江西省部分學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月聯(lián)考文試題含解析

江西省部分學(xué)校2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月聯(lián)考（文）試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】解不等式，求出，從而求出交集.【詳解】由題意可得，則.故選：A2.已知復(fù)數(shù)z滿意，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)即可作答.【詳解】由得：，因此.故選：D3.要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可干脆求得結(jié)果.【詳解】，將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到的圖象.故選：C.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性以及函數(shù)值的正負(fù)可得答案．【詳解】因?yàn)?，，所以為奇函?shù)，得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，解除AD，當(dāng)時(shí)，，解除C.故選：B．5.若是其次象限角，且，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和的正切公式求解.【詳解】因?yàn)槭瞧浯蜗笙藿?，且，所以，所以，?故選:D.6.某數(shù)學(xué)愛(ài)好小組的學(xué)生為了了解會(huì)議用水的飲用狀況，對(duì)某單位的某次會(huì)議所用礦泉水飲用狀況進(jìn)行調(diào)查，會(huì)議前每人發(fā)一瓶500ml的礦泉水，會(huì)議后了解到所發(fā)的礦泉水飲用狀況主要有四種：A．全部喝完；B．喝剩約；C．喝剩約一半；D．其他狀況．該數(shù)學(xué)愛(ài)好小組的學(xué)生將收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，并繪制成所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．依據(jù)圖中信息，本次調(diào)查中會(huì)議所發(fā)礦泉水全部喝完的人數(shù)是（）A.40 B.30 C.22 D.14【答案】C【解析】【分析】由兩幅統(tǒng)計(jì)圖可得喝剩約的人有40人，所占可得參與該會(huì)議人數(shù)，再由喝剩約一半的百分比、其他狀況的人數(shù)可得答案.【詳解】由兩幅統(tǒng)計(jì)圖可得喝剩約的人有40人，所以該會(huì)議共有人，所以喝剩約一半的有人，而其他狀況共有8人，所以本次調(diào)查中會(huì)議所發(fā)礦泉水全部喝完的人數(shù)是人.故選：C.7.在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線線角的余弦作答.【詳解】在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，而分別是棱的中點(diǎn)，則，由得：，則，,所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A8.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于，P，Q兩點(diǎn)，則的最小值是（）A.8 B.10 C.13 D.15【答案】C【解析】【分析】利用韋達(dá)定理和拋物線的定義表示出，利用基本不等式求解.【詳解】設(shè)直線，，，聯(lián)立，整理得，則，故.因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故選:C.9.當(dāng)光線入射玻璃時(shí)，表現(xiàn)有反射、汲取和透射三種性質(zhì)．光線透過(guò)玻璃的性質(zhì)，稱為“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率為90%（即光線強(qiáng)度減弱10%）．若光線強(qiáng)度要減弱到原來(lái)的以下，則至少要通過(guò)這樣的玻璃的數(shù)量是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.30塊 B.31塊 C.32塊 D.33塊【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件，列出不等式，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式作答.【詳解】令光線原有強(qiáng)度為1，經(jīng)過(guò)n塊玻璃后光線強(qiáng)度變?yōu)樵瓉?lái)的，依題意，，兩邊取對(duì)數(shù)得：，即有，而，則，所以至少要通過(guò)這樣的玻璃的數(shù)量是31塊.故選：B10.已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，可得出，然后分、兩種狀況解不等式，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，且，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由可知，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：B.11.數(shù)學(xué)中有很多形態(tài)美麗、寓意獨(dú)特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，全部的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長(zhǎng)方體的上底面圍著其中心旋轉(zhuǎn)得到如圖2所示的十面體.已知，則十面體外接球的球心到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求得外接球的半徑，結(jié)合球的幾何性質(zhì)，利用勾股定理求得球心到平面的距離.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可知，則.因?yàn)槭骟w是由長(zhǎng)方體的上底面圍著其中心旋轉(zhuǎn)得到的，所以長(zhǎng)方體的外接球就是十面體的外接球.設(shè)十面體外接球的半徑為R，則，即，因?yàn)?，所?設(shè)外接圓的半徑為r，則由正弦定理得即，則該十面體外接球的球心到平面的距離是：.故選：B12.已知函數(shù)，的定義域均為，且，.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（）A.80 B.86 C.90 D.96【答案】C【解析】【分析】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合已知函數(shù)等式推得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而可得的周期為4，求出的值，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且.因?yàn)?，所以，所以，所以，則，即的周期為4.因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，則.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則有；函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，則有，函數(shù)的周期為，則有.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.已知向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)給定條件，求出向量坐標(biāo)，再利用共線向量的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，而，又，，三點(diǎn)共線，則有，因此，解得，所以.故答案為：14.已知實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】4【解析】【分析】畫出可行域，結(jié)合的幾何意義求解.【詳解】畫出可行域如圖，設(shè)，即經(jīng)過(guò)時(shí)，截距最小，此時(shí)z取得最大值，最大值為4.故答案為:4.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，，且的周長(zhǎng)和面積分別是10和，則______.【答案】3【解析】【分析】依據(jù)三角形的面積公式和余弦定理求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，所?由余弦定理可得，即，所以，則，解得.故答案為:3.16.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線與圓相切于點(diǎn)，且直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，作出圖形，結(jié)合雙曲線定義，再將全部邊長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理得到，再依據(jù)，化簡(jiǎn)可得，再兩邊同除，解得即可；【詳解】解：如圖，由題可知，，則，又，，，又，作，可得，，則在，，即，即，又，化簡(jiǎn)可得，同除以得解得或（舍去）；所以雙曲線的離心率為.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意，、、成等比數(shù)列．（1）求的前項(xiàng)和；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，依據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，求出的值，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的求和公式可求得；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，，由題意可得，即，解得，所以，，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：，所以，.18.某商場(chǎng)在周年慶實(shí)行了一場(chǎng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中全部乒乓球都是質(zhì)地勻稱，大小與顏色相同的，且每個(gè)小球上標(biāo)有1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，每個(gè)號(hào)都有若干個(gè)乒乓球.抽獎(jiǎng)?lì)櫩陀蟹呕氐貜某楠?jiǎng)箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的數(shù)字，當(dāng)時(shí)，該顧客積分為3分，當(dāng)時(shí)，該顧客積分為2分，當(dāng)時(shí)，該顧客積分為1分.以下是用電腦模擬的抽簽，得到的30組數(shù)據(jù)如下：131163341241253126316121225345（1）以此樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)顧客的抽獎(jiǎng)狀況，分別估計(jì)某顧客抽獎(jiǎng)1次，積分為3分和2分的概率：（2）某顧客抽獎(jiǎng)3次，求該顧客至多有1次的積分大于1的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率估計(jì)概率即可求解；（2）依據(jù)古典概率模型求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知某顧客抽獎(jiǎng)1次，積分為3分的頻率是，則估計(jì)某顧客抽獎(jiǎng)1次，積分為3分的概率為.某顧客抽獎(jiǎng)1次，積分為2分的頻率是，則估計(jì)某顧客抽獎(jiǎng)1次，積分為2分的概率為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知某顧客抽獎(jiǎng)1次，積分為1分的概率是，則某顧客抽獎(jiǎng)1次，所得積分是1分和所得積分大于1分是等可能事務(wù).設(shè)某顧客抽獎(jiǎng)1次，積分為1分，記為A，積分大于1分，記為a，則某顧客抽獎(jiǎng)3次，每次所得積分的狀況為aaa，aaA，aAA，aAa，AAa，AAA，AaA，Aaa，共8種，其中符合條件的狀況有aAA，AAa，AAA，AaA，共4種，故所求概率.19.如圖，在正三棱柱中，，D，E分別是棱BC，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)利用線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理證明；(2)依據(jù)等體積法求解.【小問(wèn)1詳解】證明：由正三棱柱的性質(zhì)，所以，則，因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，D是棱BC的中點(diǎn)，所以.由正三棱柱的定義可知平面ABC，則.因?yàn)锽C，平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)锳D，平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】連接.因?yàn)椋缘拿娣e.由正三棱柱的性質(zhì)可知平面，則點(diǎn)到平面的距離為AD.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，故三棱錐的體積.因?yàn)?，E是的中點(diǎn)，所以，，則的面積.設(shè)點(diǎn)到平面的距離是d，則三棱錐的體積.因?yàn)?，所以，解?20.已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若直線、的斜率之和為，試問(wèn)的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）的面積是否存在最大值，且最大值為【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，依據(jù)求出的值，利用三角形的面積公式以及基本不等式可求得面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】解：由已知可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，，同理可得，，，解得，所以，，即，故直線過(guò)定點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的面積存在最大值，且最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特殊是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21.已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）若，證明：對(duì)于隨意，恒成立.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)后，分與兩種狀況分類探討，得到函數(shù)單調(diào)性；（2）放縮后即證對(duì)一切恒成立，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到其單調(diào)性和極值，最值狀況，結(jié)合，得到，所以，證明出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意可得定義域?yàn)镽，.當(dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】證明:因?yàn)?，且，所以，故，則要證對(duì)于隨意恒成立，即證對(duì)于隨意恒成立，即證對(duì)于隨意恒成立，即證對(duì)一切恒成立.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故在處取得極大值，也是最大值，故.因?yàn)?，所以，即，所以，則.故對(duì)一切恒成立，即對(duì)一切恒成立.【點(diǎn)睛】含參不等式的證明，若依據(jù)參數(shù)范圍進(jìn)行適當(dāng)放縮，消去參數(shù)，這樣可以簡(jiǎn)化不等式結(jié)構(gòu)，便于構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行探討，放縮消參是處理含參不等式的常規(guī)技巧，值得學(xué)習(xí)體會(huì)，常用放縮方法有切線放縮，也可結(jié)合題干中參數(shù)取值范圍進(jìn)行放縮.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是.（1）求曲線C的一般方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）已知，設(shè)直線l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為Q，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)同角三角的平方關(guān)系消去參數(shù)可得曲線的一般方程，利用公式可得直線的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的一般方程，用兩點(diǎn)間距離公式求解.【小問(wèn)1詳解】由（為參數(shù)），得，故曲線C的一般方程為.由，得，故直線l的直角坐標(biāo)方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意可知點(diǎn)P在直線l上，則直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線l的參數(shù)