河南省周口市淮陽區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

河南省周口市淮陽區(qū)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.用C(A)表示非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實(shí)數(shù)a的全部可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可得或，進(jìn)而探討a的范圍，確定出，最終得到答案.【詳解】因?yàn)?，，所以或，由，得，關(guān)于x的方程，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，易知，符合題意；當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，易知0，-a不是方程的根，故，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程無實(shí)根，若a=0，則B={0}，，符合題意，若或，則，不符合題意.所以，故.故選：B.【點(diǎn)睛】對于新定義的問題，確定要讀懂題意，一般理解起來不難，它一般和平常所學(xué)學(xué)問和方法有很大關(guān)聯(lián)；另外當(dāng)時(shí)，簡單遺漏a=0時(shí)的狀況，留意細(xì)致分析題目.2.已知為第三象限角，則下列推斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)為第三象限角，由三角函數(shù)在象限的正負(fù)，推斷選項(xiàng).【詳解】是第三象限角，，，，故AB不正確；，故C不正確；，故D正確.故選：D3.假如兩個(gè)正方形的邊長之和為，那么它們的面積之和的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)兩個(gè)正方形的邊長分別為、，可得，利用基本不等式可求得兩個(gè)正方形的面積之和的最小值.【詳解】設(shè)兩個(gè)正方形的邊長分別為、，則，且，由基本不等式可得，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，兩個(gè)正方形的面積之和的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要留意其必需滿意的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必需驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最簡單發(fā)生錯(cuò)誤的地方.4.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將分式化為整式后可得的值.【詳解】因?yàn)?，故即，若，則，與平方和為1沖突，故即，故選：D.5.假如方程的解為，則實(shí)數(shù)的值分別是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將兩根代入二次方程，待定系數(shù)求解即可【詳解】由題意，方程的解為，故，解得.故選：A6.“”是“函數(shù)是定義在上的減函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】本題首先可以依據(jù)函數(shù)是定義在上的減函數(shù)得出，然后依據(jù)是的真子集即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹浴啊笔恰昂瘮?shù)是定義在上的減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件以及必要條件的推斷，可借助集合的方式進(jìn)行推斷，考查分段函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減時(shí)，每段函數(shù)都遞減，且要留意分界點(diǎn)處函數(shù)值的處理，是中檔題.7.已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一條對稱軸，若在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，依據(jù)題意分析得出，其中，可得出，利用函數(shù)的單調(diào)性可得出的取值范圍，可得出的可能取值，然后對的值由大到小進(jìn)行檢驗(yàn)，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一條對稱軸，則，其中，所以，，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，所以，.所以，的可能取值有：、、、、.（i）當(dāng)時(shí)，，，所以，，則，，，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，，所以，，則，，，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，合乎題意.因此，最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)中的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)的周期確定的表達(dá)式與取值范圍，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.8.設(shè)函數(shù)，若對于隨意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，只須要探討的根的狀況，借助于和的圖像，依據(jù)交點(diǎn)狀況，列不等式組，解出的取值范圍.【詳解】令，則令，則則問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有兩個(gè)，至少有三個(gè)t，使得，求的取值范圍.作出和的圖像，視察交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可知使得的最短區(qū)間長度為2π，最長長度為，由題意列不等式的：解得：.故選：B【點(diǎn)睛】探討y=Asin(ωx+φ)+B的性質(zhì)通常用換元法（令），轉(zhuǎn)化為探討的圖像和性質(zhì)較為便利.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)集合，且，則實(shí)數(shù)a可以是（）A B.1 C. D.0【答案】ACD【解析】【分析】由，可得，對集合N分類探討可得結(jié)果.【詳解】，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，滿意，當(dāng)時(shí)，，滿意，當(dāng)時(shí)，，滿意，故選：ACD.10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到的圖象，則（）A.函數(shù)是偶函數(shù) B.是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)圖象變換可得，依據(jù)函數(shù)圖象性質(zhì)逐項(xiàng)推斷即可.【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得，再將圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），可得，對于A選項(xiàng)，令，則，，故函數(shù)不是偶函數(shù)，A不正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，故是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，B正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對于D選項(xiàng)，因?yàn)閷ΨQ軸滿意，解得，則時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象不過定點(diǎn)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0D.若對隨意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一推斷【詳解】對于A，因?yàn)閷﹄S意都有，所以的圖象過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對于C，由以上知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的最小值為，故C正確；對于D，對隨意，恒成立，則有，解得，故D正確．故選：CD12.函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)協(xié)助角公式化簡，然后依據(jù)其圖像關(guān)于對稱，可得之間的關(guān)系，從而得到，然后對選項(xiàng)逐一推斷，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，其中因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于對稱，所以，即化簡得，故A正確.則即，因?yàn)?，故B正確.因?yàn)?，故C錯(cuò)誤.因?yàn)楣蔇正確.故選:ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意可得恒成立，分別對，，探討，結(jié)合二次不等式、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)即可求出答案.【詳解】由不等式的解集為等價(jià)于恒成立，當(dāng)時(shí)，成立，符合條件；當(dāng)時(shí)，依據(jù)二次函數(shù)圖像開口向上，確定會(huì)有函數(shù)值大于0，故不符合；當(dāng)時(shí)，只需讓，解得，綜上所述，a的取值范圍為，故答案為：14.已知，，且，則最大值是______．【答案】【解析】【分析】利用，，且，求出的范圍，將消元得，利用二次函數(shù)的最值及倒數(shù)法則即可求得的最大值.【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，，?dāng)時(shí)，取最小值，所以取最大值，故的最大值是.故答案為：.15.已知函數(shù)，則________.【答案】##【解析】【分析】可令，，利用倒序相加法，將角度之和為的兩項(xiàng)結(jié)合（如化簡整理即可．【詳解】解：，，令，①，②①②得：，，即．故答案為：.16.若正實(shí)數(shù)滿意，則的最大值為________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)，由結(jié)合基本不等式可得，從而可得的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，而，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題為三元等式條件下的最值問題，留意將欲求范圍的變量分別出來，再結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)把最值問題轉(zhuǎn)化為整體的范圍問題，而后者可依據(jù)基本不等式來處理，本題屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)集合，（1）請寫出一個(gè)集合，使“”是“”的充分條件，但“”不是“”的必要條件；（2）請寫出一個(gè)集合，使“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件．【答案】（1）（答案不唯一）；（2）（答案不唯一）【解析】【分析】依據(jù)充分必要性推斷集合與集合之間的包含關(guān)系，從而寫出符合題意的集合.【詳解】（1）由于“”是“”的充分條件，但“”不是“”的必要條件，所以集合是集合的真子集，由此可得符合題意.（2）由于于“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件，所以集合是集合的真子集，由此可知符合題意.18.已知函數(shù)，a不為0．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）結(jié)合開口方向以及判別式求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，即，，解得或所以不等式的解集為.【小問2詳解】恒成立，因?yàn)閍不為0，所以且，即，a的取值范圍為：．19.已知函數(shù)與.（1）推斷奇偶性；（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值范圍.【答案】（1）偶函數(shù)（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)奇偶性定義推斷；（2）函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)根，用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程只有一個(gè)正根（或兩個(gè)相等正根），再依據(jù)二次方程根分布分類探討可得．【小問1詳解】∵的定義域?yàn)镽，∴，∴為偶函數(shù).【小問2詳解】函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)即即方程有且只有一個(gè)實(shí)根.令，則方程有且只有一個(gè)正根.①當(dāng)時(shí)，，不合題意；②當(dāng)時(shí)，若方程有兩相等正根，則，且，解得；滿意題意③若方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則，即時(shí)，滿意題意.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20.已知一次函數(shù)滿意，．（1）求的解析式；（2）若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，設(shè)，代入條件，得到方程組，解出參數(shù)即可；（2）將函數(shù)解析式代入即可轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式恒成立的問題.【小問1詳解】設(shè)，則．由得．因?yàn)?，所以．所以，的解析式為．【小?詳解】將代入得（*）．即，．①當(dāng)時(shí)，不等式*變?yōu)椋瑵M意條件；②當(dāng)時(shí)，原問題等價(jià)于解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．21.在①f(x)的圖像關(guān)于直線對稱，②f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，③f(x)在上單調(diào)遞增這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的正實(shí)數(shù)a存在，求出a的值；若a不存在，說明理由.已知函數(shù)的最小正周期不小于，且___________，是否存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在[0，]上有最大值3？注∶假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見解析【解析】【分析】若選擇①，即的圖像關(guān)于直線對稱，則可推出，進(jìn)而利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，求得的最大值，從而得到，不符合題意.若選擇②，可得，進(jìn)而求得的最大值，，從而得到，不符合題意.若選擇③，可得，進(jìn)而求得的最大值，從而得到，符合題意.【詳解】解：由于函數(shù)的最小正周期不小于，所以，所以，，若選擇①，即的圖像關(guān)于直線對稱，有，解得，由于，，，所以，，此時(shí)，，由，得，因此當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，令，解得，不符合題意.故不存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在上有最大值若選擇②，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則有，解得，由于，，，所以，此時(shí)，由，得，因此當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，令，解得，不符合題意.故不存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在上有最大值3；若選擇③，即在上單調(diào)遞增，則有，解得，由于，，，所以，此時(shí)，由，得，因此當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，令，解得，符合題意.故存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上有最大值22.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且滿意，則稱是的點(diǎn)．函數(shù)的全部點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為的集．（1）推斷是否是函數(shù)的點(diǎn)，并說明理由；（2）若函數(shù)的集為，求的最大值；（3）若定義域?yàn)榈倪B續(xù)函數(shù)的集滿意，求證：．【答案】（1）不是，理由見解析；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）干脆求出，再推斷出，即可得到，即可得到結(jié)論；（2）先說明，若，則，由題設(shè)得到，推出沖突即可證得；再說明的值可以等于，令，利用三角函數(shù)的值域加以證明即可；（3）由題設(shè)知，必存在，使得，結(jié)合零點(diǎn)存在定理說明函數(shù)必存在零點(diǎn)，即可證明.【小問1詳解】不是函數(shù)的點(diǎn)，理由如下：設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，所以不是函?shù)的點(diǎn)；【小問2詳解】先證明，若，則函數(shù)