2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章拔高點突破01定比點差法、齊次化、極點極線問題、蝴蝶問題、坎迪定理(五大題型)(學(xué)生版+解析)

拔高點突破01定比點差法、齊次化、極點極線問題、蝴蝶問題、坎迪定理目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：定比點差法 2題型二：齊次化 4題型三：極點極線問題 5題型四：蝴蝶問題 7題型五：坎迪定理 1003過關(guān)測試 13

1、定比點差法是一種在解析幾何有應(yīng)用的方法。在解析幾何中，它主要用于處理非中點弦問題，通過設(shè)定線段上的定比分點，利用圓錐曲線上兩點坐標之間的聯(lián)系與差異，通過代點、擴乘、作差等步驟，解決相應(yīng)的圓錐曲線問題。定比點差法的核心思想是“設(shè)而不求”，即設(shè)定未知數(shù)但不直接求解，而是通過代數(shù)運算消去未知數(shù)，得到所需的結(jié)果。這種方法在處理復(fù)雜問題時具有獨特的優(yōu)勢，能夠簡化計算過程，提高解題效率。2、齊次化是一種數(shù)學(xué)處理方法，它通過將問題轉(zhuǎn)化為齊次形式（即各項次數(shù)相等）來簡化計算和提高求解效率。在解析幾何中，齊次化常用于處理與斜率相關(guān)的問題，如過某定點的兩條直線的斜率關(guān)系。通過齊次化聯(lián)立，可以將復(fù)雜的二次曲線方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程，從而更容易地求解斜率之和或斜率之積等問題。3、極點極線是數(shù)學(xué)中的重要概念，尤其在圓錐曲線研究中占據(jù)關(guān)鍵地位。極點通常指圓錐曲線上的特殊點，其切線方程與曲線方程相同；對于不在曲線上的點，其關(guān)于曲線的調(diào)和共軛點軌跡形成的直線也被稱為極線。極線則是與極點緊密相關(guān)的一條直線，對于曲線上的極點，其極線即為該點處的切線；對于曲線外的點，其極線則是通過該點作曲線的兩條切線所得的切點弦.4、坎迪定理是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個重要定理，也被稱為蝴蝶定理的一般形式。該定理描述了在圓內(nèi)的一段弦上任意一點與圓上任意兩點相連并延長交圓于另外兩點，連接這兩延長交點與弦上另外兩點相交，所得線段長度的倒數(shù)之差為常數(shù)。題型一：定比點差法【典例1-1】（2024·高三·江西吉安·期末）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點(Ⅰ)求橢圓的標準方程；(Ⅱ)已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，過點的動直線與拋物線相交于A，B兩個不同的點，在線段AB上取點Q，滿足，證明：點Q總在定直線上．【典例1-2】已知橢圓，過橢圓的左焦點F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點（A點在B點的上方），若有，求橢圓的離心率．【變式1-1】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知，直線過橢圓的右焦點F且與橢圓交于A、B兩點，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點．(1)若，且當軸時，△MON的面積為，求雙曲線的方程；(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實數(shù)的值．【變式1-2】已知橢圓（）的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于，兩點，若，求【變式1-3】已知，過點的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．【變式1-4】已知橢圓的左右焦點分別為，，，，是橢圓上的三個動點，且，若，求的值．題型二：齊次化【典例2-1】已知橢圓的中心為，長軸、短軸分別為，，，分別在橢圓上，且，求證：為定值.【典例2-2】如圖，過橢圓上的定點Px0,y0作傾斜角互補的兩直線，設(shè)其分別交橢圓于兩點，求證：直線【變式2-1】已知橢圓的左頂點為，，為上的兩個動點，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點.若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.【變式2-2】已知橢圓C：.過點，兩個焦點為和.設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點.(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過定點；(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過定點.題型三：極點極線問題【典例3-1】（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標準方程;(2)橢圓方程，平面上有一點.定義直線方程是橢圓在點處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點處的極線就是過點的切線;②若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點.證明:三點共線.【典例3-2】閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線：，則稱點和直線：是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理：①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當在外時，其極線是從點向曲線所引兩條切線的切點所在的直線（即切點弦所在直線）；③當在內(nèi)時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.(1)點是直線：上的一個動點，過點向橢圓引兩條切線，切點分別為，，是否存在定點恒在直線上，若存在，當時，求直線的方程；若不存在，請說明理由.(2)點在圓上，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求面積的最大值.【變式3-1】閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.題型四：蝴蝶問題【典例4-1】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．(1)求橢圓的標準方程；(2)當時，求的值；(3)設(shè)，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．【典例4-2】（2024·高三·江蘇泰州·期末）如圖，已知橢圓，矩形ABCD的頂點A，B在x軸上，C，D在橢圓上，點D在第一象限.CB的延長線交橢圓于點E，直線AE與橢圓?y軸分別交于點F?G，直線CG交橢圓于點H，DA的延長線交FH于點M.（1）設(shè)直線AE?CG的斜率分別為?，求證：為定值；（2）求直線FH的斜率k的最小值；（3）證明：動點M在一個定曲線上運動.【變式4-1】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為，直線與橢圓相切．(1)求橢圓的標準方程；(2)斜率為的直線過，與橢圓交于兩點，延長，分別與橢圓交于兩點，直線的斜率為，求證為定值．【變式4-2】設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．

(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C另一個交點分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．【變式4-3】在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：，F(xiàn)是橢圓的右焦點且______，從下列條件中任選一個補充在上面問題中并作答：注：如果選擇多個條件作答，按第一個計分．條件①：橢圓C的離心率，焦點到相應(yīng)準線的距離是3．條件②：橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．(1)求橢圓C的方程．(2)已知A，B是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E兩點，證明：直線DE過定點．題型五：坎迪定理【典例5-1】橢圓的左、右頂點分別為，，上頂點為，點，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過且斜率存在的動直線與橢圓交于、兩點，直線與交于，求證：在定直線上.【典例5-2】已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為4，離心率為，點C在橢圓E上且異于兩點，分別為直線上的點．(1)求橢圓E的方程；(2)求的值；(3)設(shè)直線與橢圓E的另一個交點為D，證明：直線過定點．【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知不過坐標原點且斜率為1的直線與橢圓交于點，，為的中點．(1)求直線的斜率；(2)設(shè)，直線，與橢圓的另一個交點分別為，（均異于橢圓頂點），證明：直線過定點．【變式5-2】在平面直角坐標系中，如圖，已知的左、右頂點為、，右焦點為，設(shè)過點的直線、與橢圓分別交于點、，其中，，．（1）設(shè)動點滿足，求點的軌跡；（2）設(shè)，，求點的坐標；（3）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關(guān)）．【變式5-3】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，過點M（1，0）作直線l交橢圓于C，D兩點，若直線AD，BC的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．【變式5-4】已知橢圓的左右頂點分別為A和B，離心率為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過點M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點N，探求點N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.【變式5-5】（2024·上海楊浦·一模）設(shè)分別是橢圓的左?右頂點，點為橢圓的上頂點.（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓的右焦點，點是橢圓第二象限部分上一點，若線段的中點在軸上，求的面積.（3）設(shè)，點是直線上的動點，點和是橢圓上異于左右頂點的兩點，且，分別在直線和上，求證：直線恒過一定點.1．已知橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點并垂直于軸的直線交橢圓于，（點位于軸上方）兩點，且（為坐標原點）的面積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線交橢圓于，（，異于點）兩點，且直線與的斜率之積為，求點到直線距離的最大值.2．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進行解答)極點與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點Px0,y0（不是原點）對應(yīng)的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.①設(shè)直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）橢圓方程，平面上有一點．定義直線方程是橢圓在點處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點處的極線就是過點的切線；(3)若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，，割線交橢圓于，兩點，過點，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點．證明：，，三點共線．4．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知橢圓：的右焦點為，點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，其中點在第一象限內(nèi)，射線，與橢圓的交點分別為，.（1）若，，求橢圓的方程；（2）若直線的斜率是直線的斜率的2倍，求橢圓的方程.5．（2024·山東濟南·二模）已知橢圓C的焦點坐標為和，且橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓C的方程；(2)若，橢圓C上四點M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.6．已知橢圓C：，，為其左右焦點，P為橢圓C上一動點，直線交橢圓于點A，直線橢圓交于點B，設(shè)，，求證：為定值．7．（2024·河北滄州·一模）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于、兩點，若，在線段上取點，使，求證：點在定直線上.8．如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓（）的離心率為．為橢圓上異于頂點的一點，點滿足．（1）若點的坐標為，求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的一條直線交橢圓于兩點，且，直線的斜率之積，求實數(shù)的值．9．在直角坐標系xOy中，點到直線的距離等于點到原點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)點A，B，C，D在上，A，B是關(guān)于軸對稱的兩點，點位于第一象限，點位于第三象限，直線AC與軸交于點，與軸交于點，且B，H，D三點共線，證明：直線CD與直線AC的斜率之比為定值．10．如圖，橢圓的長軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；(2)直線交橢圓于兩點；直線交橢圓于兩點，．求證：；(3)對于（2）中的中的在，，，，設(shè)交軸于點，交軸于點，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）11．（2024·湖南·一模）已知過橢圓的左焦點，作斜率為的直線，交橢圓于兩點.（1）若原點到直線的距離為，求直線的方程；（2）設(shè)點，直線與橢圓交于另一點，直線與橢圓交于另一點.設(shè)的斜率為，則是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.拔高點突破01定比點差法、齊次化、極點極線問題、蝴蝶問題、坎迪定理目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：定比點差法 2題型二：齊次化 7題型三：極點極線問題 11題型四：蝴蝶問題 16題型五：坎迪定理 2403過關(guān)測試 32

1、定比點差法是一種在解析幾何有應(yīng)用的方法。在解析幾何中，它主要用于處理非中點弦問題，通過設(shè)定線段上的定比分點，利用圓錐曲線上兩點坐標之間的聯(lián)系與差異，通過代點、擴乘、作差等步驟，解決相應(yīng)的圓錐曲線問題。定比點差法的核心思想是“設(shè)而不求”，即設(shè)定未知數(shù)但不直接求解，而是通過代數(shù)運算消去未知數(shù)，得到所需的結(jié)果。這種方法在處理復(fù)雜問題時具有獨特的優(yōu)勢，能夠簡化計算過程，提高解題效率。2、齊次化是一種數(shù)學(xué)處理方法，它通過將問題轉(zhuǎn)化為齊次形式（即各項次數(shù)相等）來簡化計算和提高求解效率。在解析幾何中，齊次化常用于處理與斜率相關(guān)的問題，如過某定點的兩條直線的斜率關(guān)系。通過齊次化聯(lián)立，可以將復(fù)雜的二次曲線方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程，從而更容易地求解斜率之和或斜率之積等問題。3、極點極線是數(shù)學(xué)中的重要概念，尤其在圓錐曲線研究中占據(jù)關(guān)鍵地位。極點通常指圓錐曲線上的特殊點，其切線方程與曲線方程相同；對于不在曲線上的點，其關(guān)于曲線的調(diào)和共軛點軌跡形成的直線也被稱為極線。極線則是與極點緊密相關(guān)的一條直線，對于曲線上的極點，其極線即為該點處的切線；對于曲線外的點，其極線則是通過該點作曲線的兩條切線所得的切點弦.4、坎迪定理是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個重要定理，也被稱為蝴蝶定理的一般形式。該定理描述了在圓內(nèi)的一段弦上任意一點與圓上任意兩點相連并延長交圓于另外兩點，連接這兩延長交點與弦上另外兩點相交，所得線段長度的倒數(shù)之差為常數(shù)。題型一：定比點差法【典例1-1】（2024·高三·江西吉安·期末）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點(Ⅰ)求橢圓的標準方程；(Ⅱ)已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，過點的動直線與拋物線相交于A，B兩個不同的點，在線段AB上取點Q，滿足，證明：點Q總在定直線上．【解析】(Ⅰ)由題意可知解得，，故橢圓的方程為．證明(Ⅱ)由已知可得拋物線的標準方程為，設(shè)點Q，A，B的坐標分別為，，，由題意知，不妨設(shè)A在P，Q之間，設(shè)，，又點Q在P，B之間，故，，，由可得解得，，點A在拋物線上，，即，，由可得解得，，點B在拋物線上，，即，，．由可得，，，點Q總在定直線上【典例1-2】已知橢圓，過橢圓的左焦點F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點（A點在B點的上方），若有，求橢圓的離心率．【解析】因為，設(shè)、，①②得：，，，則，得，∵，∴，將A代入橢圓方程整理得：，所以或（舍）故．【變式1-1】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知，直線過橢圓的右焦點F且與橢圓交于A、B兩點，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點．(1)若，且當軸時，△MON的面積為，求雙曲線的方程；(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實數(shù)的值．【解析】（1）由題設(shè)，且雙曲線的漸近線為，當軸時，，又，△MON的面積為，所以，故，而，可得，所以雙曲線的方程為.（2）對于橢圓有，而，則，不妨假設(shè)，則且l為，所以，又，，令，則，故，所以，而在橢圓上，則，整理得，綜上，可得.【變式1-2】已知橢圓（）的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于，兩點，若，求【解析】由，可設(shè)橢圓為（），設(shè)，，，由，所以，．又由（1）-（3）得，又．又．【變式1-3】已知，過點的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．【解析】設(shè)，，，由，所以．由由（1）-（3）得：，又，又，從而．【變式1-4】已知橢圓的左右焦點分別為，，，，是橢圓上的三個動點，且，若，求的值．【解析】設(shè)，，，，由，得①滿足滿足②由③由（1）-（3）得：，又，同理可得．題型二：齊次化【典例2-1】已知橢圓的中心為，長軸、短軸分別為，，，分別在橢圓上，且，求證：為定值.【解析】因為，所以由勾股定理可得.所以.設(shè)的面積為，到的距離為，則，因此.所以要證明為常數(shù)，只需證明為定值.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立齊次化，并整理可得，方程的兩根為與，由韋達定理得.因為，所以，化簡得.由點到直線的距離公式，得，所以為定值.【典例2-2】如圖，過橢圓上的定點Px0,y0作傾斜角互補的兩直線，設(shè)其分別交橢圓于兩點，求證：直線【解析】由題意可得直線不過點，且直線的斜率都存在，設(shè)直線的方程為，，因為，所以橢圓方程可化為，聯(lián)立，齊次化并整理可得，由韋達定理得，又因為，所以，所以，故直線的斜率為定值.【變式2-1】已知橢圓的左頂點為，，為上的兩個動點，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點.若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.【解析】將坐標系左移2個單位長度（即橢圓右移），則橢圓方程變?yōu)?，?設(shè)直線為直線，平移后為直線，聯(lián)立齊次化得，整理可得，兩邊同除以，得，則，解得.把代入直線中，得，當時，，所以過定點，則直線過定點.【變式2-2】已知橢圓C：.過點，兩個焦點為和.設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點.(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過定點；(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過定點.【解析】（1）設(shè)直線EF方程為，即，從而.又橢圓過點，可得整理可得所以即則顯然這是一個關(guān)于的一元二次方程.對于問題（1），由韋達定理得所以，故，則所以直線EF恒過定點.（2）對于問題（2），由韋達定理得所以，則，所以直線EF恒過定點.題型三：極點極線問題【典例3-1】（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標準方程;(2)橢圓方程，平面上有一點.定義直線方程是橢圓在點處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點處的極線就是過點的切線;②若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點.證明:三點共線.【解析】（1）由已知，，則所以直線，即，該直線與圓與相切，則，所以解得，，故橢圓的標準方程為（2）①由(1)得橢圓的方程是.因為在橢圓上，所以，即，由定義可知橢圓在點處的極線方程為，當時，，此時極線方程為，所以處的極線就是過點的切線，當時，極線方程為，即，由，得，所以，所以處的極線就是過點的切線，綜上所述，橢圓在點處的極線就是過點的切線;②設(shè)點，由①可知，過點的切線方程為，過點的切線方程為，因為都過點，所以有，則割線的方程為，同理可得過點的兩條切線的切點弦的方程為，即，又因為割線過點，代入割線方程得，即，所以三點共線，都在直線上．【典例3-2】閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線：，則稱點和直線：是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理：①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當在外時，其極線是從點向曲線所引兩條切線的切點所在的直線（即切點弦所在直線）；③當在內(nèi)時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.(1)點是直線：上的一個動點，過點向橢圓引兩條切線，切點分別為，，是否存在定點恒在直線上，若存在，當時，求直線的方程；若不存在，請說明理由.(2)點在圓上，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求面積的最大值.【解析】（1）設(shè)點，由點在直線上運動，得，由消去并整理得，顯然，即此方程組無實數(shù)解，于是直線與橢圓相離，即點在橢圓外，又，都與橢圓相切，因此點和直線是橢圓的一對極點和極線，對于橢圓，與點對應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，顯然定點的坐標與的取值無關(guān)，即有，解得，所以存在定點恒在直線上，當時，是線段的中點有在橢圓內(nèi)，設(shè)，直線的斜率為，則，兩式相減并整理得，即，所以當時，直線的方程為，即.（2）由（1）知直線的方程為，由題意知，由消去并整理得：，而，則，設(shè)，，則，，所以，

點到直線的距離為：，因此面積，當時，令，求導(dǎo)得，即在單調(diào)遞增，則的最大值為，由對稱性可知當時，的最大值也為，所以面積的最大值為.【變式3-1】閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為橢圓過點P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據(jù)閱讀材料，與點P對應(yīng)的極線方程為，即；（2）由題意，設(shè)點Q的坐標為(,)，因為點Q在直線上運動，所以，聯(lián)立，得，，該方程無實數(shù)根，所以直線與橢圓C相離，即點Q在橢圓C外，又QM，QN都與橢圓C相切，所以點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.對于橢圓，與點Q(,)對應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，又因為定點T的坐標與的取值無關(guān)，所以，解得，所以存在定點T(2,1)恒在直線MN上.當時，T是線段MN的中點，設(shè)，直線MN的斜率為，則，兩式相減，整理得，即，所以當時，直線MN的方程為，即.題型四：蝴蝶問題【典例4-1】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．(1)求橢圓的標準方程；(2)當時，求的值；(3)設(shè)，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．【解析】（1）由題意，得解得∴，故的方程為．（2）由（1）知，∴直線AB的方程為，由即，設(shè)，，則，，∴．設(shè)O點到直線AB的距離為d，則．∴．（3）設(shè)AB直線方程，設(shè)，，，，由由定比分點坐標公式：，由于A，C滿足橢圓方程，故得兩式作差得③，將①②代入③可得，和①進行聯(lián)立，即，解得：由同理可得，∴，故．【典例4-2】（2024·高三·江蘇泰州·期末）如圖，已知橢圓，矩形ABCD的頂點A，B在x軸上，C，D在橢圓上，點D在第一象限.CB的延長線交橢圓于點E，直線AE與橢圓?y軸分別交于點F?G，直線CG交橢圓于點H，DA的延長線交FH于點M.（1）設(shè)直線AE?CG的斜率分別為?，求證：為定值；（2）求直線FH的斜率k的最小值；（3）證明：動點M在一個定曲線上運動.【解析】（1）由對稱性，設(shè)，，，則，得，故，，則，（2）由，聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，所以，可得，又，聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，所以可得：，所以，由圖知，所以即,當且僅當即取等.所以直線FH的斜率k的最小值為.（3）易知，令可得，所以，，所以，因為，所以，即M在曲線上.【變式4-1】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為，直線與橢圓相切．(1)求橢圓的標準方程；(2)斜率為的直線過，與橢圓交于兩點，延長，分別與橢圓交于兩點，直線的斜率為，求證為定值．【解析】（1）與橢圓相切，，將代入橢圓方程得：，，則，橢圓的標準方程為：.（2）由（1）得：，，則直線，設(shè)，，，，則直線的方程為：，由得：，，則，，；同理可得：；，，即為定值.【變式4-2】設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．

(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C另一個交點分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．【解析】（1）拋物線C的方程為（2）解法一：設(shè)，直線，聯(lián)立直線，得，，聯(lián)立直線，得，，∴，同理可得，由斜率公式可得，，∴．解法二：三點共線設(shè)，由M、N、F三點共線，得，由M、D、A三點共線，得，由N、D、B三點共線，得，則，AB過定點（4，0）．【變式4-3】在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：，F(xiàn)是橢圓的右焦點且______，從下列條件中任選一個補充在上面問題中并作答：注：如果選擇多個條件作答，按第一個計分．條件①：橢圓C的離心率，焦點到相應(yīng)準線的距離是3．條件②：橢圓C與圓M：外切，又與圓N：外切．(1)求橢圓C的方程．(2)已知A，B是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，A在x軸的上方，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E兩點，證明：直線DE過定點．【解析】（1）若選①，則，解得，故橢圓C的方程為；若選②，易知圓圓心，半徑為4，過點，和橢圓外切，切點必為，故，圓圓心，半徑為，過點，和橢圓外切，切點必為，故，故橢圓C的方程為；（2）設(shè)，因為三點共線，又，則，即（★），又因為點均在橢圓上，則，可變形為，代入中，整理可得，結(jié)合（★）式得（?），★?式聯(lián)立解得，同理可得，所以直線的方程為，即，又，所以直線DE的方程為，故直線DE過定點.題型五：坎迪定理【典例5-1】橢圓的左、右頂點分別為，，上頂點為，點，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過且斜率存在的動直線與橢圓交于、兩點，直線與交于，求證：在定直線上.【解析】（1），由題意，，所以橢圓的方程.（2）設(shè)，，，過的動直線：，代入橢圓的方程得：，得：，，，分別由，，及，，三點共線，得：，，兩式相除得：，得：，即在直線上.【典例5-2】已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為4，離心率為，點C在橢圓E上且異于兩點，分別為直線上的點．(1)求橢圓E的方程；(2)求的值；(3)設(shè)直線與橢圓E的另一個交點為D，證明：直線過定點．【解析】（1）因為橢圓長軸長為4，離心率為，所以，則橢圓方程為；（2）易知，設(shè)，則，所以，又C在橢圓上，即，故；（3）由上知，則，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理知，，①若直線斜率不存在，即，即，解之得，過定點；②若直線斜率存在，則，整理得，過定點綜上所述恒過定點.【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知不過坐標原點且斜率為1的直線與橢圓交于點，，為的中點．(1)求直線的斜率；(2)設(shè)，直線，與橢圓的另一個交點分別為，（均異于橢圓頂點），證明：直線過定點．【解析】（1）解法一：設(shè)直線AB的方程為，將代入，得，由，得，設(shè)，，，則，所以，，即，故直線OM的斜率為．解法二：設(shè)，，，則，，兩式作差，得，所以．因為直線AB的斜率為1，所以，得，故直線OM的斜率為．（2）由題意知直線CD的斜率存在，設(shè)直線CD的方程為，，，則，直線PC的方程為，與聯(lián)立，并結(jié)合化簡可得，則，，，故，同理，故，所以，故直線CD的方程為，直線CD過定點．【變式5-2】在平面直角坐標系中，如圖，已知的左、右頂點為、，右焦點為，設(shè)過點的直線、與橢圓分別交于點、，其中，，．（1）設(shè)動點滿足，求點的軌跡；（2）設(shè)，，求點的坐標；（3）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關(guān)）．【解析】（1）設(shè)點，則，，，由，得，化簡得，故所求點的軌跡為直線．（2）將，分別代入橢圓方程，以及，，得，，直線方程為，即，直線方程為，即，聯(lián)立方程組，解得，所以點的坐標為．（3）點的坐標為，直線的方程為，即，直線的方程為，即，分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，，解得、，若，且,得，此時直線的方程為，過點；若，則，直線的斜率，直線的斜率，所以,所以直線過點，因此直線必過軸上一定點.【變式5-3】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，過點M（1，0）作直線l交橢圓于C，D兩點，若直線AD，BC的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．【解析】證明：連結(jié)BD，設(shè)，，直線CD的方程為：，代入橢圓方程，整理得，，∴，，又，∴（定值）．【變式5-4】已知橢圓的左右頂點分別為A和B，離心率為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過點M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點N，探求點N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.【解析】（1）由題設(shè)，，，且所以，橢圓方程為；（2）由（1）知，A（-2，0），B（2，0），設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，因為，設(shè)，所以，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，則，即，而，∴，∴x=4，即直線與直線的交點在直線x=4上.【變式5-5】（2024·上海楊浦·一模）設(shè)分別是橢圓的左?右頂點，點為橢圓的上頂點.（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓的右焦點，點是橢圓第二象限部分上一點，若線段的中點在軸上，求的面積.（3）設(shè)，點是直線上的動點，點和是橢圓上異于左右頂點的兩點，且，分別在直線和上，求證：直線恒過一定點.【解析】（1），，，，解得即橢圓的方程為.（2）橢圓的方程為，由題意，設(shè)另一焦點為，設(shè)，由線段的中點在y軸上，得軸，所以，代入橢圓方程得，即；（3）證明：由題意，設(shè)點P的坐標為，直線：，與橢圓方程聯(lián)立消去得：由韋達定理得即；同理；當，即即時，直線的方程為；當時，直線：化簡得，恒過點；綜上所述，直線恒過點.1．已知橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點并垂直于軸的直線交橢圓于，（點位于軸上方）兩點，且（為坐標原點）的面積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線交橢圓于，（，異于點）兩點，且直線與的斜率之積為，求點到直線距離的最大值.【解析】（1）由題意可得解得所以橢圓的標準方程為.（2）解法1：韋達定理設(shè)點Ax1,y1當直線的斜率不存在時，設(shè)其方程為（且），所以由，且，得到，即，解得或（舍）此時點到直線的距離為，當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，聯(lián)立消去并整理得.則，，，所以，即.所以，，整理得，即，所以或.若，則直線的方程為，所以直線過點，不合題意；若，則直線的方程為，所以直線過定點.又因為，所以點在橢圓內(nèi).則點到直線的距離為.所以點到直線距離的最大值為.解法2：齊次式法易求得，設(shè)點Ax1,y1，橢圓的方程為，即，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立并齊次化，得整理得，即，方程的兩根為，，由韋達定理得，從而，與對照，則解得故直線過定點，、JKK;顯然，點到直線距離的最大值為.2．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進行解答)極點與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點Px0,y0（不是原點）對應(yīng)的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.①設(shè)直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.【解析】（1）由題意焦點在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設(shè)，則Q在P的極線上，現(xiàn)在如果經(jīng)過P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達定理有，此時要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結(jié)論得證.接下來我們回到原題，①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點，又由于，故，設(shè)，而，，，所以，也就是E是的中點；②設(shè)，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過點.3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）橢圓方程，平面上有一點．定義直線方程是橢圓在點處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點處的極線就是過點的切線；(3)若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，，割線交橢圓于，兩點，過點，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點．證明：，，三點共線．【解析】（1）由題意知，當時，，所以或．由定義可知橢圓在點處的極線方程為，所以橢圓在點處的極線方程為，即點處的極線方程為，即（2）因為在橢圓上，所以，由定義可知橢圓在點處的極線方程為，當時，，此時極線方程為，所以處的極線就是過點的切線．當時，極線方程為．聯(lián)立，得．．綜上所述，橢圓在點處的極線就是過點的切線；（3）設(shè)點，，，由（2）可知，過點的切線方程為，過點N的切線方程為．因為，都過點，所以有，則割線的方程為；同理可得過點的兩條切線的切點弦的方程為．又因為割線過點，代入割線方程得．所以，，三點共線，都在直線上．4．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知橢圓：的右焦點為，點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，其中點在第一象限內(nèi)，射線，與橢圓的交點分別為，.（1）若，，求橢圓的方程；（2）若直線的斜率是直線的斜率的2倍，求橢圓的方程.【解析】（1）由，根