自動(dòng)控制原理 課件 7.3 變換

7.3

z

變換

在線性連續(xù)系統(tǒng)中，以拉普拉斯變換作為數(shù)學(xué)工具，將系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，建立了以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，使得分析問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。與此類(lèi)似，在線性離散系統(tǒng)中，采用

z變換作為數(shù)學(xué)工具，將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，可以建立以脈沖傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。由此可見(jiàn)，z變換是分析離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具，它是從拉普拉斯變換直接引申出來(lái)的一種變換方法，與拉普拉斯變換有很多相似之處。7.3.1

z

變換定義

連續(xù)信號(hào)

f(t)

通過(guò)采樣周期為T(mén)的理想采樣后可得到采樣信號(hào)

f*(t)，其表達(dá)式為對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得令,代入上式可得

將上式展開(kāi)，得由此看出，采樣信號(hào)的z變換是復(fù)變量

z

的冪級(jí)數(shù)。其一般項(xiàng)

有明確的物理意義

f(kT)表征采樣脈沖的幅值；z

的冪次表征采樣脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻。7.3.2z

變換方法求離散時(shí)間函數(shù)的

z變換有多種方法，下面只介紹常用的兩種方法。

1.級(jí)數(shù)求和法

級(jí)數(shù)求和法是根據(jù)

z變換的定義式求函數(shù)

f

*(t)

的

z變換。只有當(dāng)

F(z)表達(dá)式的無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂時(shí)，才可表示為封閉形式。下面通過(guò)求解典型信號(hào)的

z變換來(lái)說(shuō)明如何應(yīng)用級(jí)數(shù)求和法計(jì)算z變換。解：例7-1

試求單位階躍函數(shù)

f(t)=1(t)的

z變換

F(z)

。

由

z變換定義可得這是一個(gè)公比為

的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)

，即

時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則可寫(xiě)成閉合形式為解：由

z變換定義可得例7-2試求理想單位脈沖序列

的

z變換

F(z)

。

比較例7-

1和例7-2可以看出，不同的

f(t)

可以得到相同的

F(z)。這是由于單位階躍信號(hào)采樣后與理想單位脈沖序列是一樣的，所以z變換只是對(duì)采樣點(diǎn)上的信息有效，只要采樣信號(hào)

f*(t)相同，

F(z)就相同，但采樣前的f(t)

可以是不同的。這是利用

z

變換法分析離散系統(tǒng)時(shí)特別要注意的一個(gè)問(wèn)題。解：由

z變換定義可得單位斜坡信號(hào)的

z變換為例7-3求單位斜坡信號(hào)

f(t)=t

的

z變換

F(z)

。

由例7-1可知兩邊對(duì)

z求導(dǎo)，得兩邊同乘-Tz

，便得單位斜坡信號(hào)的

z變換解：例7-4試求指數(shù)函數(shù)

的

z變換F(z)

變換。由

z變換定義可得這是一個(gè)公比為

的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)

，即

時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則可寫(xiě)成閉合形式為解：由

z變換定義可得例7-5試求指數(shù)序列

的

z變換F(z)

變換。值得注意的是，由于大多數(shù)工程問(wèn)題中的

z變換都存在，因此今后對(duì)

z

變換的收斂區(qū)間不再特別指出。教材表7-3-1列出了常用時(shí)間函數(shù)的

z變換，以供查詢。解：先對(duì)

F(s)

進(jìn)行部分分式分解2.部分分式法已知時(shí)間函數(shù)

f(t)的拉普拉斯變換

F(s)，將其分解成部分分式之和，通過(guò)查

z變換表可求出F(z)

。例7-6已知

，試求

z變換F(z)

。查

z變換表得7.3.3

z

變換基本定理z變換與拉普拉斯變換類(lèi)似，在z變換中有一些基本定理，它們可以使z變換應(yīng)用變得簡(jiǎn)單和方便。

1.線性定理如果

，,a和b是常數(shù)，則2.實(shí)數(shù)位移定理如果函數(shù)

f(t)

是可拉普拉斯變換的，其

z變換為F(z)，則有

(1)滯后定理(2)超前定理3.復(fù)數(shù)位移定理如果函數(shù)

f(t)

是可拉普拉斯變換的，其

z變換為F(z)，則有

4.初值定理如果

，且

存在，則5.終值定理如果

，且

存在，則7.3.4

z

反變換所謂

z反變換，是已知z變換表達(dá)式

F

(z)，求相應(yīng)離散序列

f(kT)的過(guò)程。記為

由于

F

(z)只含有連續(xù)信號(hào)

f(t)

在采樣時(shí)刻的信息，因而通過(guò)

z反變只能求得連續(xù)信號(hào)

f(t)

在采樣時(shí)刻的數(shù)值

f*(t)或離散序列

f(kT)。求

z反變換一般有三種方法，分別為長(zhǎng)除法、部分分式法和留數(shù)法。1.長(zhǎng)除法通常

F

(z)是

z

的有理分式，將F

(z)的分子和分母分別表示為按

z-1

升冪排列的多項(xiàng)式，即將上式分母除分子，得到冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式

由

z變換定義可知，式中系數(shù)

ck

恰為采樣信號(hào)

f*(t)的脈沖強(qiáng)度

f

(kT)。因此，利用長(zhǎng)除法即可獲得與

F(z)

對(duì)應(yīng)的離散序列

f(kT)或采樣信號(hào)

f*(t)。

此法在實(shí)際中應(yīng)用較為方便，但通常只能計(jì)算有限

n項(xiàng)，要得到

f(kT)的一般表達(dá)式較為困難。解：例7-7已知

，試用長(zhǎng)除法求

F(z)

的

z反變換。將

F(z)的分子和分母表示為

的升冪形式

應(yīng)用長(zhǎng)除法，即F(z)可寫(xiě)成

可得離散序列可得采樣信號(hào)2.部分分式法假設(shè)

F(z)僅含有單實(shí)極點(diǎn)

p1

,p2,…,

pn

，則

可展成其中求

z反變換，得解：因?yàn)閷⑵湔归_(kāi)為部分分式例7-8已知

，試用部分分式法求

F(z)

的

z反變換。其中：由此得兩邊分別求

z反變換，得兩邊同乘以z，得

3.留數(shù)法

在實(shí)際問(wèn)題中遇到的

z變換函數(shù)

F(z)，除了有理分式外，也可能是超越函數(shù)，無(wú)法應(yīng)用部分分式法或長(zhǎng)除法來(lái)求z反變換，此時(shí)采用留數(shù)法較為方便。

由

z變換定義有

根據(jù)柯西留數(shù)定理有式中

n是

的極點(diǎn)個(gè)數(shù)；

表示函數(shù)

在極點(diǎn)pj

處的留數(shù)。

當(dāng)

pj

為單極點(diǎn)時(shí)，留數(shù)為當(dāng)

pj

為

m

單極點(diǎn)時(shí)，留數(shù)為解：因?yàn)闃O點(diǎn)處的留數(shù)為故

例7-9已知

，試用留數(shù)法求

F(z)

的

z反變換。解：因?yàn)槔?-10已知

，試用留數(shù)法求

F(z)

的

z反變換。在

處為單極點(diǎn)，其留數(shù)為在

處為二重極點(diǎn)，其留數(shù)為故

7.3.5差分方程

微分方程是描述連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型，而差分方程則是描述離散系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型。如同用拉普拉斯變換法求解微分方程一樣，在離散系統(tǒng)中常用

z

變換法求解差分方程。1.差分的定義

假設(shè)連續(xù)函數(shù)為

f(t)，其采樣后的離散序列為

f(kT)，通常為書(shū)寫(xiě)方便，常將T略去，即f(kT)簡(jiǎn)寫(xiě)為f(k)，則一階后向差分定義為n階后向差分定義為二階后向差分定義為同理，一階前向差分定義為n階前向差分定義為二階前向差分定義為2.線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式

對(duì)于一般的線性定常離散系統(tǒng)，假設(shè)

c(k)

表示當(dāng)前時(shí)刻的輸出，r

(k)表示當(dāng)前時(shí)刻的輸入，系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系可用n階后向差分方程表示為線性定常離散系統(tǒng)還可以用

n階前向差分方程來(lái)描述，其表達(dá)式為

實(shí)際上，后向差分方程和前向差分方程并無(wú)本質(zhì)區(qū)別，前向差分方程多用于描述非零初始值的離散系統(tǒng)，后向差分方程多用于描述全零初始值的離散系統(tǒng)。若不考慮初始值，就系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系而言，兩者完全等價(jià)。3.差分方程的求解

差分方程的求解通常采用迭代法和z變換法。（1）迭代法

若已知差分方程，并且給定輸入序列以及輸出序列的初始值，就可以利用遞推關(guān)系，逐步迭代計(jì)算出輸出序列。例7-11已知某離散系統(tǒng)的差分方程為輸入序列

，初始條件

，用迭代法求輸出序列

。解：根據(jù)遞推關(guān)系以及初始條件，可得（2）z

變換法

用

z變換法求解差分方程與連續(xù)系統(tǒng)用拉普拉斯變換法求解微分方程類(lèi)似。在給定初始條件下，對(duì)差分方程兩邊取

z變換，利用實(shí)數(shù)位移定理，將差分方程轉(zhuǎn)換為以

z

為變量的代數(shù)方程，再通過(guò)

z反變換，便可求出輸出序列c(k)

。

解：差分方程兩邊取

z變換，有例7-12已知某離散系統(tǒng)的差分方程為輸入序列

，初始條件

，用迭代法求輸出序列

。將初始條件代入上式，整理可得因故輸出序列為

7.3.6MATLAB實(shí)現(xiàn)在MATLAB中，提供了求解變換的函數(shù)ztrans()，其調(diào)用格式如下1.求z

變換F=ztrans(f)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)f(n)的z變換，默認(rèn)返回函數(shù)F是關(guān)于z的函數(shù)F=ztrans(f,w)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)f(n)的z變換，返回函數(shù)F是關(guān)于w的函數(shù)F=ztrans(f,k,w)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)f(k)的z變換，返回函數(shù)F是關(guān)于w的函數(shù)解：MATLAB程序如下。clc;clearsymsakTf1=a^k;F1=ztrans(f1)f2=10*exp(-5*k*T)-10*exp(-10*k*T);F2=ztrans(f2)例7-13

求和的

z變換。執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為即F1=-z/(a-z)F2=(10*z)/(z-exp(-5*T))-(10*z)/(z-exp(-10*T))在MATLAB中，提供了求解反變換的函數(shù)iztrans()，其調(diào)用格式如下。2.求

z

反變換f=iztrans(F)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)F(z)的z反變換，默認(rèn)返回函數(shù)f是關(guān)于n的函數(shù)f=iztrans(F,k)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)F(z)的z反變換，返回函數(shù)f是關(guān)于k的函數(shù)f=iztrans(F,w,k)%實(shí)現(xiàn)函數(shù)F(w)的z反變換，返回函數(shù)f是關(guān)于k的函數(shù)解：MATLAB程序如下。clc;clearsymskzFz=(2*z^2)/(z+1)/(z+2);f=iztrans(Fz,k)例7-14

求的

z

反變換。執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為f=4*(-2)^k-2*(-1)^k即解：