自動控制原理 課件 7.3 變換

7.3

z

變換

在線性連續(xù)系統(tǒng)中，以拉普拉斯變換作為數(shù)學(xué)工具，將系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，建立了以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，使得分析問題得以簡化。與此類似，在線性離散系統(tǒng)中，采用

z變換作為數(shù)學(xué)工具，將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，可以建立以脈沖傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。由此可見，z變換是分析離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具，它是從拉普拉斯變換直接引申出來的一種變換方法，與拉普拉斯變換有很多相似之處。7.3.1

z

變換定義

連續(xù)信號

f(t)

通過采樣周期為T的理想采樣后可得到采樣信號

f*(t)，其表達式為對上式進行拉普拉斯變換，得令,代入上式可得

將上式展開，得由此看出，采樣信號的z變換是復(fù)變量

z

的冪級數(shù)。其一般項

有明確的物理意義

f(kT)表征采樣脈沖的幅值；z

的冪次表征采樣脈沖出現(xiàn)的時刻。7.3.2z

變換方法求離散時間函數(shù)的

z變換有多種方法，下面只介紹常用的兩種方法。

1.級數(shù)求和法

級數(shù)求和法是根據(jù)

z變換的定義式求函數(shù)

f

*(t)

的

z變換。只有當(dāng)

F(z)表達式的無窮級數(shù)收斂時，才可表示為封閉形式。下面通過求解典型信號的

z變換來說明如何應(yīng)用級數(shù)求和法計算z變換。解：例7-1

試求單位階躍函數(shù)

f(t)=1(t)的

z變換

F(z)

。

由

z變換定義可得這是一個公比為

的等比級數(shù)，當(dāng)

，即

時，級數(shù)收斂，則可寫成閉合形式為解：由

z變換定義可得例7-2試求理想單位脈沖序列

的

z變換

F(z)

。

比較例7-

1和例7-2可以看出，不同的

f(t)

可以得到相同的

F(z)。這是由于單位階躍信號采樣后與理想單位脈沖序列是一樣的，所以z變換只是對采樣點上的信息有效，只要采樣信號

f*(t)相同，

F(z)就相同，但采樣前的f(t)

可以是不同的。這是利用

z

變換法分析離散系統(tǒng)時特別要注意的一個問題。解：由

z變換定義可得單位斜坡信號的

z變換為例7-3求單位斜坡信號

f(t)=t

的

z變換

F(z)

。

由例7-1可知兩邊對

z求導(dǎo)，得兩邊同乘-Tz

，便得單位斜坡信號的

z變換解：例7-4試求指數(shù)函數(shù)

的

z變換F(z)

變換。由

z變換定義可得這是一個公比為

的等比級數(shù)，當(dāng)

，即

時，級數(shù)收斂，則可寫成閉合形式為解：由

z變換定義可得例7-5試求指數(shù)序列

的

z變換F(z)

變換。值得注意的是，由于大多數(shù)工程問題中的

z變換都存在，因此今后對

z

變換的收斂區(qū)間不再特別指出。教材表7-3-1列出了常用時間函數(shù)的

z變換，以供查詢。解：先對

F(s)

進行部分分式分解2.部分分式法已知時間函數(shù)

f(t)的拉普拉斯變換

F(s)，將其分解成部分分式之和，通過查

z變換表可求出F(z)

。例7-6已知

，試求

z變換F(z)

。查

z變換表得7.3.3

z

變換基本定理z變換與拉普拉斯變換類似，在z變換中有一些基本定理，它們可以使z變換應(yīng)用變得簡單和方便。

1.線性定理如果

，,a和b是常數(shù)，則2.實數(shù)位移定理如果函數(shù)

f(t)

是可拉普拉斯變換的，其

z變換為F(z)，則有

(1)滯后定理(2)超前定理3.復(fù)數(shù)位移定理如果函數(shù)

f(t)

是可拉普拉斯變換的，其

z變換為F(z)，則有

4.初值定理如果

，且

存在，則5.終值定理如果

，且

存在，則7.3.4

z

反變換所謂

z反變換，是已知z變換表達式

F

(z)，求相應(yīng)離散序列

f(kT)的過程。記為

由于

F

(z)只含有連續(xù)信號

f(t)

在采樣時刻的信息，因而通過

z反變只能求得連續(xù)信號

f(t)

在采樣時刻的數(shù)值

f*(t)或離散序列

f(kT)。求

z反變換一般有三種方法，分別為長除法、部分分式法和留數(shù)法。1.長除法通常

F

(z)是

z

的有理分式，將F

(z)的分子和分母分別表示為按

z-1

升冪排列的多項式，即將上式分母除分子，得到冪級數(shù)的展開式

由

z變換定義可知，式中系數(shù)

ck

恰為采樣信號

f*(t)的脈沖強度

f

(kT)。因此，利用長除法即可獲得與

F(z)

對應(yīng)的離散序列

f(kT)或采樣信號

f*(t)。

此法在實際中應(yīng)用較為方便，但通常只能計算有限

n項，要得到

f(kT)的一般表達式較為困難。解：例7-7已知

，試用長除法求

F(z)

的

z反變換。將

F(z)的分子和分母表示為

的升冪形式

應(yīng)用長除法，即F(z)可寫成

可得離散序列可得采樣信號2.部分分式法假設(shè)

F(z)僅含有單實極點

p1

,p2,…,

pn

，則

可展成其中求

z反變換，得解：因為將其展開為部分分式例7-8已知

，試用部分分式法求

F(z)

的

z反變換。其中：由此得兩邊分別求

z反變換，得兩邊同乘以z，得

3.留數(shù)法

在實際問題中遇到的

z變換函數(shù)

F(z)，除了有理分式外，也可能是超越函數(shù)，無法應(yīng)用部分分式法或長除法來求z反變換，此時采用留數(shù)法較為方便。

由

z變換定義有

根據(jù)柯西留數(shù)定理有式中

n是

的極點個數(shù)；

表示函數(shù)

在極點pj

處的留數(shù)。

當(dāng)

pj

為單極點時，留數(shù)為當(dāng)

pj

為

m

單極點時，留數(shù)為解：因為極點處的留數(shù)為故

例7-9已知

，試用留數(shù)法求

F(z)

的

z反變換。解：因為例7-10已知

，試用留數(shù)法求

F(z)

的

z反變換。在

處為單極點，其留數(shù)為在

處為二重極點，其留數(shù)為故

7.3.5差分方程

微分方程是描述連續(xù)系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型，而差分方程則是描述離散系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型。如同用拉普拉斯變換法求解微分方程一樣，在離散系統(tǒng)中常用

z

變換法求解差分方程。1.差分的定義

假設(shè)連續(xù)函數(shù)為

f(t)，其采樣后的離散序列為

f(kT)，通常為書寫方便，常將T略去，即f(kT)簡寫為f(k)，則一階后向差分定義為n階后向差分定義為二階后向差分定義為同理，一階前向差分定義為n階前向差分定義為二階前向差分定義為2.線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式

對于一般的線性定常離散系統(tǒng)，假設(shè)

c(k)

表示當(dāng)前時刻的輸出，r

(k)表示當(dāng)前時刻的輸入，系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系可用n階后向差分方程表示為線性定常離散系統(tǒng)還可以用

n階前向差分方程來描述，其表達式為

實際上，后向差分方程和前向差分方程并無本質(zhì)區(qū)別，前向差分方程多用于描述非零初始值的離散系統(tǒng)，后向差分方程多用于描述全零初始值的離散系統(tǒng)。若不考慮初始值，就系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系而言，兩者完全等價。3.差分方程的求解

差分方程的求解通常采用迭代法和z變換法。（1）迭代法

若已知差分方程，并且給定輸入序列以及輸出序列的初始值，就可以利用遞推關(guān)系，逐步迭代計算出輸出序列。例7-11已知某離散系統(tǒng)的差分方程為輸入序列

，初始條件

，用迭代法求輸出序列

。解：根據(jù)遞推關(guān)系以及初始條件，可得（2）z

變換法

用

z變換法求解差分方程與連續(xù)系統(tǒng)用拉普拉斯變換法求解微分方程類似。在給定初始條件下，對差分方程兩邊取

z變換，利用實數(shù)位移定理，將差分方程轉(zhuǎn)換為以

z

為變量的代數(shù)方程，再通過

z反變換，便可求出輸出序列c(k)

。

解：差分方程兩邊取

z變換，有例7-12已知某離散系統(tǒng)的差分方程為輸入序列

，初始條件

，用迭代法求輸出序列

。將初始條件代入上式，整理可得因故輸出序列為

7.3.6MATLAB實現(xiàn)在MATLAB中，提供了求解變換的函數(shù)ztrans()，其調(diào)用格式如下1.求z

變換F=ztrans(f)%實現(xiàn)函數(shù)f(n)的z變換，默認返回函數(shù)F是關(guān)于z的函數(shù)F=ztrans(f,w)%實現(xiàn)函數(shù)f(n)的z變換，返回函數(shù)F是關(guān)于w的函數(shù)F=ztrans(f,k,w)%實現(xiàn)函數(shù)f(k)的z變換，返回函數(shù)F是關(guān)于w的函數(shù)解：MATLAB程序如下。clc;clearsymsakTf1=a^k;F1=ztrans(f1)f2=10*exp(-5*k*T)-10*exp(-10*k*T);F2=ztrans(f2)例7-13

求和的

z變換。執(zhí)行該程序，運行結(jié)果為即F1=-z/(a-z)F2=(10*z)/(z-exp(-5*T))-(10*z)/(z-exp(-10*T))在MATLAB中，提供了求解反變換的函數(shù)iztrans()，其調(diào)用格式如下。2.求

z

反變換f=iztrans(F)%實現(xiàn)函數(shù)F(z)的z反變換，默認返回函數(shù)f是關(guān)于n的函數(shù)f=iztrans(F,k)%實現(xiàn)函數(shù)F(z)的z反變換，返回函數(shù)f是關(guān)于k的函數(shù)f=iztrans(F,w,k)%實現(xiàn)函數(shù)F(w)的z反變換，返回函數(shù)f是關(guān)于k的函數(shù)解：MATLAB程序如下。clc;clearsymskzFz=(2*z^2)/(z+1)/(z+2);f=iztrans(Fz,k)例7-14

求的

z

反變換。執(zhí)行該程序，運行結(jié)果為f=4*(-2)^k-2*(-1)^k即解：