藏拉薩·二模）如圖，正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都為為的中點(diǎn)，是底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則長(zhǎng)度的取值范圍是.【答案】【解析】如圖（1），設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?又平面平面，所以平面.又，所以平面平面，所以動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則在等腰梯形中，只需求出點(diǎn)與線段上的點(diǎn)的距離的取值范圍.易知，如圖（2），作，則，所以長(zhǎng)度的取值范圍是.故答案為：.13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，E，F(xiàn)分別為線段BC與AD的中點(diǎn)，M，N分別為線段AE與CF上的動(dòng)點(diǎn)，若平面ABD，則線段MN長(zhǎng)度的最小值為．【答案】/【解析】延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)I，因?yàn)槠矫鍭BD，由線面平行性質(zhì)定理可知，設(shè)，因?yàn)槿忮F的所有棱長(zhǎng)均為2，所以，且E為線段BC的中點(diǎn)，所以AE平分∠BAC，由角平分線定理可知，所以，因?yàn)镕為線段AD的中點(diǎn)，所以，由余弦定理可知，所以，令，，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)椋?，則在時(shí)取得最小值，所以，綜上當(dāng)，即時(shí)MN取得最小值．故答案為：．14．（2024·浙江寧波·一模）在棱長(zhǎng)均相等的四面體中，為棱（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與平面平行．若平面與平面，平面的交線分別為，則所成角的正弦值的最大值為．【答案】/【解析】連接，由題意知過點(diǎn)的平面與平面平行，平面與平面、平面的交線分別為，由于平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以或其補(bǔ)角即為所成的平面角，設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為1，，則，在中，由余弦定理得，同理求得，故在中，，由于，則，進(jìn)而，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，進(jìn)而，故的最大值為.故答案為：．15．（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，在直角梯形中，，把梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至分別為中點(diǎn).

(1)證明:平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）證明:設(shè)中點(diǎn)為，連接

為中位線，，平面平面，平面，為梯形中位線，，平面平面，平面，平面平面EFG，平面平面，平面平面.（2）如圖連接,平面平面到平面的距離為3，.如圖可求得直角梯形中，可求得．由余弦定理求得為等邊三角形，則，同理．如圖等腰梯形中，得.可求，設(shè)到平面的距離為，.到平面的距離為3.16．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，和都為等邊三角形，且邊長(zhǎng)分別為2和4，,為線段的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，平面.

(1)求證:點(diǎn)H為線段的中點(diǎn);(2)求三棱錐的體積.【解析】（1）連接，設(shè)連接、因?yàn)槿馀_(tái)所以又所以四邊形為平行四邊形所以.又平面，?平面，平面∩平面∴∵四邊形是正方形，O是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)H是的中點(diǎn).（2）因?yàn)閯t又平面ABC∴平面,由（1）知且是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∵H為中點(diǎn)，,

17．（2024·西藏拉薩·二模）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，兩底面均為正方形，，點(diǎn)在線段上，且.(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）如圖，連接與交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，，所?因?yàn)樗倪呅问钦叫?，，所?因?yàn)?，所以，所?又，所以四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）解法一：因?yàn)樵谒睦馀_(tái)中，兩底面均為正方形，所以，所以，所以，所以.又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法，得，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.解法二：過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又四邊形為正方形，所以.又平面，所以平面.又平面，所以.又平面，所以平面.,,所以,故，根據(jù)等面積，得.18．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為．(1)求O到側(cè)面的距離；(2)若E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，證明：平面ABP．【解析】（1）由為正方形的中心，底面，得，即四棱錐是正四棱錐，由正方形的邊長(zhǎng)為，得，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為，則在中，，于是，，顯然到各側(cè)面的距離相等，設(shè)到平面的距離為，由，得，即，解得，所以到側(cè)面的距離為.（2）取中點(diǎn)，連接，由F為PD的中點(diǎn)，得，又E為BC的中點(diǎn)，則，因此，即四邊形是平行四邊形，則，而平面ABP，平面ABP，所以平面ABP．1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．【解析】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平