廈門市同安區(qū)2022年八年級下學期《數學》期中試題與參考答案

18/31廈門市同安區(qū)2022年八年級下學期《數學》期中試題與參考答案一、選擇題本大題有10小題，每小題4分，共40分.每小題有且只有一個選項正確。1．（4分）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【考點】最簡二次根式．版權所有【分析】根據最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；（3）分母中不含根式判斷即可．【解答】解：A選項，原式＝，故該選項不符合題意；B選項，原式＝＝，故該選項不符合題意；C選項，是最簡二次根式，故該選項符合題意；D選項，原式＝2，故該選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；（3）分母中不含根式是解題的關鍵．2．（4分）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【考點】二次根式的混合運算．版權所有【分析】根據二次根式的加法，減法，除法，以及二次根式的性質，進行計算即可解答．【解答】解：A、﹣＝2﹣，故A不符合題意；B、+＝2+，故B不符合題意；C、÷＝，故C符合題意；D、＝4，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．3．（4分）若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2【考點】二次根式有意義的條件．版權所有【分析】根據二次根式有意義的條件可得x﹣2≥0，再解即可．【解答】解：二次根式在實數范圍內有意義，則x﹣2≥0，解得x≥2．故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．4．（4分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．下列所給數據中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．a＝2，b＝2，c＝1 C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：5【考點】勾股定理的逆定理；三角形內角和定理．版權所有【分析】根據三角形內角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解決此題．【解答】解：A．因為∠A﹣∠B＝∠C，所以∠A＝∠B+∠C．因為∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠A＝180°．所以∠A＝90°．此時，△ABC是直角三角形．B．因為a＝2，b＝2，c＝1，12+22≠22，所以△ABC不是直角三角形．C．因為a2﹣b2＝c2，所以a2＝b2+c2．所以△ABC是直角三角形．D．因為a：b：c＝3：4：5，32+42＝52，所以a2+b2＝c2．所以△ABC是直角三角形．故選：B．【點評】本題主要考查三角形內角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟練掌握三角形內角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解決本題的關鍵．5．（4分）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，∠B＝50°，∠AED＝60°，則∠A的度數為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【考點】三角形中位線定理．版權所有【分析】根據三角形中位線定理得到DE∥BC，根據平行線的性質得到∠C＝∠AED＝60°，根據三角形內角和定理計算，得到答案．【解答】解：因為點D，E分別是AB，AC的中點，所以DE是△ABC的中位線，所以DE∥BC，所以∠C＝∠AED＝60°，所以∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，故選：C．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、三角形內角和定理，掌握三角形中位線平行于第三邊是解題的關鍵．6．（4分）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點O，若AC＝10，BD＝6，則邊AB的長度可能是（）A．2 B．4 C．8 D．12【考點】平行四邊形的性質；三角形三邊關系．版權所有【分析】根據平行四邊形對角線互相平分可得AO＝5，BO＝3，再根據三角形的三邊關系可得5﹣3＜AB＜8+3，再進行判斷即可．【解答】解：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AO＝AC，BO＝BD，因為AC＝10，BD＝6，所以AO＝5，BO＝3，所以5﹣3＜AB＜5+3，解得：2＜AB＜8，所以邊AB的長度可能是4．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系以及平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平分．7．（4分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加下列條件，能判定這個四邊形是矩形的是（）A．∠BAD＝∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AB＝BC【考點】矩形的判定；平行四邊形的性質．版權所有【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC＝180°，因為∠BAD＝∠ABC，所以∠BAD＝∠ABC＝90°，所以平行四邊形ABCD是矩形，故選項A符合題意；B、因為AB⊥BD，所以∠ABD＝90°，不能判定平行四邊形ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、因為四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，所以平行四邊形ABCD是菱形，故選項C不符合題意；D、因為四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，所以平行四邊形ABCD是菱形，故選項D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四邊形的性質等知識，熟練掌握矩形的判定和菱形的判定是解題的關鍵．8．（4分）我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點是坐標原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點D′處，則點C的對應點C′的坐標為（）A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）【考點】正方形的性質；坐標與圖形性質；勾股定理．版權所有【分析】由已知條件得到AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，根據勾股定理得到OD′＝＝，于是得到結論．【解答】解：因為AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，所以OD′＝＝，因為C′D′＝2，C′D′∥AB，所以C′（2，），故選：D．【點評】本題考查了正方形的性質，坐標與圖形的性質，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．9．（4分）對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）．再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2），若延長MN交BC于點P（如圖3），則下列說法錯誤的是（）A．∠NBC＝30° B．∠AMN＝150° C．△BMP是等邊三角形 D．點N為MP的中點【考點】翻折變換（折疊問題）；等邊三角形的性質；等邊三角形的判定；矩形的性質．版權所有【分析】由折疊的性質可得AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，可證△ABN是等邊三角形，可求∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，可得∠BMN＝∠BPM＝60°，可得結論．【解答】解：如圖，連接AN，由折疊的性質可得AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，所以AN＝BN，所以AN＝BN＝AB，所以△ABN是等邊三角形，所以∠ABN＝60°，所以∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，故A選項正確；所以∠BMN＝∠BPM＝60°，所以△BMP是等邊三角形，故C選項正確；所以MN＝PN，所以點N為MP的中點，故D選項正確；因為∠BAD＝90°，所以∠MAN＝30°，因為AM＝MN，所以∠MNA＝∠MAN＝30°，所以∠AMN＝120°，故B選項錯誤；所以說法錯誤的是B．故選：B．【點評】本題考查了翻折變換，等邊三角形的判定和性質，銳角三角函數等知識，求出∠ABM＝∠FBM＝30°＝∠PBF是解題的關鍵．10．（4分）數學教育家波利亞曾說：“對一個數學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發(fā)現有價值的東西，這是數學解題的一個重要原則”．在復習二次根式時，老師提出了一個求代數式最小值的問題，如：“當0＜x＜12時，求代數式的最小值”，其中可看作兩直角邊分別為x和2的Rt△ACP的斜邊長，可看作兩直角邊分別是12﹣x和3的Rt△BDP的斜邊長．于是構造出如圖，將問題轉化為求AP+BP的最小值，運用此方法，請你解決問題：已知x，y均為正數，且x﹣6＝﹣y．則的最小值是（）A．2 B．8 C．10 D．34【考點】軸對稱﹣最短路線問題；勾股定理．版權所有【分析】和是勾股定理的形式，是直角邊分別是x和3的直角三角形的斜邊，是直角邊分別是6﹣x和5的直角三角形的斜邊，因此，我們構造兩個直角三角形△ABC和△DEF，并使直角邊BC和EF在同一直線上向右平移直角三角形ABC使點B和E重合，這時CF＝x+6﹣x＝6，AC＝3，DF＝5，問題就變成“點B在線段CF的何處時，AB+DB最短？”，根據兩點間線段最短，得到線段AD就是它們的最小值．【解答】解：因為x﹣6＝﹣y，所以y＝6﹣x，和是勾股定理的形式，是直角邊分別是x和3的直角三角形的斜邊，是直角邊分別是6﹣x和5的直角三角形的斜邊，因此，我們構造兩個直角三角形△ABC和△DEF，并使直角邊BC和EF在同一直線上向右平移直角三角形ABC使點B和E重合，這時CF＝x+6﹣x＝6，AC＝3，DF＝5，問題就變成“點B在線段CF的何處時，AB+DB最短？”，根據兩點間線段最短，得到線段AD就是它們的最小值．當A、B、D共線時，AB+BD最小，在Rt△AMD中，AD＝＝＝10，所以的最小值是10．故選：C．【點評】本題考查最小值問題、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把代數問題轉化為幾何問題是解題的突破點，屬于中考壓軸題．二、填空題本大題有6小題，每題4分，第11、12、14題每空2分，共24分。11．（4分）計算：（1）＝2；（2）＝．【考點】二次根式的乘除法；二次根式的性質與化簡．版權所有【分析】（1）根據（）2＝a（a≥0）即可得出答案；（2）根據＝（a≥0，b＞0）化簡即可．【解答】解：（1）原式＝2，故答案為：2；（2）原式＝＝，故答案為：．【點評】本題考查二次根式的性質與化簡，掌握＝（a≥0，b＞0）是解題的關鍵．12．（4分）命題“正方形的四條邊相等”的逆命題是四條邊相等的四邊形是正方形，它是假（填“真命題”或“假命題”）．【考點】命題與定理．版權所有【分析】根據逆命題的概念寫出原命題的逆命題，根據正方形的判定定理判斷即可．【解答】解：命題“正方形的四條邊相等”的逆命題是“四條邊相等的四邊形是正方形”，它是假命題，故答案為：四條邊相等的四邊形是正方形；假．【點評】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，掌握正方形的判定定理是解題的關鍵．13．（4分）用20cm的鐵絲圍成長為xcm、寬為ycm的長方形，當x＝3時，y＝7．【考點】代數式求值；列代數式．版權所有【分析】先列代數式表示出y，然后代入x＝3計算y的值即可．【解答】解：因為2x+2y＝20，所以x+y＝10，所以y＝10﹣x，當x＝3時，y＝10﹣x＝10﹣3＝7．故答案為：7．【點評】本題考查了列代數式以及代數式求值，把問題中與數量有關的詞語，用含有數字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數式．列代數式時，要注意語句中的關鍵字，讀懂題意，找到所求的量的表示方法．列代數式五點注意：①仔細辨別詞義．②分清數量關系．③注意運算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進行代換．14．（4分）如圖，在數軸上點A表示的實數是．【考點】實數與數軸．版權所有【分析】根據勾股定理求解即可．【解答】解：根據勾股定理得：＝，所以點A表示的實數為，故答案為：．【點評】本題考查了實數與數軸，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關鍵．15．（4分）如圖，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，將Rt△ABF沿著BE方向平移到Rt△DEC的位置，此時點E恰為邊BF的中點，若AE＝2，則四邊形AEFD的面積為2．【考點】菱形的判定；平移的性質；三角形的面積；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．版權所有【分析】根據平移的性質，AD∥BE，AD＝BE，再利用線段中點可得BE＝EF，從而可得AD＝EF，進而可得四邊形AEFD是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質可得AE＝EF，從而可得四邊形AEFD是菱形，進而可得四邊形AEFD的面積＝2△AEF的面積，最后利用含30度角的直角三角形的性質可得AF＝BF＝2，AB＝AF＝2，從而求出△ABF的面積，即可解答．【解答】解：由平移得：AD∥BE，AD＝BE，因為點E為邊BF的中點，所以BE＝EF，所以AD＝EF，所以四邊形AEFD是平行四邊形，因為∠BAF＝90°，所以AE＝EF＝BF，所以四邊形AEFD是菱形，所以四邊形AEFD的面積＝2△AEF的面積，因為AE＝2，所以BF＝2AE＝4，因為∠B＝30°，所以AF＝BF＝2，AB＝AF＝2，所以△ABF的面積＝AB?AF＝×2×2＝2，因為△ABF的面積＝2△AEF的面積，所以四邊形AEFD的面積＝△ABF的面積＝2；故答案為：2．【點評】本題考查了菱形的判定，含30度角的直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線性質，平移的性質，三角形的面積，熟練掌握菱形的判定，以及平移的性質是解題的關鍵．16．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于點E，F為DC的中點，連接EF、BF，下列結論：①∠ABC＝2∠ABF；②BE＞BF；③S四邊形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF；其中正確結論有①②③④．【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線．版權所有【分析】如圖延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點H連接FH．想辦法證明EF＝FG，BE⊥BG，四邊形BCFH是菱形即可解決問題．【解答】解：如圖，延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點H，連接FH．因為點F是CD的中點，所以DF＝FC，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD＝BC，因為CD＝2AD，所以CF＝CB，所以∠CFB＝∠CBF，因為CD∥AB，所以∠CFB＝∠FBH，所以∠CBF＝∠FBH，所以∠ABC＝2∠ABF．故①正確，因為DE∥CG，所以∠D＝∠FCG，因為DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，所以△DFE≌△CFG（ASA），所以FE＝FG，因為BE⊥AD，所以∠AEB＝90°，因為AD∥BC，所以∠AEB＝∠EBG＝90°，所以BF＝EF＝FG，所以∠FEB＝∠FBE，∠FGB＝∠FBG，因為∠ABC＝2∠ABF，所以∠FBG＞∠FBE，因為∠GFB＝∠FEB+∠FBE，∠EFB＝∠FGB+∠FBG，所以∠GFB＝2∠FBE，∠EFB＝2∠FBG，所以∠EFB＞∠GFB，假設∠EFB＝∠GFB時，所以∠EFB＝∠BFB＝90°，因為EF＝BF，所以BE＝BF，因為∠EFB＞∠GFB＞90°，所以BE＞BF，故②正確，因為S△DFE＝S△CFG，所以S四邊形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正確，因為AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，所以CF＝BH，因為CF∥BH，所以四邊形BCFH是平行四邊形，因為CF＝BC，所以四邊形BCFH是菱形，所以∠BFC＝∠BFH，因為FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，所以FH⊥BE，所以∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，所以∠EFC＝3∠DEF，故④正確，故答案為：①②③④．【點評】本題考查平行四邊形的性質和判定、菱形的判定和性質、直角三角形斜邊中線的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．三、解答題本大題有8小題，共78分。17．（10分）計算：（1）；（2）．【考點】二次根式的混合運算；分母有理化．版權所有【分析】（1）先把每一個二次根式化成最簡二次根式，然后再進行計算即可解答；（2）利用二次根式的乘除法法則，進行計算即可解答．【解答】解：（1）＝4+2﹣3﹣4＝﹣2；（2）＝××＝4．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．18．（8分）先化簡，再求值：a（a+3）﹣2（3﹣a），其中．【考點】整式的混合運算—化簡求值．版權所有【分析】先去括號，再合并同類項，然后把a的值代入化簡后的式子進行計算即可解答．【解答】解：a（a+3）﹣2（3﹣a）＝a2+3a﹣6+2a＝a2+5a﹣6，當時，原式＝（+1）2+5（+1）﹣6＝6+2+5+5﹣6＝7+5．【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．19．（8分）如圖．在平行四邊形ABCD中，AE∥CF，求證：BE＝DF．【考點】平行四邊形的判定與性質．版權所有【分析】根據平行四邊形性質得出AD∥BC，AD＝BC，由AE∥CF，得出四邊形AECF是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得出CE＝AF，即可得出結論．【解答】證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，AD＝BC，所以AF∥CE，因為AE∥CF，所以四邊形AECF是平行四邊形，所以CE＝AF，所以BE＝DF．【點評】本題考查了平行四邊形的性質和判定；熟練掌握平行四邊形的判定和性質，證明四邊形AECF是平行四邊形是解決問題的關鍵．20．（8分）輪船甲從碼頭C出發(fā)，沿著西南方向航行，與此同時，輪船乙也從碼頭C出發(fā)沿著固定方向航行，已知輪船甲、乙的速度分別是20海里/時、15海里/時，他們離開碼頭2小時后分別行駛到A處和B處，此時兩船相距50海里，且乙船在甲船的東部，畫出示意圖，并求輪船乙是沿著哪個方向航行？【考點】解直角三角形的應用；方向角；勾股定理的應用．版權所有【分析】由題意畫出圖形，再由勾股定理的逆定理得∠ACB＝90°，即可解決問題．【解答】解：如圖，由題意得：∠ACD＝45°，AC＝2×20＝40（海里），BC＝2×15＝30（海里），AB＝50海里，因為302+402＝502，所以AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，所以∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣45°＝45°，所以輪船乙是沿著東南方向航行．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題以及勾股定理的逆定理，正確畫出圖形是解題的關鍵．21．（8分）若菱形的一個頂點與一個三角形的一個頂點重合，其余三個頂點都在這個三角形的邊上，則這個菱形稱為這個三角形的近鄰菱形．如圖，在等邊△ABC中，作∠BAC的平分線交BC于點D，再以點D為圓心，線段BD長為半徑畫弧，分別交邊AB、AC于點E、F，連接ED、FD．（1）請用直尺和圓規(guī)完成題中的作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：四邊形AEDF為等邊△ABC的近鄰菱形．【考點】作圖—基本作圖；等邊三角形的判定與性質；菱形的判定與性質．版權所有【分析】（1）根據題意的作圖過程即可完成作圖；（2）根據三角形的近鄰菱形的定義，可得結論．【解答】（1）解：如圖所示即為所求；（2）證明：因為△ABC是等邊三角形，所以AC＝AB＝BC，由已知尺規(guī)作圖可知：AD是∠BAC的角平分線，所以BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝DE＝DF＝BC，所以DE＝AB，DF＝AC，因為∠ABC＝∠BCA＝60°，所以△BDE和△CDF是等邊三角形，所以∠DEB＝60°，∠DFC＝60°，所以∠ADE＝∠EAD＝30°，∠FDA＝∠FAD＝30°，所以AE＝DE，AF＝DF，所以AE＝DE＝AF＝DF，所以四邊形AEDF是菱形，因為菱形的一個頂點A與一個三角形的一個頂點A重合，其余三個頂點都在這個三角形的AB和AC邊上，所以四邊形AEDF為等邊△ABC的近鄰菱形．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，等邊三角形的判定與性質，三角形的近鄰菱形，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．22．（10分）如圖，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長分別為1和2，另一種紙片的兩條直角邊長都為2．圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1．（1）請用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形（非矩形），每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不相等，并把你所拼得的圖形按實際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上．要求：①所畫圖形各頂點必須與方格紙中的小正方形頂點重合；②畫圖時，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡．（2）請證明你在圖1所拼得的四邊形是平行四邊形（非矩形）．【考點】作圖—應用與設計作圖；平行四邊形的判定與性質；矩形的性質．版權所有【分析】（1）圖1可以先用邊長為1、2的直角三角形拼出矩形，再分別在邊長為2的兩側拼上邊長都為2的直角三角形；圖2可以先用邊長都為2的直角三角形拼出矩形，再分別在邊長為2的兩側拼上邊長都為2、1的直角三角形；圖3以四個直角三角形的直角邊拼出對角線為3的平行四邊形即可；（2）根據平行四邊形的判定方法證明即可；【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）如圖1中，因為AB＝CD＝3，AB∥CD，所以四邊形ABCD平行四邊形．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．23．（10分）如圖，數學興趣小組要測量旗桿的高度，同學們發(fā)現系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），聰明的小迪發(fā)現：先測出繩子多出的部分長度為m米，再將繩子拉直（如圖2），測出繩子末端C到旗桿底部B的距離n米，利用所學知識就能求出旗桿的長，若m＝6，n＝12，（1）求旗桿AB的長．（2）小迪在C處，用手拉住繩子的末端，伸直手臂（拉繩處E與腳底F的連線與地面垂直），后退至將繩子剛好拉直為止（如圖3），測得小迪手臂伸直后的高度EF為2米，問小迪需要后退幾米？【考點】勾股定理的應用；列代數式．版權所有【分析】（1）設旗桿AB的長為x米，則AC的長為（x+6）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）根E作ED⊥AB于D，則四邊形BDEF是矩形，得BF＝DE，DB＝EF＝2米，再由勾股定理求出DE的長，即可解決問題．【解答】解：（1）設旗桿AB的長為x米，則AC的長為x+m＝（x+6）（米），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，所以（x+6）2＝x2+122，解得：x＝9，答：旗桿AB的長為9米；（2）如圖3，過E作ED⊥AB于D，則四邊形BDEF是矩形，所以BF＝DE，DB＝EF＝2米，因為AB＝9米，所以AD＝AB﹣DB＝9﹣2＝7（米），在Rt△ADE中，AE＝AC＝15米，所以DE＝＝＝4（米），所以BF＝DE＝4米，所以CF＝BF﹣BC＝（4﹣12）（米），答：小迪需要后退（4﹣12）米．【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理，求出旗桿AB的長是解題的關鍵．24．（11分）已知，矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點，點F、G、H分別是BC、BE、CE的中點．（1）求證：△BGF≌△FHC．（2）若AD＝4，當四邊形EGFH是正方形時，求矩形ABCD的面積．【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；三角形中位線定理；矩形的性質．版權所有【分析】（1）根據三角形中位線定理和全等三角形的判定證明即可；（2）由正方形的性質可得GE＝EH，∠BEC＝90°，由“HL”可證Rt△ABE≌Rt△DCE，可得AE＝DE＝2，∠AEB＝∠CED，可求AB＝2，由矩形面積公式可求解．【解答】證明：（1）因為點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點，所以BF＝CF，FH∥BE，FH＝BE＝BG，所以∠CFH＝∠FBG，在△BGF和△FHC中，，所以△BGF≌△FHC（SAS）；（2）因為四邊形EGFH是正方形，所以GE＝EH，∠BEC＝90°，因為點G、H分別是BE、CE的中點，所以BE＝2GE，EC＝2EH，所以BE＝CE，因為四邊形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，所以Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），所以AE＝DE＝2，∠AEB＝∠CED，因為∠AEB+∠BEC+∠CED＝180°，所以∠BEA＝45°，所以∠BEA＝∠ABE＝45°，所以AB＝AE＝2，所以矩形ABCD的面積＝4×2＝8．【點評】本題考查了正方形的性質，矩形的性質，全等三角形的判定，三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理，證明三角形全等是解題的關鍵．25．（13分）如圖1，正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點P是線段AO上（不與A、O重合）的一個動點，過點P作PE⊥PB且交邊CD于點E．（1）求證：PB＝PE；（2）若正方形ABCD的邊長為6，①過點E作EF⊥AC于點F，如圖2，則在點P運動的過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，請直接寫出這