江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次學(xué)情檢測(cè)試題含解析

PAGE20-江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次學(xué)情檢測(cè)試題考試范圍：直線與圓；考試時(shí)間：120分鐘；留意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共40分）1.過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.2.以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.3.若圓C與直線和：都相切，且圓心在直線上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.4.已知圓（、為正實(shí)數(shù)）上隨意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)都在圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.5.下列說(shuō)法正確是（）A.平面內(nèi)全部的直線方程都可以用斜截式來(lái)表示B直線與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為C.在軸、軸上的截距分別為，的直線方程為D.不能表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程6.與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，則等于（）A.0 B.1 C.2 D.37.已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)的該圓的全部弦中，最短弦的長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C.3 D.48.在唐詩(shī)“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個(gè)好玩的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處動(dòng)身，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處動(dòng)身，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營(yíng)，則當(dāng)“將軍飲馬”的總路程最短時(shí)，將軍去往河邊飲馬的行走路途所在的直線方程為（）A. B.C. D.二、多選題（每題5分，共20分）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與直線垂直B.過(guò)點(diǎn)的直線被圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為2．C.直線與圓的位置關(guān)系不確定．D.若直線與圓相交，則點(diǎn)在圓外．10.設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)，且與圓交于兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（）A. B.C. D.11.已知圓，直線，則（）A.圓心坐標(biāo)為 B.圓半徑為3C.直線與圓相交 D.圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為12.已知圓M：，點(diǎn)P是直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，下列說(shuō)法正確的有（）A.圓M上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為 B.切線長(zhǎng)PA的最小值為1C.四邊形AMBP面積的最小值為2 D.直線AB恒過(guò)定點(diǎn)第II卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共20分）13.與圓同時(shí)相切的直線有___________條.14.若直線與直線相互垂直，則被圓截得弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于不同的象限，則l的斜率的取值范圍為_(kāi)_____．16.過(guò)圓O：外一點(diǎn)引直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，直線l的斜率為，則______．四、解答題17.已知中，、、，寫出滿意下列條件的直線方程．（1）BC邊上的高線的方程；（2）BC邊的垂直平分線的方程．18.求滿意條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知，，以為直徑；（2）圓心為點(diǎn)且與直線相切.19.圓的圓心為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：與圓交兩點(diǎn)，且，求．20.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為8．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（2）已知P為軌跡C上的一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線和y軸的距離之和的最小值．21.在以下這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解．①圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②圓心在直線上；③圓截y軸所得弦長(zhǎng)為8且圓心M的坐標(biāo)為整數(shù)．已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)且_____．（1）求圓M方程；（2）求以為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．22.已知直線與圓.（1）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且直線OM，ON的斜率分別為，，則是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．贛榆智賢中學(xué)高二年級(jí)第一學(xué)期第一次學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題考試范圍：直線與圓；考試時(shí)間：120分鐘；命題人：留意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共40分）1.過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平行直線的特點(diǎn)先設(shè)出待求直線方程，代入所過(guò)點(diǎn)可得答案.【詳解】由題意設(shè)所求方程為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以所求直線為.故選：A.2.以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意干脆寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B3.若圓C與直線和：都相切，且圓心在直線上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可設(shè)圓心為，由兩切線可求，再由點(diǎn)到直線距離可求，進(jìn)而求得圓C的方程.【詳解】因?yàn)閳A心在直線上，可設(shè)圓心為，又因?yàn)閳AC與直線和：都相切，兩直線間距離為，則半徑，又由圓心到直線距離得，化簡(jiǎn)得，故，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：B4.已知圓（、為正實(shí)數(shù)）上隨意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)都在圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知直線過(guò)圓心，可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，由題意可知，圓心在直線上，則，可得，則，由已知可得，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.5.下列說(shuō)法正確的是（）A.平面內(nèi)全部的直線方程都可以用斜截式來(lái)表示B.直線與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為C.在軸、軸上的截距分別為，的直線方程為D.不能表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程【答案】D【解析】【分析】干脆利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系及直線的方程推斷各選項(xiàng)即可．【詳解】解：對(duì)于A：斜率存在的直線的方程可以用斜截式表示，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：直線與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在軸、軸上的截距分別為，且不為0的直線方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由方程可知，，即方程表示不過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程，故D正確；故選：D．6.與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，則等于（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】先利用兩個(gè)圓的一般方程得到各自的圓心，通過(guò)題意可得兩個(gè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱，即可得到答案【詳解】解：由可得，所以圓心為，由可得，所以圓心為，因?yàn)榕c圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，所以關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，且半徑相等，所以與的中點(diǎn)在上，即解得，滿意題意，故選：C7.已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)的該圓的全部弦中，最短弦的長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出圓的圓心和半徑，設(shè)，由幾何性質(zhì)得到當(dāng)與圓的弦垂直時(shí)，弦最短，利用垂徑定理求解出最短弦長(zhǎng).【詳解】整理為，故圓心為，半徑為，設(shè)，故當(dāng)與圓的弦垂直時(shí)，弦最短，其中，由垂徑定理得：.故選：B8.在唐詩(shī)“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個(gè)好玩的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處動(dòng)身，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處動(dòng)身，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營(yíng)，則當(dāng)“將軍飲馬”的總路程最短時(shí)，將軍去往河邊飲馬的行走路途所在的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求圓心C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合圖形分析可得.【詳解】軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，即軍營(yíng)在以為圓心，1為半徑的圓內(nèi)和圓上.設(shè)圓心C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B，則，解得.如圖，由對(duì)稱性可知，所以，當(dāng)將軍去往河邊飲馬的行走路途所在的直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)時(shí)，“將軍飲馬”的總路程最短，因?yàn)?，所以該直線方程為，即.故選：B二、多選題（每題5分，共20分）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與直線垂直B.過(guò)點(diǎn)的直線被圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為2．C.直線與圓的位置關(guān)系不確定．D.若直線與圓相交，則點(diǎn)在圓外．【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，推斷兩直線的斜率的乘積是否為，對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的最短弦為當(dāng)弦與圓心和點(diǎn)的連線垂直時(shí)即可，對(duì)于C，先求出直線過(guò)的定點(diǎn)，然后再推斷即可，對(duì)于D，由題意可得，化簡(jiǎn)可得結(jié)論【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橹本€與直線的斜率分別為，且，所以兩直線不垂直，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，圓可化為，圓心，半徑為3，當(dāng)弦與圓心和點(diǎn)的連線垂直時(shí)，弦最短，最短弦長(zhǎng)為，所以B正確，對(duì)于C，直線化為，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)橹本€與圓相交，所以，所以，所以點(diǎn)在圓外，所以D正確，故選：BD10.設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)，且與圓交于兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再分直線的斜率不存在與存在兩種狀況探討，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，依據(jù)圓心到直線的距離，得到方程，解得即可；【詳解】解：圓，即的圓心為，半徑為2，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線方程為：，由得或，此時(shí)符合題意：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，即.由，得圓心到直線的距離.故，解得，直線方程為：，即.故選：AC.11.已知圓，直線，則（）A.圓心坐標(biāo)為 B.圓的半徑為3C.直線與圓相交 D.圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為【答案】BCD【解析】【分析】把圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到直線的距離可推斷直線與圓位置關(guān)系，由圓心到直線的距離加半徑可得圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值．【詳解】轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心，半徑為，故直線與圓相交，圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：BCD．12.已知圓M：，點(diǎn)P是直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，下列說(shuō)法正確的有（）A.圓M上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為 B.切線長(zhǎng)PA的最小值為1C.四邊形AMBP面積的最小值為2 D.直線AB恒過(guò)定點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】利用圓心到直線的距離可推斷A，利用圓的性質(zhì)可得切線長(zhǎng)利用點(diǎn)到直線的距離可推斷B，由題可得四邊形AMBP面積為，可推斷C，由題可知點(diǎn)A，B，在以為直徑的圓上，利用兩圓方程可得直線AB的方程，即可推斷D.【詳解】由圓M：，可知圓心，半徑，∴圓心到直線l：的距離為，圓M上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為，故A錯(cuò)誤；由圓的性質(zhì)可得切線長(zhǎng)，∴當(dāng)最小時(shí)，有最小值，又，∴，故B正確；∵四邊形AMBP面積為，∴四邊形AMBP面積的最小值為1，故C錯(cuò)誤；設(shè)，由題可知點(diǎn)A，B，在以為直徑的圓上，又，所以，即，又圓M：，即，∴直線AB方程為：，即，由，得，即直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，故D正確.故選：BD.第II卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共20分）13.與圓同時(shí)相切的直線有___________條.【答案】【解析】【分析】推斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，由此確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；圓心距，所以兩圓相交，公切線有條.故答案為：14.若直線與直線相互垂直，則被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由兩條直線垂直得，再結(jié)合幾何法求弦長(zhǎng)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以，解得，故，所以圓心到的距離，所以所求弦長(zhǎng)為．故答案為：15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于不同的象限，則l的斜率的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)，依據(jù)圓的方程找到軸線點(diǎn)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求與各軸線點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合法推斷滿意題設(shè)狀況下直線l的范圍.【詳解】記，，，，．當(dāng)，即時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)分別位于第一、三象限，滿意題意；當(dāng)，即時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)分別位于第三、四象限，滿意題意；當(dāng)時(shí)，若直線l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則兩個(gè)交點(diǎn)均在其次象限，不滿意題意；當(dāng)時(shí)，若直線l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則兩個(gè)交點(diǎn)均在第三象限，不滿意題意．綜上，或．故答案為：.16.過(guò)圓O：外一點(diǎn)引直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，直線l的斜率為，則______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式、點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)依據(jù)對(duì)稱性，不妨取直線l的方程為，因?yàn)椋渣c(diǎn)O到直線l的距離為，所以，解得．故答案為：四、解答題17.已知中，、、，寫出滿意下列條件的直線方程．（1）BC邊上的高線的方程；（2）BC邊的垂直平分線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）BC邊上的高線過(guò)點(diǎn)A且垂直于BC，由點(diǎn)斜式即可得解；（2）BC邊的垂直平分線過(guò)BC中點(diǎn)且垂直于BC，由點(diǎn)斜式即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋訠C邊上的高線的斜率，故BC邊上的高線的方程為：,即所求直線方程為：.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋訠C邊上的垂直平分線的斜率，又BC的中點(diǎn)為，故BC邊的垂直平分線的方程為：，即所求直線方程為：.18.求滿意條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知，，以為直徑；（2）圓心為點(diǎn)且與直線相切.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得到圓心，半徑為，即可得到答案.（2）依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解即可.【小問(wèn)1詳解】圓心為的中點(diǎn)，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】點(diǎn)C到直線的距離為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19.圓的圓心為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：與圓交兩點(diǎn)，且，求．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑，再求標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）由題知圓心到直線的距離為，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為，且過(guò)點(diǎn),所以半徑，所以，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)樗裕獾盟?，由圓心到直線距離公式可得．解得或．20.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為8．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（2）已知P為軌跡C上的一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線和y軸的距離之和的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，求出半徑，再依據(jù)弦長(zhǎng)結(jié)合勾股定理列出等式，化簡(jiǎn)即可；（2）畫出圖形，由圖可知的最小值為F到直線的距離，再依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則半徑，又因動(dòng)圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為8，所以，化簡(jiǎn)得，即動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，設(shè)軌跡C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P到直線的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，F(xiàn)到直線的距離為，由拋物線定義，可知，所以，由圖可知的最小值為F到直線的距離，所以，所以的最小值為．21.在以下這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解．①圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②圓心在直線上；③圓截y軸所得弦長(zhǎng)為8且圓心M的坐標(biāo)為整數(shù)．已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)且_____．（