自動控制原理 課件 4.2 繪制根軌跡的基本規(guī)則

4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則4.2.1繪制根軌跡的基本規(guī)則通過根軌跡的繪制規(guī)則可用來求取根軌跡的起點和終點，根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性，實軸上的根軌跡，根軌跡的分離點和匯合點，根軌跡的漸近線，根軌跡的出射角和入射角，根軌跡與虛軸的交點等信息。特別指出是，用這些基本規(guī)則繪出的根軌跡，其相角遵循(2k+1)π條件，因此稱為180°根軌跡，以下的8條繪制規(guī)則稱為180°根軌跡的繪制規(guī)則。規(guī)則1根軌跡的起點與終點根軌跡始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。由根軌跡方程有：（4-2-1）→→

起點→→終點當n≥m時，有m條根軌跡趨向于開環(huán)零點（有限零點），另外n-m條根軌跡將趨于無窮遠處（無限零點）。證明：依據(jù)定義，根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)特征方程的根在s平面上的變化軌跡，由閉環(huán)特征方程可知，其根的數(shù)目即為開環(huán)極點數(shù)，因而根軌跡的分支數(shù)必與開環(huán)極點數(shù)n相等。當K*從零到無窮大連續(xù)變化時，閉環(huán)特征方程的某些系數(shù)也隨之連續(xù)變化，因而特征方程根的變化也必然是連續(xù)的。因為特征方程的根為實數(shù)或為共軛復(fù)數(shù)，所以根軌跡必對稱于實軸。規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)n相等，根軌跡是連續(xù)的且對稱于實軸。規(guī)則3實軸上某區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。證明：設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖。在實軸上任取一試驗點s0代入相角方程，則因為p4、p5為共軛復(fù)數(shù)極點，因而θ4=

θ5

，所以上式滿足相角條件，于是實軸上的點s0在根軌跡上。例4－3設(shè)一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求時的閉環(huán)根軌跡。解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點形式⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次n=2。⑵系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點p1=0，p2=-5，一個開環(huán)零點z1=-1。兩條根軌跡分別始于開環(huán)極點p1和p2，一條終止于有限零點z1，另一條趨于無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是[-1,0]和(-∞,-5]。繪制根軌跡如圖4-2-2所示。圖4-2-2例4-3的根軌跡規(guī)則4根軌跡的漸近線若開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m，則有(n-m)條根軌跡沿著一組直線趨于無窮遠，這些直線稱為根軌跡的漸近線。漸近線與實軸的交點為漸近線與正實軸方向的夾角（傾角）為例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求出根軌跡的漸近線。解：系統(tǒng)有3個開環(huán)極點p1=0，p2=-2，p3=-4，無開環(huán)零點，則有3條根軌跡沿漸近線趨于無窮遠處。漸近線與實軸的交點為漸近線與正實軸方向的夾角為

繪制根軌跡漸近線如圖4-2-3所示。圖4-2-3例4-4根軌跡漸近線

規(guī)則5根軌跡的分離點（或會合點）和分離角（或會合角）兩條或兩條以上根軌跡在s平面上相遇而又分開（或分開后又相遇）的點，稱為根軌跡的分離點（或會合點）。分離點（或會合點）的坐標d是下列方程的解。根軌跡進入分離點切線方向與離開分離點切線方向之間的夾角，稱為分離角（或會合角）。分離角（或會合角）可由(2k+1)π/l決定，l為趨向或離開實軸的根軌跡的分支數(shù)。（4-2-6）設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式（4-2-7）中，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為根軌跡在s平面相遇，說明根軌跡的分離點（或會合點）是系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的重根，設(shè)重根為d，特征方程有重根的條件為另外，將式（4-2-8）和式（4-2-9）交叉相乘可得由式（4-2-10）也可以求出分離點。（4-2-7）（4-2-8）（4-2-9）（4-2-10）如何判斷在s平面上的根軌跡是否有分離點，及分離點可能產(chǎn)生的大概位置？根軌跡的分離點或位于實軸上，或以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面中。一般情況下，常見的根軌跡分離點是位于實軸上的兩條根軌跡的分離點。⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次m=2，有2條根軌跡，1條漸近線。⑵系統(tǒng)有2個開環(huán)極點p1=0，p2=-1，一個開環(huán)零點z1=-2。兩條根軌跡分別始于開環(huán)極點p1和p2，一條終止于有限零點z1，另一條趨于無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是[-1,0]和(-∞,-2]。⑷漸近線與實軸的交點為例4-5已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制概略根軌跡。解：漸近線與正實軸方向的夾角為⑸根軌跡分離點（或會合點）d1=-0.586，d2=-3.414。d1即為所求的根軌跡的分離點（或會合點），d2不在實軸根軌跡區(qū)間內(nèi)，則舍棄。⑹分離點（會合點）的分離角（會合角）均為±90°。繪制根軌跡如圖4-2-4所示。

規(guī)則6根軌跡的出射角和入射角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角稱為出射角，記為。根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角稱為入射角，記為。根據(jù)根軌跡的相角條件可求出（4-2-11）（4-2-12）例4-6已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，試繪制概略根軌跡。解：⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=3，分母的階次n=4，有4條根軌跡，1條漸近線。⑵系統(tǒng)有4個開環(huán)極點p1=0，p2,3=-0.5±j1.5，p4=-2.5，3個開環(huán)零點z1=-1.5，z2,3=-2±j。4條根軌跡分別始于4個開環(huán)極點p1、p2、p3和p4，終止于開環(huán)零點z1、z2、z3和無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-2.5]和[-1.5,0]。⑷根軌跡的出射角和入射角根軌跡在p2處的出射角根據(jù)對稱性，則根軌跡在z2處的入射角根據(jù)對稱性，則根軌跡的出射角和入射角如圖4-2-5所示，繪制根軌跡如圖4-2-6所示。規(guī)則7根軌跡與虛軸的交點若根軌跡與虛軸相交，則交點處的K*和對應(yīng)的ω值可用勞斯判據(jù)求得，或者令閉環(huán)特征方程中的s=jω，然后分別使其實部和虛部為零求得。根軌跡和虛軸交點表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時K*稱為臨界根軌跡增益。例4-7已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，試繪制概略根軌跡。解：⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3，有3條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有3個開環(huán)極點p1=0，p2,3=-1±j，無開環(huán)零點。3條根軌跡分別始于3個開環(huán)極點p1、p2和p3，終止于無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,0]。⑷漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為

⑸根軌跡無分離點（或會合點）。⑹根軌跡的出射角

根據(jù)對稱性，則⑺根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為方法一列勞斯表為根據(jù)勞斯表可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為0<K*<4，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時K*=4，將其帶入輔助方程F(s)=2s2+K*=0求得。因此，根軌跡與虛軸交點為，對應(yīng)的K*=4為臨界根軌跡增益。方法二令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程得根據(jù)顯然，兩種方法的計算結(jié)果一致。繪制根軌跡如圖4-2-7所示。規(guī)則8根之和與根之積若系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可以表示如下式（4-2-13）中，zi、pj分別為開環(huán)零、極點；sj為閉環(huán)極點，則有如下結(jié)論：⑴閉環(huán)特征根的負值之和，等于閉環(huán)特征方程式的第二項系數(shù)a1。若(n-m)≥2，根之和與開環(huán)根軌跡增益K*無關(guān)。⑵閉環(huán)特征根之積乘以(-1)n，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項an。（4-2-13）上述的結(jié)論可以表示為

式（4-2-14）表明，當K*由0→∞變化時，若一部分閉環(huán)極點在復(fù)平面向左移動，另外一部分必然向右移動，使其根之和保持不變。另外，當根軌跡增益K*為確定值時，若已知某些閉環(huán)極點，則應(yīng)用根之和與根之積的關(guān)系可以確定出其他閉環(huán)極點。（4-2-14）例4-8已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，試繪制概略根軌跡，并求臨界根軌跡增益及該增益對應(yīng)的閉環(huán)極點。解：⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=0，分母的階次n=3。有3條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有3個開環(huán)極點p1=0，p2=-1

，p3=-10

，無開環(huán)零點。三條根軌跡分別始于3個開環(huán)極點p1、p2和p3，終止于無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是[-1,0]，(-∞,-10]。⑷漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為

⑸根軌跡分離點（或會合點）解得d1=-0.49,d2=-6.85（舍去）。由于滿足(n-m)≥2，閉環(huán)根之和為常數(shù)。當K*增大時，若一只根軌跡向左移動，則另外兩支根軌跡應(yīng)該向右移動，因此分離點│d│<0.5是合理的。⑹根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令s=jω，帶入閉環(huán)特征方程得根據(jù)可得，因此，根軌跡與虛軸交點為，對應(yīng)的K*=110。當0<K*<110時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，K*=110為臨界根軌跡增益。求得。因此，根軌跡增益K*對應(yīng)的3個閉環(huán)極點為和。根軌跡與虛軸的交點為對應(yīng)的兩個閉環(huán)極點，第3個閉環(huán)極點可由根之和規(guī)則求得，即繪制根軌跡如圖4-2-8所示。例4-9已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制概略根軌跡。解：

⑴開環(huán)傳遞函數(shù)分子的階次m=1，分母的階次n=4。有4條根軌跡，3條漸近線。⑵系統(tǒng)有4個開環(huán)極點p1=0，p2=1，，1個開環(huán)零點z1=-1。4條根軌跡分別始于4個開環(huán)極點p1、p2、p3和p4，終止于開環(huán)零點z1和無窮遠處。⑶實軸上，根軌跡區(qū)間是(-∞,-1],[0,1]。⑷漸近線與實軸的交點為

漸近線與正實軸方向的夾角為

⑸根軌跡分離點（或會合點）解得

（舍去）⑹根軌跡的出射角

根據(jù)對稱性，則⑺根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表為

令s1行的元素全為零，即

求得將其帶入輔助方程求得根軌跡與虛軸交點和繪制根軌跡如圖4-2-10所示。

4.2.2MATLAB實現(xiàn)根軌跡法是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的一種圖解方法，依據(jù)根軌跡規(guī)則可以較為簡便地手工繪制概略根軌跡，應(yīng)用MATLAB軟件可以繪制精確的根軌跡圖。常見的繪制根軌跡函數(shù)包括rlocus、rlocfind和sgrid等。rlocus:繪制系統(tǒng)根軌跡的函數(shù)rlocfind:計算與根軌跡上極點相對應(yīng)的根軌跡增益函數(shù)sgrid:為連續(xù)時間系統(tǒng)的根軌跡添加網(wǎng)格線，包括等阻尼比線和等自然頻率線函數(shù)1.函數(shù)rlocus()在MATLAB中，提供了繪制系統(tǒng)根軌跡的函數(shù)rlocus()，其調(diào)用格式如下。rlocus(sys)%繪制系統(tǒng)sys的根軌跡rlocus(sys,k)%增益向量k由用戶指定rlocus(sys1,sys2,…)%在同一個繪圖窗口中繪制模型sys1,sys2,…的根軌跡[r,k]=rlocus(sys)%計算sys的根軌跡數(shù)據(jù)值，返回值k為增益向量，r為閉環(huán)極點向量，但不繪制根軌跡r=rlocus(sys,k)%計算sys的根軌跡數(shù)據(jù)值，增益向量k由用戶指定2.函數(shù)rlocfind()在MATLAB中，提供了計算與根軌跡上極點相對應(yīng)的根軌跡增益函數(shù)rlocfind()，其調(diào)用格式如下。[k,poles]=rlocfind(sys)%求取根軌跡上指定點的增益k，并將顯示%該增益下所有的閉環(huán)極點poles。[k,poles]=rlocfind(sys,p)%對給定p計算返回對應(yīng)的增益k和k所

%對應(yīng)的全部極點poles。3.函數(shù)sgrid()在MATLAB中，提供了為連續(xù)時間系統(tǒng)的根軌跡添加網(wǎng)格線，包括等阻尼比線和等自然頻率線函數(shù)sgrid()，其調(diào)用格式如下。sgrid%為根軌跡添加網(wǎng)格線sgrid(z,wn)%為根軌跡添加網(wǎng)格線，等阻尼比范圍和等自然頻率%范圍分別由向量z和wn指定。說明：缺省情況下，等阻尼比步長為0.1，范圍0-1。等自然頻率步長為1，范圍為0-10，也可以由向量z和wn分別指定其范圍。例4-10已知單位負反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),