2025年新高考數(shù)學一輪復習第2章第05講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(八大題型)(講義)(學生版+解析)

第05講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：對數(shù)式的運算 4知識點2：對數(shù)函數(shù)的定義及圖像 5解題方法總結(jié) 5題型一：對數(shù)式的運算 6題型二：對數(shù)函數(shù)的圖象及應用 6題型三：對數(shù)函數(shù)過定點問題 8題型四：比較對數(shù)式的大小 8題型五：解對數(shù)方程或不等式 9題型六：對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題 10題型七：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題 11題型八：對數(shù)函數(shù)的綜合問題 1204真題練習·命題洞見 1305課本典例·高考素材 1406易錯分析·答題模板 15易錯點：無視對數(shù)函數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的范圍 15答題模板：對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)問題 16

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）對數(shù)的概念及運算性質(zhì)（2）對數(shù)函數(shù)的圖象（3）對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)2024年II卷第8題，5分2024年北京卷第7題，4分2024年天津卷第5題，5分2023年北京卷第11題，5分2023年I卷第10題，5分2022年天津卷第6題，5分2022年浙江卷第7題，5分2022年I卷I卷第7題，5分從近五年的高考情況來看，對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)是高考的一個重點也是一個難點，常與二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問題.在利用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應用上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng).復習目標：（1）理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).（2）通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.（3）了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)．

知識點1：對數(shù)式的運算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；【診斷自測】（2024·青?！つM預測）若，，則（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2知識點2：對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．(12)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當時，，當時，當時，，當時，【診斷自測】（2024·廣東深圳·二模）已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（

）A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限解題方法總結(jié)1、對數(shù)函數(shù)常用技巧在同一坐標系內(nèi)，當時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)題型一：對數(shù)式的運算【典例1-1】已知，則.（用含的式子表示）【典例1-2】（2024·重慶·三模）若正實數(shù)，滿足，，則.【方法技巧】對數(shù)的有關(guān)運算問題要注意公式的正用、逆用及變形等應用．【變式1-1】化簡下列各式：(1)；(2).【變式1-2】已知，，則.（用表示）【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）已知，則．題型二：對數(shù)函數(shù)的圖象及應用【典例2-1】已知函數(shù)①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＋c＜b＋a B．a(chǎn)＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【典例2-2】（2024·江蘇揚州·模擬預測）設方程和方程的根分別為，設函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【方法技巧】對于有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱等變換得到，當時，對數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢；當時，對數(shù)函數(shù)的圖像呈下降趨勢.【變式2-1】（多選題）（2024·河南信陽·模擬預測）函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A．

B．

C．

D．

【變式2-2】（2024·高三·江西南昌·開學考試）已知函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，則（

）A． B． C． D．【變式2-3】（2024·高三·上?！て谀┮阎x在上的函數(shù)，設為三個互不相同的實數(shù)，滿足，則的取值范圍為.【變式2-4】（2024·高三·北京·開學考試）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①，使得有兩個零點；②若，則有兩個零點；③，使得有兩個零點：④，使得有三個零點；以上正確結(jié)論的序號是.【變式2-5】已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為.題型三：對數(shù)函數(shù)過定點問題【典例3-1】函數(shù)

(且)的圖象必經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標是（

）A． B． C． D．【典例3-2】函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（

）A．9 B．8 C． D．【方法技巧】恒過定點．【變式3-1】函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B．3 C．7 D．4【變式3-2】已知直線經(jīng)過函數(shù)圖象過的定點（其中均大于0），則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-3】（2024·安徽安慶·模擬預測）已知函數(shù)恒過定點，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．題型四：比較對數(shù)式的大小【典例4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．【典例4-2】已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【方法技巧】比較大小問題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法．【變式4-1】（2024·天津·二模）設，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【變式4-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知，，，則（

）A． B．C． D．【變式4-3】（2024·青海西寧·模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式4-4】（2024·江西·模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．無法確定題型五：解對數(shù)方程或不等式【典例5-1】方程的解是.【典例5-2】不等式的解集為．【方法技巧】（1）對于形如的形式，利用轉(zhuǎn)化；對于形如的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程求解.（2）解對數(shù)不等式，也是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為比較真數(shù)之間的不等式，再解這個不等式即可．【變式5-1】不等式的解集是．【變式5-2】方程：的解是.【變式5-3】不等式的解集是.【變式5-4】不等式的解集是.【變式5-5】由函數(shù)的觀點，不等式的解集是.題型六：對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例6-2】已知函數(shù)的最大值為2，則．【方法技巧】對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題通常利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決.【變式6-1】若函數(shù)（且）的最小值為－4，則實數(shù)a的值為.【變式6-2】已知函數(shù)(且).(1)當時，函數(shù)恒有意義，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且最大值為？如果存在，試求出的值；如果不存在，請說明理由．【變式6-3】已知函數(shù)的最大值為，則函數(shù)的最小值為（結(jié)果用表示）【變式6-4】已知函數(shù)且是奇函數(shù)．(1)求的值；(2)若，對任意有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)設，若，問是否存在實數(shù)使函數(shù)在上的最大值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．題型七：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題【典例7-1】已知函數(shù)，若對任意都有，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例7-2】若不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【方法技巧】已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決．【變式7-1】已知函數(shù)，且，若對任意的，存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是.【變式7-2】已知且，當時，，則的取值范圍為.【變式7-3】已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明）；(3)設函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍．題型八：對數(shù)函數(shù)的綜合問題【典例8-1】（2024·四川南充·模擬預測）函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函數(shù)的定義域為，且若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【方法技巧】對數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復合函數(shù)問題，解題時要清楚復合的層次，外層是對數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層是對數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問題，則要按復合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律求解．【變式8-1】已知函數(shù)，，則．若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)m的取值范圍是．【變式8-2】設定義域為R的函數(shù)，若關(guān)于x的方程有8個不同的實根，到實數(shù)b的取值范圍是.【變式8-3】已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)若，求的取值范圍.【變式8-4】（2024·廣東佛山·模擬預測）已知，分別是關(guān)于的方程，的根，則下面為定值2023的是（

）A． B． C． D． E．均不是【變式8-5】給出函數(shù)，(1)若，求不等式的解集；(2)若，且，求的取值范圍；(3)若，非零實數(shù)，滿足，求證：.1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．12．（2024年北京高考數(shù)學真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．3．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）化簡的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．64．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）已知，，，則（

）A． B． C． D．1．我們可以把看作每天的"進步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用計算工具計算并回答下列問題：（1）一年后“進步”的是“落后”的多少倍？（2）大約經(jīng)過多少天后“進步”的分別是“落后”的10倍、100倍、1000倍？2．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車，假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)，）3．已知，，求實數(shù)a的取值范圍.4．比較下列各題中三個值的大小:(1);(2).5．假設有一套住房的房價從2002年的20萬元上漲到2012年的40萬元,下表給出了兩種價格增長方式,其中是按直線上升的房價,是按指數(shù)增長的房價,t是2002年以來經(jīng)過的年數(shù).t05101520/萬元2030405060/萬元204080(1)求函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)的解析式;(3)完成上表空格中的數(shù)據(jù),并在同一直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象,然后比較兩種價格增長方式的差異.易錯點：無視對數(shù)函數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的范圍易錯分析：忽略“對數(shù)的真數(shù)大于0”這一個條件導致出錯，面對這類題一定要注意真數(shù)和底數(shù)的范圍.【易錯題1】解不等式.【易錯題2】的定義域為，求實數(shù)的取值范圍.答題模板：對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)問題1、模板解決思路判斷復合函數(shù)單調(diào)性的原則是“同增異減”.2、模板解決步驟第一步：求函數(shù)的定義域．第二步：將函數(shù)分解成內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)．第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性．第四步：根據(jù)“同增異減”的原則確定復合函數(shù)的單調(diào)性．【典例1】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·重慶·模擬預測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．第05講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：對數(shù)式的運算 4知識點2：對數(shù)函數(shù)的定義及圖像 5解題方法總結(jié) 6題型一：對數(shù)式的運算 6題型二：對數(shù)函數(shù)的圖象及應用 8題型三：對數(shù)函數(shù)過定點問題 14題型四：比較對數(shù)式的大小 16題型五：解對數(shù)方程或不等式 18題型六：對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題 21題型七：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題 25題型八：對數(shù)函數(shù)的綜合問題 2904真題練習·命題洞見 3605課本典例·高考素材 3806易錯分析·答題模板 41易錯點：無視對數(shù)函數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的范圍 41答題模板：對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)問題 41

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）對數(shù)的概念及運算性質(zhì)（2）對數(shù)函數(shù)的圖象（3）對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)2024年II卷第8題，5分2024年北京卷第7題，4分2024年天津卷第5題，5分2023年北京卷第11題，5分2023年I卷第10題，5分2022年天津卷第6題，5分2022年浙江卷第7題，5分2022年I卷I卷第7題，5分從近五年的高考情況來看，對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)是高考的一個重點也是一個難點，常與二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問題.在利用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應用上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng).復習目標：（1）理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).（2）通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.（3）了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)．

知識點1：對數(shù)式的運算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；【診斷自測】（2024·青海·模擬預測）若，，則（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】B【解析】由，所以故選：A知識點2：對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．(12)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當時，，當時，當時，，當時，【診斷自測】（2024·廣東深圳·二模）已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（

）A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【答案】C【解析】當時，，則當時，函數(shù)圖象過二、三、四象限；則當時，函數(shù)圖象過一、三、四象限；所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.故選：D解題方法總結(jié)1、對數(shù)函數(shù)常用技巧在同一坐標系內(nèi)，當時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)題型一：對數(shù)式的運算【典例1-1】已知，則.（用含的式子表示）【答案】【解析】因為，所以，又，所以.故答案為：【典例1-2】（2024·重慶·三模）若正實數(shù)，滿足，，則.【答案】100【解析】由于，整理得，①，又，②，所以①+②得：；即對于取常用對數(shù)可得，，故.故答案為：100.【方法技巧】對數(shù)的有關(guān)運算問題要注意公式的正用、逆用及變形等應用．【變式1-1】化簡下列各式：(1)；(2).【解析】（1）原式.（2）原式.【變式1-2】已知，，則.（用表示）【答案】【解析】因為，所以，又，所以.故答案為：【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）已知，則．【答案】3【解析】依題意，，則．故答案為：3題型二：對數(shù)函數(shù)的圖象及應用【典例2-1】已知函數(shù)①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＋c＜b＋a B．a(chǎn)＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【答案】B【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，則a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正確，D錯誤；又a＋d與b＋c的大小不確定，故B，C錯誤．故選A.【典例2-2】（2024·江蘇揚州·模擬預測）設方程和方程的根分別為，設函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以令，這3個函數(shù)圖象情況如下圖所示：設交于點，交于點，由于的圖象關(guān)于直線對稱，而的交點為，所以，注意到函數(shù)的對稱軸為直線，即，且二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線方程，從而.故選：B.【方法技巧】對于有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱等變換得到，當時，對數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢；當時，對數(shù)函數(shù)的圖像呈下降趨勢.【變式2-1】（多選題）（2024·河南信陽·模擬預測）函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【解析】函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當時，為減函數(shù)，且過定點，故函數(shù)的大致圖象不可能為BCD選項.故選：BCD.【變式2-2】（2024·高三·江西南昌·開學考試）已知函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)和的圖象以及直線的圖象，如圖，由函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，結(jié)合圖象可知，A錯誤；由題意知，也即，由于函數(shù)和互為反函數(shù)，二者圖象關(guān)于直線對稱，而為和的圖象與直線的交點，故關(guān)于對稱，故，B錯誤；由，故，C錯誤；因為，故，結(jié)合，即得，D正確，故選：D【變式2-3】（2024·高三·上?！て谀┮阎x在上的函數(shù)，設為三個互不相同的實數(shù)，滿足，則的取值范圍為.【答案】【解析】作出的圖像如圖：當時，由，得，若互不相等，不妨設，因為，所以由圖像可知，由，得，即，即，則，所以，因為，所以，即，所以的取值范圍是．故答案為：．【變式2-4】（2024·高三·北京·開學考試）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①，使得有兩個零點；②若，則有兩個零點；③，使得有兩個零點：④，使得有三個零點；以上正確結(jié)論的序號是.【答案】③④【解析】首先我們分別作出和當時，即的圖像，將直線圖像繞定點按要求旋轉(zhuǎn)分析，我們發(fā)現(xiàn)不存在，使得有兩零點，故①不正確；由上圖可得我們可得當時，此時的零點為2，且僅有一個，故②不正確；若，則當函數(shù)與直線的圖象相切時，設切點橫坐標為，此時，則，得到方程組化簡得，易得，則此時有兩個零點，圖像見下圖，故③正確；當時，只需將上圖相切時的直線向左偏一點，圖像如下圖所示，則兩函數(shù)會出現(xiàn)三個交點，此時有三個零點，如下圖所示，故④正確.故答案為：③④.【變式2-5】已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為.【答案】【解析】畫出的圖象如圖：∵，且，∴且，，∴，即，∴，，由圖象得在上為減函數(shù)，∴，∴的取值范圍是.故答案為：.題型三：對數(shù)函數(shù)過定點問題【典例3-1】函數(shù)

(且)的圖象必經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為對數(shù)函數(shù)(且)恒過定點，所以函數(shù)

(且)的圖象必過定點.故選：C.【典例3-2】函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（

）A．9 B．8 C． D．【答案】B【解析】當時，，所以，函數(shù)過定點，得，所以，，因為，，所以，，當且僅當，即時，等號成立，所以，的最小值為8.故選：B【方法技巧】恒過定點．【變式3-1】函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B．3 C．7 D．4【答案】B【解析】對于函數(shù)，當時，，所以，則，所以，當且僅當時等號成立.故選：A【變式3-2】已知直線經(jīng)過函數(shù)圖象過的定點（其中均大于0），則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】因為，所以函數(shù)圖象過的定點為，將其代入直線方程得，即，又，所以，當且僅當即時，等號成立，故有最小值4.故選：C.【變式3-3】（2024·安徽安慶·模擬預測）已知函數(shù)恒過定點，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由題意可知，則，當且僅當，時，的最小值為，故選:A．題型四：比較對數(shù)式的大小【典例4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，則，故選：C.【典例4-2】已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，∴，因為，∴，∴．故選：D．【方法技巧】比較大小問題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法．【變式4-1】（2024·天津·二模）設，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，.故選：C.【變式4-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題知，，，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，因為在上單調(diào)遞減，所以，即，綜上：.故選：D【變式4-3】（2024·青海西寧·模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則.當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則，故.令，則.當時，，單調(diào)遞減，則，即.故.故選：A.【變式4-4】（2024·江西·模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以，可得，令，，所以，設，，，作出它們的圖象如圖：由圖可知.故選項A正確.故選：A.題型五：解對數(shù)方程或不等式【典例5-1】方程的解是.【答案】【解析】由方程，可得，，解得.故答案為：【典例5-2】不等式的解集為．【答案】【解析】設函數(shù)，則應有，解得，所以，定義域為.又，所以，由，可得.因為以及均在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，.綜上所述，.所以，不等式的解集為.故答案為：.【方法技巧】（1）對于形如的形式，利用轉(zhuǎn)化；對于形如的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程求解.（2）解對數(shù)不等式，也是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為比較真數(shù)之間的不等式，再解這個不等式即可．【變式5-1】不等式的解集是．【答案】【解析】設，其定義域為，和在均為增函數(shù)，則在為增函數(shù)，且，，即，，不等式的解集是.故答案為：.【變式5-2】方程：的解是.【答案】【解析】因為，即，所以，即，解得，則，或無實根.故答案為：【變式5-3】不等式的解集是.【答案】或【解析】原不等式可化為，即，∴，于是，亦即或，∴或，故解集為或故答案為：或【變式5-4】不等式的解集是.【答案】【解析】由可得，又恒成立，恒成立，所以不等式等價于，即，也即；可得，所以，解得.所以原不等式的解集為.故答案為：【變式5-5】由函數(shù)的觀點，不等式的解集是.【答案】【解析】由不等式，可得，令，可知的定義域為，因為在定義域上單調(diào)遞增，可知在定義域上單調(diào)遞增，且，對于不等式即為，解得，所以不等式的解集是.故答案為：.題型六：對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，由于開口向上，故需函數(shù)在區(qū)間上有最小值，且．該函數(shù)圖像的對稱軸為直線，所以，解得，所以，且，即實數(shù)的取值范圍為．故選：B．【典例6-2】已知函數(shù)的最大值為2，則．【答案】6【解析】因為函數(shù)由與復合而成，而在定義域上單調(diào)遞增，所以當取最大值時，函數(shù)取得最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當時，，此時，所以，解得．故答案為：【方法技巧】對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題通常利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決.【變式6-1】若函數(shù)（且）的最小值為－4，則實數(shù)a的值為.【答案】/【解析】由題意知，，解得，因為，因為，則，又因為的最小值為－4，則，所以，即，得，因為，所以.故答案為：.【變式6-2】已知函數(shù)(且).(1)當時，函數(shù)恒有意義，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且最大值為？如果存在，試求出的值；如果不存在，請說明理由．【解析】（1）當時，函數(shù)恒有意義，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.又且，所以.（2）函數(shù)在區(qū)間上有意義，則在上恒成立．由（1）同理可知，，又函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并且最大值為.當時，為減函數(shù)，則且在上單調(diào)遞增，所以，即，故不存在這樣的實數(shù)；當時，為增函數(shù)，則且在上單調(diào)遞減，所以，即，故不存在這樣的實數(shù).綜上，不存在這樣的實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且最大值為.【變式6-3】已知函數(shù)的最大值為，則函數(shù)的最小值為（結(jié)果用表示）【答案】【解析】因為，所以，則，當?shù)娜≈捣秶鸀闀r，的取值范圍為，所以的最大值與的最大值相等，均為，所以的最小值為．故答案為：.【變式6-4】已知函數(shù)且是奇函數(shù)．(1)求的值；(2)若，對任意有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)設，若，問是否存在實數(shù)使函數(shù)在上的最大值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）由函數(shù)且是奇函數(shù)，可得，即，可得，經(jīng)驗證：當時，，滿足，此時函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意.（2）由，可得為單調(diào)遞減函數(shù)，因為對任意有恒成立，即對任意有恒成立，設，則函數(shù)開口向上的拋物線，且對稱軸為，當時，即時，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得；當時，即時，此時函數(shù)在對稱軸處取得最小值，則，解得，因為，此時無解；當時，即時，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，因為，此時無解；綜上可得，實數(shù)的取值為.（3）由，可得，解得或（舍去），所以，則，設，則，當時，可得，此時，又由，則當時，在上的最小值為；當時，在上的最大值為；設，當時，函數(shù)在處取得最小值，此時，解得（舍去）；當時，函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)在處取得最大值，此時，解得（舍去）；當時，函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)在處取得最大值，此時，綜上可得，不存在這樣的實數(shù)，使得其成立.題型七：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題【典例7-1】已知函數(shù)，若對任意都有，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為若對任意，都有，所以對任意，都有，令，則在上單調(diào)遞增．首先.因為在上遞增，所以在上遞增．當時，顯然符合題意；當時，令，則在上遞增，所以，則.綜上所述，，故D正確．故選：D．【典例7-2】若不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】變形為：，即在上恒成立，若，此時在上單調(diào)遞減，，而當時，，顯然不合題意；當時，畫出兩個函數(shù)的圖像，要想滿足在上恒成立，只需，即，解得：，綜上：實數(shù)a的取值范圍是.故選：C【方法技巧】已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決．【變式7-1】已知函數(shù)，且，若對任意的，存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】根據(jù)題意知，因為，其圖象開口向下，對稱軸為，所以當時，其最小值，當時，，在上的最小值為，則由得，當時，，在上的最小值為，則時，無解，故實數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【變式7-2】已知且，當時，，則的取值范圍為.【答案】【解析】當時，.當時，成立.當時，若成立，是減函數(shù)，是增函數(shù)，則，解得，所以.綜上，的取值范圍為.故答案為：．【變式7-3】已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明）；(3)設函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）由已知函數(shù)需滿足，當時，函數(shù)的定義域為，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即在上恒成立，即，（舍），當時，，函數(shù)的定義域為，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，此時，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，綜上所述：；（2）在和上單調(diào)遞減，證明如下：，定義域為，設，且，則因為，且，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，同理可證，所以在上單調(diào)遞減；所以在，上單調(diào)遞減.（3）函數(shù)在和上單調(diào)遞減，且當時，，當時，，時，，所以當時的值域，又，設，則，當時，取最小值為，當時，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即.題型八：對數(shù)函數(shù)的綜合問題【典例8-1】（2024·四川南充·模擬預測）函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知，，，令，則，又因為與互為反函數(shù)，所以、分別與的的交點關(guān)于對稱，所以，即：，又因為，，所以由零點存在性定理可知，，又因為，即，所以，對于A項，因為，，所以，故A項錯誤；對于B項，因為，所以，又因為，，所以，故B項正確；對于C項，因為，，所以，故C項錯誤；對于D項，因為，，，所以，故D項錯誤.故選：B.【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函數(shù)的定義域為，且若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，所以；當時，，因為在上單調(diào)遞增，為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又在上為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以.綜上，在上恒成立，當且僅當時取等號.所以不等式，解得且且，即原不等式的解集為.故選：D【方法技巧】對數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復合函數(shù)問題，解題時要清楚復合的層次，外層是對數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層是對數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問題，則要按復合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律求解．【變式8-1】已知函數(shù)，，則．若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)，，則，所以；顯然函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，如圖，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，當，即或時，，點關(guān)于直線對稱，當且時，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，因此函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對稱，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為R，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為R，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為R，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為R，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，當時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，方程的所有實根和為6；當且時，直線與函數(shù)的圖象有4個交點，方程的所有實根和為8；當時，直線與函數(shù)的圖象有6個交點，方程的所有實根和為12；當時，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，方程的所有實根和為4，所以實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：；【變式8-2】設定義域為R的函數(shù)，若關(guān)于x的方程有8個不同的實根，到實數(shù)b的取值范圍是.【答案】【解析】由題設，的圖象如下圖示：令，則化為，∴要使原方程有8個不同實根，則有2個不同的實根且兩根、，∴，可得，又在上遞減，在上遞增，且，，即，綜上，.故答案為：.【變式8-3】已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)若，求的取值范圍.【解析】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得，所以的定義域為；（2）因為，所以，，因為，所以，所以當時，，對于函數(shù)，，若，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，因為，所以，無解；若，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則，又，所解得；綜上，的取值范圍為.【變式8-4】（2024·廣東佛山·模擬預測）已知，分別是關(guān)于的方程，的根，則下面為定值2023的是（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】A【解析】由已知條件可知，，，令，，，如圖所示，曲線與曲線關(guān)于直線對稱，曲線關(guān)于直線對稱，設曲線分別與曲線，交于點，，則點，關(guān)于直線對稱，而點關(guān)于直線對稱的點為，即為點，則，即.故選：C.【變式8-5】給出函數(shù)，(1)若，求不等式的解集；(2)若，且，求的取值范圍；(3)若，非零實數(shù)，滿足，求證：.【解析】（1）若，則不等式為，即，所以，解得或，所以不等式的解集為.（2）設，可得其定義域是，則，所以是偶函數(shù)，設，則，，故，所以，因為，所以，即，故在上是嚴格減函數(shù)，又因為，所以是偶函數(shù)，且在上是嚴格減函數(shù)，所以，不等式等價于，由單調(diào)性可得，解得的取值范圍是.（3）若，則，由得，所以，所以.設，則，，解得，，則.要證，即證.因為，所以只需證，即證：.設，則，所以在上是嚴格增函數(shù)，故，于是.1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】解法一：由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；若，當時，可知，此時，不合題意；若，當時，可知，此時，不合題意；若，當時，可知，此時；當時，可知，此時；可知若，符合題意；若，當時，可知，此時，不合題意；綜上所述：，即，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為；解法二：由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；則當時，，故，所以；時，，故，所以；故，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選：C.2．（2024年北京高考數(shù)學真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生