安徽省阜陽(yáng)市潁上第二中學(xué)2025屆高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

安徽省阜陽(yáng)市潁上第二中學(xué)2025屆高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（）A． B．3 C．1 D．2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，.若，則函數(shù)在上的最大值為（）A．4 B．6 C．3 D．83．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+14．某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬(wàn)元）如圖2所示，則該單位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為（）A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）A． B．1 C． D．6．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（）A． B． C． D．7．設(shè)，，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．記個(gè)兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間9．趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的）.類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角形.設(shè)，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形（陰影部分）的概率是（）A． B． C． D．10．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且與的等差中項(xiàng)為4，則的公比是()A．1 B．2 C． D．11．已知命題：“關(guān)于的方程有實(shí)根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知隨機(jī)變量的分布列是則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____14．如圖是某幾何體的三視圖，俯視圖中圓的兩條半徑長(zhǎng)為2且互相垂直，則該幾何體的體積為________.15．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，，（且），則__________.16．三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考，三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160，240，400，為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績(jī)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本，若在學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)的份數(shù)為30，則抽取的樣本容量為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點(diǎn)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程．18．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明曲線的形狀；(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)，求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng).19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)和交點(diǎn)的交點(diǎn)為，求的面積．20．（12分）已知不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）已知存在實(shí)數(shù)使得恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”、“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”記分，“不合格”記分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示：等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624（Ⅰ）若測(cè)試的同學(xué)中，分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，并判斷：是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識(shí)有關(guān)？是否合格性別不合格合格總計(jì)男生女生總計(jì)（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中，共選取人進(jìn)行座談，現(xiàn)再?gòu)倪@人中任選人，記所選人的量化總分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)（，其中表示的方差）來評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的成效，若，則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的；否則認(rèn)定教育活動(dòng)無效，應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在（Ⅱ）的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？附表及公式：，其中.22．（10分）分別為的內(nèi)角的對(duì)邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求的周長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.2、A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算，可得；利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性，由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則；任取，且，則，故，令，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，令，，故，故函數(shù)在上的最大值為4.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn)，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.3、C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當(dāng)n=k時(shí)，等式左端=1+1+…+k1，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項(xiàng)（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題./4、A【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費(fèi)開支占總開支的百分比.【詳解】水費(fèi)開支占總開支的百分比為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積．故選.6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除，再計(jì)算排除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋?，函?shù)為偶函數(shù)，排除，排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像，通過函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.7、A【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若，，則，可得；若，可得，無法得到，所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的定義，判斷充要條件的方法是：①若為真命題且為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若為假命題且為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若為真命題且為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若為假命題且為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系.8、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當(dāng)且時(shí)的導(dǎo)數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點(diǎn)值分別看作對(duì)應(yīng)常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當(dāng)且時(shí)，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)?，由圖像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)自變量范圍，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題9、A【解析】

根據(jù)幾何概率計(jì)算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可．【詳解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．10、D【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公比q．【詳解】由題意，正項(xiàng)等比數(shù)列中，，可得，即，與的等差中項(xiàng)為4，即，設(shè)公比為q，則，則負(fù)的舍去，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項(xiàng)公式，合理利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故12、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是基本知識(shí)的考查．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)恰有三個(gè)根，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域即可.【詳解】解：恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)恰有三個(gè)根，令，，在遞增；，遞減，遞增，時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)，在有2個(gè)零點(diǎn)；故答案為：.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，這類題一般用分離參數(shù)的方法，中檔題.14、20【解析】

由三視圖知該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)半球的四分之三的組合，利用球體體積公式、圓柱體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑為2的半球的四分之三和一個(gè)底面半徑2、高為4的圓柱組合而成，其體積為.故答案為：20.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體體積，考查學(xué)生空間想象能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.15、【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得的值.【詳解】由于，，所以，則，∴，，.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.【詳解】設(shè)抽取的樣本容量為x，由已知，，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）點(diǎn)M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達(dá)定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進(jìn)而得到最終結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則由知：點(diǎn)在圓上點(diǎn)的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（2）設(shè)，由題意知的斜率存在設(shè)，代入得：則，解得：設(shè)，，則四邊形為平行四邊形又∴，消去得：頂點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動(dòng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而通過化簡(jiǎn)整理得到結(jié)果；易錯(cuò)點(diǎn)是求得軌跡方程后，忽略的取值范圍.18、(1)曲線表示的是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析：（1）將曲線的極坐標(biāo)方程為兩邊同時(shí)乘以，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程；（2）由直線經(jīng)過點(diǎn)，可得的值，再將直線的參數(shù)方程代入曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由直線參數(shù)方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長(zhǎng).試題解析：（1）由可得，即，∴曲線表示的是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為的拋物線.（2）將代入，得，∴，∵，∴，∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入得，由直線參數(shù)方程的幾何意義可知，.19、（1）；（2）【解析】

（1）先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再將普通方程化為極坐標(biāo)方程即可.（2）將和的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，求得兩個(gè)曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)，即可由極坐標(biāo)的含義求得的面積.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），消去參數(shù)的的直角坐標(biāo)方程為．所以的極坐標(biāo)方程為（2）解方程組，得到．所以，則或（）．當(dāng)（）時(shí)，，當(dāng)（）時(shí)，．所以和的交點(diǎn)極坐標(biāo)為：,.所以．故的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，利用極坐標(biāo)求三角形面積，屬于中檔題.20、（1）；（2）4【解析】

（1）分類討論，求解x的范圍，取并集，得到絕對(duì)值不等式的解集，即得解；（2）轉(zhuǎn)化原不等式為：，利用均值不等式即得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)不等式可化為當(dāng)時(shí)，不等式可化為；當(dāng)時(shí)，不等式可化為；綜上不等式的解集為.（2）由（1）有，，，，即而當(dāng)且僅當(dāng)：，即，即時(shí)等號(hào)成立∴，綜上實(shí)數(shù)最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的求解與不等式的恒成立問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）不需要調(diào)整安全教育方案.【解析】

（I）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷出在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下，不能認(rèn)為性別與安全測(cè)試是否合格有關(guān).（II）利用超幾