復合函數(shù)單調(diào)性課件

復合函數(shù)單調(diào)性復合函數(shù)單調(diào)性是數(shù)學中一個重要的概念，它描述了復合函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性變化規(guī)律。理解復合函數(shù)單調(diào)性有助于我們更深入地理解函數(shù)的性質(zhì)，并能夠更好地解決相關(guān)問題。什么是復合函數(shù)？定義當一個函數(shù)的輸出值作為另一個函數(shù)的輸入值時，這兩個函數(shù)就組成了一個復合函數(shù)。表達式如果函數(shù)f的定義域為A，函數(shù)g的定義域為B，且f(A)包含于B，則稱g(f(x))為f和g的復合函數(shù)。表示方法通常用符號“o”表示復合函數(shù)，即g(f(x))=gof(x)。復合函數(shù)的概念復合函數(shù)是由兩個或多個函數(shù)組合而成的函數(shù)。一個函數(shù)的輸出作為另一個函數(shù)的輸入。例如，函數(shù)f(x)=x^2和函數(shù)g(x)=x+2可以組合成一個復合函數(shù)h(x)=f(g(x))，即h(x)=(x+2)^2。復合函數(shù)的定義域是滿足g(x)在f(x)的定義域內(nèi)且g(x)在自身定義域內(nèi)的x的值。復合函數(shù)的值是將g(x)的值代入f(x)中得到的。復合函數(shù)的性質(zhì)可導性如果內(nèi)層函數(shù)在定義域內(nèi)可導，外層函數(shù)在其對應值域內(nèi)可導，那么復合函數(shù)在其定義域內(nèi)可導。單調(diào)性復合函數(shù)的單調(diào)性與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)。如果內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)都單調(diào)遞增或都單調(diào)遞減，那么復合函數(shù)單調(diào)遞增。如果內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)一個單調(diào)遞增，另一個單調(diào)遞減，那么復合函數(shù)單調(diào)遞減。奇偶性復合函數(shù)的奇偶性取決于內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的奇偶性。如果內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)都是奇函數(shù)或都是偶函數(shù)，那么復合函數(shù)是偶函數(shù)。如果內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)，那么復合函數(shù)是奇函數(shù)。周期性如果內(nèi)層函數(shù)是周期函數(shù)，那么復合函數(shù)也是周期函數(shù)，但周期可能與內(nèi)層函數(shù)的周期不同。求復合函數(shù)的導數(shù)1鏈式法則復合函數(shù)的導數(shù)等于外函數(shù)對內(nèi)函數(shù)的導數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導數(shù)。2公式設(shè)y=f(u),u=g(x),則y=f(g(x))的導數(shù)為dy/dx=f'(u)*g'(x).3應用鏈式法則廣泛應用于求解復合函數(shù)的導數(shù)，例如多層嵌套的函數(shù)。鏈式法則對于理解和計算復合函數(shù)的導數(shù)至關(guān)重要。它提供了求解復合函數(shù)導數(shù)的系統(tǒng)方法。復合函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞增函數(shù)圖像從左到右上升，則函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)。單調(diào)遞減函數(shù)圖像從左到右下降，則函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。單調(diào)性復合函數(shù)的單調(diào)性取決于內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性。判斷復合函數(shù)單調(diào)性的步驟第一步：求導分別求出內(nèi)外函數(shù)的導數(shù)，并確定其定義域。第二步：分析導數(shù)符號分析內(nèi)外函數(shù)導數(shù)的符號，并在其定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性。第三步：綜合判斷結(jié)合內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，確定復合函數(shù)的單調(diào)性。舉例1：f(x)=x^2,g(x)=x+2此例中，f(x)=x^2，g(x)=x+2。根據(jù)復合函數(shù)的定義，我們可以得到復合函數(shù)h(x)=f(g(x))=(x+2)^2。接下來，我們將使用單調(diào)性判斷步驟來分析復合函數(shù)的單調(diào)性。解析步驟1：求f'(x)和g'(x)1求f'(x)對函數(shù)f(x)求導，得到導函數(shù)f'(x)。2求g'(x)對函數(shù)g(x)求導，得到導函數(shù)g'(x)。3示例例如，對于f(x)=x^2，求f'(x)=2x;對于g(x)=x+2，求g'(x)=1。解析步驟2：判斷f'(x)和g'(x)的符號1求f'(x)的符號判斷f'(x)在定義域上的正負性2求g'(x)的符號判斷g'(x)在定義域上的正負性3綜合分析根據(jù)f'(x)和g'(x)的符號得出復合函數(shù)的單調(diào)性解析步驟3：綜合f'(x)和g'(x)的符號得出結(jié)論1復合函數(shù)的單調(diào)性通過分析f'(x)和g'(x)的符號，可以得出復合函數(shù)h(x)的單調(diào)性。2f'(x)和g'(x)同號當f'(x)和g'(x)符號一致時，復合函數(shù)h(x)的單調(diào)性與它們相同。3f'(x)和g'(x)異號當f'(x)和g'(x)符號相反時，復合函數(shù)h(x)的單調(diào)性與f'(x)的符號相反。舉例2：f(x)=-x^2,g(x)=x+3在本例中，f(x)=-x^2，g(x)=x+3。f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減。g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。因此，復合函數(shù)h(x)=f(g(x))=-(x+3)^2在(-∞,-3)上單調(diào)遞增，在(-3,+∞)上單調(diào)遞減。解析步驟1：求f'(x)和g'(x)求f'(x)首先，求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)。求g'(x)然后，求出函數(shù)g(x)的導數(shù)g'(x)。準備下一步完成f'(x)和g'(x)的求解后，我們將進行下一步，分析f'(x)和g'(x)的符號。解析步驟2：判斷f'(x)和g'(x)的符號1確定f'(x)符號根據(jù)f(x)的表達式，判斷f'(x)在定義域內(nèi)的符號2確定g'(x)符號根據(jù)g(x)的表達式，判斷g'(x)在定義域內(nèi)的符號3確定復合函數(shù)導數(shù)符號根據(jù)f'(x)和g'(x)的符號，綜合判斷復合函數(shù)導數(shù)在定義域內(nèi)的符號解析步驟3：綜合f'(x)和g'(x)的符號得出結(jié)論1判斷符號確定f'(x)和g'(x)的符號變化2綜合判斷根據(jù)f'(x)和g'(x)的符號，判斷復合函數(shù)的單調(diào)性3得出結(jié)論確定復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間根據(jù)f'(x)和g'(x)的符號變化，我們可以確定復合函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性。例如，如果f'(x)>0且g'(x)>0，則f(g(x))在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。相反，如果f'(x)<0且g'(x)>0，則f(g(x))在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的。舉例3：f(x)=ln(x),g(x)=x^2本例中，f(x)=ln(x)的定義域為(0,+∞)，g(x)=x^2的定義域為(-∞,+∞)。復合函數(shù)h(x)=f(g(x))=ln(x^2)的定義域為x≠0。解析步驟1：求f'(x)和g'(x)1f(x)=ln(x)求f(x)的導數(shù)，使用導數(shù)公式：ln(x)的導數(shù)為1/x。2g(x)=x^2求g(x)的導數(shù)，使用導數(shù)公式：x^n的導數(shù)為nx^(n-1)。3計算結(jié)果f'(x)=1/x，g'(x)=2x。解析步驟2：判斷f'(x)和g'(x)的符號求導數(shù)f'(x)=1/x,g'(x)=2x。判斷符號當x>0時，f'(x)>0,g'(x)>0；當x<0時，f'(x)<0,g'(x)<0。綜合分析可知，f'(x)和g'(x)的符號在x>0和x<0時都相同。解析步驟3：綜合f'(x)和g'(x)的符號得出結(jié)論1f'(x)>0g'(x)>02f'(x)<0g'(x)<03f'(x)>0g'(x)<04f'(x)<0g'(x)>0根據(jù)f'(x)和g'(x)的符號，我們可以推斷復合函數(shù)h'(x)的符號，進而判斷復合函數(shù)h(x)的單調(diào)性。例如，當f'(x)>0且g'(x)>0時，h'(x)>0，則h(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。復合函數(shù)單調(diào)性的應用優(yōu)化問題尋找最大值或最小值。函數(shù)圖像繪制函數(shù)圖像，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。方程求解判斷方程根的個數(shù)和位置。思考題1若f(x)=x^2,g(x)=sinx,求復合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)區(qū)間。此題考察復合函數(shù)單調(diào)性的應用，需要根據(jù)f(x)和g(x)的單調(diào)性以及復合函數(shù)的定義來判斷y=f[g(x)]的單調(diào)區(qū)間。先求f(x)和g(x)的導數(shù)，再判斷f(x)和g(x)在對應區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，最終利用復合函數(shù)的定義得出y=f[g(x)]的單調(diào)區(qū)間。思考題2已知函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增，g(x)在(c,d)上單調(diào)遞減，若f(x