基本不等式（第一課時(shí)）課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

2.2基本不等式

（第一課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：1.推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：準(zhǔn)確熟練運(yùn)用基本不等式教學(xué)難點(diǎn)：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本不等式解決復(fù)習(xí)引入性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?a<b?2傳遞性a>b，b>c?a>c?3可加性a>b?a＋c>b＋c?4可乘性a>b，c>0?ac>bc；

a>b，c<0?ac<bcc的符號(hào)5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向同正7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥2)8可開(kāi)方性a>b>0?(n∈N*，n≥2)探索新知重要不等式:

?a,b∈R，有a2+b2

≥2ab

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）思考如果a>0,b>0,我們用分別代替上式中的a,b,

可以等到什么的結(jié)果？?a,b∈R，有a2+b2

≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）探索新知可以得到：通常把上式寫(xiě)作：通常稱上述不等式為基本不等式．其中，叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．↑算術(shù)平均值↑幾何平均值代數(shù)解釋：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。思考我們?nèi)绾蝸?lái)證明基本不等式呢？證明：

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）方法一（作差法）證明：思考除了可以用作差法證明，我們還可以用其它方法嗎？下面我們來(lái)分析一下。方法二顯然，（3）成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。這是一種執(zhí)果索因的證明方法，叫做分析法。只要把上述過(guò)程倒過(guò)來(lái)，就是我們熟悉的方法了。思考除了可以用作差法證明，我們還可以用其它方法嗎？下面我們來(lái)分析一下。方法三（綜合法）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。探索

如圖,AB是圓的直徑，C是AB上任一點(diǎn)，AC=a,CB=b,過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD,BD,你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何解釋？如圖，可證△ACD∽△DCB，則CD=，半徑為，圓的半徑大于或等于CD，用不等式表示為，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a＝b時(shí)，上述不等式的等號(hào)成立．幾何解釋：在同一圓中，圓的半徑不小于半弦。還有其它的解釋嗎例題精講例1.已知x>0，求

的最小值思考例題精講例2.已知a，b都是正數(shù)，滿足a+b=18，求

ab的最大值.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=9時(shí)，等號(hào)成立因此所求最大值為81.思考：你能從例1和例2中得出怎樣的結(jié)論？積定和最小，和定積最大利用不等式應(yīng)注意哪些條件？一正二定三相等課堂練習(xí)已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：課堂練習(xí)已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：例題精講例3.已知x

，y都是正數(shù)，求證：

（1）若xy

等于定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，x+y取得最小值；(2)若x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，xy

取得最大值.例題精講例3.已知x

，y都是正數(shù)，求證：

（1）若xy

等于定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，x+y取得最小值；(2)若x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，xy

取得最大值.課堂總結(jié)基本不等式：利用基本不等式求最值時(shí)，需滿足:（1）a，b必須是正數(shù).（正）（2）當(dāng)a+b為定值時(shí)，便可求ab的最大值；

當(dāng)ab為定值時(shí)，便可求a+b的最小值.

（定）（3）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等式成立.

（相等）課后練習(xí)1.已知x＞0，求